青海省西宁市大通回族土族自治县2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
青海省西宁市大通县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
青海省西宁市大通县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，则M∪N＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣2＜x≤3}C．{x|﹣3＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}3．函数f（x）＝（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值是（）A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0或a≠14．如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A．B．C．D．5．下列说法不正确的是（）A．奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点B．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交C．若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝0D．若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点6．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．107．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem），其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．8．设a＝，b＝，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c9．sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（）A．B．C．D．10．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的〖解析〗式为（）A．B．C．D．11．在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（）A．B．﹣1C．D．12．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点（1，﹣2），则tanθ＝．14．已知向量，满足，，且，则与的夹角为．15．函数y＝的值域是．16．设常数a使方程在闭区间〖0，2π〗上恰有三个不同的解x1，x2，x3，则实数a的取值集合为，x1+x2+x3＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．求：（1）A∩B；（2）（∁U A）∩（∁U B）．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（2，1）．（1）若||＝2，且，求的坐标；（2）若||＝，且与的夹角为π，求的值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的〖解析〗式；（2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）求函数f（x）的值域．21．（12分）已知，．（1）分别求tanα，的值；（2）若角β终边上一点P（7，1），求tan（2α+β）的值．22．（12分）设函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1．（1）设x∈〖﹣，〗，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求φ的值，并求函数g（x）的单调增区间．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗第一象限角不一定小于第二象限角，比如第二象限的角120°小于第一象限的角390°，故A错误；大于0°而小于90°的角为锐角，故B正确；480°为第二象限角，但不是钝角，故C错误；480°为第二象限角，但是大于平角，故D错误．故选：B．2．A〖解析〗集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤2}．故选：A．3．C〖解析〗由指数函数的定义，得，解得a＝2．故选：C．4．D〖解析〗∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DE＝CB，则与向量相等的有，．故选：D．5．D〖解析〗奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，正确，比如f（x）＝，偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交，正确，比如函数f（x）＝log2|x|，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则交点关于y轴对称，则x1+x2＝0，正确，若奇函数的图象与y轴相交，则当x＝0时，f（0）＝0恒成立，则与y轴的交点一定是原点，故D错误，则不正确的是D，故选：D．6．C〖解析〗令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．7．D〖解析〗根据加密密钥为y＝kx3，利用其加密、解密原理可知，当x＝4时，y＝2，从而2＝k×43，解得k＝；设接受方接到密文为“”的“明文”为b，则有＝×b，解得b＝，即解密后得明文为，故选：D．8．D〖解析〗∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．9．C〖解析〗sin45°•cos15°+cos225°•sin15°＝sin45°•cos15°﹣cos45°•sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝故选：C．10．B〖解析〗由图象可知，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，则，∴函数的〖解析〗式为，故选：B．11．C〖解析〗如图，∵，∴，∴＝，且，又，∴＝＝．故选：C．12．A〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴f（x）＝x5，∴f（x）在R上为奇函数，由a+b＞0，得a＞﹣b，∵f（x）在R上为单调增函数，∴f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0恒成立．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．﹣2〖解析〗因为角θ的终边过点（1，﹣2），所以tanθ＝＝﹣2．故〖答案〗为：﹣2．14．〖解析〗设向量与的夹角为θ，由向量夹角余弦公式cosθ＝＝＝，又因为0≤θ≤π，故θ＝．故〖答案〗为：．15．（﹣∞，﹣3〗〖解析〗由x2+8≥8，所以y＝≤log8＝﹣3，故函数y的值域是（﹣∞，﹣3〗．故〖答案〗为：（﹣∞，﹣3〗．16．{}；〖解析〗∵，∴a＝，如图所示，作出函数，x∈〖0，2π〗的图象，再作直线y＝a，由图可知，只有当a＝时，直线y＝a与函数，x∈〖0，2π〗的图象有三个交点，即x1＝0，，x3＝2π，故x1+x2+x3＝．故〖答案〗为：{}；．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）∵A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}；（2）∵全集U＝R，A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴∁U A＝{x|x≤0或x＞2}，∁U B＝{x|﹣3≤x≤1}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{x|﹣3≤x≤0}．18．解：（1）因为＝（2，1），，所以＝λ＝（2λ，λ），又因为||＝2，所以，解得λ＝±2，所以的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．（2）由（1）知||＝＝，又因为||＝，与的夹角为π，所以＝||•||•cosπ＝••（﹣1）＝﹣．所以＝2﹣2+3＝10﹣+3（﹣）＝0．19．解：（1）由图可知f（﹣2）＝4﹣2m＝0，解得m＝2，设x＞0，则﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x，∴f（x）＝；（2）作出函数f（x）的图象如图所示：f（x）min＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0；当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2；当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4；当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．所以a的取值范围为：（﹣1，0）．20．解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：证明：因为2x﹣1≠0，所以x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又因为f（﹣x）＝＝＝＝﹣﹣＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；（2）令y＝，可得2x＝＝，又因为2x＞0，且2x≠1，所以，解得y＞或y＜﹣，故函数的值域为：（﹣）∪（）．21．解：（1）∵已知，，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，＝sinαcos+cosαsin＝+（﹣）×＝．（2）若角β终边上一点P（7，1），则tanβ＝，tan2α＝＝，∴tan（2α+β）＝＝7．22．解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，由于x∈〖﹣，〗，所以，故；故函数f（x）的最大值为﹣1，最小值为﹣3．（2）函数g（x）＝f（x+φ）+4m为偶函数，所以2φ﹣＝k（k∈Z），整理得φ＝（k∈Z），由于0＜φ，故φ＝；此时g（x）＝cos2x+4m﹣1，令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得（k∈Z），故函数的单调递增区间为〖〗（k∈Z）．青海省西宁市大通县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题中正确的是（）A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，则M∪N＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣2＜x≤3}C．{x|﹣3＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}3．函数f（x）＝（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值是（）A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0或a≠14．如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A．B．C．D．5．下列说法不正确的是（）A．奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点B．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交C．若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝0D．