数学必修二综合测试题(含答案)

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(人教版B版)高中数学必修第二册 第五章综合测试试卷01及答案

(人教版B版)高中数学必修第二册 第五章综合测试试卷01及答案

第五章综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图是容量为100的样本数据质量的频率分布直方图,已知样本质量均在[5,20]内,其分组为[5,10),[10,15),[15,20],则样本质量落在[15,20]内的频数为()A.10B.20C.30D.402.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对4.根据某跑步团体每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据绘制了如图所示的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳5.在掷一个骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一U发生的概率为()次试验中,事件A BA .13B .12C .23D .566.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条,根据这几年的经验知道,鱼苗的成活率为95%,一段时间后准备打捞出售,第一网捞出40条,称得平均每条鱼2.5 kg ,第二网捞出25条,称得平均每条鱼2.2 kg ,第三网捞出35条,称得平均每条鱼2.8 kg ,估计这时鱼塘中鱼的总质量为( )A .192 280 kgB .202 280 kgC .182 280 kgD .172 280 kg7.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论:①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数;②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数;③从最近五场比赛的得分看,乙比甲更稳定;④从最近五场比赛的得分看,甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为()A .①③B .①④C .②③D .②④8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A .100,10B .100,20C .200,10D .200,209.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为23,34,25,那么三人中恰有两人合格的概率是( )A .25B .715C .1130D .1610.如图所示,小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为A X 和B X ,方差分别为2A s 和2B s ,则()A .AB X X <,22A B s s >B .A B X X <,22A Bs s <C .A B X X >,22A B s s >D .A B X X >,22A Bs s <11.袋子中有四个小球,分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到时停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232321230023123021132220001231131133231031320122130233由此可以估计,恰好第三次停止的概率为( )A .19B .318C .29D .51812.有能力互异的3人应聘同一公司,他们按照报名顺序依次接受面试,经理决定“不录用第一个接受面试的人,如果第二个接受面试的人比第一个人能力强,就录用第二个人,否则就录用第三个人”,记该公司录用到能力最强的人的概率为p ,录用到能力中等的人的概率为q ,则(),p q =()A .11,66æöç÷èøB .11,26æöç÷èøC .11,24æöç÷èøD .11,23æöç÷èø二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11: 8: 6,从中抽取200名职员作为样本,则应抽取青年职员的人数为__________.14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.15.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨),估计x 的值为__________.16.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为1白1黑的概率等于__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.[10分]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示.(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ,2x ,估计12x x -的值.18.[12分]为了调查某市市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图,其中4a b =.(1)求a,b的值;(2)求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数;(3)若按照分层抽样从[50,60),[60,70)中随机抽取8人,应如何抽取?19.[12分]某地区有小学21所,中学14所,大学7所。

人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案

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第八章综合测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若m ∥α,n ∥α,则m n ∥ B.若⊥αγ,⊥βγ,则∥αβ C.若m ∥α,m ⊥β,则⊥αβD.若m ∥α,⊥αβ,则m ⊥β2.如图,O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图,6A O =′′,2B O =′′,则OAB △的面积是( )A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边,PA ABC ⊥平面,PD BC D ⊥于点,则图8-7-37中直角三角形的个数是( )A.8B.7C.6D.54.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点M ,N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点,则下列结论正确的是( )A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1,多面体的表面积为18,则此多面体的体积为( ) A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB AC ==,16BB BC ==,E ,F 为侧棱1AA 上的两点,且3EF =,则多面体11BB C CEF 的体积为( ) A.30 B.18 C.15D.127.如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点,则蚂蚁爬行的最短距离是( )B.1D.2+8.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且12EF =,则下列结论中错误的是( )A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AD AA =,则下列结论中不正确的是( )A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点,使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点,使得平面10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12AB AA AD ==,E 是1DD 的中点,114BF C K AB ==,设过点E ,F ,K 的平面与平面ABCD 的交线为l ,则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上) 11.如图所示,正方形ABCD 的边长为a ,沿对角线AC 将ADC △折起,若°60DAB ∠=,则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中,AB =,SA =,E ,F 分别为AC ,SB 的中点.平面α过点A ,SBC ∥平面α,ABC l α= 平面,则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图,一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4,高为3,若在中间竖直钻一个圆柱形孔后,其表面积没有变化,则孔的半径为________.14.如图8-7-46,直角梯形ABCD 中,°90DAB ∠=,AB CD ∥,CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==,°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周,则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.[12分]如图所示,一个圆锥形的空杯子(只考虑杯身部分)上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形冰淇淋的直径,杯壁厚度忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计才能使其所用材料面积最小?并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中,E ,H 分别是线段AB ,AD 的中点,F ,G 分别是线段CB ,CD 上的点,且12CF CG BF DG ==.求证: (1)四边形EFGH 是梯形;(2)AC ,EF ,GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中,EF AEB ⊥平面,AE EB ⊥,AD EF ∥,EF BC ∥,24BC AD ==,3EF =,2AE BE ==,G 是BC 的中点。

人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)

人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)

人教版高中数学必修第二册第九章~第十章综合测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.现要完成下列两项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是()A.①抽签法,②比例分配的分层随机抽样B.①随机数法,②比例分配的分层随机抽样C.①随机数法,②抽签法D.①抽签法,②随机数法2.若A,B为对立事件,则下列式子中成立的是()A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=0D.P(A)+P(B)=13.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.2B.0.35C.0.3D.0.44.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位:千克)作了测量,并根据所得数据画出了频率分布直方图如图C6-1所示,则这30只宠物狗体重的平均值大约为()图C6-1A.15.5千克B.15.6千克C.15.7千克D.16千克5.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是()A.90分B.91.5分C.91分D.90.5分6.一组样本数据a,3,4,5,6的平均数是b,且不等式x2-6x+c<0的解集为(a,b),则这组样本数据的标准差是()A.1B.2C.3D.27.我国历史上有田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,双方各随机选1匹马进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为()A.23B.13C.12D.568.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例数量不超过7”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体的平均数为3,中位数为4B.乙地:总体的平均数为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体的平均数为2,总体方差为3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.给出下列四个说法,其中正确的说法有()A.做100次抛硬币的试验,结果有51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图C6-2所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则下列说法中正确的是()图C6-2A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分11.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了20名肥胖者健身前(如直方图C6-3(1)所示)后(如直方图(2)所示)的体重(单位:kg)变化情况:图C6-3对比数据,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是()A.健身后,体重在区间[90,100)内的人数较健身前增加了2B.健身后,体重原在区间[100,110)内的人员一定无变化C.健身后,20人的平均体重大约减少了8kgD.健身后,原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)跟踪调查的结果如下:甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:3,3,4,7,9,10,11,12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别采用了平均数、众数、中位数中的哪一个特征数:甲:,乙:.14.如图C6-4是容量为100的样本数据的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为.图C6-415.已知甲、乙、丙3名运动员射击一次击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,若这3人向目标各射击一次,则目标没有被击中的概率为.16.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则这两人“心有灵犀”的概率为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数012345概率0.10.16x y0.2z(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,获奖人数最少为3的概率为0.44,求y,z的值.18.(12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6个零件测量其直径,所得数据如下.甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.19.(12分)某校高一年级举行了一次数学竞赛,为了了解参加本次竞赛的学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(取正整数,单位:分)作为样本(样本量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图C6-5所示,已知成绩在[50,60),[90,100]内的频数分别为8,2.(1)求样本量n和频率分布直方图中的x,y的值;(2)估计参加本次竞赛的学生成绩的众数、中位数、平均数.图C6-520.(12分)生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.21.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图C6-6所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率的大小,并说明理由.图C6-622.(12分)2020年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分).根据调查数据制成如下表格和如图C6-7所示的频率分布直方图.已知评分在[80,100]内的居民有600人.满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及参与评分的总人数.(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100,若η<0.8,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要进行大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整.(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在[40,50),[50,60)内)中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6位居民,倾听他们的意见,并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员,求这2人中仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.图C6-7参考答案与解析1.A[解析]①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A.2.D[解析]若事件A与事件B是对立事件,则P(A)+P(B)=1.故选D.3.B[解析]∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.4.B[解析]由频率分布直方图可以计算出各组的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,故各组的频数分别为3,6,9,6,3,3,则这30只宠物狗体重的平均值为11×3+13×6+15×9+17×6+19×3+21×330=15.6(千克),故选B.5.D[解析]将这15人的成绩(单位:分)由小到大依次排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,第12,13个数据分别为90分、91分,所以这15人成绩的第80百分位数是90.5分.故选D.6.B[解析]由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=6,解得a=2,b=4,所以样本数据的方差s2=15×[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,所以标准差s=2.故答案为B.7.A[解析]依题意,记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.由题意可知,样本空间Ω={aA,bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC},共有9个样本点,其中事件“田忌可以获胜”包含的样本点为aB,aC,bC,共3个,则齐王的马获胜的概率P=1-39=23.故选A.8.D[解析]由于甲地总体数据的平均数为3,中位数为4,即按从小到大排序后,中间两个数据的平均数为4,因此后面的数据可以大于7,故甲地不一定符合.乙地总体数据的平均数为1,因此这10天的新增疑似病例总数为10,又由于方差大于0,故这10天中新增疑似病例数量不可能每天都是1,可以有一天大于7,故乙地不一定符合.丙地总体数据的中位数为2,众数为3,故数据中可以出现8,故丙地不一定符合.丁地总体数据的平均数为2,方差为3,故丁地一定符合.9.CD[解析]对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B 错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选CD.10.ABC [解析]由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,考生人数最多,故A 正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,则不及格的考生人数为4000×0.25=1000,故B 正确;由频率分布直方图可得,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C 正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D 错误.故选ABC .11.AD[解析]体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2人,故A 正确;健身后,体重在区间[100,110)内的频率没有变,但人员组成可能改变,故B 错误;健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115)-(0.1×85+0.4×95+0.5×105)=5(kg),故C 错误;因为图(2)中没有体重在区间(110,120]内的人员,所以原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少,故D 正确.故选AD .12.ACD[解析]设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立;在A 中,“2个球都是红球”为事件A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,“2个球中至少有1个红球”的概率为1-P ( )P ( )=1-23×12=23,C 正确;在D 中,2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.众数中位数[解析]对甲厂的数据进行分析:该组数据中8年出现的次数最多,故广告中采用了众数;对乙厂的数据进行分析:该组数据最中间的是7年与9年,故中位数是7+92=8(年),故广告中采用了中位数.14.80[解析]由题图知,样本数据落在区间[6,18)内的频数为100×0.8=80.15.0.009[解析]由相互独立事件的概率计算公式知,3人向目标各射击一次,目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.16.725[解析]从{0,1,2,…,9}中任意取两个数(可重复),该试验共有100个样本点,事件“|a-b|≤1”包含的样本点为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共有28个,所以所求概率P=28100=725.17.解:记事件“在竞赛中,有k 人获奖”为A k (k ∈N,k ≤5),则事件A k 彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,∴P (A 0)+P (A 1)+P (A 2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P (A 5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.18.解:(1)由题中数据可得 甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100(cm); 乙=16×(99+100+102+99+100+100)=100(cm).甲2=16×(1+0+4+0+0+9)=73, 乙2=16×(1+0+4+1+0+0)=1.(2)由(1)知两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 甲2> 乙2,所以乙机床加工零件的质量更稳定.19.解:(1)由题意可知,样本量n=80.016×10=50,y=250×10=0.004,x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03.(2)由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的众数为75分.设样本数据的中位数为m ,因为(0.016+0.03)×10<0.5<(0.016+0.03+0.04)×10,所以m ∈[70,80),所以(0.016+0.03)×10+(m-70)×0.04=0.5,解得m=71,故估计参加本次竞赛的学生成绩的中位数为71分.由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的平均数为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分).20.解:记从甲、乙机床生产的产品中取1件是废品分别为事件A ,B ,则事件A ,B 相互独立,且P (A )=0.04,P (B )=0.05.(1)设“至少有1件废品”为事件C ,则P (C )=1-P ( )=1-P ( )P ( )=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D ,则P (D )=P (A )+P ( B )=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.21.解:(1)试验的所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),( 4,3),(4,4),共16个.事件“xy≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以小亮获得玩具的概率为516.(2)事件“xy≥8”包含的样本点有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个,所以小亮获得水杯的概率为38,小亮获得饮料的概率为1-516-38=516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.22.解:(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,即10×(0.075+a)=1,解得a=0.025,设共有n人参与评分,则600 =(0.035+0.025)×10,解得n=1000,即参与评分的总人数为1000.(2)由频率分布直方图知各组的频率分别为0.02,0.04,0.14,0.2,0.35,0.25,所以η=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25100=0.807>0.8,所以该区防疫工作不需要进行大调整.(3)因为0.002×10×1000=20,0.004×10×1000=40,所以评分在[40,50),[50,60)内的居民人数分别为20,40,所以所抽取的评分在[40,50)内的居民人数为20×660=2,将这2人分别记为a,b,所抽取的评分在[50,60)内的居民人数为40×660=4,将这4人分别记为A,B,C,D.从这6人中抽取2人,试验的样本点有ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15个.而“仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内”包含的样本点有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8个,则所求事件的概率为815.。

