圆系方程及其应用.doc

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高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八圆系方程及其应用含解析

圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。

圆系方程-高中数学知识点讲解

圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
1/ 1。

圆的标准方程式

圆的标准方程式圆是平面几何中的重要图形之一，其标准方程式是描述圆的一种数学表达方式。

通过圆的标准方程式，我们可以清晰地了解圆的性质和特点，进而在数学问题中灵活运用。

本文将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识点。

首先，我们来看圆的定义，圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。

在平面直角坐标系中，圆可以由一个定点为圆心、一个正数为半径来描述。

根据这一定义，我们可以得出圆的标准方程式。

圆的标准方程式为，(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

这个方程式的推导可以通过圆的定义和距离公式得出，具体推导过程略。

通过圆的标准方程式，我们可以得出一些重要结论：1. 圆的半径为正数，表示圆的大小；2. 圆心坐标(a, b)表示圆的位置；3. 圆心到圆上任意一点的距离都等于半径r。

在实际问题中，我们可以利用圆的标准方程式来解决一些几何和代数问题。

例如，给定圆心和半径，我们可以方便地求出圆上任意一点的坐标；或者给定圆上的某点，可以判断该点是否在圆内或者在圆上。

除了标准方程式外，圆还有其他几种常见的方程式，如一般方程式和参数方程式。

这些方程式在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，需要根据具体情况进行选择和运用。

总之，圆的标准方程式是描述圆的重要数学工具，通过它我们可以清晰地了解圆的性质和特点，解决各种数学问题。

在学习和应用过程中，我们需要深入理解圆的定义和相关知识，灵活运用圆的标准方程式，不断提高数学素养和解决问题的能力。

希望本文对圆的标准方程式有所帮助，让我们共同努力，探索数学的奥秘，提高数学应用能力。

过两点的圆系方程推导

过两点的圆系方程推导
摘要：
一、过两点的圆系方程概述
二、构造法推导过两圆交点的圆系方程
三、圆系方程的应用
正文：
【一】过两点的圆系方程概述
过两点的圆系方程，是一种数学工具，用于描述过两个已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的所有圆。

这个方程可以表示为：(x1*x2)*(y1*y2)[(x1*y2 -
x2*y1)^2] / (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2)。

【二】构造法推导过两圆交点的圆系方程
1.设圆A的方程为x^2 + y^2 - x1^2 - y1^2 + 2gx1 + 2fy1 = 0，圆B 的方程为x^2 + y^2 - x2^2 - y2^2 + 2gx2 + 2fy2 = 0。

2.求出两个圆的公共弦方程，即(x1^2 - x2^2) + (y1^2 - y2^2) - 2g(x1 - x2) - 2f(y1 - y2) = 0。

3.新构造一个圆，其方程为x^2 + y^2 - 2gx - 2fy + (x1^2 + y1^2) * (x2^2 + y2^2) / [(x1 * x2) + (y1 * y2)] = 0。

4.此新构造的圆方程即为过两圆交点的圆系方程。

【三】圆系方程的应用
1.过两已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的圆系方程可以用于描述这两个点确定的圆系，特别是在处理与圆有关的问题时，如圆的切线、法线等。