若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点6．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．107．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem），其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．8．设a＝，b＝，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c9．sin45°•cos15°+cos225°•sin15°的值为（）A．B．C．D．10．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的〖解析〗式为（）A．B．C．D．11．在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（）A．B．﹣1C．D．12．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点（1，﹣2），则tanθ＝．14．已知向量，满足，，且，则与的夹角为．15．函数y＝的值域是．16．设常数a使方程在闭区间〖0，2π〗上恰有三个不同的解x1，x2，x3，则实数a的取值集合为，x1+x2+x3＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．求：（1）A∩B；（2）（∁U A）∩（∁U B）．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（2，1）．（1）若||＝2，且，求的坐标；（2）若||＝，且与的夹角为π，求的值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的〖解析〗式；（2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）求函数f（x）的值域．21．（12分）已知，．（1）分别求tanα，的值；（2）若角β终边上一点P（7，1），求tan（2α+β）的值．22．（12分）设函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1．（1）设x∈〖﹣，〗，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求φ的值，并求函数g（x）的单调增区间．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗第一象限角不一定小于第二象限角，比如第二象限的角120°小于第一象限的角390°，故A错误；大于0°而小于90°的角为锐角，故B正确；480°为第二象限角，但不是钝角，故C错误；480°为第二象限角，但是大于平角，故D错误．故选：B．2．A〖解析〗集合M＝{x|﹣3＜x≤2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤2}．故选：A．3．C〖解析〗由指数函数的定义，得，解得a＝2．故选：C．4．D〖解析〗∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DE＝CB，则与向量相等的有，．故选：D．5．D〖解析〗奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，正确，比如f（x）＝，偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和轴相交，正确，比如函数f（x）＝log2|x|，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为x1，x2，则交点关于y轴对称，则x1+x2＝0，正确，若奇函数的图象与y轴相交，则当x＝0时，f（0）＝0恒成立，则与y轴的交点一定是原点，故D错误，则不正确的是D，故选：D．6．C〖解析〗令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．7．D〖解析〗根据加密密钥为y＝kx3，利用其加密、解密原理可知，当x＝4时，y＝2，从而2＝k×43，解得k＝；设接受方接到密文为“”的“明文”为b，则有＝×b，解得b＝，即解密后得明文为，故选：D．8．D〖解析〗∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．9．C〖解析〗sin45°•cos15°+cos225°•sin15°＝sin45°•cos15°﹣cos45°•sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝故选：C．10．B〖解析〗由图象可知，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，则，∴函数的〖解析〗式为，故选：B．11．C〖解析〗如图，∵，∴，∴＝，且，又，∴＝＝．故选：C．12．A〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴f（x）＝x5，∴f（x）在R上为奇函数，由a+b＞0，得a＞﹣b，∵f（x）在R上为单调增函数，∴f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0恒成立．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．﹣2〖解析〗因为角θ的终边过点（1，﹣2），所以tanθ＝＝﹣2．故〖答案〗为：﹣2．14．〖解析〗设向量与的夹角为θ，由向量夹角余弦公式cosθ＝＝＝，又因为0≤θ≤π，故θ＝．故〖答案〗为：．15．（﹣∞，﹣3〗〖解析〗由x2+8≥8，所以y＝≤log8＝﹣3，故函数y的值域是（﹣∞，﹣3〗．故〖答案〗为：（﹣∞，﹣3〗．16．{}；〖解析〗∵，∴a＝，如图所示，作出函数，x∈〖0，2π〗的图象，再作直线y＝a，由图可知，只有当a＝时，直线y＝a与函数，x∈〖0，2π〗的图象有三个交点，即x1＝0，，x3＝2π，故x1+x2+x3＝．故〖答案〗为：{}；．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）∵A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}；（2）∵全集U＝R，A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴∁U A＝{x|x≤0或x＞2}，∁U B＝{x|﹣3≤x≤1}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{x|﹣3≤x≤0}．18．解：（1）因为＝（2，1），，所以＝λ＝（2λ，λ），又因为||＝2，所以，解得λ＝±2，所以的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．（2）由（1）知||＝＝，又因为||＝，与的夹角为π，所以＝||•||•cosπ＝••（﹣1）＝﹣．所以＝2﹣2+3＝10﹣+3（﹣）＝0．19．解：（1）由图可知f（﹣2）＝4﹣2m＝0，解得m＝2，设x＞0，则﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x，∴f（x）＝；（2）作出函数f（x）的图象如图所示：f（x）min＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0；当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2；当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4；当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．所以a的取值范围为：（﹣1，0）．20．解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：证明：因为2x﹣1≠0，所以x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又因为f（﹣x）＝＝＝＝﹣﹣＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；（2）令y＝，可得2x＝＝，又因为2x＞0，且2x≠1，所以，解得y＞或y＜﹣，故函数的值域为：（﹣）∪（）．21．解：（1）∵已知，，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，＝sinαcos+cosαsin＝+（﹣）×＝．（2）若角β终边上一点P（7，1），则tanβ＝，tan2α＝＝，∴tan（2α+β）＝＝7．22．解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，由于x∈〖﹣，〗，所以，故；故函数f（x）的最大值为﹣1，最小值为﹣3．（2）函数g（x）＝f（x+φ）+4m为偶函数，2021-2022学年期末考试试题所以2φ﹣＝k（k∈Z），整理得φ＝（k∈Z），由于0＜φ，故φ＝；此时g（x）＝cos2x+4m﹣1，令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得（k∈Z），故函数的单调递增区间为〖〗（k∈Z）．21。
青海省西宁市2021版高一上学期期末数学试卷(II)卷
青海省西宁市2021版高一上学期期末数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·杭州期中) 设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（）A .B .C . 与共线D .3. （2分）(2019·成都模拟) 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A .B .C .D .4. （2分）若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A . 2B .C . 1D . -25. （2分）生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项锥误的是（）A . HG=2OGB . ++=C . 设BC边中点为D，则有AH=3ODD . S△ABG=S△BCG=S△ACG6. （2分） (2017高二上·太原月考) 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·临泉开学考) 设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）A . 当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B . 当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C . 当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D . 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件8. （2分）已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A . 4B .C .D .9. （2分） (2016高二上·德州期中) 一束光线从点（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径长度是（）A . 4B . 5C . 3D . 210. （2分）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD 上任意两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A . 点P到平面QEF的距离B . 直线PQ与平面PEF所成的角C . 三棱锥P-QEF的体积D . 二面角P-EF-Q的大小11. （2分） (2019高一下·东莞期末) 圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（）A . 4B . 6C . 