数学必修二第二章经典测试题(含标准答案)

数学必修二第二章经典测试题(含标准答案)

必修二第二章综合检测题一、选择题1 .假设直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是〔〕A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2 .平行六面体ABCD —A i B i C i D i中,既与AB共面也与Cg共面的棱的条数为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 63 .平面口和直线1,那么%内至少有一条直线与1〔〕A.平行B.相交C.垂直D.异面4 .长方体ABCD —A i B i C i D i中,异面直线AB, A i D i所成的角等于〔〕A. 30B. 45C. 60D. 905 .对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面 &使得〔〕A. a? % b? oB. a? % b II aC. aX a, bX oD. a? & bl. a6 .下面四个命题:其中真命题的个数为〔〕①假设直线a, b异面,b, c异面,那么a, c异面;②假设直线a, b相交,b, c相交,那么a, c相交;③假设a//b,那么a, b与c所成的角相等;④假设a±b, b±c,贝U a〃 c.A. 4B. 3C. 2D. i7 .在正方体ABCD —A i B i C i D i中,E, F分别是线段A i B i, B i C i 上的不与端点重合的动点,如果A i E=B i F,有下面四个结论:①EFLAAi;②EF//AC;③EF 与AC 异面;④ EF//平面ABCD.其中一定正确的有〔〕A.①②B.②③C.②④D.①④8 .设a, b为两条不重合的直线,%〔3为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是〔〕A.假设a, b与x所成的角相等,那么a // b9 .假设a// & b // & & 那么a // bC.假设a? & b? & a// b,贝U all BD.假设a,& b,& 3,& 贝U a,b10 平面n平面向%n B=1,点AS & A?1,直线AB//1, 直线AC±1,直线m// & n// &那么以下四种位置关系中,不一定成立的是〔〕A. AB//mB. ACXmC. AB// pD. AC± p11 .正方体ABCD —A i B i C i D i中,E、F分别为BB n CC i的中点,那么直线AE与D i F所成角的余弦值为〔〕•4- 3- 3rA・-5B -5C-4D-11 .三棱锥D —ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC = ,3, BC=2,那么以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为〔_ 〕A.坐B.3C. 0D. -212 .如下图,点P在正方形ABCD所在平面外,PA,平面ABCD, PA=AB,那么PB与AC所成的角是〔〕二、填空题三、i3.以下图形可用符号表示为 .14 .正方体ABCD —A i B i C i D i中,二面角Ci—AB—C的平面角等于.15 .设平面%//平面& A, C6 & B, D6 &直线AB与CD交于点S,且点S位于平面 & B之间,AS= 8, BS= 6, CS= i2,那么SD16 .将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:① ACLBD;②4ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60 .其中正确结论的序号是.三、解做题(解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤)17 .如以下图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ ABC与AA i B i C i都为正三角形且AAJ面ABC, F、F1分别是AC, A1C1的中点.AiAH求证:(1)平面AB1F1 //平面GBF; (2)平面AB1F1,平面ACC1A118 .如下图,在四棱锥P —ABCD中,PA,平面ABCD, AB =19 BC=3, AD=5, /DAB=/ABC= 90 , E 是CD 的中点.(1)证实:CD,平面FAE;(2)假设直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P —ABCD的体积.19 .如下图,边长为2的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC = 2也 M为BC的中点.P(1)证实:AMXPM;(2)求二面角P —AM —D的大小.20 .如图,棱柱ABC —A i B i C i的侧面BCC i B i是菱形,B5A i B.(1)证实:平面ABC平面A i BC i;⑵设D是A i C i上的点,且A i B//平面B i CD,求A i D DC i的值.21 .如图,z\ABC中,AC=BC = *AB, ABED是边长为1的正方形, 平面ABED,底面ABC,假设G, F分别是EC, BD的中点.BE(1)求证:GF//底面ABC;(2)求证:AC,平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.22 .如以下图所示,在直三棱柱ABC —A i B i C i中,AC=3, BC = 4, AB=5, AA i = 4,点D是AB的中点.B(1)求证:AC±BCi; (2)求证:AC"/平面CDB i;(3)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值.必修二第二章综合检测题1D2CAB与CC i为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC i相交的有:CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有:BB i、AA i,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3c当直线l与平面口斜交时,在平面口内不存在与l平行的直线, ・•.A错;当l? 0c时,在口内不存在直线与l异面,「.D错;当I// % 时,在%内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面口内都有无数条直线与l垂直.4D由于AD//Ai D i,那么/BAD是异面直线AB, AQ i所成的角, 很明显/ BAD = 90 .5B对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B, 假设a, b不相交,那么a与b平行或异面,都存在 &使a? % b// % B 正确;对于选项C, a± % b± & 一定有a//b, C错误;对于选项D, a? % b± & 一定有a±b, D 错误.6D异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a//c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7D如下图.由于AA i,平面A i B i CQ i, EF?平面A i B i CQ i, 那么EFXAA i,所以①正确;当E, F分别是线段A i B i, BQ i的中点时, EF//A i C i,又AC//A i C i,那么EF//AC,所以③不正确;当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A i B i C i D i //平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i,所以EF//平面ABCD,所以④正确.8D选项A中,a, b还可能相交或异面,所以A是假命题;选项B 中,a, b 还可能相交或异面,所以B是假命题;选项C中,% (3还可能相交,所以C 是假命题;选项D中,由于a,% 0a &那么a// (3 或a? 3那么B内存在直线l 〃 a,又b,&那么b,l,所以a±b.9C如下图:mil l? AC±m; AB// l? AB// 8AB// l // m; AC±l,10、11C取BC 中点E,连AE、DE,可证BC±AE, BCXDE,/ AED为二面角A- BC—D的平面角又AE=ED = ^, AD = 2, . ./AED=90 ,应选 C.12B将其复原成正方体ABCD—PQRS,显见PB//SC, z\ACS为正三角形,「•/ ACS= 60 .13 片AB1445如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于BCXAB, BCU AB,那么/C1BC是二面角C I —AB—C的平面角.又匕BCC I是等腰直角三角形,那么/ C I BC= 45 .15、9如以下图所示,连接AC, BD,那么直线AB, CD 确定一个平面ACBD.: all & •二 AC/1 BD, 那么磊喧,HD ,16①②④ 如下图,①取 BD 中点,E 连接AE, CE,那么BDXAE, BDX CE,而 AEACE=E,「.BD ,平面 AEC, AC?平面 AEC,故 ACXBD, 故①正确.②设正方形的边长为a,那么AE=CE=j_a.由①知/ AEC=90°是直二面角 A- BD-C 的平面角,且/ AEC = 90 , /. AC=a, ・•.△ACD 是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ,平面BCD,故/ABE 是AB 与平面BCD 所成的角,而/ ABE=45°,所以③不正确.④分别取BC, AC 的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1 一 一 1 一 1那么 MN//AB,且 MN = ]AB=2a, ME//CD,且 ME = 2CD=]a, ・••/EMN 是异面直线AB, CD 所成的角.2在 Rtz\AEC 中,AE=CE=/a, AC=a,一 1 一 1・•.NE = 2AC = 2a.:4MEN 是正二角形,EMN = 60 ,故④正确.17(1)在正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中,•・ F 、F I 分别是 AC 、A 1C 1 的中点,「. B 1F 1//BF, AF 1//C 1F. 又•「B I F I AAF I = F I , C I FABF=F..・平面 AB I F I //平面 C I BF. (2)在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中,A/,平面 A 1B 1C 1, •. B I FJAA I . 又 B I F I ^A I C I , A I C I A AA I =A". B 1F 1,平面 ACC I A I ,而 B 1F 1? 平面 AB I F I ..・平面 AB I F I ,平面 ACC 1A 1.解得SD=9. AC(1)如下图,连接 AC,由 AB=4, BC=3, / ABC= 90°,得 AC =5. 又AD=5, E 是CD 的中点,所以CDXAE.. RA ,平面 ABCD, CD?平面 ABCD,所以 PAX CD.而PA, AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD ,平面PAE. ⑵过点B 作BG//CD,分别与AE, AD 相交于F, G,连接PF.由(1)CD ,平面PAE 知,BG ,平面PAE.于是/ BPF 为直线PB 与 平面PAE 所成的角,且BGXAE.由PA ,平面 ABCD 知,/ PBA 为直线PB 与平面 ABCD 所成的 AB=4, AG = 2, BGXAF,由题意,知/ PBA= /BPF,PA BF 由于 sin/PBA=芯,sin/ BPF =左,所以 PA=BF. PB PB由/ DAB=/ABC=90°知,AD//BC,又 BG//CD,所以四边形BCDG 是平行四边形,故 GD=BC=3.于是AG=2.在 Rt^BAG 中,AB=4, AG=2, BGXAF,所以BG=^AB 2+AG 2=2册,BF = A J 1 =泰 8:5 5 .1又梯形ABCD 的面积为S=]X (5+3)X4= 16,所以四棱铤P- ABCD 的体积为1 - 一 1 一 V=~x SX PA=-x 16X 3 319[解读](1)证实:如下图,取CD 的中点E,连接PE, EM, EA,•••△PCD 为正三角形,188,5 =Y~.于是PA= BF = 5 8.5128 5 5 = 15 p「•PE ,CD, PE=PDsin/PDE = 2sin60 =V 3.••・平面PCD ,平面ABCD,「•PE ,平面 ABCD,而 AM?平面 ABCD,「. PEXAM. •••四边形ABCD 是矩形,「.△ADE, AECM, A ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求 得 EM = 5, AM = V 6, AE=3/. EM 2 + AM 2 = AE 2..-. AMXEM.又 PEAEM = E,「.AM ,平面 PEM, /. AMXPM.(2)解:由(1)可知 EMXAM, PMXAM,・••/PME 是二面角P —AM —D 的平面角.「•二面角P —AM —D 的大小为45(1)由于侧面BCC I B I 是菱形,所以B I CXBC I , 又 B 1CXA 1B,且 A 1BABC 1=B, 所以B I C ,平面A I BC I ,又B I C?平面AB I C 所以平面ABC 平面A 1BC 1 .⑵设BC I 交B I C 于点E,连接DE,那么DE 是平面A I BC I 与平面 B I CD 的交线.由于A I B//平面B I CD,A I B?平面A I BC I ,平面A I BC I A 平面B I CD = DE,所以 A I B// DE.又E 是BC I 的中点,所以D 为A I C I 的中点.即A I D DC I = 1. 21[解](1)证实:连接AE,如以下图所示..「ADEB 为正方形「• AEABD=F,且F 是AE 的中点,又G 是EC 的中点GF//AC,又AC?平面ABC,GF?平面ABC, ・•. GF // 平面 ABC.(2)证实:ADEB 为正方形,EBXAB,又••・平面 ABED ,平面 ABC,平面 ABED 〞面 ABC=AB, EB ?平面20・•・tan/ PME 1 ・•./ PME =45 .ABED,「•BE,平面ABC, /. BEXAC.一 2 o o o又AC=BC = -2AB, CA2+CB2=AB2, /. ACXBC.又.• BCnBE=B,「.AC,平面BCE.2 2(3)取AB 的中点H,连GH, .・ BC=AC= 5-AB=:,1.,.CHXAB,且CH = 2,又平面ABED,平面ABC・•.GH,平面ABCD, /. V= Jxix*1.3 2 622[解读](1)证实:在直三棱柱ABC—A i B i C i中,底面三边长AC=3, BC = 4, AB= 5, /. ACXBC.Xv C i C±AC./.AC±¥ffi BCC i B iv BC1?平面BCC i B, /. AC±BC i.(2)证实:设CB i与C i B的交点为E,连接DE,又四边形BCC i B i 为正方形.・•.D是AB的中点,E是BC i的中点,DE//AC i.. DE?平面CDB n AC?平面CDB i,「•AC"平面CDB i.(3)解:「DE//AC i,・・•/ CED为AC i与B i C所成的角.,——i 5在4CED 中,ED = 2AC i = 2,CD=|A B= 5, CE=;CBi = 2近2 2_J• • cos/CED=二=二.5 52••・异面直线AC i与B i C所成角的余弦值为警.。

