椭圆及其标准方程ppt课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
课件13：2.2.1 椭圆及其标准方程
P到两焦点的距离和为26；
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆及其标准方程ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
（3）
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第二章 圆锥曲线与方程
第20页
已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆
心轨迹．
动圆满足条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外 切．依据两圆相切充要条件建立关系式，可求出动圆 圆心轨迹方程，进而拟定出轨迹图形．
灵活应用．
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第二章 圆锥曲线与方程
第26页
3．利用待定系数法拟定椭圆原则方程
求椭圆原则方程惯用待定系数法，要恰当地选择方 程形式，假如不能拟定焦点位置，那么有两种办法来 处理问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆 方程普通式．
(1)假如明确了椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上， 那么所求椭圆一定是原则形式，那么能够利用待定系
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
第4页
2．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 由椭圆定义知点P到另一个焦点距离是10－ 2＝8.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
第5页
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3， 1)两点．
第11页
解析： 设椭圆方程为xa22＋yb22＝1， ac＝ 22，故 ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋ |AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故 a＝4.
椭圆的定义及标准方程PPT教学课件
乡下的房子
木板窗
天窗
月光下的草地河滩
一粒星
星空
读一读
帐玻扇偏璃 鹰烁莺蝠蝙
为什么说天窗是神奇的呢？
活泼会想的孩子们会知道怎样通过天窗从“无” 中看出“有”，从“虚”中看出“实”，比任凭 他看到的更真切，更阔达，更复杂，更确实。
为什么“小小的天窗是孩子们唯一的慰藉” 呢?
孩子们跟着木板窗的关闭也就被关在地洞似的屋 里的时候，天窗给漆黑的屋子带来的仅有的光明， 通过天窗看见了雨点、闪电、星星、云彩。这些 都是孩子们唯一的慰藉。
1.你能说说自己生活中排解不快的方法吗？பைடு நூலகம்读书？
看电视？还是摆弄小玩具？
2.把自己的经历像作者这样记录下来，为我们的童 年增添一笔美好的回忆。
椭圆的定义及标准方程
一、天体运行轨迹： 太阳系运行简图： 地球绕太阳旋转轨迹：
二、椭圆的定义与标准方程
(一)定义：
到两定点距离之和等于定值 (大于两定点 间的 距离)的点轨迹. 两定点叫焦点,焦点 间的距离 叫焦距. 看一下定值 的变化与要求：
1.当定值小于两定点间的距离时 不可能，没有任何曲线.
b
F1 焦点坐标
-a
(0,-c),(0,c)
不论焦点在何处,都 有a>b>0且a2=b2+c2
三、练习举例 [例 ]求适合下列条件的椭圆方程：
1.两个焦点的坐标分别是(-4,0)、 (4,0)，椭圆上一点P到 两焦点的距 离之和等于10；
2.两个焦点的坐标分别是(0，-2)、
(0,2)，并且椭圆经过点
2.当定值等于两定点间的距离时
轨迹是：两定点所确定的线段. 3.当定值大于两定点间的距离时
轨迹是：椭圆.
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第二章 圆锥曲线与方程
[题后感悟] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
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第二章 圆锥曲线与方程
1.(1)已知椭圆的焦点 F1(－4,0)，F2(4,0)，且过点
A4，95，求椭圆的标准方程．
x2 y2 1 25 9
(2)求以椭圆 9x2＋5y2＝45 的焦点为焦点，且经过
x2 y2 1 25 16
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第二章 圆锥曲线与方程
2．椭圆的定义的应用 (1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为数 学问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角 形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利 用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．
(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)， 在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体或者配方等
（3）
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第二章 圆锥曲线与方程
已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆
心的轨迹．
动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相 外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式，可求出 动圆圆心的轨迹方程，进而确定出轨迹图形．
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第二章 圆锥曲线与方程
①式两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S△PF1F2＝21|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
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第二章 圆锥曲线与方程
方程中a、b的值，从而确定方程，有时方程有两个．
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第二章 圆锥曲线与方程
如果明确焦点在 x 轴上，那么设所求的椭圆方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如果明确焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为 ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． (2)如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上，那么方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，进而求解．
解答本题可先根据焦点位置设出相应方程，
再利用a，b，c的关系求出待定系数得椭
圆方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为ya22＋xb22＝1(a＞b＞0)． 因为 2a＝26,2c＝10，所以 a＝13，c＝5. 所以 b2＝a2－c2＝144. 所求椭圆方程为1y629＋1x424＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
练考题、验能力、轻巧夺冠
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第二章 圆锥曲线与方程
[题后感悟] 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点 三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦 定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若 已知∠F1PF2，可利用 S＝21absin C 把|PF1|·|PF2|看成一 个 整 体 ， 运 用 公 式 |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＝ (|PF1| ＋ |PF2|)2 － 2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求 出，这样可以减少运算量．
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第二章 圆锥曲线与方程
解析： 设椭圆方程为xa22＋yb22＝1， ac＝ 22，故 ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋ |AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故 a＝4.