16D . 3612. （2分） (2019高一上·西安月考) 以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将折叠，使平面平面BCD，则AC与BC的夹角为（）．A .B .C .D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）14. （1分） (2016高二上·六合期中) 直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为________．15. （1分）(2020·大庆模拟) 已知双曲线的右顶点为A,且以A为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，若，则双曲线C的离心率的取值范围是________．16. （1分）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·连云港期末) 已知梯形ABCD中，，如图（1）所示.现将△ABC沿边BC翻折至 A'BC，记二面角A'—BC—D的大小为θ.（1）当θ＝90°时，如图（2）所示，过点B作平面与A‘D垂直，分别交于点E，F，求点E到平面的距离；（2）当时，如图（3）所示，求二面角的正切值18. （10分）(2013·湖北理) 如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1 ， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2 ．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2 ，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．19. （15分）已知两定点M（0，1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为，直线y=kx﹣1与点P的轨迹交于A，B两点．（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在k使得• =11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由．20. （5分）如图，O是长方体ABCD﹣A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D．21. （10分）(2020·吉林模拟) 已知O为坐标原点，椭圆的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点.（1）以AB为直径的圆与相切，求该圆的半径；（2）在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22. （5分）(2016·四川模拟) 在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A1E⊥平面ABC．（I）证明：BC1∥平面 A1EC；（II）若A1A⊥A1B，且AB=2．①求点B到平面ACC1A1的距离；②求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：考点：解析：。
青海省西宁市大通回族土族自治县2021届高三一模拟考试数学(理)试题
大通县2021届高三年级3月份模拟考试测试卷数学考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知312iz i-=-，则z 的虚部是（ ） A.i B.i - C.1 D.1-2.已知集合{}2680A x Nx x =∈-+∣，则A 的真子集个数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.83.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛，某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（ ）A.85，75B.85，76C.74，76D.75，77 4.在等比数列{}n a 中，379a a =，则5a =（ ）B.3C.D.3±5.将函数()sin f x x =的图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为6π，则（ ） A.13ω=B.6ω=C.16ω= D.3ω= 6.已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）A.64πB.48πC.32πD.16π 7.已知0.1233.2,log 5,log 2a b c ===，则（ ） A.b a c >> B.c b a >> C.b c a >> D.a b c >>8.某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ） A.18 B.38 C.78 D.899.已知()y f x =的图象关于坐标原点对称，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=-恒成立，当10x -<时，()2xf x =，则()2021f =（ ）A.1-B.12-C.12D.1 10.设双曲线2222:1(0)24x y C a a a-=>的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为C 右支上的一点，且12PF PF ⊥，则21tan PF F ∠=（ ）A.2B.74 C.43 D.12511.已知定义在R 上的函数()f x 满足()220f =，且()f x 的导函数()f x '满足()262f x x >'+，则不等式()322f x x x >+的解集为（ ）A.{2}xx >-∣ B.{2}x x >∣ C.{2}x x <∣ D.{2x x <-∣或2}x > 12.正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为（ ）A.12 B.12 C.12 D.4第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上.13.在二项式72x⎛ ⎝的展开式中，含9x 项的系数为__________.14.若向量,a b 满足()4,22,8a b a b a ==+⋅=，则,a b 的夹角为__________.15.《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”这首歌诀的意思是：996斤棉花分别赠送给八个子女做旅费，从第二个孩子开始，每人分得的棉花比前一人多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得棉花为__________斤.16.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线与坐标轴交于点A ，若过点A 的直线与抛物线C 相切于点B ，且2AB =，则p =__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,sin2.a b c B B =（1）求B ； （2）若38,cos 5a A ==，求BC 边上的中线长AD . 18.(12分)已知在三棱柱111ABC A B C -中，1111,,1,2,120AC BC AC A B BC AC CC ACC ∠⊥⊥====（1）证明:BC ⊥平面11A ACC . （2）若12CP CA =，求二面角1B A P C --的余弦值. 19.(12分)为了解华人社区对于新冠疫苗的想法与态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者，最担心接种疫苗后会有“副作用”，其实任何疫苗都有一定的副作用，新型冠状病毒疫苗接种后也是有一定副作用的，跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用，在新冠疫苗的副作用中，有发热､疲乏､头痛､注射部位的疼痛等表现，为了了解某种疫苗是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：（1）求22⨯列联表中的数据,,,x y m n 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与注射此种疫苗有关；（2）从注射疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若总初始分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X ，求X 的分布列和数学期望.附()()()()22():,n ad bc K n a b c d a b a c c d b d -==+++++++)20k0.1502.07220.(12分)已知函数()()23e .xf x x m =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()221210,,,48xxx x f x ∞∀∈+∀∈>-R ，求m 的取值范围.21.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为,,A B E 为C 上不同于,A B 的动点，直线,AE BE 的斜率,AE BE k k 满足1,2AE BE k k AE BE ⋅=-⋅的最小值为一4. （1）求C 的方程.（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线12,l l 满足12//,//l AE l BE ，且12,l l 分别交C 于,M N 和,P Q .试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,(sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线:2l x y +=. 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的普通方程及直线l 的极坐标方程； （2）直线00:0,4m πθθθ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与曲线C 和直线l 分别交于,(,A B A B 均异于点)O 两点，求OA OB 取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲](10分) 已知函数()22 1.f x x x =-++ （1）求不等式()5f x 的解集；（2）记()f x 的最小值为M ，若关于x 的不等式2x m x M -+-有解，求m 的取值范围.高三数学试卷参考答案(理科)1.D 因为()()31231125i i i z i i -+-===+-，所以1z i =-.2.C 因为{}{}{}2680242,3,4A x Nx x x N x =∈-+=∈=∣∣，所以A 的真子集个数是3217.-= 3.B 因为出现次数最多的数是85，所以众数为85；从小到大排列，中间两个数为75，77，所以中位数为75772+76.= 4.D 由等比数列的性质可得25379a a a ==，则5 3.a =±5.A 由题意可知()sin g x x ω=，因为()g x 的最小正周期为6π，所以26T ππω==，得13ω=. 6.C 由题意可知该圆锥的底面圆半径为4，母线长为8，则该圆锥的侧面积是1248322ππ⨯⨯⨯=.7.A 因为0.10.522331 3.23.22,log 5log 42,log 2log 31<<=<=，所以.b a c >>8.D 遇到4次均不是绿灯的概率为4211381⎛⎫-= ⎪⎝⎭，遇到3次不是绿灯的概率为31422813381C ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以至少遇到2次绿灯的概率为188181819--=.9.B 因为()y f x =是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，所以()()2f x f x +=-， 所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()y f x =的周期为4， 故()()()()112021450511122f f f f -=⨯+==--=-=-.10.C 易知2225c a =，则125,210.c a F F c a ===因为P 为C 右支上的一点，所以122.PF PF a -= 因为12PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，则()222222100PF aPF a ++=，解得26PF a =，所以18PF a =，故12124tan 3PF PF F PF ∠==. 