高中数学人教A版必修二 章末综合测评2 Word版含答案

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点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A.若a、b与α所成的角相等则a∥bB.若a∥αb∥βα∥β则a∥bC.若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD.若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面;B中a、b可以平行或异面;C中α、β可以平行或相交.【答案】 D2.(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B=BC1=A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3.设l为直线αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是() A.若l∥αl∥β则α∥βB.若l⊥αl⊥β则α∥βC.若l⊥αl∥β则α∥βD.若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误;选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确;选项C由条件应得α⊥β故选项C错误;选项D l与β的位置不确定故选项D错误.故选B【答案】 B7.(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC=60°下列说法中错误的是()图2A.AD⊥平面BDCB.BD⊥平面ADCC.DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB=ACBD=DC=22AB又∠BAC=60°所以△ABC为等边三角形故BC=AB=2BD所以∠BDC=90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确.选D【答案】 D8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ=3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9.将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM =AO 2+OM 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2=32a又AD =aDM =a2∴AD 2=DM 2+AM 2∴∠AMD =90° 【答案】 D10.在矩形ABCD 中若AB =3BC =4P A ⊥平面AC 且P A =1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE =AB ·AD BD =125P A =1 ∴PE =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1252=135 【答案】 B11.(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A.75°B.60°C.45°D.30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知:PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC中AB=BC=AC= 3则S=34×(3)2=334VABC-A1B1C1=S×PO=94∴PO= 3又AO=33×3=1∴tan ∠P AO=POAO=3∴∠P AO=60°【答案】 B12.正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1=A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确.因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确.易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合.故C正确.因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角.因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13.设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS=8BS=6CS=12则SD=________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS=CSSD解得SD=9【答案】914.如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件:________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点.又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线.∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15.如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________.图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1=B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN =90° 【答案】 90°16.已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直; ②平面PBC 与平面ABCD 垂直; ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积; ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确;若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错;S △PCD =12CD ·PDS △P AB =12AB ·P A由AB =CDPD >P A 知③正确; 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错. 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB =90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证:AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB=90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC=A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC=C∴AD⊥平面SBC18.(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC=9BC=12AB=15AA1=12点D是AB的中点.图6(1)求证:AC⊥B1C;(2)求证:AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC=9BC=12AB=15∴AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C=C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19.(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点.(1)根据三视图画出该几何体的直观图;(2)在直观图中①证明:PD∥面AGC;②证明:面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示:(2)证明:①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20.(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB =2CE =EF =1图8(1)求证:AF ∥平面BDE ;(2)求证:CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF =1AG =12AC =1所以四边形AGEF 为平行四边形.所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF=CG=1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE=EF=1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD=G∴CF⊥平面BDE21.(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB=2DEGH分别为ACBC的中点.图9(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证:平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一:连接DGCD设CD∩GF=M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB=2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF=GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点.又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二:在三棱台DEF-ABC中由BC=2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH=EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF=H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF=HC因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH=H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22.(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点.图10(1)求证:P A∥平面BDE;平面P AC⊥平面BDE;(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积.【解】(1)证明:连接OE如图所示.∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC=O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF =30°在Rt △OEF 中OF =12OC =14AC =24a∴EF =OF ·tan 30°=612a ∴OP =2EF =66a∴V P -ABCD =13×a 2×66a =618a 3。

新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)

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新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

高中数学必修一必修二综合测试题(含答案)

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Q PC'B'A'C BA高中数学必修一必修二综合测试题(时间90分钟,满分150分)姓名___________________ 总分:________________ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.下面四个命题:①分别在两个平面内的两直线是异面直线;②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确的命题是( )A .①②B .②④C .①③D .②③ 2.过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A .012=-+y x B .052=-+y x C .052=-+y x D .072=+-y x 3.圆(x -1)2+y 2=1的圆心到直线y =33x 的距离是( )A .12B .32 C .1 D .34.设0<a <1,函数f (x )=log a (a 2x -2a x -2),则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(0,+∞)C .(-∞,log a 3)D .(log a 3,+∞)5.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,则( )A .y3>y1>y2B .y2>y1>y3C .y1>y2>y3D .y1>y3>y26.圆x 2+y 2-2x +4y -20=0截直线5x -12y +c =0所得的弦长为8,则c 的值是( ) A .10 B .10或-68 C .5或-34 D .-68 7.已知0,0ab bc <<,则直线ax by c +=通过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第一、三、四象限D .第二、三、四象限8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点,则直线ED 与D 1F 所成角的大小是( )A .15B .13 C .12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A .30B .45C .60D .9010.如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A .2V B .3V C .4V D .5V(10题) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x ≥12x ,x <1的值域为________.12.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切, 则实数a 的值为13.已知集合U ={2,3,6,8},A ={2,3},B ={2,6,8},则(∁U A )∩B =________.14.过点A (4,0)的直线l 与圆(x -2)2+y 2=1有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(本小题满分10分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ,F 、F 1分别是AC ,A 1C 1的中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ; (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.(17题)16.(本小题满分12分)(1)定义在(-1,1)上的奇函数f (x )为减函数,且f (1-a )+f (1-a 2)>0,求实数a 的取值范围.(2)定义在[-2,2]上的偶函数g (x ),当x ≥0时,g (x )为减函数,若g (1-m )<g (m )成立,求m 的取值范围.17.(本小题满分12分)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(1)证明:PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值(17题)18.(本小题满分15分)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+m=0,(1)求实数m的取值范围;(2)若直线l:x+2y-4=0与圆C相交于M、N两点,且OM⊥ON,求m的值。

高一数学必修一必修二综合测试卷(有答案)

