椭圆的参数方程

(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
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x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos
y
5
sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
第二章 参数方程 练习2：已知椭圆的参数方程为
第二章 参数方程
练习3:已知A,B两点是椭圆
x2 9
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
S ABC面积一定,需求 S ABP最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
线AB的方程为
x 3
y 2
例3、已知椭圆 x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
解 : 设A10cos,8sin
D
B2 A
AD 20 cos, AB 16sin
S 2016sin cos 160sin 2
A1 F1
所以, 矩形ABCD最大面积为160
C
O F2
B
B1
A2 XX
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
第二章 参数方程
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（ 的 ans横 ec坐b标.为taxnB=）a2（. sec tan）.
1
2x 3y
6
0
d | 6 cos 6 sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
13
4
所以当
=
4
时,
d
有最大值,
面积最大
这时点P的坐标为( 3 22 , 2)
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S
MAOB =|OA|•|OB|sin2 =
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
第二章 参数方程
第二章 参数方程
椭圆的参数方程
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
acos bsin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
1 .参数方程
x y
ab scions是椭圆的参
数方程.
x 2cos
y
sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
第二章 参数方程
练习4
1、动点P(x,y)在曲线 x2 y2 1上变化 ，求2x+3y的最
大值和最小值
94
最大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x r cos y r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
O
A x
第二章 参数方程
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x y
a b
cos, sin .
焦点在Y轴xy
b cos, a sin .
第二章 参数方程
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B
M
设∠XOA=φ
O
Nx
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
第例二2、章如图， 参设数M方为程双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
第二章 参数方程 双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'