2.在几何问题中，圆系方程可以帮助我们理解两个相交圆的性质，如交点、公共弦等。

3.圆系方程也可以用于解决一些实际问题，如在物理中，描述物体在圆周运动时的轨迹等。

圆周运动轨迹方程及其应用

圆周运动轨迹方程及其应用圆周运动是一种最基本的运动方式之一，它的轨迹是一个圆形。

许多物理学和工程学领域都会涉及到圆周运动，而这些领域都需要对圆周运动的轨迹方程及其应用有深入的认识。

一、圆周运动的基本概念圆周运动指的是物体在圆形轨道上做匀速直线运动的一种运动方式。

在圆周运动中，物体的位移、速度和加速度都发生了变化。

位移是指物体从初始位置到终止位置所经过的路程，它可以用一个矢量表示。

速度是指物体在单位时间内沿着轨道移动的路程，它也可以用一个矢量表示。

加速度是指物体在单位时间内速度的变化率，它可以用一个矢量表示。

二、圆周运动轨迹方程的推导对于一个半径为r的圆，在圆心处建立坐标系，可以推导出圆周运动的轨迹方程。

假设物体在运动过程中沿圆周方向与x轴正半轴之间的夹角为θ，则物体的位置可以表示为：x=r*cosθy=r*sinθ上式就是圆周运动的轨迹方程。

这个方程非常重要，因为它可以描述物体在圆周运动中的位置。

三、圆周运动的速度与加速度由于圆周运动的轨迹是一个圆形，所以物体的速度和加速度也会随着位置的变化而变化。

速度可以用位移与时间的比值来计算，即V=dS/dt。

对于圆周运动，物体在任意位置的速度大小都是相同的，因为它的速度是一个常量。

加速度可以用速度与时间的比值来计算，即A=dV/dt。

对于圆周运动，物体在圆形轨道上的加速度是一个向心加速度，它的大小可以用下式计算：a=v^2/r上式中，v代表速度大小，r代表圆形轨道的半径。

向心加速度的方向指向圆心，所以它也被称为离心加速度。

四、圆周运动的应用圆周运动的轨迹方程和速度、加速度的计算公式在许多领域中都有广泛的应用。

在物理学中，圆周运动常常涉及到匀速转动和重力运动等问题。

物理学家可以通过对圆周运动的分析来解决这些问题。

在工程学中，圆周运动常常涉及到机器人的运动轨迹控制、磁盘驱动器的设计等。

工程师可以通过对圆周运动的轨迹方程和速度、加速度的计算公式的应用来解决这些问题。

圆系方程知识点总结

圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。

根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。

在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。

1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。

它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。

通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。

2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。

它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。

通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。

3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。

它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。

通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。

4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。

通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。

除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。

这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。

在数学中，圆系方程有着重要的应用。

例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。

圆系方程及其应用

圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。

圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。

本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。

我们来了解一下常见的圆系方程。

在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。

其中最常见的是标准方程和一般方程。

标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。

标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。

通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。

一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。

一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。

在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。

首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。

例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。

圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。

圆系方程在物理学中也有重要的应用。

例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。

当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。

通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。

圆系方程还在工程领域得到广泛应用。

例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。

通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。

在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。

圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

解析几何专题2圆的方程及应用

《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。

+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。

+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。

-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。

圆的轨迹方程

圆的轨迹方程引言圆是数学中一种重要的几何形状，它具有许多特性和性质。

其中之一就是圆的轨迹方程，它描述了圆上所有点的集合。

在本文中，我们将深入探讨圆的轨迹方程，并介绍如何推导和使用它。

圆的定义在开始讲解圆的轨迹方程之前，我们先回顾一下圆的定义。

圆是由平面上离一个给定点距离相等的所有点组成的集合。

这个给定点称为圆心，距离称为半径。

圆通常用大写字母表示，如圆O。

圆的特性在探讨圆的轨迹方程之前，让我们先来了解一些圆的特性。

1.圆上的所有点到圆心的距离都相等。

2.圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的一条线段。

3.圆的半径垂直于它所在的切线。

圆的轨迹方程圆的轨迹方程描述了圆上所有点的集合。

这个方程可以用来表示圆的位置和形状。

标准圆的轨迹方程我们首先介绍标准圆的轨迹方程。

标准圆是以坐标系的原点作为圆心，并且半径为正数的圆。

设一个点P(x, y)在标准圆上，则点P到圆心的距离等于半径r：根据勾股定理，在曲线上任意一点的坐标(x, y)上满足：将圆心坐标代入上式，得到：简化上式，得到标准圆的轨迹方程：其中，(x - h) 和 (y - k) 分别表示点P与圆心的横坐标和纵坐标的差值。