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高一数学试题四(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 下列说法正确的是( )A . 经过三点确定一个平面B . 经过一条直线和一个点确定一个平面C . 四边形确定一个平面D . 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 下列哪个函数的定义域与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同( )A . 2y x x =+B . ln 2y x x =-C . 1y x =D . 1y x x=+3. 已知集合12|log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,{}|22xB x =>,则A B =( )A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C . ()0,+∞D . ()0,24. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则其母线与底面半径之比为( ) A . 1B .2C .3D . 25. 已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点,则实数a 的取值范围是( ) A . 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B . 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C . ()2,0-D . []2,0-6. 函数()()10,1x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ,则下列函数中图象不经过点A 的是( )A . 1y x =-B . 2y x =-C . 21xy =-D . ()2log 2y x =7. 正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A .6π B .4π C . 3π D . 2π8. 已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数,则实数a 的取值范围是( )A . 4a ≤B . 4a ≥C . 4a <-或4a ≥D . 44a -<≤9. 某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ,B ,则在该几何体表面上,从点P 到点Q 的路径中,最短路径的长度为( ) A .5B .6 C . 22D .1010. 已知函数()ln 1f x x =-,()223g x x x =-++,用{}min ,m n 表示m ,n 中最小值,设()()(){}min ,h x f x g x =,则函数()h x 的零点个数为( )A . 1B . 2C . 3D . 411. 已知()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且满足()()2x g x h x -=.若存在[]1,1x ∈-,使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解,则实数m 的最大值为( )A .315-B . 35-C . 1D . -1 12. 无论x ,y ,z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面,给出下列说法:①若//x y ,//x z ,则//y z ;②若x y ⊥,x z ⊥,则y z ⊥;③若x y ⊥,//y z ,则x z ⊥;④若x 与y 无公共点,y 与z 无公共点,则x 与z 无公共点; ⑤若x ,y ,z 两两相交,则交点可以有一个,三个或无数个.其中说法正确的序号为( ) A . ①③B . ①③⑤C . ①③④⑤D . ①④⑤二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 设函数()()xxf x e aea R -=+∈,若()f x 为奇函数,则a =______.14. 一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为423,则它的侧面积为______. 15. 已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数,在[]0,3上单调递减,并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-,则m 的取值范围是______.16. 正四面体ABCD 的棱长为4,E 为棱BC 的中点,过E 作其外接球的截面,则截面面积的最小值为______.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证:CE ,1D F ,DA 交于一点.18. 已知函数()21x ax b f x x +=++是定义域为R 的奇函数. (1)求实数a 和b 的值,判断并证明函数()f x 在()1,+∞上的单调性;(2)已知0k <,且不等式()()22310f t t f k -++-<对任意的t R ∈恒成立,求实数k 的取值范围.19. 食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位:万元)满足8042P a =+,11204Q a =+.设甲大棚的投入为x (单位:万元),每年两个大棚的总收益为()f x (单位:万元). (1)求()50f 的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益()f x 最大?20. 已知幂函数()()3*p N x x f p -=∈的图象关于y 轴对称,且在()0,+∞上为增函数. (1)求不等式()()22132pp x x +<-的解集;(2)设()()()log 0,1a f x ax g x a a =->≠⎡⎤⎣⎦,是否存在实数a ,使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2,若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由.21. 已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)当2m =-时,求函数()f x 在(),0-∞上的值域;(2)若对任意[)0,x ∈+∞,总有()6f x ≤成立,求实数m 的取值范围.22. 在菱形ABCD 中,2AB =且60ABC ∠=︒,点M ,N 分别是棱CD ,AD 的中点,将四边形ANMC 沿着AC 转动,使得EF 与MN 重合,形成如图所示多面体,分别取BF ,DE 的中点P ,Q .(1)求证://PQ 平面ABCD ;(2)若平面AFEC ⊥平面ABCD ,求多面体ABCDFE 的体积.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1-5:DBCDC6-10:ABDCC11-12:AB1.【解析】A 选项考查公理2,即三点必须不在同一条直线上,才能确定一个平面;B 选项如果点在直线上,则该直线和这个点不能确定一个平面;C 选项中的四边形有可能是空间四边形,故选D .2.【解析】函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+∞,函数2y x x =+的定义域为R ,函数ln 2y x x =-的定义域为()0,+∞;函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞+∞,函数1y x=的定义域为()(),00,-∞+∞,故选B .3.【解析】由{}12|log 1|02A x x x x ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭,{}1|22|2xx x x B =⎧⎫>=>⎨⎬⎩⎭,则()0,A B =+∞,故选C .4.【解析】由已知可得2r l ππ=,所以2l r =,故2lr=.故选D . 5.【解析】函数()2f x x x a =++的图象的对称轴为12x =-,故函数在区间()0,1上单调递增,再根据函数()f x 在()0,1上有零点,可得()()00120f a f a =<⎧⎪⎨=+>⎪⎩,解20a -<<,故选C .6.【解析】函数()()10,1x f y ax a a -=>≠=的图象恒过点A ,即10x -=,可得1x =,那么1y =.∴恒过点()1,1A .把1x =,1y =带入各选项,只有A 没有经过A 点.故选A . 7.【解析】略8.【解析】()23g x x ax a =-+,则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立,且()23g x x ax a =-+在[)2,+∞上为增函数,所以22a≤且()240g a =+>,所以44a -<≤.故选D .9.【解析】由题,几何体如图所示(1)前面和右面组成一面此时222222PQ =+=.(2)前面和上面在一个平面此时223110PQ =+=,2210<,故选C . 10.【解析】作出函数()f x 和()g x 的图象如图,两个图象的下面部分图象,由()2230g x x x =-++=,得1x =-,或3x =,由()ln 10f x x =-=,得x e =或1x e=,∵()0g e >,∴当0x >时,函数()h x 的零点个数为3个,故选C .11.【解析】由()()2xg x h x -=,及()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,得()222x xg x -+=,()222x x h x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ----≤==-+++,∵2141x y =-+为增函数,∴max 231415x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,故选A . 12.【解析】由平行于同一直线的两直线平行,平行于同一平面的两平面平行,可得①正确;由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面;垂直于同一平面的两平面相交或平行,可得②错误;由垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条;垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个,可得③正确;若一条直线与另两条直线无公共点,可得另两条直线可以相交;若一个平面与另两个平面无公共点,可得另两个平面无公共点;可得④错误.若三条直线两两相交,则交点可以有一个或三个,若三个平面两两相交,则交点有无数个.故选B . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. -1 14. 43 15. 1122m -≤< 16. 4π13.【解析】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()f x f x -=-,即()x x x x ae ae e e --+=-+,即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立,则10a +=,得1a =-. 14.【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ,则24ABCD S a =,2222422h PB BO a a a =-=-=,则31442233V a =⨯=,则1a =,则 22142242BC PF a a a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭侧24343a ==.15.【解析】由题设可得230a -+=,即5a =,故()()22122f m f m m -->-+-可化()()22122f m f m m +>-+,又2113m ≤+≤,21223m m ≤-+≤,故2211222m m m m +<-+⇒<,且12m ≥-.故应填答案1122m -≤<.16.【解析】将四面体ABCD 放置于正方体中,如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球,∵正四面体ABCD 的棱长为4,∴正方体的棱长为22, 可得外接球半径R 满足()22322R =⨯,解得6R =.E 为棱BC 的中点,过E 作其外接球的截面,当截面到球心O 的距离最大时,截面圆的面积达最小值,此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半,可得截面圆的半径为222r R =-=,得到截面圆的面积最小值为24S r ππ==.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.【解析】证明:如图所示,连接1CD 、EF 、1A B ,因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点, 所以1//EF A B 且112EF A B =.即:1//EF CD ,且112EF CD =, 所以四边形1CD FE 是梯形,所以CE 与1D F 必相交,设交点为P ,则P CE ∈,且1P D F ∈,又CE ⊂平面ABCD , 且1D F ⊂平面11A ADD ,所以P ∈平面ABCD ,且P ∈平面11A ADD , 又平面ABCD平面11A ADD AD =,所以P AD ∈,所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点.18.【解析】(1)因为()()f x f x -=-,所以2211x a x ax bx x bx -+--=-+++, ∴0a b ==,()21xf x x =+, 任取()12,1,x x ∈+∞,且12x x <,()()1212221211x xf x f x x x -=-++()()()()21122212111x x x x x x --=++, ∵210x x ->,1210x x ->,()()2212110x x ++>,∴()f x 在()1,+∞单调递减.(2)()()2231f t t f k -+<--,()()2231f t t f k -+<-, ∵2232t t -+≥,11k ->,∴2231t t k -+>-, 即()211k t >---, ∵t R ∈≤,∴()1,0k ∈-. 19.【解析】(1)由题可知:甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, 所以()1804250150120277.5450f =+⨯+⨯+=. (2)依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩.故()()142250201804x x f x x =-++≤≤. 令25,65t x ⎡⎤=∈⎣⎦,则()()2211422508228244f x t t t =-++=--+,当82t =,即128x =时,()max 282f x =,所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大, 且最大收益为282万元. 20.【解析】(1)由已知得30p ->且*p N ∈,所以1p =或2p =, 当2p =时,()3p f x x -=为奇函数,不合题意, 当1p =时,()2f x x =.所以不等式()()22132pp x x +<-变为()()1122132x x +<-, 则0132x x ≤+<-,解得213x -≤<. 所以不等式()()22132p p x x +<-的解集为21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.(2)()()2log a a g x x x =-,令()2h x x ax =-,由()0h x >得()(),0,x a ∈-∞+∞,因为()g x 在[]2,3上有定义,所以02a <<且1a ≠, 所以()2h x x ax =-在[]2,3上为增函数,当12a <<时,()()()max 3log 932a g x g a ==-=, 即2390a a +-=,∴3352a -±=,又12a <<, ∴3352a -+=. 当01a <<时,()()()max 2log 422a g x g a ==-=,即2240a a +-=,∴15a =-±,此时解不成立.综上:3352a -+=. 21.【解析】(1)当2m =-时,设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵(),0x ∈-∞,∴()1,t ∈+∞,∴()()222413t t t y g t -+=-=+=,对称轴1t =,图像开口向上,∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数, ∴()3g t >,∴()f x 的值域为()3,+∞.(2)由题意知,()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立,即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴1233xx m ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立,则只需当[)0,x ∈+∞时,min 1233x x m ⎛⎫≤⋅- ⎪⎝⎭,设3xt =,()12h t t t=-,由[)0,x ∈+∞得1t ≥,设121t t ≤<,则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<,所以()h t 在[)1,+∞上递增,()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =,所以实数m 的取值范围为(],1-∞. 22.【解析】(1)取BE 中点R ,连接PR ,QR ,BD ,由P ,Q 分别是BF ,DE 的中点, ∴//PR EF ,//QR BD ,又∵//EF AC ,∴//PR 平面ABCD ,//QR 平面ABCD ,又∵PR QR R =,∴平面//PQR 平面ABCD ,又∵PQ ⊂平面PQR , ∴//PQ 平面ABCD .(2)连接AC ,设AC ,BD 交于点O , ∴BD AC ⊥,又∵平面AFEC ⊥平面ABCD , 平面AFEC平面ABCD AC =,∴BD ⊥平面AFEC .∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF -和四棱锥D ACEF -, 菱形ABCD 中,2AB =且60ABC ∠=︒知:2AC =,23BD =,12ACEF ==, 设梯形EFAC 的面积为()133244EFAC BD EF AC S =+⋅=, 1332ABCDFE EFAC V S BD =⋅⋅=.。

北师大版高中数学必修二综合试卷(附答案)

北师大版高中数学必修二综合试卷(附答案)

北师大版高中数学必修二综合试卷(附答案)
一、单选题
1.直线与圆相交于A、B两点且弦AB的长为,则a的值为()
A.-1B.0C.D.1
2.甲、乙两个几何体的三视图如图所示(单位相同),记甲、乙两个几何体的体积分别为,,则()
A.B.
C.D.
3.已知F为双曲线E:的一个焦点,设直线y=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A,B,C,D,若|AD|=3|BC|,则F到渐近线的距离为
A.B.C.D.不能确定
4.用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架,其顶点为,将半径为2cm的球放置在这个框架上(如图).若M是球上任意一点,则四面体体积的最大值为( )
A.B.C.D.
5.若某空间几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()
A.B.C.D.
6.过点且与直线垂直的直线方程是()
A.B.C.D.
7.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长是()
A.B.C.D.
8.直线过点(-1,2)且与以点 (-3,-2)、 (4,0)为端点的线段恒相交,则的斜率取值范围是()
A.[-,5]
B.[-,0)∪(0,2]。

(人教版A版最新)高中数学必修第二册 第九章综合测试01-答案

(人教版A版最新)高中数学必修第二册 第九章综合测试01-答案

第九章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】①中商店的规模不同,所以应采用分层随机抽样;②中总体没有差异性,容量较小,样本容量也较小,所以应采用简单随机抽样。