11.B 令函数()()322g x f x x x =--，则()()2620g x f x x =--'>'，所以()g x 在R 上单调递增.因为()2g =()3222220f -⨯-⨯=，故原不等式等价于()()2g x g >，所以所求不等式的解集为{2}.x x >∣12.A 因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体，所以其体积为11113212⨯⨯⨯=. 设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则1141132r ⨯⨯⨯⨯=，得r = 如图，取AD 的中点为E ，则()()2(PA PD PE EA PE ED PE PE EA ⋅=+⋅+=+⋅+21)4ED EA ED PE +⋅=-显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值.设正四面体内切球球心为O ，可求得4OA OD ==.因为球心O 到点E 的距离4d ===，所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为4d r -=-=，即当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD13.189 通项为()51427421773.rr r r r T C x C x --++==⋅令51492r -=，解得2r =，所以含9x 项的系数为2273C ⋅=189. 14.34π 设,a b 的夹角为θ，因为()2||8a b a a a b +⋅=+⋅=，且4a =，所以8.a b ⋅=-因为4,a b ==，所以cos2a b a b θ⋅===-，故34πθ=. 15.133 设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{}n a ，则公差17d =，从而123818a a a a a ++++=+87179962⨯⨯=，解得165a =，故51465417133.a a d =+=+⨯=由题意知，抛物线C 的准线方程为2p y =-，点0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线的斜率k 一定存在，设切线的方程为2p y kx =-，切点()00,B x y ，联立抛物线C 与切线的方程22,,2x py p y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得2220x pkx p -+=，由Δ=222440p k p -=，解得 1.k =±当1k =时，则2220x px p -+=，可得0x p =，则0.2p y =因为2AB =，所以220042p x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得p =当1k =-时，同理可得p =.17.解：（1）由题意可得2sin cos B B B =.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，则cos 2B =. 因为0B π<<，所以.4B π=（2）因为3cos 5A =，所以4sin 5A =. 因为ABC π++=，所以()43sin sin sin cos cos sin 55C A B A B A B =+=+=+=. 由正弦定理可得sin sin a c A C =，则8sin 104sin 5a Cc A⨯===由余弦定理可得2222cos 981624582AD AB BD AB BD B =+-⋅=+-⨯⨯=，则AD =.18.（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形. 因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形. 则11A C AC ⊥.因为11AC A B ⊥，且111A C A B A ⋂=， 所以1AC ⊥平面1.A BC因为BC ⊂平面1A BC ，所以1.BC AC ⊥（2）解：以C 为坐标原点，CB 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系.C xyz -因为112,1,120AC CC BC ACC ∠====， 所以()()()(120,0,0,1,0,0,0,2,0,,0,,03C B A A P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设平面1A BP 的法向量为(),,m x y z =，则1203103m BP x y m PA y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取z =(6,m =--.平面1A PC 的一个法向量为()1,0,0n =，则cos ,10m n m n m n⋅===. 因为二面角1B A P C --为锐角，所以二面角1B A P C --的余弦值为10.19.解（1）由题意得40,20402020m y m ==-=-=，16010060,602080.x n x y =-==+=+=因为22200(100202060)252.083 2.072160401208012K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有85%的把握认为有疲乏症状与注射此种疫苗有关.（2）从注射疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X =，当这3人中恰有1人有疲乏症状时，13X =，当这3人中没有人有疲乏症状时，16.X =因为()()21122626338831510,132828C C C C P X P X C C ⋅⋅======， ()30623851614C C P X C ⋅=== 所以X 的分布列如下：()555101316(2828144E X =⨯+⨯+⨯=或13.75). 20.解（1）()()223.xf x x x e -'=+当31x -<<时，()0f x '<； 当3x <-或1x >时，()0.f x '>故()f x 在()3,1-上单调递减，在(()(),3,1,∞∞--+上单调递增. （2）由（1）知()f x 在()0,∞+上的最小值为()12f e m =-+ 设22x t =，则222348(0)xx t t t -=->设函数()23(0)g x x x x =->，则()223g x x x -'=.当203x <<时，()0;g x '>当23x >时，()0.g x '< 所以max 24()327g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭因为()()221210,,,48xxx x R f x ∞∀∈+∀∈>-，所以4227e m -+>， 解得4227m e >+，故m 的取值范围为42,27e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭21.解（1）设()00,E x y ，则220022 1.x y a b+=因为2202220002222200001AE BE x b a y y y b k k x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， ()()()()22222220000000221x c AE BE x a x a y x a x a b x c c a a ⎛⎫⋅=+-+=+-+-=-- ⎪⎝⎭， 所以2221,24,b a c ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 所以桶圆C 的方程为221.84x y += （2）根据椭圆的对称性，可知,OM ON OP OQ ==，所以四边形MPNQ 为平行四边形，所以4MPNQ OMP S S =设12,l l 的斜率分别为()()121122,,,,,k k M x y P x y ，则111y k x =，①222y k x =①因为12//,//l AE l BE ，所以1212AE BE k k k k ⋅=⋅=-. 当MP 的斜率不存在时1212,,y y x x =-=. 由①⨯①，得2221121112y k k x x -==-，结合2211184x y +=，解得112,x y ==所以1114422MPNQ OMP S S y x ==⨯⨯= 当MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+， 联立方程组221,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214280k x kmx m +++-=， 则()()()22222Δ(4)421288840km k m k m =-+-=+->，2121222428,2121km m x x x x k k -+=-=++因为()22121212121212121212k x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-， 所以22222222841212128221m km k km m k k m k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--+，整理得224 2.m k =+ 因为直线MP 过()0,m ， 所以1214422MPNQ OMP S Sm x x m ==⨯⨯-=2m =･= 将2242mk =+代人，整理得MPNQ S =综上，四边形MPNQ 的面积为定值，且定值为22.解：（1）由曲线C 的参数方程为1cos ,(sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数), 可得曲线C 的普通方程为22(1) 1.x y -+=由直线l 的普通方程为2x y +=，可得直线l 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ+=(或1sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭) （2）因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的极坐标方程为()sin cos ρθθ+=所以00,0,tan 14OA OB πθθ⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭， 所以OA OB的取值范围为2⎛ ⎝.23.解：（1）当1x <-时，由()221135f x x x x =---=-，得413x -<-； 当一11x 时，由()22135f x x x x =-++=-，得一11;x当1x >时，由()221315f x x x x =-++=-，得1 2.x <综上所述，不等式()5f x 的解集为42.3x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣ （2）由（1）可知()min ()12M f x f ===， ()()222x m x x m x m -+----=-，当()()20x m x --时，等号成立 因为关于x 的不等式22x m x -+-有解，所以22m -，即一222m -，解得04m ， 所以m 的取值范围是[0，4].。
青海省西宁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（1）确定函数 的解析式；
（2）用定义法证明 在 上是增函数；
（3）解关于x的不等式 ．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，求得 ，再根据 ，求得 的值，即可求得函数的解析式.
