椭圆的参数方程
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义椭圆的参数方程中参数的几何意义是指，椭圆的参数方程为x=a cos t，y=b sin t，其中a和b均为正数， t为参数。
其中，参数t 代表椭圆上的点与椭圆圆心所连直线的倾角，即t是一条从圆心出发的射线与x轴的夹角。
a表示椭圆主轴的长度，b表示椭圆次轴的长度，其中a和b的比值称为离心率，离心率越小，椭圆越趋向于圆形；离心率越大，椭圆形状越扁平。
椭圆的边界由椭圆轮廓上的所有点组成，这些点在参数方程中用参数t表示。
通过改变参数t的值，可以得到椭圆轮廓上的所有点，从而确定整个椭圆的形状和大小。
因此，椭圆的参数方程中的参数t、a、b以及离心率，都代表了椭圆的重要几何特征，可以用于描述、计算和绘制椭圆的形状。
椭圆参数方程
2、求定点(2a,0)和椭圆{
Hale Waihona Puke x = a cos θ y = b sin θ
(θ为参数)上各
点连线的中点轨迹方程。
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y ) 2a + a cos θ x= 2 则{ (θ为参数) b sin θ y= 2 ( x − a) 2 y 2 上述的方程消去参数，得 + 2 =1 2 a b 4 4
x 9
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos α ,2sin α ) S⊳ ABC 面积一定 , 需求 S⊳ ABP 最大即可 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x 线 AB的 方 程 为 3 + y 2
= 1 ⇒ 2x + 3y − 6 = 0 =
6 13
d =
| 6 cos α + 6 sin α − 6 | 2 2 + 32
y
分析1：设P ( ± 8 − 8y 2 , y ),
则d = | ± 8 − 8y 2 − y + 4 | 2
O x
分析2：设P( 2 2 cos φ, sin φ),
则d = | 2 2 cos φ − sin φ + 4 |
P
2 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 小结：借助椭圆的参数方程， 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x y x, y满足 + = 1的前提下，求出z = x − 2 y的 25 16 最大值和最小值吗？
椭圆的参数方程 课件
y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳 椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
（ 3 ）。 2
M B
A
利用几何画板动 画 演 示,理 解 椭 圆 规 工 作 原 理.
图2 9
探 究 椭 圆 规 是 用 来 画 椭 圆 的一 种 器 械,它 的 构 造 如 图2 9 所 示.在 一 个 十 字 形 的 金 属 板上 有 两 条 互 相 垂 直 的 导 槽,在 直 尺 上 有 两 个 固 定 滑块A, B,它 们 可 分 别 在 纵 槽 和 横 槽 中滑 动,在 直 尺 上 的 点M处 用 套 管 装 上 铅 笔, 使 直 尺 转 动 一 周 就 画 出一 个 椭 圆.你 能 说 明 它 的 构 造 原 理 吗?(提 示:可 以 用 直 尺AB和 横 槽 所 成 的 角 为 参 数,求 出 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.
椭圆的参数方程表示
椭圆的参数方程表示
椭圆是一种常见的二次曲线，其方程可以表示为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
除此之外，我们还可以使用参数方程来描述椭圆。
椭圆的参数方程为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中t为参数，0 <= t <= 2π。
这个参数方程的意义是，我们可以通过让参数t从0到2π取遍所有可能的值，从而得到整个椭圆上的所有点的坐标。
具体来说，当t=0时，x=a，y=0，这个点位于椭圆的右端点。
当t=π/2时，x=0，y=b，这个点位于椭圆的上端点。
当t=π时，x=-a，y=0，这个点位于椭圆的左端点。