2.【答案】B 【解析】10008020012001000n⨯=++.求得192n =.3.【答案】C【解析】将这20个数据从小到大排列:109,112,114,118,120,124,126,126,127,128,135,135,135,137,138,139,142,144,148,150.2075%15i =⨯=,∴这组数据的第75百分位数为第15个数据和第16个数据的平均数,即138139138.52+=. 4.【答案】A【解析】由频率分布直方图的性质,可设中间一组的频率为x ,则41x x +=,所以0.2x =,故中间一组的频数为1600.232⨯=. 5.【答案】C【解析】由题图知,小波一星期的食品开支为300元,其中鸡蛋开支为30元,占食品开支的10%,而食品开支占总开支的30%,所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%. 6.【答案】A【解析】由题意,根据频率分布直方图,可得获得复赛资格的人数为1000(10.00252020.007520650⨯-⨯-⨯⨯=)(人)7.【答案】D【解析】由题意可知B 样本的数据为58,60,60,62,62,62,61,61,61,61,将A 样本中的数据由小到大依次排列为52,54,54,55,55,55,55,56,56,56,将B 样本中的数据由小到大依次排列为58,60,60,61,61,61,61,62,62,62,因此A 样本的众数为55,B 样本的众数为61,A 选项错误;A 样本的平均数为54.8,B 样本的平均数为60.8,B 选项错误;A 样本的中位数为55,B 样本的中位数为61,C 选项错误;事实上,在A 样本的每个数据上加上6后形成B 样本,样本的稳定性不变,因此两个样本的标准差相等,故选D. 8.【答案】D【解析】100米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的,方差越小发挥水平越稳定,故丁是最佳人选. 9.【答案】C【解析】依题意,前三年中位数200x =,平均数1002003002003y ++==,第四年收入为600万元,故中位数为200300250 1.252y x +===, 平均数为100200300600300 1.54y +++==.10.【答案】C【解析】A .样本中男生人数为412108640++++=(人),女生人数为1004060-=(人),所以样本中男生人数少于女生人数,所以该选项是正确的;B .因为男生中B 层次的比例最大,女生中B 层次的比例最大,所以样本中B 层次身高人数最多,所以该选项是正确的;C .样本中D 层次身高的男生有8人,女生D 层次的有6015%9⨯=(人),所以样本中D 层次身高的男生少于女生,所以该选项是错误的;D .样本中E 层次身高的女生有605%3⨯=(人),所以该选项是正确的. 二、 11.【答案】4【解析】由平均数为10,得1(10119)105x y ++++⨯=,则20x y +=; 又方差为2,2222210)(10)(1010)11101[(]59102x y -+-+-+-+=∴-⨯()(),得22208x y +=,2192y =.4x y ∴-==.12.【答案】12【解析】抽取的男运动员的人数为2148124836⨯=+.13.【答案】90 37.5【解析】由题意得抽取到的20个班级的平均数58510905959020x ⨯+⨯+⨯== .方差2222514(8590)1030(9090)526(9590)37.520[][][]s ⨯+-+⨯+-+⨯+-==.14.【答案】0.030 3【解析】0.005100.03510100.020100.010101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,0.030a ∴=. 设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生分别有x y z ,,人,则式0.03010100x=⨯,解得30x =.同理,2010y z ==,.故从[140,150]的学生中选取的人数为10183302010⨯=++.三、15.【答案】解:(1)1(0.050.350.20.1)0.3-+++=,故①处应填0.3.完成频率分布直方图如图所示.(2)第3组的人数为0.310030⨯=,第4组人数为0.210020⨯=,第5组人数为0.110010⨯=,共计60人,用分层随机抽样抽取6人.则第3组应抽取人数为306360⨯=,第4组应抽取人数为206260⨯=,第5组应抽取人数为106160⨯=. 16.【答案】解:由题中数据可得如下统计表.(1)∵甲、乙命中9环及以上的次数分别为1和3次, ∴乙的成绩比甲好.(2)∵甲、乙平均数相同,但甲的中位数小于乙的中位数, ∴乙的成绩比甲好。

高中数学必修二全册综合验收评价

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全册综合验收评价(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量12a -32b 等于( )A .(-2,-1)B .(-2,1)C .(-1,0)D .(-1,2)解析:选D12a =⎝⎛⎭⎫12,12,32b =⎝⎛⎭⎫32,-32, 故12a -32b =(-1,2). 2.某学校有老师200人,男学生1 200人,女学生1 000人,现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本,已知女学生一共抽取了80人,则n 的值是 ( ) A .193 B .192 C .191 D .190解析:选B1 000200+1 200+1 000=80n,解得n =192.3.已知复数z 满足(z -1)i =1+i ,则z 等于( )A .-2-iB .-2+iC .2-iD .2+i解析:选C 由(z -1)i =1+i ,两边同乘以-i ,则有z -1=1-i ,所以z =2-i. 4.已知向量a 与b 的夹角为30°,且|a |=1,|2a -b |=1,则|b | 等于( )A. 6B.5C. 3D.2解析:选C 由题意可得a ·b =|b |cos 30°=32|b |,4a 2-4a ·b +b 2=1,即4-23|b |+b 2=1,由此求得|b |=3,故选C.5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据 的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( ) A .45 B .50 C .55D .60解析:选B 由频率分布直方图,知低于60分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3.∴该班学生人数n =150.3=50. 6.已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为 ( )A .1 cmB .2 cmC .3 cmD.32cm 解析:选B S 表=πr 2+πrl =πr 2+πr ·2r =3πr 2=12π,∴r 2=4,∴r =2(cm).7.已知向量a =(cos θ-2,sin θ),其中θ∈R ,则|a |的最小值为 ( )A .1B .2 C. 5D .3解析:选A 因为a =(cos θ-2,sin θ),所以|a |=(cos θ-2)2+sin 2θ=1-4cos θ+4=5-4cos θ,因为θ∈R ,所以-1≤cos θ≤1,故|a |的最小值为5-4=1.故选A.8.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若A =60°,b =1,其面积为3,则a +b +csin A +sin B +sin C =( )A .3 3 B.2633C.2393D.292解析:选C 设△ABC 的面积为S ,由题意知S =12bc sin A ,即3=12c ·sin 60°,解得c =4.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =1+16-8×12=13,即a =13.由正弦定理可得a +b +csin A +sin B +sin C =a sin A=1332=2393.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是( )A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分解析:选ABC 由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A 正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B 正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C 正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67,故D 错误.故选A 、B 、C.10.如图,正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1,动点E 在线段A 1C 1上,F ,M 分别是AD ,CD 的中点,则下列结论中正确的是( ) A .FM ∥A 1C 1 B .BM ⊥平面CC 1FC .存在点E ,使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D D .三棱锥B ­CEF 的体积为定值解析:选ABD 在A 中,因为F ,M 分别是AD ,CD 的中点,所以FM ∥AC ∥A 1C 1,故A 正确;在B 中,因为tan ∠BMC =BC CM =2,tan ∠CFD =CDFD =2,所以∠BMC =∠CFD ,所以∠BMC +∠DCF =∠CFD +∠DCF =π2,故BM ⊥CF ,又BM ⊥C 1C ,CF ∩C 1C =C ,所以BM ⊥平面CC 1F ,故B 正确;在C 中,BF 与平面CC 1D 1D 有交点,所以不存在点E ,使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D ,故C 错误;在D 中,若三棱锥B ­CEF 以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B ­CEF 的体积为定值,故D 正确.故选A 、B 、D.11.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表:AQI 指数值0~ 51~ 101~ 151~ 201~ >30050100150200300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日~20日AQI指数变化趋势:下列叙述正确的是() A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上的天数占14C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好解析:选ABD对A:将这20天的数据从小到大排序后,第10个数据略小于100,第11个数据约为120,因为中位数是这两个数据的平均数,故中位数略高于100是正确的,故A正确;对B:这20天中,AQI指数大于150的有5天,故中度污染及以上的天数占14是正确的,故B正确;对C:由折线图可知,前5天空气质量越来越好,从6日开始至15日越来越差,故C错误;对D:由折线图可知,上旬AQI指数大部分在100以下,中旬AQI指数大部分在100以上,故上旬空气质量比中旬的要好,故D正确.故选A、B、D.12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且BC―→=3EC―→,F为AE的中点,则()A.BC―→=-12AB―→+AD―→B.AF―→=13AB―→+13AD―→C.BF―→=-23AB―→+13AD―→D.CF―→=16AB―→-23AD―→解析:选ABC ∵ AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =2AD =2DC , 由向量加法的三角形法则得BC ―→=BA ―→+AD ―→+DC ―→=-AB ―→+AD ―→+12AB ―→ =-12AB ―→+AD ―→,A 对;∵BC ―→=3EC ―→,∴BE ―→=23BC ―→=-13AB ―→+23AD ―→,∴AE ―→=AB ―→+BE ―→=AB ―→+=23AB ―→+23AD ―→,又F 为AE 的中点, ∴AF ―→=12AE ―→=13AB ―→+13AD ―→,B 对;∴BF ―→=BA ―→+AF ―→=-AB ―→+13AB ―→+13AD ―→=-23AB ―→+13AD ―→,C 对;∴CF ―→=CB ―→+BF ―→=BF ―→-BC ―→ =-23AB ―→+13AD ―→-=-16AB ―→-23AD ―→,D 错.故选A 、B 、C.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________.解析:∵a ∥b ,∴sin 2θ×1-cos 2θ=0, ∴2sin θcos θ-cos 2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=12.答案:1214.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B的值为________.解析:由余弦定理,得a 2+c 2-b 22ac =cos B ,结合已知等式得cos B ·tan B =32,∴sin B =32,∴B =π3或2π3.答案:π3或2π315.如图所示,已知在长方体ABCD ­EFGH 中,AB =23,AD =23,AE=2,则BC 和EG 所成角的大小是________,AE 和BG 所成角的大小是________.解析:∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角,即∠EGF ,tan ∠EGF =EF FG =2323=1,∴∠EGF =45°.∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角,即∠GBF ,tan ∠GBF =GF BF =232=3,∴∠GBF =60°.答案:45° 60°16.在四面体S ­ABC 中,SA =SB =2,且SA ⊥SB ,BC =5,AC =3,则该四面体体积的最大值为______,该四面体外接球的表面积为________. 解析:因为SA =SB =2,且SA ⊥SB ,BC =5,AC =3, 所以AB =2SA =22,因此BC 2+AC 2=AB 2,则AC ⊥BC . 如图,取AB 中点为O ,连接OS ,OC , 则OA =OB =OC =OS =2,所以该四面体的外接球的球心为O ,半径为OC =2, 所以该四面体外接球的表面积为 S =4π·(2)2=8π.又因为SA =SB ,所以SO ⊥AB .因为底面三角形ABC 的面积为定值12AC ·BC =152,SO 的长也为确定的值 2,因此,当SO ⊥平面ABC 时,四面体的体积最大,为V =13S △ABC ·SO =306.答案:3068π四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m =22,-22,n =(sin x ,cos x ),x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2. (1)若m ⊥n ,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值.解:(1)因为m =⎝⎛⎭⎫22,-22,n =(sin x ,cos x ),m ⊥n ,所以m ·n =0,即22sin x -22cos x =0, 所以sin x =cos x ,所以tan x =1.(2)因为|m |=|n |=1,所以m ·n =cos π3=12,即22sin x -22cos x =12,所以sin ⎝⎛⎭⎫x -π4=12. 因为0<x <π2,所以-π4<x -π4<π4,所以x -π4=π6,即x =5π12.18.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知cos B =33,sin(A +B )=69,ac =23, 求sin A 和c 的值. 解:在△ABC 中,由cos B =33,得sin B =63, 因为A +B +C =π, 所以sin C =sin(A +B )=69. 因为sin C <sin B ,所以C <B ,可知C 为锐角. 所以cos C =539.因此sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =63×539+33×69=223.由a sin A =c sin C ,可得a =c sin Asin C =223c 69=23c , 又ac =23,所以c =1.19.(12分)2019年全国移动互联创新大赛在3月到10月期间举行,为了选出优秀选手,某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲,再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛,根据以往经验,甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34,35,23,且各场输赢互不影响.求甲恰好获胜两场的概率. 解:设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ,B ,C ,则P (A )=34,P (B )=35,P (C )=23,则甲恰好获胜两场的概率为: P =P (A - BC )+P (A B - C )+P (AB C -)=P (A -)·P (B )·P (C )+P (A )·P (B -)·P (C )+P (A )·P (B )·P (C -) =⎝⎛⎭⎫1-34×35×23+34×⎝⎛⎭⎫1-35×23+34×35×⎝⎛⎭⎫1-23=920. 20.(12分)如图,三棱台DEF ­ABC 中,AB =2DE ,G ,H 分别为AC ,BC的 中点.(1)求证:BD ∥平面FGH ;(2)若CF ⊥BC ,AB ⊥BC ,求证:平面BCD ⊥平面EGH . 证明:(1)如图,连接DG ,CD , 设CD ∩GF =M ,连接MH .在三棱台DEF ­ABC 中,AB =2DE ,G 为AC 的中点,可得DF ∥GC , DF =GC ,所以四边形DFCG 为平行四边形,则M 为CD 的中点.又H 为BC 的中点,所以HM ∥BD . 又HM ⊂平面FGH ,BD ⊄平面FGH , 所以BD ∥平面FGH .(2)连接HE,GE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE⊂平面EGH,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.21.(12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2),畅通;T∈[2,4),基本畅通;T∈[4,6),轻度拥堵;T∈[6,8),中度拥堵;T∈[8,10],严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.解:(1)由频率分布直方图得,这20个交通路段中,轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(个),中度拥堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(个),严重拥堵的路段有(0.1+0.05)×1×20=3(个).(2)由(1)知,拥堵路段共有6+9+3=18(个),按分层抽样,从18个路段中抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6=2,618×9=3,618×3=1,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A 1,A 2,抽取的3个中度拥堵路段为B 1,B 2,B 3,抽取的1个严重拥堵路段为C 1,从这6个路段中抽取2个路段,试验的样本空间为Ω={(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,C 1),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,C 1),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 1,C 1),(B 2,B 3),(B 2,C 1),(B 3,C 1)},共15个样本点,其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,C 1),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,C 1),共9个. 所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915=35.22.(12分)如图,在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,AB =2,AA 1=2,由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与棱AA 1的交点记为M ,求: (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)该最短路线的长及A 1MAM 的值;(3)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小.解:(1)正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为62+22=40=210.(2)如图,将侧面AA 1B 1B 绕棱AA 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,点B 运动到点D 的位置.连接DC 1交AA 1于M ,则DC 1是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线, ∴DC 1=DC 2+CC 21=42+22=20=2 5.∵∠DMA =∠A 1MC 1,∠MAD =∠MA 1C 1,DA =A 1C 1,∴△DMA ≌△C 1MA 1,∴AM =A 1M ,故A 1M AM =1. 即最短路线的长为25,此时A 1MAM =1.(3)如图,连接DB,则DB是平面C1MB与平面ABC的交线.在△DCB中,∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,∴CB⊥DB.又∵平面CBB1C1⊥平面ABC,平面CBB1C1∩平面ABC=BC,DB⊂平面ABC,∴DB⊥平面CBB1C1,∴C1B⊥DB,∴∠C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角).∵侧面CBB1C1是正方形,∴∠C1BC=45°,故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45°.。