∴b2＝8. ∴椭圆 C 的方程为1x62＋y82＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
[题后感悟] 解答与椭圆相关的求轨迹问题 的一般思路是
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第二章 圆锥曲线与方程
4.已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周 长等于16，求顶点A的轨迹方程．
解析： 如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B， C，且原点O为BC的中点，由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝ 16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10>6，所以A的轨迹为椭 圆
2．2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 圆锥曲线与方程
椭圆应该包含3个要素
（1）在平面内 （2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a （3）定长2a﹥|F1F2|工具第二章 圆锥曲线与方程
复习导入
标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
xa22＋by22 ＝1(a＞b＞0) ya22＋bx22 ＝1(a＞b＞0)
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第二章 圆锥曲线与方程
◎已知椭圆的标准方程为2x52 ＋my22＝1(m＞0)，并且 焦距为 6，求实数 m 的值．
当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进 行分类讨论
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第二章 圆锥曲线与方程
【正解】 ∵2c＝6，∴c＝3. 当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝25， b2＝m2，a2＝b2＋c2，得 25＝m2＋9， ∴m2＝16，又 m＞0，故 m＝4. 当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝m2， b2＝25，a2＝b2＋c2，得 m2＝25＋9＝34， 又 m＞0，故 m＝ 34. 综上，实数 m 的值为 4 或 34.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
2．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10 －2＝8.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3， 1)两点．
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第二章 圆锥曲线与方程
如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
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第二章 圆锥曲线与方程
[解题过程] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2， ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
第二章 圆锥曲线与方程
x2 y2 如图所示，已知 F1，F2 是椭圆100＋36＝1 的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，试求△ABF2 的周
长．
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
[解题过程] (1)由1x020＋3y62 ＝1 得 a2＝100，b2＝36， 于是 a＝10，c＝ a2－b2＝ 100－36＝8， 所以椭圆的焦点坐标为 F1(－8,0)，F2(8,0)． (2)△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)， 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.
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第二章 圆锥曲线与方程
[解题过程] 由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径分别 为C1(4,0)，r1＝13；C2(－4,0)，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件， 可得|C1C|＝r1－r① 由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件， 可得|C2C|＝r2＋r.②
灵活应用．
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第二章 圆锥曲线与方程
3．利用待定系数法确定椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择 方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种 方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是 设椭圆方程一般式．
(1)如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴 上，那么所求的椭圆一定是标准形式，那么可以利用 待定系数法首先建立方程，然后依照题设条件，计算
如图所示，由①＋②可得
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第二章 圆锥曲线与方程
|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16. 即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可得 动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为其焦点． 由题意得c＝4，a＝8， ∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
∴椭圆的方程为6x42＋4y82 ＝1. ∴动圆圆心的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，其方程 为6x42＋4y82 ＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
（2） 方法一：设焦点分别在 x 轴与 y 轴上的标准方程，在将两点 带入方程 方法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)．
由题意得312mm＋＋4nn＝ ＝11， ， 解得mn＝＝1511.5， 所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
点 M(2， 6)的椭圆的标准方程． x 2 y 2 1 12 8
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第二章 圆锥曲线与方程
(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，c:a 为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16， 那么 C 的方程为________．
焦点
a、b、c 的关系
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
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第二章 圆锥曲线与方程