当t=3π/2时，x=0，y=-b，这个点位于椭圆的下端点。
当t=2π时，x=a，y=0，这个点又回到了椭圆的右端点。
通过这个参数方程，我们可以很容易地看出椭圆的形状和大小。
当a=b时，椭圆变成了一个圆，此时参数方程化简为：
x = r cos(t)
y = r sin(t)
其中r为圆的半径，t为参数。
椭圆在数学中有着广泛的应用，如在几何学中描述椭圆形的轨迹、在物理学中描述行星轨道、在工程学中描述电子轨道等等。
椭圆方程的参数方程是一种简单而直观的表示方式，方便我们对椭圆进行研究和应用。
椭圆的参数方程的表达式
椭圆的参数方程的表达式
椭圆是一种非常常见的几何形状，它是由两条曲线相交而成的，它的精确的参数方程是：$$\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} = 1
$$其中，$a$和$b$是椭圆的两个半径，$a$是椭圆的横轴，也称为长轴，$b$是纵轴，也称为短轴。
椭圆是一种广泛应用的几何形状，它可以用来描述很多自然界里的现象，比如圆周运动。
圆周运动是指一个物体绕着椭圆轨道运动，比如行星围绕恒星运行。
在几何学中，椭圆也有很多用途，比如用来绘制几何图形，比如椭圆形，橄榄形等等。
椭圆也可以用来求出某些特定的几何问题，比如求两个点之间的最短距离。
此外，椭圆在很多领域中都有应用，比如机械设计中，椭圆是用来设计齿轮的；在地理学上，椭圆也被用来描述地球的形状；在金融学中，椭圆也被用来描述投资组合的风险程度。
总之，椭圆是一种非常常见的几何形状，它的参数方程是$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，它有着广泛的应用，在机械设计、地理学、金融学等领域都有应用。
椭圆参数方程求最值
椭圆参数方程求最值
要求椭圆参数方程的最值，首先需要确定椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程通常形式为：
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，t是参数，取值范围为[0, 2π)。
求最值时，需要将参数方程代入到需要求最值的目标函数中，并对参数t求导，然后令导数等于0，求解参数t的取值。
最后，将参数t的值代入到参数方程中，即可求出最值。
举个例子：假设要求椭圆的最高点的y坐标最大值。
将y =
b*sin(t)代入目标函数中，目标函数变为f(t) = b*sin(t)。
对参数t求导得到f'(t) = b*cos(t)。
令f'(t) = 0，解得t = π/2或3π/2。
将t的值代入到y = b*sin(t)中，可以求出最高点的y坐标的最大值为b。
根据具体的目标，将目标函数代入到椭圆的参数方程中求解最值。
《椭圆的参数方程》课件
引入参数
引入参数化变量描 述椭圆
求解参数值
确定椭圆参数的具 体数值
应用坐标变换
将椭圆的标准方程 转化为参数方程
椭圆参数方程的性质
可变形
参数值影响椭圆形 状
对称性
某些参数下的椭圆 具有对称性
应用广泛
在物理学、工程学 等领域有广泛应用
多样性
不同参数组合形成 不同椭圆
椭圆参数方程的应用
天体轨道
描述行星绕太阳运 动轨迹
物理模型
描述摆线运动等现 象
数据分析
用参数方程拟合实 验数据
工程设计
绘制椭圆形状的设 计图
01 人工智能
应用于图像识别和处理
02 生物医学
模拟生物运动和疾病分析
03 材料科学
用于纳米结构和材料设计
感谢观看
感谢您观看本次关于椭圆参数方程的PPT课件。通过本课件， 您了解了椭圆参数方程的定义、推导、性质和应用，希望对 您理解椭圆和参数方程有所帮助。在未来，椭圆参数方程将 在更多领域展示其重要性和应用价值。谢谢！
参数方程的几何意义
曲线形状分析
通过参数方程了解 曲线的形状特点
几何问题解决
利用参数方程解决 具体的几何问题
动态变化观察
观察曲线随参数变 化的动态效果
01 运动规律分析
通过参数方程描述物体的运动规律
02 变化趋势预测
根据参数方程预测物体的变化趋势
03 控制参数优化
利用参数方程优化系统控制参数
参数方程的工程 应用
参数方程的物理应用
运动轨迹描述
描述物体在空间中 的运动轨迹
模拟实验
通过参数方程进行 物理实验的模拟
变化过程分析
分析物体随时间变 化的状态
椭圆的参数方程
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
B
)
方程为__________ __________ ?