高一数学必修一必修二综合测试题(有答案)

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高一数学《必修1》《必修2》综合测试题一、选择题(共12小题;每小题5分,共60分)1. 已知全集R U =,集合}32{≤≤-=x x A ,}41{>-<=x x x B 或,则()B C A U ⋃( )A.{}42≤≤-x xB.}43{≥≤x x x 或C.}12{-<≤-x xD.}31{≤≤-x x2. 过点(1,0)且与直线x -2y -2=0垂直的直线方程是( )A .x -2y -1=0B .x -2y +1=0C .2x +y -2=0D .x +2y -1=03. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面圆的半径为( )A .3B .5C .6D .74. 已知圆C :x 2:y 2:4y :0,直线l 过点P (0,1),则 ( )A. l 与C 相交B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能5. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为( )3mA.π2B.38πC.π3D. 310π6. 已知,则函数的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为22,则实数a 的值为( ) A. 0或4 B. 1或3 C. 2-或6 D. 1-或3 8. 在三棱柱ABC­A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 9. 若幂函数)(x f y =是经过点)33,3(,则此函数在定义域上是 ( ) A .偶函数 B .奇函数 C .增函数 D .减函数 10. 一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 A.321+ B.318+ C.18 D.21 11.若定义在R 上的偶函数()x f 满足)()2(x f x f =+,且当[]1,0∈x 时,x x f y x x f 3log )(,)(-==则函数的零点个数是( ) A .6个 B .4个 C .3个 D .2个 12. 已知A(3,1),B(-1,2),若:ACB 的平分线方程为y =x +1,则AC 所在的直线方程为( ) A .y =2x +4 B .y =12x -3 C .x -2y -1=0 D .3x +y +1=001,1a b <<<-x y a b =+二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13. 若直线1x y +=与圆222(0)x y r r +=>相切,则实数r 的值等于________.14. 在平面直角坐标系中,正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0,则AC ,AB 所在直线的斜率之和为________.15. 函数ax x y 22--=()10≤≤x 的最大值是2a ,则实数a 的取值范围是________ .16.若圆C :x 2+y 2−2ax +b =0上存在两个不同的点A ,B 关于直线x −3y −2=0对称,其中b ∈N ,则圆C 的面积最大时,b = .三、解答题(共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x -1.(1)求f (3)+f (-1);(2)求f (x )的解析式.18. (12分)如图,在三棱锥P ­ABC 中,PC ⊥底面ABC ,AB ⊥BC ,D ,E 分别是AB ,PB 的中点.(1)求证:DE ∥平面PAC ;(2)求证:AB ⊥PB .19.(12分)直线l 1过点A (0,1),l 2过点B (5,0),如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5,求l 1,l 2的方程. 20.(12分)已知圆22:2240C x y mx ny ++++=,直线:10l x my -+=相交于A :B 两点. :1)若交点为(1,2)A ,求m 及n 的值. :2)若直线l 过点(2,3):60ACB ∠=︒,求22m n +的值. 21.(12分)已知直线:(1)(23)60m a x a y a -++-+=,:230n x y -+=. (1)当0a =时,直线l 过m 与n 的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l 的方程; (2)若坐标原点O 到直线m 的距离为5,判断m 与n 的位置关系. 22.(12分)(1)圆C 与直线2x +y -5=0切于点(2,1),且与直线2x +y +15=0也相切,求圆C 的方程. (2)已知圆C 和y 轴相切,圆心C 在直线x -3y =0上,且被直线y =x 截得的弦长为27,求圆C 的方程.高一数学答案一、选择题(共12小题;每小题5分,共60分). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A B A A C D A B C二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上13.22 14.0 15.[-1,0] 16.0三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.解:(1)∵f (x )是奇函数,∴f (3)+f (-1)=f (3)-f (1)=23-1-2+1=6. .................4分(2)设x <0,则-x >0,∴f (-x )=2-x -1,∵f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x )=-2-x +1,.................8分∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -1,x ≥0,-2-x +1,x <0. ........................10分18. 解 (1)证明:因为D ,E 分别是AB ,PB 的中点,所以DE ∥PA.又因为PA ⊂平面PAC ,DE ⊄平面PAC ,所以DE ∥平面PAC. .................6分(2)证明:因为PC ⊥底面ABC ,AB ⊂底面ABC ,所以PC ⊥AB.又因为AB ⊥BC ,PC ∩BC =C ,所以AB ⊥平面PBC ,又因为PB ⊂平面PBC ,所以AB ⊥PB. .................6分19.解: 若直线l 1,l 2的斜率都不存在,则l 1的方程为x =0,l 2的方程为x =5,此时l 1,l 2之间距离为5,符合题意;.................3分若l 1,l 2的斜率均存在,设直线的斜率为k ,由斜截式方程得直线l 1的方程为y =kx +1,即kx -y +1=0,.................6分由点斜式可得直线l 2的方程为y =k (x -5),即kx -y -5k =0,在直线l 1上取点A (0,1),则点A 到直线l 2的距离d =|1+5k |1+k2=5,∴25k 2+10k +1=25k 2+25,∴k =125. ∴l 1的方程为12x -5y +5=0,l 2的方程为12x -5y -60=0. .................10分 综上知,满足条件的直线方程为l 1:x =0,l 2:x =5或l 1:12x -5y +5=0,l 2:12x -5y -60=0. .......12分20.【解析】试题分析:(1)将点()1,2A 代入直线和圆方程,可解得1m =,114n =-. (2)将点()2,3代入直线方程得1m =.又由已知可判断ACB V 是等边三角形.所以有圆心到直线10x y -+=的距离233322d r n ==-,代入解得29n =,从而2210m n +=. 试题解析::1)将点()1,2A 代入直线10x my -+=:∴1210m -+=,解出1m =:再将()1,2A 代入圆2221240x y x ny ++⨯++=: ∴22122440n ++++=,解得114n =-: ∴1m =:114n =-: :2)将点()2,3代入直线10x my -+=:∴2310m -+=,解出1m =:又∵在ACB V 中,CA CB =且60ACB ∠=︒:∴ACB V 是等边三角形.∵圆()()222221230x x y ny nn ++++++-=: 即()()22213x y n n +++=-:圆心()1,n --,半径23r n =-:其中圆心到直线10x y -+=的距离222113332211n d r n -++===-+: 代入解出29n =:∴2210m n +=:21.(12分)【详解】试题分析:(1)联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩,解得m 与n 的交点为(-21,-9),当直线l 过原点时,直线l 的方程为370x y -=;当直线l 不过原点时,设l 的方程为1x y b b+=-,将(-21,-9)代入得12b =-,解得所求直线方程(2)设原点O 到直线m 的距离为d ,则()()2265123a d a a -+==-++,解得:14a =-或73a =-,分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系;试题解析:解:(1)联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩,解得21,9,x y =-⎧⎨=-⎩即m 与n 的交点为(-21,-9). 当直线l 过原点时,直线l 的方程为370x y -=;当直线l 不过原点时,设l 的方程为1x y b b+=-,将(-21,-9)代入得12b =-, 所以直线l 的方程为120x y -+=,故满足条件的直线l 方程为370x y -=或120x y -+=.(2)设原点O 到直线m 的距离为d ,则()()2265123a d a a -+==-++,解得:14a =-或73a =-, 当14a =-时,直线m 的方程为250x y --=,此时//m n ; 当73a =-时,直线m 的方程为250x y +-=,此时m n ⊥.22.解: (1)设圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.∵两切线2x +y -5=0与2x +y +15=0平行,∴2r =|15-(-5)|22+12=45,∴r =25, ∴|2a +b +15|22+1=r =25,即|2a +b +15|=10①|2a +b -5|22+1=r =25,即|2a +b -5|=10② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直,∴b -1a -2=12③ 由①②③解得⎩⎨⎧ a =-2,b =-1.∴所求圆C 的方程为(x +2)2+(y +1)2=20.(2)设圆心坐标为(3m ,m ).∵圆C 和y 轴相切,得圆的半径为3|m |,∴圆心到直线y =x 的距离为|2m |2=2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2=7+2m 2,∴m =±1,∴所求圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9.。