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可证得函数 在区间 上是增函数.
由三角函数的定义，知 ，
故选：C．
7.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性及指数函数值可得结论．
【详解】 ,
， ，
所以 ．
故选： ．
8.已知 ，则 的值为（）.
A.4B.3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式得到 ，然后转化 得解.
【详解】由函数 得 ，
的图象上相邻两个最高点间的距离为一个周期，即为 ，所以A错误；
由 得 ，
当 时 的单调递减区间为 ，
当 时 的单调递减区间为 ，故B错误；
由 得 的对称轴方程为 ，
令 由 得 ，所以C错误；
的图象向右平移 个单位长度后，
得 ，
由 ，所以函数为偶函数，故D正确.
故选：D.
二、填空题
A. 的图象上相邻两个最高点间的距离为
B. 的图象在区间 上单调递减
C. 的图象关于直线 成轴对称
D. 的图象向右平移 个单位长度后，所得函数为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数 的周期可判断A；求出函数 的单调递减区间可判断B；求出由函数 的对称轴方程可判断C；根据函数图象平移规律和奇偶性的定义可判断D正确.
2020-2021学年青海省西宁市大通县高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年青海省西宁市大通县高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，2，4，6}，B＝{x|﹣0.5＜x＜2.5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2，4}B．{﹣1，2}C．{2}D．{2，4}2．（5分）已知复数z＝1+（a﹣1）i，a∈R，i为虚数单位，则“a＞0”是“复数z在复平面内对应的点位于第一象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若tan x＝﹣，则sin2x＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，若，则m＝（）A．1或﹣2B．﹣1或2C．1或D．﹣1或5．（5分）高校毕业生就业关乎千家万户．在2020年8月1日新疆自治区政府新闻办召开的疫情防控工作新闻发布会上，自治区人力资源和社会保障厅党组副书记、厅长热合满江•达吾提介绍，在当前疫情防控形势下，我区以离校未就业高校毕业生为重点，优化就业服务，调整工作方式方法，加大线上服务力度，助力未就业高校毕业生早就业快就业．据自治区人社厅统计，截至7月31日，全区近8万名高校毕业生实现就业．其中区属普通高校毕业生10.23万人，实现就业66975人，就业率m%；内地高校新疆籍毕业生返疆报到登记18625人，实现就业n人，就业率约m%，与去年同期基本持平．则n的值约为（）A．12194B．13002C．12561D．128456．（5分）若双曲线的离心率，则实数m的取值范围为（）A．（3，6）B．（1，3）C．（2，3）D．（2，4）7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k＝（）A．3B．4C．5D．68．（5分）函数f（x）＝ln的大致图象为（）A．B．C．D．9．（5分）某高校对全体大一新生开展了一次有关“人工智能引领科技新发展”的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分100分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的5名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是（）①甲、乙的中位数之和为155；②甲的平均成绩较低，方差较小；③甲的平均成绩较低，方差较大；④乙的平均成绩较高，方差较小；⑤乙的平均成绩较高，方差较大A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤10．（5分）某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E，则PE与底面所成的角为（）A．B．C．D．11．（5分）已知圆C：x2+y2﹣8y+14＝0上任意一点P，设点P到直线l：mx﹣y﹣3m+1＝0的距离为d，当d取最大值时，直线l的方程为（）A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y﹣2＝0D．x+y﹣4＝0 12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B为以F为圆心、AF为半径的圆与抛物线C的一个交点，O为坐标原点，记∠ABO＝θ，则tanθ＝（）A．B．C．D．二.填空题（共4小题）.13．（5分）曲线f（x）＝x3﹣4x在点（2，f（2））处的切线方程为．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的取值范围为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B＝b sin（B+C）tan C，则cos C＝．16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{ln c n}的前n项和S n．18．（12分）随着炎炎夏日的高温攀升和国内疫情的稳定好转，大家逐渐开始不满于口罩的“束缚”，街头巷尾，不戴口罩的人越来越多．不戴口罩固然能让人“呼吸顺畅”倍感轻松，但是戴口罩，对于新冠肺炎、流感、肺结核等呼吸道传染病具有很好的预防作用，既保护了自己，又有益于公众健康．尤其在新冠肺炎疫情防控工作中，口罩发挥了重要的作用．下面是2020年8月1日口罩市场的价格表（单位：元）：一次性普通口罩一次性医用口罩民用KN95口罩医用KN95口罩型号价格厂家A0.310.86 1.989.38B0.550.72 1.849.05C0.390.76 2.718.31（1）根据A、B、C三个厂家的数据，分别求一次性普通口罩、一次性医用口罩、民用KN95口罩、医用KN95口罩的平均价格（结果保留三位小数）；（2）若某药店要进一批口罩销售，这四种型号的口罩各进货1000只，一次性普通口罩以1元钱销售，一次性医用口罩以2元钱销售，民用KN95口罩以3元钱销售，医用KN95口罩以10元钱销售，若这批口罩将全部出售，请问该药店在哪一个厂家进货利润更大（四种类型的口罩都在同一厂家进货）？19．（12分）如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AE⊥CD，AC⊥BC，四边形BCDE为平行四边形．（Ⅰ）证明：AE⊥EC；（Ⅱ）若AE＝EC＝CB＝，求点D到平面ABE的距离．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且点P（2，1）在椭圆C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B不同两点，且直线PA与直线PB的倾斜角互补，试求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣xlnx+x2（a∈R）．（1）当a≥0时，证明：函数f（x）单调递增；（2）当a＞0时，令，若g（x）≥2，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m2﹣1|﹣|x﹣m|．（1）当m＝1时，求不等式的解集；（2）若f（x）≤1，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，2，4，6}，B＝{x|﹣0.5＜x＜2.5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2，4}B．{﹣1，2}C．{2}D．{2，4}解：∵集合A＝{﹣3，﹣1，2，4，6}，B＝{x|﹣0.5＜x＜2.5}，∴A∩B＝{2}．故选：C．2．