解：方程x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos2 0 可以化为( x 2 cos ) ( y sin ) 1
2 2
所以圆心的参数方程为 {
x 2 cos y sin
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
a2=b2+c2
c e a
问题、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
椭圆的参数方程
• 1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
x＝ acos φ y＝ bsin φ
(φ为参数)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
2．中心在（m,n）的
椭
圆
x－m2 a2
＋
y－n2 b2
的矩形的长和宽及其最大面积．(如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋y42
＝1的参数方程为
x＝3cosφ， y＝2sinφ
(φ
为参数)，设P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点．
则P点的坐标是P(3cosφ，2sinφ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4·3cosφ·2sinφ＝12sin2φ
当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积S有最大值12，
• ①通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标；
• ②将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 性质及变换公式帮助求解诸如最值、参数取值范围等问题．
• (2)设出C的坐标为(6cosθ，3sinθ)； • (3)由重心公式可得G坐标； • (4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
[解题过程] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆 上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
(2)利用 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
例1在椭圆 x 2 y 2 1上求一点M，使点M到直线x 2 y 10 0 94
的距离最小，并求出最小距离
椭圆的参数方程中参数的取值范围
首先我们来看一下椭圆的基本定义和参数方程。
椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴长度。
接下来我们来考虑椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)在这里，a和b分别代表椭圆的长短半轴，t代表参数。
根据这个参数方程，我们可以进一步讨论参数t的取值范围。
对于x = a*cos(t)和y = b*sin(t)两个方程，我们知道cos(t)和sin(t)的取值范围都是[-1, 1]。
x的取值范围是[-a, a]，y的取值范围是[-b, b]。
接下来我们来分析参数t的取值范围。
由于cos(t)和sin(t)的周期都是2π，所以参数t的取值范围可以是[0, 2π)。
这个范围可以覆盖椭圆的整个轨迹。
在椭圆的参数方程中，参数t的取值范围[0, 2π)对应了椭圆的整个轨迹。
通过改变参数t的取值，我们可以描绘出椭圆上的各个点的位置，从而形成整个椭圆曲线。
椭圆的参数方程中参数t的取值范围是[0, 2π)，而对应的x和y的取值范围分别是[-a, a]和[-b, b]。
通过参数方程，我们可以清晰地描述椭圆曲线的形状和位置。
个人观点和理解方面，我认为椭圆的参数方程是一种非常有趣和灵活的描述椭圆的方式。
通过引入参数t，我们可以更加直观地理解椭圆曲线的形状和特性。
参数方程的使用不仅简化了对椭圆的描述，还使得对椭圆的分析更加方便。
以上是对椭圆的参数方程中参数的取值范围的深度和广度的讨论，希望对您有所帮助。
在写完文章后，请您把文章内容复制到word或者notepad文档中，并按照您的要求进行格式调整。
如果有需要修改或补充的地方，也请随时告知我。
在我们深入探讨椭圆的参数方程的基础上，让我们进一步思考一下参数方程的性质以及它们对椭圆曲线的影响。
让我们回顾一下椭圆的参数方程：x = a*cos(t)和y = b*sin(t)。
椭圆的参数方程如下图
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
y
圆的标准方程: x2+y2=r2 x r cos 圆的参数方程: y r sin (为参数) θ的几何意义是: ∠XOP=θ
P θ
O
x
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 (1) x 2 cos (2) x cos y 3sin y 4sin
一、椭圆的参数方程
一、知识构建
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
B2
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
A1ALeabharlann F1CO B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆是一种常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上每个点的坐标的方式。
在参数方程中，椭圆的坐标由两个参数决定，通常用t和a表示。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，t是参数的取值范围。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。
当t取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