数学必修二综合测试题(含答案)

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数学必修二综合测试题一. 选择题* 1.下列叙述中,正确的是( )(A)因为P三二,Q三:二,所以PQW * ( B)因为卩三:z,Q:=卩,所以ATI;=PQ(C)因为AB二x , C三AB,D三AB,所以CD三:(D)因为AB 二:,AB '■,所以A「'J 且B - ■)*2 .已知直线|的方程为y = x则该直线I的倾斜角为().(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 135*3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4) , 且| AB =2j6,则实数x的值是().(A)-3 或4 (B) - 6或2 (C)3 或-4 (D)6 或-2*4.长方体的三个面的面积分别是、2、3、6,则长方体的体积是( ).A . 3.2B . 2 一3 C. 、6 D. 6*5.棱长为a的正方体内切一球,该球的表面积为()2 2 2 2A、二aB、2 二aC、3 二aD、4二a*6.若直线a与平面二不垂直,那么在平面二内与直线a垂直的直线( )(A )只有一条(B)无数条(C)是平面:内的所有直线(D)不存在**7.已知直线I、m、n与平面:- > 一:,给出下列四个命题:①若m// I , n// I ,则m// n ②若m l , m// ,贝U 丄:③若m // , n // ,则m // n ④若m l , 丄:,则m // 或m =其中假命题是().(A)①(B) ②(C)** 8.在同一直角坐标系中,表示直线2 2(x-2) (y 3) =9 交于A .25** 11.已知点A(2,-3)、B(-3,-2)直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率的取值k范围是 ()3 3 1 3 3A、k 或k--4B、k 或kC、f 4_kD、k_44 4 4 4 4*** 12.若直线kx 4 2k与曲线y「4一x2有两个交点,则k的取值范围是③(D)④y = ax与y = x • a正确的是( )(0是原点)的面积为( ).3C. 2左视图*E、F两点,则丄EOF+ oO C .(4,1]** 18 .(本小题满分12分)如图,已知正四棱锥V — ABCD 中,AC 与BD 交于点M ,VM 是棱锥的高,若AC = 6cm ,VC = 5cm ,求正四棱锥 V -ABCD 的体积.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中 横线上. **13.如果对任何实数 k ,直线(3 + k)x + (1-2k)y + 1 + 5k=0都过一个定点 A ,那么点 A 的坐标是 _____________________ . **14.空间四个点 P 、A 、B C 在同一球面上,PA PB 那么这个球面的面积是 __________________ . **15 .已知 2 2 2 2 圆Ocx y =1 与圆 O 2:(x —3) ( y + 4) =9, ***16 .如图①,一个圆锥形容器的高为a ,内装一 量的水.如果将容器倒置,这时所形成的圆锥 的高恰为-(如图②),则图①中的水面高度2PC 两两垂直,且PA=PB=PC=, 则圆O i 与圆。

高中数学必修2测试题附答案

高中数学必修2测试题附答案

高中数学必修2测试题附答案数学必修2一、选择题1、下列命题为真命题的是()A.平行于同一平面的两条直线平行;解析:平行于同一平面的两条直线一定平行,为真命题,选A。

2、下列命题中错误的是:()A.如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β;解析:如果直线α垂直于平面β,则α内不存在直线平行于平面β,选A。

3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线AA’与BC所成的角是()解析:异面直线AA’与BC所成的角为直角,选D。

4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中,AB二面角D’-AB-D的大小是()解析:AB二面角D’-AB-D为60度,选C。

5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则()解析:将y=0代入5x-2y-10=0,得到x=2,即直线在x轴上的截距为2;将x=0代入5x-2y-10=0,得到y=-5,即直线在y轴上的截距为-5,选B。

6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是()解析:将2x-y=7和3x+2y-7=0联立,解得交点为(3,-1),选A。

7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是()解析:3x-4y+6=0的斜率为3/4,与其垂直的直线斜率为-4/3,过点P(4,-1),代入点斜式方程y+1=-4/3(x-4),化简得到4x+3y-13=0,选A。

8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是:()解析:正方体的全面积为6a,每个面积为a,每个面的对角线长为正方体的对角线长,即球的直径。

因此球的直径为正方体的对角线长,即a的开根号乘以根号3.球的表面积为4πr^2,即4π(0.5a√3)^2=3πa^2,选C。

9、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是:()解析:将x^2-4x和y^2-2y分别配方得到(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0,即(x-2)^2+(y-1)^2=5,圆心坐标为(2,1),选B。

高中数学必修二综合测试题(含答案)

高中数学必修二综合测试题(含答案)

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下面四个命题:①分别在两个平面内的两直线是异面直线;②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.其中正确的命题是()A.①② B.②④ C.①③ D.②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为()A.2x y1 B.2x y5 C.x2y5D.x2y73.圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=3x的距离是()A.2 B.2 C.1 D.34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点,P为椭圆上一个点,且A.2 B. C. D.5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,则下列命题中正确的是()A.若m//α,n⊥α,则m//n B.若α∩β=m,m⊥n,则n⊥αC.若m//α,n//α,则m//n D.若m//α,m⊥β,αβ=n,则m//n6.圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是()A.10 B.10或-68 C.5或-34 D.-687.已知ab0,则直线ax+by=c通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1与CC1的中点,则直线ED与D1F所成角的大小是()A.1/5 B.113° C. D.232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长相等,侧面BC1C 的中心为D,则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD 成60°的角;④AB与CD所成的角是60°。

数学必修二第二章测试题(含标准答案)

数学必修二第二章测试题(含标准答案)

第二章综合检测题时间120分钟,满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A.3B.4C.5D.63.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得() A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α6.下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成的角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中真命题的个数为()A.4B.3C.2D.17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC .若a ⊂α,b ⊂β,a ∥b ,则α∥βD .若a ⊥α,b ⊥β,α⊥β,则a ⊥b9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,n ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A .AB ∥m B .AC ⊥mC .AB ∥βD .AC ⊥β10.(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点,那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A .-45 B. .35C .34D .-3511.已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等,且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )A.33B.13 C .0 D .-1212.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,P A ⊥平面ABCD ,P A =AB ,则PB 与AC 所成的角是( )A .90°B .60°C .45°D .30°二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)13.下列图形可用符号表示为________.14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于________.15.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD =________.16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)如下图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[分析]本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件.18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面P AE;(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.19.(12分)如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=22,M为BC的中点.(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小.20.(本小题满分12分)(2010·辽宁文,19)如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1的值.21.(12分)如图,△ABC中,AC=BC=22AB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥底面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC;(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE;(3)几何体ADEBC是四棱锥C-ABED.22.(12分)如下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC1相交的有:CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有:BB1、AA1,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.5[答案] B[解析]对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b ∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c 可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7[答案] D[解析]如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.8[答案] D[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题;选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a ∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b.9[答案] C[解析]如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β.10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用.[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成的角,设边长为2,则可以求解得到5=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论.11[答案] C[解析]取BC中点E,连AE、DE,可证BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角又AE=ED=2,AD=2,∴∠AED=90°,故选C.12[答案] B[解析]将其还原成正方体ABCD-PQRS,显见PB∥SC,△ACS 为正三角形,∴∠ACS=60°.13[答案]α∩β=AB14[答案]45°[解析]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于BC⊥AB,BC1⊥AB,则∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角.又△BCC1是等腰直角三角形,则∠C1BC=45°.15[答案]9[解析]如下图所示,连接AC,BD,则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD .∵α∥β,∴AC ∥BD , 则AS SB =CS SD ,∴86=12SD ,解得SD =9.16[答案] ①②④ [解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE =E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形的边长为a ,则AE =CE =22a .由①知∠AEC =90°是直二面角A -BD -C 的平面角,且∠AEC =90°,∴AC =a ,∴△ACD 是等边三角形,故②正确. ③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角,而∠ABE =45°,所以③不正确.④分别取BC ,AC 的中点为M ,N ,连接ME ,NE ,MN .则MN ∥AB ,且MN =12AB =12a ,ME ∥CD ,且ME =12CD =12a ,∴∠EMN 是异面直线AB ,CD 所成的角.在Rt △AEC 中,AE =CE =22a ,AC =a ,∴NE =12AC =12a .∴△MEN 是正三角形,∴∠EMN =60°,故④正确. 17[证明] (1)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点,∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1=F 1,C 1F ∩BF =F ,∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1=A 1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18[解析](1)如图所示,连接AC ,由AB =4,BC =3,∠ABC =90°,得AC =5.又AD =5,E 是CD 的中点,所以CD ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥CD .而P A ,AE 是平面P AE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知,BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角,且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. AB =4,AG =2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA =∠BPF ,因为sin ∠PBA =P A PB ,sin ∠BPF =BF PB ,所以P A =BF .由∠DAB =∠ABC =90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 是平行四边形,故GD =BC =3.于是AG =2.在Rt △BAG 中,AB =4,AG =2,BG ⊥AF ,所以BG =AB 2+AG 2=25,BF =AB 2BG =1625=855.于是P A =BF =855.又梯形ABCD 的面积为S =12×(5+3)×4=16,所以四棱锥P -ABCD 的体积为V =13×S ×P A =13×16×855=128515.19[解析] (1)证明:如图所示,取CD 的中点E ,连接PE ,EM ,EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ,PE =PD sin ∠PDE =2sin60°= 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD , ∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM =3,AM =6,AE =3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM =E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM .(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM ,∴∠PME 是二面角P -AM -D 的平面角.∴tan ∠PME =PE EM =33=1,∴∠PME =45°. ∴二面角P -AM -D 的大小为45°.20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1是菱形,所以B 1C ⊥BC 1,又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1=B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1,又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 . (2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 的交线.因为A 1B ∥平面B 1CD ,A 1B ⊂平面A 1BC 1,平面A 1BC 1∩平面B 1CD =DE ,所以A 1B ∥DE .又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点.即A1D DC1=1.21[解](1)证明:连接AE,如下图所示.∵ADEB为正方形,∴AE∩BD=F,且F是AE的中点,又G是EC的中点,∴GF∥AC,又AC⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,∴GF∥平面ABC.(2)证明:∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,EB⊂平面ABED,∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AC.又∵AC=BC=22AB,∴CA2+CB2=AB2,∴AC⊥BC.又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE.(3)取AB的中点H,连GH,∵BC=AC=22AB=22,∴CH⊥AB,且CH=12,又平面ABED⊥平面ABC。