一般圆的轨迹方程除了标准圆，我们还可以推导一般圆的轨迹方程。

一般圆的圆心可以位于任意点，半径也可以为任意值。

设一个点P(x, y)在一般圆上，圆心为C(h, k)，半径为r。

根据圆的定义，我们有：将两边平方，并将圆心坐标代入，得到一般圆的轨迹方程：或者可以简化为：一般圆的轨迹方程由(x - h)²和(y - k)²项以及常数项r²组成。

圆的性质和应用圆的轨迹方程为我们提供了许多求解圆的性质和应用的方法。

1.圆的位置和形状可以通过圆的轨迹方程得到。

2.我们可以使用圆的轨迹方程求解圆与其他几何图形（如直线、抛物线等）的交点。

3.圆的轨迹方程也可以用于绘制圆的图形。

总结本文介绍了圆的轨迹方程及其推导过程。

我们了解了标准圆和一般圆的轨迹方程，并探讨了圆的性质和应用。

16高中数学：圆的标准方程全解析

高中数学：圆的标准方程全解析一、引言圆是平面几何中最基本、最重要的图形之一。

在数学中，我们常用圆的标准方程来描述一个圆。

掌握圆的标准方程及其性质，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

本文将详细解析高中数学中圆的标准方程的知识点，帮助学生更好地掌握这一内容。

二、基本概念与性质1.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2。

这个方程反映了圆上任意一点到圆心的距离等于半径的几何性质。

2.圆心与半径：在圆的标准方程中，点O(a,b)称为圆心，r称为半径。

圆心是圆的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

3.圆的性质：圆具有许多重要的性质，如圆的任意两点间的距离小于等于直径、圆的切线垂直于半径等。

这些性质在解决与圆相关的问题时非常有用。

三、求解与圆相关的问题1.求解圆的方程：给定圆的圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程。

例如，以(2,3)为圆心，4为半径的圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=16。

2.判断点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，可以判断点是否在圆内、圆上或圆外。

若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若等于半径，则点在圆上；若大于半径，则点在圆外。

3.求解与圆相关的最值问题：利用圆的性质，可以求解一些与圆相关的最值问题。

例如，求解点到圆的最近距离、最远距离等。

4.求解与圆相交的直线方程：当直线与圆相交时，可以通过联立直线和圆的方程求解交点坐标。

若直线方程为Ax+By+C=0，则联立方程组{Ax+By+C=0(x−a)2+(y−b)2=r2可求得交点坐标。

四、应用举例1.几何问题中的应用：在解决一些几何问题时，需要利用圆的标准方程及其性质。

例如，在求解两圆的公切线、内切圆等问题时，可以通过分析两个圆的方程和性质找到解决方法。

2.实际问题中的应用：在实际生活中，圆的标准方程也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用圆的标准方程来确定建筑物的圆形结构的尺寸和位置；在物理学中，可以利用圆的标准方程来描述物体的运动轨迹等。

过两点的圆系方程推导

过两点的圆系方程推导（原创实用版）目录1.圆系方程的概念2.过两点的圆系方程的推导过程3.应用示例正文一、圆系方程的概念圆系方程是指描述两个或多个圆之间关系的数学方程。

在解析几何中，圆系方程是一个重要的研究对象，它可以帮助我们更好地理解和解决圆与圆的位置关系问题。

二、过两点的圆系方程的推导过程假设在平面直角坐标系中，已知两个圆的方程分别为：(x - a1)^2 + (y - b1)^2 = r1^2 和 (x - a2)^2 + (y - b2)^2 = r2^2。