（5分）已知复数z＝1+（a﹣1）i，a∈R，i为虚数单位，则“a＞0”是“复数z在复平面内对应的点位于第一象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：z＝1+（a﹣1）i对应点的坐标为（1，a﹣1），若复数z在复平面内对应的点位于第一象限，必有a﹣1＞0，可得a＞1，则“a＞0”是“在复平面内复数z所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）若tan x＝﹣，则sin2x＝（）A．B．C．D．解：因为，所以x为第二或第四象限的角；若x为第二象限的角，则，；若x为第四象限的角，则，；所以．故选：B．4．（5分）已知向量，若，则m＝（）A．1或﹣2B．﹣1或2C．1或D．﹣1或解：向量，由，得m2﹣（2﹣m）＝0，解得m＝1或m＝﹣2．故选：A．5．（5分）高校毕业生就业关乎千家万户．在2020年8月1日新疆自治区政府新闻办召开的疫情防控工作新闻发布会上，自治区人力资源和社会保障厅党组副书记、厅长热合满江•达吾提介绍，在当前疫情防控形势下，我区以离校未就业高校毕业生为重点，优化就业服务，调整工作方式方法，加大线上服务力度，助力未就业高校毕业生早就业快就业．据自治区人社厅统计，截至7月31日，全区近8万名高校毕业生实现就业．其中区属普通高校毕业生10.23万人，实现就业66975人，就业率m%；内地高校新疆籍毕业生返疆报到登记18625人，实现就业n人，就业率约m%，与去年同期基本持平．则n的值约为（）A．12194B．13002C．12561D．12845解：由题意有，解得：n≈12194，故选：A．6．（5分）若双曲线的离心率，则实数m的取值范围为（）A．（3，6）B．（1，3）C．（2，3）D．（2，4）解：由题意知，m＞0，离心率e＝＝，∵，∴2＜1+＜4，解得1＜m＜3，∴实数m的取值范围为（1，3）．故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k＝（）A．3B．4C．5D．6解：模拟程序的运行，可得S＝0，k＝1不满足条件S＞，执行循环体，k＝2，S＝＝不满足条件S＞，执行循环体，k＝3，S＝+＝不满足条件S＞，执行循环体，k＝4，S＝＝此时，满足条件S＞，退出循环，输出k的值为4．故选：B．8．（5分）函数f（x）＝ln的大致图象为（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝ln＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝f（x），函数f（x）为偶函数，排除A、B，又由f（e）＝lne＝，排除D，故选：C．9．（5分）某高校对全体大一新生开展了一次有关“人工智能引领科技新发展”的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分100分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的5名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是（）①甲、乙的中位数之和为155；②甲的平均成绩较低，方差较小；③甲的平均成绩较低，方差较大；④乙的平均成绩较高，方差较小；⑤乙的平均成绩较高，方差较大A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤解：由茎叶图可得甲、乙两组数据的中位数分别为76，79，∴甲、乙的中位数之和为155，故①正确；＝＝78，＝＝81，＝[（63﹣78）2+（72﹣78）2+（76﹣78）2+（83﹣78）2+（96﹣78）2]＝122.8，．故②错误，③正确，④正确，⑤错误．所以正确的说法是①③④．故选：B．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E，则PE与底面所成的角为（）A．B．C．D．解：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，∠PEA为PE与底面所成的角．∵，∴，∴．故选：A．11．（5分）已知圆C：x2+y2﹣8y+14＝0上任意一点P，设点P到直线l：mx﹣y﹣3m+1＝0的距离为d，当d取最大值时，直线l的方程为（）A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y﹣2＝0D．x+y﹣4＝0解：直线l：mx﹣y﹣3m+1＝0过定点M（3，1），圆C：x2+y2﹣8y+14＝0的圆心C（0，4），半径；当MC⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，此时d取得最大值，∵k MC＝﹣1，∴k l＝1，即直线l方程为x﹣y﹣2＝0．故选：C．12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B为以F为圆心、AF为半径的圆与抛物线C的一个交点，O为坐标原点，记∠ABO＝θ，则tanθ＝（）A．B．C．D．解：由|AF|＝p，有|BF|＝p，由抛物线的性质可知点B的横坐标为，可得BF⊥AF，∠BAF＝45°，，由θ＝∠BOF﹣∠BAF＝∠BOF＝45°，有，故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）＝x3﹣4x在点（2，f（2））处的切线方程为8x﹣y﹣16＝0．解：由f（x）＝x3﹣4x，得f′（x）＝3x2﹣4，∴f′（2）＝8，由f（2）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝8（x﹣2），即8x﹣y﹣16＝0．故答案为：8x﹣y﹣16＝0．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的取值范围为[﹣3，7]．【解答】作出不等式组表示的平面区域如图：线性区域的端点坐标为（1，1），（1，﹣3），（﹣1，1），画出直线x﹣2y＝0，平移可知，当直线z＝x﹣2y过B时，z的最大值为7，当直线z＝x﹣2y过C时，z的最小值为﹣3，故z的取值范围为[﹣3，7]．故答案为：[﹣3，7]．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B＝b sin（B+C）tan C，则cos C＝．解：由题意有，又由正弦定理有，所以，由于0＜C＜π，所以C＝．故cos C＝．故答案为：．16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为．解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴以AC，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝＝，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为：S＝πR3＝π×（）3＝π．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{ln c n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）依题意，a1，a3，a9成等比数列，故，即（a2+d）2＝（a2﹣d）（a2+7d），∵a2＝2，∴（2+d）2＝（2﹣d）（2+7d），整理，得d2﹣d＝0，解得d＝1，或d＝0（舍去），∴a1＝a2﹣d＝2﹣1＝1．∴数列{a n}的通项公式为a n＝n，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，故，∴S n＝lnC1+lnC2+…ln∁n＝ln1﹣ln2+ln2﹣ln3+…+lnn﹣ln（n+1）＝ln1﹣ln（n+1）＝﹣ln（n+1）．18．（12分）随着炎炎夏日的高温攀升和国内疫情的稳定好转，大家逐渐开始不满于口罩的“束缚”，街头巷尾，不戴口罩的人越来越多．不戴口罩固然能让人“呼吸顺畅”倍感轻松，但是戴口罩，对于新冠肺炎、流感、肺结核等呼吸道传染病具有很好的预防作用，既保护了自己，又有益于公众健康．尤其在新冠肺炎疫情防控工作中，口罩发挥了重要的作用．下面是2020年8月1日口罩市场的价格表（单位：元）：型号一次性普通口罩一次性医用口罩民用KN95口罩医用KN95口罩价格厂家A0.310.86 1.989.38B0.550.72 1.849.05C0.390.76 2.718.31（1）根据A、B、C三个厂家的数据，分别求一次性普通口罩、一次性医用口罩、民用KN95口罩、医用KN95口罩的平均价格（结果保留三位小数）；（2）若某药店要进一批口罩销售，这四种型号的口罩各进货1000只，一次性普通口罩以1元钱销售，一次性医用口罩以2元钱销售，民用KN95口罩以3元钱销售，医用KN95口罩以10元钱销售，若这批口罩将全部出售，请问该药店在哪一个厂家进货利润更大（四种类型的口罩都在同一厂家进货）？