高一数学必修2第三章测试题及答案解析

高一数学必修2第三章测试题及答案解析

数学必修二第三章综合检测题(一) 一、选择题1.若直线过点(1,2),(4,2+3)则此直线的倾斜角是( )A .30°B .45°C .60°D .90°2.若三点A(3,1),B(-2, b),C(8,11)在同一直线上,则实数b 等于( )A .2B .3C .9D .-93.过点(1,2),且倾斜角为30°的直线方程是( )A .y +2=33(x +1) B .y -2=3(x -1) C.3x -3y +6-3=0 D.3x -y +2-3=04.直线3x -2y +5=0与直线x +3y +10=0的位置关系是( )A .相交B .平行C .重合D .异面5.直线mx -y +2m +1=0经过一定点,则该定点的坐标为( )A .(-2,1)B .(2,1)C .(1,-2)D .(1,2)6.已知ab <0,bc <0,则直线ax +by +c =0通过( )A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第一、三、四象限D .第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y =-3x 的距离d 等于( )A .0 B.23+52C.-23+52 D.-23-528.与直线y =-2x +3平行,且与直线y =3x +4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A .y =-2x +4B .y =12x +4 C .y =-2x -83D .y =12x -839.两条直线y =ax -2与y =(a +2)x +1互相垂直,则a 等于( )A .2B .1C .0D .-110.已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x -y +2=0,直角顶点是C(3,-2),则两条直角边AC ,BC 的方程是( )A .3x -y +5=0,x +2y -7=0B .2x +y -4=0,x -2y -7=0C .2x -y +4=0,2x +y -7=0D .3x -2y -2=0,2x -y +2=011.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是( )A .k ≥34或k ≤-4B .-4≤k ≤34C .-34≤k ≤4 D .以上都不对 12.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A .1条B .2条C .3条D .4条二、填空题13.已知点A(-1,2),B(-4,6),则|AB|等于________.14.平行直线l1:x -y +1=0与l2:3x -3y +1=0的距离等于________.15.若直线l 经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l 的方程为________或________.16.若直线m 被两平行线l1:x -y +1=0与l2:x -y +3=0所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°,其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.求经过点A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式,斜截式和截距式.18.(1)当a 为何值时,直线l1:y =-x +2a 与直线l2:y =(a2-2)x +2平行? (2)当a 为何值时,直线l1:y =(2a -1)x +3与直线l2:y =4x -3垂直?19.在△ABC 中,已知点A(5,-2),B(7,3),且边AC 的中点M 在y 轴上,边BC 的中点N 在x 轴上,求:(1)顶点C 的坐标;(2)直线MN 的方程.20.过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x -y -2=0和l2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被P 点平分,求此直线方程.21.已知△ABC 的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程;(2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程;(3)AB 边的中线的方程.22.当m 为何值时,直线(2m2+m -3)x +(m2-m)y =4m -1.(1)倾斜角为45°;(2)在x 轴上的截距为1.数学必修二第三章综合检测题1A 斜率k =2+3-24-1=33,∴倾斜角为30°. 2D 由条件知kBC =kAC ,∴b -11-2-8=11-18-3,∴b =-9. 3C 由直线方程的点斜式得y -2=tan30°(x -1),整理得3x -3y +6-3=0.4A ∵A1B2-A2B1=3×3-1×(-2)=11≠0,∴这两条直线相交.5A 直线变形为m(x +2)-(y -1)=0,故无论m 取何值,点(-2,1)都在此直线上。

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数学必修二综合测试题一. 选择题*1.下列叙述中,正确的是( )(A )因为,P Q αα∈∈,所以PQ ∈α(B )因为P α∈,Q β∈,所以αβ⋂=PQ(C )因为AB α⊂,C ∈AB ,D ∈AB ,所以CD ∈α(D )因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂*2.已知直线l 的方程为1y x =+,则该直线l 的倾斜角为( ). (A)30 (B)45 (C)60 (D)135*3.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是( ).(A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2*4.长方体的三个面的面积分别是632、、,则长方体的体积是( ).A .23B .32C .6D .6*5.棱长为a的正方体内切一球,该球的表面积为( )A 、2a πB 、22a πC 、32a πD 、a π24*6.若直线a 与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线( )(A )只有一条 (B )无数条 (C )是平面α内的所有直线 (D )不存在 **7.已知直线l 、m 、n 与平面α、β,给出下列四个命题:①若m ∥l ,n ∥l ,则m ∥n ②若m ⊥,m ∥, 则x yO x yO x yO xyO⊥③若m ∥ ,n ∥ ,则m ∥n ④若m ⊥ , ⊥ ,则m ∥或m其中假命题...是( ).(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④**8.在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( ).**9.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积...为( * ).(A) 4π(B) 54π(C) π (D) 32π**10.直线03y 2x =--与圆9)3y ()2x (22=++-交于E 、F 两点,则∆EOF (O 是原点)的面积为( ).A .52B .43C .23D .556**11.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率的取值k 范围是 ( )A 、34k ≥或4k ≤-B 、34k ≥或14k ≤-C 、434≤≤-k D 、443≤≤k ***12.若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点,则k 的取值范围是( ).A .[)∞+,1 B . )43,1[-- C .]1,43(D .]1,(--∞二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.**13.如果对任何实数k ,直线(3+k)x +(1-2k)y +1+5k=0都过一个定点A ,那么点A 的坐标是 .**14.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上,PA 、PB 、PC 两两垂直,且PA=PB=PC=a ,那么这个球面的面积是 . **15.已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆(-)(+),则12O O 圆与圆的位置关系为 .***16.如图①,一个圆锥形容器的高为a ,内装一定量的水.如果将容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为2a(如图②),则图①中的水面高度为 .三.解答题:**17.(本小题满分12分)如图,在OABC 中,点C (1,3).(1)求OC 所在直线的斜率;(2)过点C 做CD ⊥AB 于点D ,求CD 所在直线的方程.**18.(本小题满分12分)如图,已知正四棱锥V -ABCD 中,AC BD M VM 与交于点,是棱锥的高,若6cmAC=,5cmVC=,求正四棱锥V-ABCD的体积.***19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(1)求证:EF∥平面CB1D1;(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.***20. (本小题满分12分)已知直线1l:mx-y=0 ,2l:x+my-m-2=0王新敞(Ⅰ)求证:对m∈R,1l与2l的交点P在一个定圆上;(Ⅱ)若1l与定圆的另一个交点为1P,2l与定圆的另一交点为2P,求当m在实数范围内取值时,⊿21PPP面积的最大值及对应的m.***21. (本小题满分12分)如图,在棱长为a的正方体ABCDDCBA-1111中,(1)作出面11A BC与面ABCD的交线l,判断l与线11A C位置关系,并给出证明;(2)证明1B D⊥面11A BC;(3)求线AC到面11A BC的距离;(4)若以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,试写出1,B B 两点的坐标.****22.(本小题满分14分)已知圆O :221x y +=和定点A (2,1),由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ,切点为Q ,且满足PQ PA =.(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系;(2) 求线段PQ 长的最小值;(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点,试求半径取最小值时圆P 的方程.参考答案一.选择题 DBACA BDCCD AB二.填空题 13. )2,1(- 14. 2a 3π 15. 相离16. (1a三.解答题17. 解: (1) 点O (0,0),点C (1,3),∴ OC 所在直线的斜率为30310OC k -==-.(2)在OABC 中,//AB OC ,CD ⊥AB ,∴ CD ⊥OC .∴ CD 所在直线的斜率为13CD k =-. ∴CD所在直线方程为13(1)3y x -=--,3100x y +-=即.18. 解法1:正四棱锥V -ABCD 中,ABCD 是正方形,11163222MC AC BD ∴===⨯=(cm)且11661822ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=(cm 2).VM 是棱锥的高,∴Rt △VMC 中,4VM ==(cm).∴正四棱锥V -ABCD 的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(cm 3).解法2:正四棱锥V -ABCD 中,ABCD 是正方形,∴ 11163222MC AC BD ===⨯=(cm).且AB BC AC === . ∴2218ABCD S AB ===(cm2).VM 是棱锥的高, ∴Rt △VMC 中,2222534VM VC MC =-=-=(cm).∴正四棱锥V-ABCD的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(cm 3). 19. (1)证明:连结BD .在长方体1AC 中,对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点, //EF BD ∴.11//EF B D ∴. 又B 1D 1平面11CB D ,EF ⊄平面11CB D ,∴ EF ∥平面CB 1D 1.(2) 在长方体1AC 中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,而B 1D 1平面A 1B 1C 1D 1,∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1⊥B 1D 1,∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又 B 1D 1平面CB 1D 1,∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.20. 解:(Ⅰ)1l 与 2l 分别过定点(0,0)、(2,1),且两两垂直,∴ 1l 与 2l 的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆:0)1y (y )2x (x =-+- 即0y x 2y x 22=--+王新敞(Ⅱ)由(1)得1P (0,0)、2P (2,1), ∴⊿21P PP 面积的最大值必为45r r 221=⋅⋅.此时OP 与12P P 垂直,由此可得m=3或13-.21.解:(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ,易知BE 即为直线l ,∵AC ∥11A C ,AC ∥l ,∴l ∥11A C .(2)易证11A C ⊥面11DBB D ,∴11A C ⊥1B D ,同理可证1A B ⊥1B D ,又11A C ⋂1A B =1A ,∴1B D ⊥面11A BC .(3)线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离,也就是点1B 到面11A BC 的距离,记为h ,在三棱锥111B BA C -中有111111B BA C B A B C V V --=,即1111111133A BC ABC S h S BB ∆∆⋅=⋅,∴h =.(4)1(,,0),(,,)C a a C a a a22. 解:(1)连,OP Q 为切点,PQ OQ ⊥,由勾股定理有222PQ OP OQ=-.又由已知PQ PA =,故22PQ PA =.即:22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为:230a b +-=. (2)由230a b +-=,得23b a =-+.PQ ===故当65a =时,min PQ =即线段PQ解法2:由(1)知,点P 在直线l :2x + y -3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点A 到直线 l 的距离.∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 |2 2 + 12= 255 . (3)设圆P 的半径为R ,圆P 与圆O 有公共点,圆 O 的半径为1,1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP===,故当65a=时,minOP=此时, 3235b a=-+=,min1R.得半径取最小值时圆P的方程为22263()()1)55x y-+-=.解法2:圆P与圆O有公共点,圆 P半径最小时为与圆O外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1,圆心P为过原点与l垂直的直线l’与l的交点P0.r =32 2 + 1 2-1 =355-1.又l’:x-2y = 0,解方程组20,230x yx y-=⎧⎨+-=⎩,得6,535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P0(65,35).∴所求圆方程为22263()()1)55x y-+-=.。

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