现在我们需要推导一个过这两圆公共点的圆系方程。

1.假设这两个圆有一个公共点 P(x0, y0)，那么可以得到以下两个方程：(x0 - a1)^2 + (y0 - b1)^2 = r1^2(x0 - a2)^2 + (y0 - b2)^2 = r2^22.对上述两个方程进行整理，可以得到：(x0 - a1)^2 = r1^2 - (y0 - b1)^2(x0 - a2)^2 = r2^2 - (y0 - b2)^23.将上述两个方程相减，得到：(a1 - a2)(x0 - a1) - (b1 - b2)(y0 - b1) = r1^2 - r2^24.将上式整理为一般式的圆系方程：(x - a1)(x - a2) + (y - b1)(y - b2) = r1^2 - r2^2三、应用示例假设有两个圆，圆心分别为 A(1, 2) 和 B(3, 4)，半径分别为 1 和2。

我们可以通过上述推导过程得到过这两圆公共点的圆系方程：(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 1 - 4(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = -3这就是过两点的圆系方程的推导过程和应用示例。

圆系方程及其应用

圆系方程及其应用圆系方程是描述平面上所有圆的方程。

圆是由与固定点之间的距离保持不变的所有点组成的集合。

圆系方程可以用来解决各种几何问题，如确定圆的位置、分析圆与其他几何图形的关系等。

一、圆的方程1.标准方程圆的标准方程是以中心坐标和半径为变量的方程，形式如下：(x-h)^2+(y-k)^2=r^2其中，圆心坐标为(h,k)，半径为r。

2.参数方程圆的参数方程是以圆周上的点的坐标为变量的方程，形式如下：x = h + r*cosθy = k + r*sinθ其中，θ是圆周上的一个参数，范围为0到2π。

3.一般方程圆的一般方程形如：Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0其中，A、B、C、D是常数，圆心坐标可以通过一般方程中B、C的系数求出。

二、圆系方程的应用1.圆的位置通过圆系方程可以判断圆的位置。

当一般方程中的B和C的系数为零时，圆位于x轴或y轴上；当A和D的系数为零时，圆位于原点；当一般方程中B和C的系数不为零时，可以通过圆心坐标(-B/2A,-C/2A)来确定圆的位置。

2.圆与直线的关系通过圆系方程可以分析圆与直线的关系。

当圆的一般方程与直线的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与直线相切或相离。

3.圆与圆的关系通过圆系方程可以分析圆与圆的关系。

当两个圆的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与圆相切或相离。

4.圆的切线通过圆系方程可以确定圆的切线。

给定圆(y-k)^2=r^2和一直线Ax+By+C=0，可以通过求解联立方程确定圆上的一个点，然后通过推导求出该点处的切线方程。

以上是圆系方程及其应用的简要介绍。

圆系方程不仅可以帮助我们确定圆的位置和分析圆与其他几何图形的关系，还可以应用于解决实际问题，如地图上两个位置之间最短距离、圆形物体的表面积和体积等。

掌握圆系方程的应用技巧，对于解决几何问题与实际应用将大有裨益。

直线系、圆系方程

直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习：过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 3、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =，将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。

圆系方程

2 2 2 2
圆的方程：
1
4 1 整理得x y x 0 1 1
2 2
2 2 4 1 2 配方得(x ) y 2 1 (1 ) 圆与直线 3 y 0相切，
2
2 1 3 0 6 4 2 1 2 (1 ) 1 3 8 化简得11 +8=0 =11
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
练习：
1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的圆方程。
2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的圆方程。
例5：求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
解法二：设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0
2 1 由圆心( , )代入2 x 4 y 1 1 1 1 3

最全面的圆的方程

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

圆系方程在解析几何中的应用(

圆系方程在解析几何中的应用通常已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0。

若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：D1−D2x+E1−E2y+(F1−F2)= 0而有些问题，已知圆的方程和公共弦的方程，求另一个圆的方程。

若已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0，公共弦所在的直线方程为：Ax+By+C=0则可设圆C2的方程为：: x2+y2+Am+D1x+Bm+E1y+Cm+F1=0 ,然后根据题目的其他条件求出其中的参数m即可。

例1、已知圆C:x2+y2+x−6y+m=0 和直线l：x + 2y – 3 = 0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径。