参数方程的优点是它可以直观地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
二、极坐标方程椭圆的极坐标方程是另一种描述椭圆的方式。
在极坐标方程中，椭圆的坐标由极径r和极角θ决定。
椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a*b / sqrt((b*cos(θ))^2 + (a*sin(θ))^2)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，θ是极角的取值范围。
通过改变极角θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的极坐标。
当θ取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。
极坐标方程的优点是它可以更直接地描述椭圆的形状和位置。
例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。
当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。
三、应用椭圆具有许多重要的应用。
在几何学中，椭圆是焦点与直线距离之和恒定的曲线，这个性质被广泛应用于光学、天文学等领域。
例如，椭圆的反射性质被用于设计反射望远镜和卫星天线。
在物理学中，椭圆是许多物理问题的模型。
例如，行星绕太阳运动的轨道近似为椭圆。
椭圆的运动方程可以帮助我们研究行星的运动规律和轨道参数。
椭圆还广泛应用于工程学和计算机图形学。
在工程学中，椭圆常被用作设计轮胎、齿轮等机械零件的基础。
椭圆公式化为参数方程
椭圆公式化为参数方程
椭圆是数学中最重要的几何图形之一，它被定义为一个平面上围绕一个轴的曲线。
椭圆的学习和研究是学习数学的重要部分。
椭圆的公式化一般是椭圆面积公式或椭圆面积公式，也叫标准椭圆面积公式。
椭圆还可以用参数方程来描述。
参数方程是指根据数学函数中两个或多个参数的变化来描述一个曲线的方程。
因此，椭圆可以用参数方程来表示。
椭圆的参数方程的一般形式是：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
$$
其中a,b为两个正实数，代表椭圆的长短轴长，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴，并且a>b。
根据椭圆参数方程，可以得出椭圆的中心点坐标为(0,0)。
当a>b时，椭圆的形状为长椭圆，否则为短椭圆。
椭圆参数方程与其他数学曲线的参数方程类似，只是参数名称有所区别，而参数的意义与数学曲线的公式大体相同。
椭圆的参数方程的参数表示的椭圆的特征非常重要，可以根据椭圆的参数方程来解决许多几何学问题，并得出有用的结论。
同时，通过椭圆的参数方程可以轻松地绘制椭圆的图形，使人们容易理解椭圆的性质。
总之，椭圆的参数方程能精确描述椭圆的性质，提供了解决几何学问题和绘制椭圆图形的便利。
椭圆的参数方程教学课件
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形，其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似，但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时，椭圆变为圆，因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2，而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1， 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中，椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式，将三角函数、 角度、半径等参数联系起来， 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导，得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中， 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角，r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程，可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值，计算出椭圆的焦点到中心的距离d； 2. 根据d和c的关系，确定椭圆的偏心率e；
3. 利用e和a、b的关系，计算出椭圆的长轴和短轴的长度；
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度，以及 给定的θ值，计算出P点的极径ρ；
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后，可以通过数学建模和数据处理的方 法，解决与椭圆相关的实际问题，提高数学应用能力。
椭圆参数方程
椭圆参数方程
建筑，是历史上古今灿烂明晰的凸显，也是运用许多几何形状创新美学精彩作品之一。
椭圆参数方程与建筑有着千丝万缕的联系，无论现代建筑还是传统古迹，都时刻反映着它的存在。
椭圆参数方程主要针对的是椭圆，它是圆形的一种变体。
椭圆参数方程的定义是：椭圆的一般方程是一阶参数方程，表示为：X = F(t)，其中F(t)是有界的函数，定义域为[-1,1]。
在传统的古迹建筑中，椭圆参数方程的运用更加明显，个别建筑如大里建筑，其建筑门楼屋顶便是典型的椭圆形状，这种几何状都采用椭圆参数方程作为几何形状学上的模型来定义。
此外，多环设计也可以通过椭圆参数方程构成，多环结构最优美的例子则是古希腊的卫城云梯，在这里则可以清晰看到椭圆参数方程的踪影。
除了古迹建筑外，现代建筑也广泛采用椭圆参数方程。
主流的现代建筑便有大量椭圆形状出现，这种风格更多的体现在材质的选择上。
椭圆的外观特点，夹带着优雅的柔美和略带奢华的气质，通过椭圆参数方程的描述而得以体现，让建筑外表更加生动有趣。
椭圆参数方程在建筑方面的运用独具一格，不仅让建筑外表更加具有现代主义的风格，也为古迹建筑注入活力，大大提升了整体的美学水准。