解：（1）一次性普通口罩的平均价格为：元，一次性医用口罩的平均价格为：元，民用KN95口罩的平均价格为：元，医用KN95口罩的平均价格为：元．（2）在A厂家购买口罩后销售的利润为：1000×（1﹣0.31）+1000×（2﹣0.86）+1000×（3﹣1.98）+1000×（10﹣9.38）＝3470元；在B厂家购买口罩后销售的利润为：1000×（1﹣0.55）+1000×（2﹣0.72）+1000×（3﹣1.84）+1000×（10﹣9.05）＝3840元；在C厂家购买口罩后销售的利润为；1000×（1﹣0.39）+1000×（2﹣0.76）+1000×（3﹣2.71）+1000×（10﹣8.31）＝3830元；由2840＞3830＞3470，故该药店在B厂家进货利润更大．19．（12分）如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AE⊥CD，AC⊥BC，四边形BCDE为平行四边形．（Ⅰ）证明：AE⊥EC；（Ⅱ）若AE＝EC＝CB＝，求点D到平面ABE的距离．解：（Ⅰ）因为平面AEC⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面AEC，BC⊥AE，又AE⊥CD，CD∩BC＝C，则AE⊥平面BCDE，又EC⊂平面BCDE，所以AE⊥EC；（Ⅱ）已知，则AC＝2，BE＝2，连接BD，如图所示：，由等体积法求点D到平面ABE的距离，即V D﹣ABE＝V A﹣BDE，在平行四边形BCDE中，△BDE的面积等于Rt△BCE的面积；顶点A到平面BDE的距离为；又Rt△ABE的面积为；设点D到平面ABE的距离为h，由V D﹣ABE＝V A﹣BDE得：，所以h ＝1，即点D到平面ABE的距离为1．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且点P（2，1）在椭圆C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B不同两点，且直线PA与直线PB的倾斜角互补，试求直线l的斜率．解：（1）由题意得，解得，故椭圆C的方程为．（2）由直线PA与直线PB的倾斜角互补可设k PA＝k，k PB＝﹣k，A（x1，y1），B（x2，y2），则直线PA的方程为y＝k（x﹣2）+1，联立方程组：，整理得（4k2+3）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣12＝0．因为2，x1是以上方程的两根，所以，即，则y1＝k（x1﹣2）+1＝，同理可得，，故，即直线l的斜率为：．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣xlnx+x2（a∈R）．（1）当a≥0时，证明：函数f（x）单调递增；（2）当a＞0时，令，若g（x）≥2，求实数a的取值范围．解：（1）证明，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝ae x﹣（lnx+1）+2x＝ae x+（2x﹣lnx﹣1），令，令h'（x）＞0，可得，可得函数h（x）的增区间为，减区间为，可得，又由ae x≥0，得f'（x）＞0，故当a≥0时，函数f（x）单调递增．（2）由题意有，，令g'（x）＞0，可得x＞1，可得函数g（x）的增区间为（1，+∞），减区间（0，1），有g（x）min＝g（1）＝ae+1≥2，可得，故所求实数a的取值范围为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解：（1）在直线l的参数方程中消去参数t有x＝2（y+1）+4，整理可得直线l的的直角坐标方程为x﹣2y﹣6＝0，曲线C的极坐标方程可化为4ρ2sin2θ+3ρ2cos2θ＝12，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2＝12．（2）曲线C的直角坐标方程可化为，设点P的坐标为，点P到直线l的距离为，故点P到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m2﹣1|﹣|x﹣m|．（1）当m＝1时，求不等式的解集；（2）若f（x）≤1，求实数m的取值范围．解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1，①当x＜1时，不等式，可化为，得，不合题意，舍去；②当1≤x≤2时，不等式，可化为，得，有；③当x＞2时，不等式，可化为，得，有x＞2．由上知不等式的解集为．（2）由f（x）≤|（x﹣m2﹣1）﹣（x﹣m）|＝|m2﹣m+1|＝m2﹣m+1，若f（x）≤1，有m2﹣m+1≤1，解得0≤m≤1，故若f（x）≤1，则实数m的取值范围[0，1]．。
青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高一上学期期末数学试题及参考答案
青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合U =R ，{}22-≤>=x x x M 或，则U M =ð（）A.{}22x x -<< B.{}22x x -<≤ C.{2x x >或}2x <- D.{2x x ≥或}2x ≤-2.已知扇形的圆心角为1rad 5，半径为5，则扇形的弧长为（）A.12B.1C.2D.43.“α为第一象限角”是“tan 0α>”的（）A.充分不必要条B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点()3,2a 在幂函数()()1bf x a x =-的图象上，则（）A.()1f x x-= B.()122f x x= C.()3f x x= D.()13f x x=5.已知函数()3sin 2022f x ax b x =++，若()2021f m =，则()f m -=（）A.2021-B.2022C.2023D.2023-6.已知5sin 5α=，cos α=tan 2α等于（）A.2-B.2C.2-D .2)±-7.函数3πcos tan 02y x x x ⎛=⋅≤<⎝且π2x ⎫≠⎪⎭的图象是下列图象中的（）A. B.C. D.8.定义：对于()f x 定义域内的任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 使得1=成立，则称函数()f x 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）A.()ln f x x= B.()exf x = C.()sin exf x = D.()cos f x x=二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，值域是()0,∞+的是（）A.y =B.()()20,1x y x x +=∈+∞+ C.2121y x x =++ D.1tan y x=10.若“,0x M x ∃∈<”为真命题，“,3x M x ∃∈≥”为假命题，则集合M 可以是（）A.(,1)-∞ B.[]1,3- C.[)0,2 D.()3,3-11.已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则能够使得2cos y x =变成函数()f x 的变换为（）A.先横坐标变为原来的12倍，再向右平移6π个单位长度B.先横坐标变为原来的2倍，再向左平移12π个单位长度C.先向右平移3π个单位长度，再横坐标变为原来的12倍D.先向左平移24π个单位长度，再横坐标变为原来的2倍12.设函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论正确的是（）A.7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()7f x +为奇函数C.()f x 在()6,8上为减函数D.方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()lg ,03,0xx x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则110f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.14.