解：由OP⊥OQ ,知：直线l是圆C和以PQ为直径的圆A的公共弦。

设所求圆A的方程是：x2+y2+1+k x+2k−6y+m−3k=0，圆心是A（−k+12 ,3−k），得：(−k+12)+2(3−k)-3=0又由圆A过原点，得：m=3k 解之得：k=1，m=3故所求圆C的圆心为（-12，3），半径为52例2、已知圆，是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由。

解：设直线l的方程为：x-y+m=0，依题意，以AB为直径的圆Q的方程可设为：x2+y2+k−2x+4−k y+km−4=0，则圆心Q(2−K2 ,K−42)满足l的方程，得：k ·2−k2–k·k−42+km =0 （1）由圆Q过原点，得：km – 4 =0 （2）解之得：k=4，m=1 或k=-1 m=-4故所求的直线l的方程为：x – y + 1 = 0 或x – y – 4 = 0练习：已知圆O：x2+y2=4，过P(0,4)做直线l交圆O与A、B两点，若以AB为直径的圆M过Q(2,0)，求l的方程及圆M的方程。

解：设直线l的方程为：x=0 或kx-y+4=0（1）当直线l的方程为：x=0 时，经检验，符合要求。

圆系方程的应用及要点

1. 引子题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程. 常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得得代入即),1(,47x y = .137134;003134,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x 4y=0. (4)观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么2. 曲线系方程由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).此结论即由联立方程⎩⎨⎧==)6(0),()5(0),(21y x f y x f 得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ 只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。

有了这个结论，有些题目可快速求解。

过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。

例 2 (课本题) 求经过两圆x 2+y 2+6x 4=0和x 2+y 2+6y 28=0的交点,并且圆心在直线x y 4=0上的圆的方程.解: 构造方程 x 2+y 2+6x 4+λ(x 2+y 2+6y 28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy (4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x y4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2x+7y 32=0例3：（题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。

圆的解析式及应用

圆的解析式及应用圆是平面几何中最基本的几何图形之一，其解析式和应用广泛存在于数学和实际问题中。

下面我将详细介绍圆的解析式及其应用。

圆的解析式：在平面直角坐标系中，圆可以用解析式表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a,b)是圆心坐标，r是半径。

应用1：图形的描述圆的解析式可以描述空间中的一个圆，通过确定圆心和半径，我们可以唯一确定一个圆。

这在制图、空间坐标定位等方面具有重要作用。

应用2：方程的求解在代数方程的求解中，圆的解析式可以用来表达方程的解集。

例如，对于方程组：(x-a)²+ (y-b)²= r²(x-p)²+ (y-q)²= s²其中(a,b)和(p,q)是已知点，r和s是已知半径，我们可以通过求解这个方程组得到同时满足两个圆的交点。

应用3：曲线的绘制根据圆的解析式，我们可以绘制出各种圆形曲线。

例如，当圆心是坐标原点(0,0)时，圆的解析式可以简化为：x²+ y²= r²这是一个以原点为中心、半径为r的圆形曲线。

在计算机图形学和数据可视化等领域，我们可以利用圆的解析式绘制出各种样式的圆形曲线。

应用4：几何推理圆的解析式在几何推理中也有重要应用。

通过对圆的解析式进行运算和推导，我们可以得出圆的性质和定理，如切线定理、弦长公式等。

这些定理在解决几何问题和证明几何命题时起到了关键作用。

应用5：物理学中的应用在物理学中，圆的解析式也有广泛应用。

例如，在力学中，通过圆的运动方程可以描述物体做圆周运动的轨迹和受力情况。

在电磁学中，圆的解析式可以用来表达和分析磁场的分布和变化。

在声学中，圆的解析式可以用来描述声波的传播和反射。

总结：圆的解析式以及其应用广泛存在于数学和实际问题中，不仅可以描述图形和方程，还可以用于曲线绘制、几何推理和物理学等领域。

通过深入理解圆的解析式及其应用，我们可以更好地理解和应用数学知识，并在解决实际问题中发挥作用。

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