不论是现代的新式建筑还是传统的古迹建筑，椭圆参数方程所绘制的几何状都给其带去了美学和时尚的气息，椭圆形态也成为现代主义建筑风格中不可或缺的艺术元素。
椭圆的参数方程课件
利用复数推导椭圆的参数方程
总结词
深奥、抽象
详细描述
通过引入复数，利用复数的性质 推导椭圆的参数方程，这种方法 较为深奥、抽象，需要较高的数 学素养和理解能力。
05
椭圆的参数方程的扩展知 识
利用椭圆的参数方程研究圆
椭圆的参数方程与圆的参数方程之间的联系
通过椭圆的参数方程，可以推导出圆的参数方程，从而对圆进行更深入的研究。
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
• 将椭圆的参数方程转化为直角坐标方程，可以得 到以下形式
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
$$\begin{aligned} x = a\cos\theta \\
y = b\sin\theta
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
对应的直角坐标方程为
这个直角坐标方程描述了一个以$(a/2, b/2)$为圆心， $\sqrt{a^{2}/4 + b^{2}/4}$为半径的圆。
02
当t=0时，表示椭圆中心，当t在 实数范围内变化时，表示椭圆上 的点的横坐标在椭圆上移动。
椭圆的焦点与离心率
椭圆的焦点是指椭圆上与椭圆中 心距离相等的两个点，它们位于
椭圆的长轴上。
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭 圆中心的距离与椭圆长轴半径的
比值，用e表示。
当e增大时，椭圆变得更扁平； 当e减小时，椭圆变得更接近圆
\end{aligned}$$
$$(x - \frac{a}{2})^{2} + (y - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}$$
02
椭圆的参数方程的几何意 义参数t的几何意义 Nhomakorabea01
椭圆的参数方程例题
椭圆可以用参数方程来表示，其中参数方程的变量可以是角度或参数t。
以下是一个椭圆的参数方程的例子：
在这个参数方程中，a表示椭圆的横向半轴长度，b表示椭圆的纵向半轴长度。
参数t的范围通常是[0, 2π]，可以根据需要进行调整。
例如，如果a = 3，b = 2，则椭圆的参数方程为：
通过在不同的t值上计算x和y的对应值，可以得到椭圆上的一系列点。
这些点连接在一起就形成了椭圆的轮廓。
【例题】
当a = 4、b = 2时，椭圆的参数方程为：
在这个例子中，椭圆的横向半轴长度为4，纵向半轴长度为2。
我们可以选择在[0, 2π]范围内取一些t值，然后计算相应的x和y坐标。
例如，当t = 0时：
因此，椭圆上的一点是(4, 0)。
再例如，当t = π/4时：
因此，椭圆上的一点是(2√2, √2)。
通过类似的方式，可以选择其他t值，计算得到椭圆上的更多点，从而绘制出整个椭圆的轮廓。
椭圆参数方程的角度几何意义
椭圆参数方程的角度几何意义
椭圆是高中数学中的一个重要概念，在几何图形中也是一种经常出现的形状。
其参数方程为：
x = a*cosθ
y = b*sinθ
其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为角度。
从角度的角度来看，椭圆的参数方程可以帮助我们更好地理解椭圆的几何特征。
我们可以发现，θ的变化会影响椭圆上的点的位置。
当θ为0时，x 取到最大值a，y为0，此时点位于椭圆的右端点。
当θ为90°时，y取到最大值b，x为0，此时点位于椭圆的上端点。
当θ为180°时，x取到最小值-a，y为0，此时点位于椭圆的左端点。
当θ为270°时，y取到最小值-b，x为0，此时点位于椭圆的下端点。
因此，θ的变化可以帮助我们确定椭圆上的点的位置，进而确定椭圆的形状。
我们还可以通过θ来推导椭圆的性质。
例如，我们可以通过对θ的变化求导，得到椭圆上某一点的切线斜率。
具体地，对x和y分别求导，得到：
dy/dx = -(a/b)*cosθ/sinθ = -(a/b)*cotθ
因此，我们可以得到椭圆上任意一点处的切线斜率为-(a/b)*cotθ。
通过这个公式，我们可以推导出椭圆的离心率、焦点、直径等性质。
我们还可以从θ的角度来理解椭圆的旋转。
如果我们将θ加上一个常数k，就相当于将整个椭圆沿着中心点旋转了k度。
这可以帮助我们更好地理解椭圆的对称性和旋转对其形状的影响。
椭圆的参数方程在角度的角度下具有重要的几何意义。
通过对θ的变化和推导，我们可以更好地理解椭圆的形状和性质，帮助我们更好地解决与椭圆相关的问题。
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π
6， π6 －12gt2
(g
＝
9.8
m/s2)
(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．
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解 (1)令 y＝20tsin π6 －12gt2＝0，即 4.9t2－10t＝0.解得 t ＝0 或 t≈2. 所以炮弹从发射到落地所需时间约为 2 秒． (2)由 y＝10t－4.9t2， 得 y＝－4.9t2－14090t＝－4.9t－54092＋24590.
所以当 t＝5409时，ymax＝24590≈5.1. 所以炮弹在运动中达到的最大高度为 5.1 米．
4 ．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘 积是常数．
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证明 设d1为M点到渐近线y＝x的距离，d2为M点到渐近 线y＝－x的距离， 因为M点在双曲线x2－y2＝1上，则可设M点坐标为
(2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos θ， 3sin θ)，
线段 F1P 的中点坐标为(x，y)，
则 x＝2cos 2θ－1，y＝ 3sin2θ＋0， 所以 x＋12＝cos θ， 2y3＝sin θ.
