(完整word版)椭圆的参数方程(含答案).doc

椭圆的参数方程
教学目标 ：
1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；
2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。

3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点 ：椭圆的参数方程。

教学难点 ：椭圆参数方程中参数的理解 .
教学方式 ：讲练结合，引导探究。

教学过程 ： 一、复习
焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：
x 2 y 2
1(a b 0)
a 2
b 2
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程：
y 2
x 2
1(a b 0)
a 2 b
2
二、椭圆参数方程的推导
1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 因为 ( x
) 2
( y ) 2
1 ，又 cos 2
sin 2
1
a
b
设
x
cos , y
sin ，即
x acos ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。

a b
y bsin
2. 参数 的几何意义
问题 、如下图，以原点 O 为圆心，分别以
a ，
b （ a ＞b ＞ 0）为半
径作两个圆。

设 A 为大圆上的任意一点，连接
OA, 与小圆交于点
B 。

过点 A 作 AN ⊥ ox ，垂足为 N ，过点 B 作 BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程 . 解：设以 Ox 为始边， OA 为终边的角为
，点 M 的坐标是 (x, y) 。

那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。

由于点 A,B 均在角 的终边上，由三角函数的定义有
x |OA |cos a cos ， y | OB | sin b cos 。

当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是
x acos ( 为参数 )
y bsin
这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。

1
在椭圆的参数方程中，通常规定参数
的范围为
[0,2 ) 。

x r cos
思考：椭圆的参数方程中参数
的意义与圆的参数方程
( 为参数 )
y rsin
中参数 的意义类似吗？
由图可以看出， 参数 是点 M 所对应的圆的半径 OA （或 OB ）的旋转角 （称为点 M 的离心角），不是 OM
的旋转角。

参数
是半径 OM 的旋转角。

3. 焦点在 y 轴上的椭圆的参数方程
x 2 y 2 1,
x b cos b
2
a
2
y asin
三、例题分析
例 1.把下列普通方程化为参数方程 .
(1) x 2
y
2
1
(2) x 2
y 2 1
4
9
16
(3)
x 2
y 2
1
(4)
x
2 y
2
1
64 100
9 25
变式：
把下列参数方程化为普通方程
x 8cos x 3cos (1) x 2cos
(2) x cos
(3)
10sin
(4)
5sin
y y
y 3sin
y 4sin
例 2. 已知椭圆
x
2
y 2 1(a b
0) ,求椭圆内接矩形面积的最大值 .
a 2
b 2
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为
(acos ,bsin )
Q S 矩形 4 a cos bsin
2ab sin 2
2ab
k 当
(k Z )时， S 矩形
2ab 最大。

2
4
所以椭圆内接矩形面积的最大值为
2ab
2
例 3、在椭圆 x 2
y 2
1上求一点 M ，使点 M 到直线 x 2 y 10 0
9 4
的距离最小，并求 出最小距离
x 3cos 解：因为椭圆的参数方程为
（ 为参数）
y 2sin
所以可设点 M 的坐标为 (3cos
,2sin ) 。

由点到直线的距离公式，得到点
M 到直线的距离为
变式 2、设 P(x, y)是椭圆 2x 2 3 y 2
12上的一个动点，求 x 2 y 的取值范围。

解：椭圆的方程可化为
x 2 y 2 1,
6 4
它的一个参数方程为
{
x
6 cos ( 为参数，0 2 )
y 2sin
Q x 2 y
6 cos 4sin
22 cos()
Q cos(
) [ 1,1]
x 2 y [ 22,
22]
四、课堂练习
3
、 是椭圆
x 4cos
为参数 上一点，且在第一象限，
{
(
y
2 3sin
为原点 的倾斜角为 ，则点 的坐标为 OP(O ) 3
P
A 、(2,3),
B 、(
4
5, 4
15)
C 、(2 3, 3),
D 、(4,3)
5 5
答案： B
解：Q OP 的倾斜角为 k OP tan 3又k OP
y 2 3sin
3
x
4cos
sin 2cos 3 3
又 sin 2
2
且点 在第一象限 cos
5
2 5
5
5
从而有 x 4cos
4 5
, y 2 3 sin
4 15
5
5
2.已知圆的方程为 x 2 y 2 4xcos
2 y sin
3cos 2
0,( 为参数 )，
那么圆心的轨迹的普通方程为 ____________________?
解：方程 x 2 y 2
4x cos 2 y sin
2
，可以化为
( x 2cos ) 2
( y sin ) 2
1
3cos
所以圆心的参数方程为 x 2cos
为参数 ，化为普通方程是 x 2
2
1
y sin
4
五、课堂小结 ：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方
程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求
解最值问题，
1. x 2 y 2
椭圆
1 的内接矩形的最大面积是 __________________.
16 9
2. x 2 y 2 P ，使四边形
已知 A 、 B 是椭圆
1与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点
9
4
OAPB 的面积最大 .
x 2 y 2 3、 已知实数 x 、 y 满足
1，求 z ＝ x ＋ 2y 的最大值与最小值
25
16
4。