消去 θ，得x＋122＋43y2＝1，这就是线段 F1P 的中点的轨迹 方程．
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2．已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的动弦 BC 平行于虚轴， M，N 是双曲线的左、右顶点，求直线 MB，CN 的交点 P 的轨迹方程．
解 设点 Bcosa φ，btan θ，则 Ccosa φ，－btan θ，
2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
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1. 椭圆的参数方程
(1)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为
x＝acos φ， __y_＝__b_s_in___φ__ (φ 为参数)，
参数的几何意义是以___a_为__半__径__所__作___圆__上__一__点__和__椭___圆__中__心_ _的__连__线___与__x_轴__正__半__轴___的__夹__角___．
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)设圆的参数方程为xy＝＝1co＋s sθin ，θ，
2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝ 5sin(θ＋φ)＋1，
∴－ 5＋1≤2x＋y≤ 5＋1.
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0. ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sinθ＋π4 －1，
参照求圆的参数方程
x＝（11－＋kk22）r，
(k
为参数)的方法，
y＝12＋krk2
给出椭圆另一种形式的参数方程(如图)．
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x2 y2 答 设椭圆的方程为a2＋b2＝1 其中 a＞b＞0，则点 A 的
坐标为(－a，0)，设 AP 的斜率为 k. 直线 AP 的方程为 y＝k(x＋a)
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ，3sin θ)，
则
d＝|12cos
θ－12sin
5
θ－24|
.
即 d＝12 2cosθ5＋π4 －24，
又 M(－a，0)，N(a，0)．
∴直线 MB 的方程为 y＝cobstaanφ＋θa(x＋a)
直线 CN 的方程为 y＝－cosbataφn－θa(x－a)．
将以上两式相乘，得点 P 的轨迹方程为xa22＋by22＝1.
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题型三 参数方程的应用
若曲线的参数方程xy＝＝22pptt2， (t 为参数)，由于xy＝1t ，因此 t
的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜 率的倒数．
【例3】 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h
＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目
标．
分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸
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【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解 决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更 简便．
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1．设 F1、F2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点． (1)若椭圆 C 上的点 A1，32到 F1、F2 距离之和等于 4，写 出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
φ， φ 中的参数
φ
是椭圆
上点 M 的离心角．
2．椭
圆
（x－m）2 a2
＋
（y－n）2 b2
＝
1
(a>b>0) 的 参 数 方 程 为
x＝m＋acos y＝n＋bsin
φ， φ (φ
为参数)．
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【例1】已知 A、B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的 普通方程．
弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目 标． 【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程， 选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问 题．利用抛物线的参数方程解决．
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3．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A 与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6 000米，炮弹 运行的最大高度为1 200米，求炮弹的发射角α和发射初速 度v0(重力加速度g＝9.8米/秒)．
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解 在以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴的直角坐标系中，弹道方
x＝v0tcos α， 程是y＝v0tsin α－12gt2(t 为参数)
它经过最高点(3 000，1 200)和点 B(6 000，0)的时间分别为 t0
3 000＝v0t0cos α， 和 2t0，代入参数方程得1 200＝v0t0sin α－12gt20，
y＝k（x＋a），
由xa22＋yb22＝1，
可得直线 AP 与椭圆的交点的横坐
标，x1＝－a，x2＝abb22＋－aa23kk22.
直线 AP 与椭圆交点的纵坐标为 y1＝0，y2＝b22＋aba22kk2
x＝v0t， y＝588－12gt2
(g＝9.8 m/s2)，即xy＝＝518580－t，4.9t2，
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这是炸弹飞行曲线的参数方程． (2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0， 即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此得 x0＝150×2 30＝300 30≈1 643 (m)．
1 cos
α，tan
α
.d1
＝
1 cos
α－tan
α
2
，
d2
＝
1 cos
α＋tan
α，
2
d1·d2＝cos12α－2 tan2α＝12，
故 d1 与 d2 的乘积是常数．
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[P36 思考交流]
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方 程． 解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2.
又点 A1，32在椭圆上，
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因此14＋32b22＝1，得 b2＝3， 于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1， 焦点坐标为 F1(－1，0)，F2(1，0)．
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题型二 双曲线的参数方程
与椭圆类似，双曲线的参数方程x＝cosa φ， (φ 为参数)中 y＝btan φ
φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角． 【例2】直线 AB 过双曲线xa22－by22＝1 的中心 O，与双曲线交于
A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA， PB 的斜率的乘积为定值．
(2)中心在
C(x0，y0)的椭圆的参数方程是xy＝＝yx00＋＋bascions
φ， φ
(φ 为参数)．
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2．双曲线的参数方程 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参数方程
x＝cosa φ (φ 为参数) 为___y＝ ___b_ta_n___φ_________ ，规定 φ 的取值范围为 φ__∈__[_0_，__2_π__)_且_____φ_≠__π2__，__φ_≠__32_π____．