若角的终边经过点()()1,0P m m -≠，且2sin 2m θ=，则m =______.15.已知一元二次不等式23208kx kx ++>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是___________．16.函数()cos sin f x x x =+在[]π,π-上有______个零点.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3α=.（1）求tan α的值；（2）求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.已知函数2()2f x ax ax b =-++.（1）当1a =、3b =时，解不等式()0f x >；（2）若0a >、0b >，且()12f =，求11a b+的最小值.19.已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.20.已知函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.21.已知函数()()()log 1log 1a a f x bx x =+--（0a >且1,0a b ≠>）为奇函数.（1）求()f x 的定义域；（2）求关于x 的不等式()0f x >的解集.22.某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710xy x=+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？参考答案一､选择题1.【答案】B 【解析】【分析】根据补集的运算可得答案.【详解】{}22U M x x =-<≤ð．2.【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式计算即可求解.【详解】∵扇形的圆心角为1rad 5，半径为5，∴由弧长公式得扇形的弧长为1515l r α=⋅=⨯=.3.【答案】A 【解析】【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若α为第一象限角则必有tan 0α>；反之，若tan 0α>，则α为第一或第三象限角.4.【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数的定义求出a ，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【详解】 函数()()1bf x a x =-是幂函数，11a ∴-=，即2,a =∴点()8,2在幂函数()bf x x =的图象上，8b∴=2，即13b =，故()13f x x =.5.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得函数函数()()32022sin g x f x ax b x =-=+是奇函数，进而()()4044f m f m +-=，结合题意即可求解.【详解】设()()32022sin g x f x ax b x =-=+，则()()()33()sin sin g x a x b x ax b x g x -=-+-=--=-，即函数()g x 是奇函数，()()2022f x g x =+，则()()()()202220224044f m f m g m g m +-=++-+=，而()2021f m =，所以()2023f m -=.6.【答案】C 【解析】【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：2α正切值的符号.【详解】方法一：∵5sin 5α=，25cos 5α=，∴sin tan 221cos ααα==-+.方法二：∵sin 05α=>，cos 0α=>，∴α的终边落在第一象限，2α的终边落在第一或第三象限，即tan 02α>，∴tan 2.2α==7.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的自变量，将函数变形为π3πsin ,0,22πsin ,.2x x x y x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.【详解】依题意，π3πsin ,0,22cos tan πsin ,.2x x x y x x x x ππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或由此判断出正确的选项为C.8.【答案】B 【解析】【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A ，()ln f x x =，由121ln ln 1x x ==⇒=，当11x =时，则不存在2x 满足情况，故A 不是正积函数；对于B ，()e xf x =12121e e 10x x x x ==⇒=⇒+=，则任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 满足120x x +=，故B 是正积函数；对于C，()sin e xf x =，由1212sin sin sin sin 1e e 1e 1x x x x +==⇒=⇒=，得12sin sin 0x x +=，当10x =时，则2sin 0x =，2πx k =，k ∈Z ，则2x 不唯一，故C 不是正积函数；对于D ，()cos f x x =121cos cos 1x x ==⇒=，当[)1cos 0,1x ∈时，则不存在2x 满足情况，故D 不是正积函数.二､多选题9.【答案】CD 【解析】【分析】利用基本初等函数的性质以及不等式的性质求出各选项中函数的值域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，32y ==，A 不满足条件；对于B 选项，当0x >时，则11x +>，所以()()112111,2111x x y x x x +++===+∈+++，B 不满足条件；对于C 选项，对于函数2121y x x =++，1x ≠-，则()22110211y x x x ==>+++，C 满足条件；对于D 选项，对于函数1tan y x=，tan 0x >，则10tan y x =>，D 满足条件.10.【答案】AD 【解析】【分析】由已知条件，写出命题,3x M x ∃∈≥的否定，即为真命题，四个选项逐一判断即可.【详解】由题意,0x M x ∃∈<为真命题，,3x M x ∀∈<为真命题，则应满足选项为集合{}3x x <的子集，且满足,0x M x ∃∈<，AD 选项均满足，B 选项当3x =时不符合,3x M x ∀∈<，故错误，C 选项不存在,0x M x ∈<，故错误.11.【答案】AC 【解析】【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，结合三角函数图象变换可得出结论.【详解】由图可知，()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为54126⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T πππ，则22Tπω==．又2cos 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()23k k πϕπ+=∈Z ，而2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．把2cos y x =图象向右平移3π得2cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12倍即得()f x 的图象；或者先将2cos y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12，再将所得图象右移6π个单位长度得到()f x 的图象．12.【答案】ABD 【解析】【分析】根据()1f x +为偶函数和()1f x -为奇函数可得731222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可判断A ；利用函数的奇偶性建立方程，证明()f x 为一个周期函数，即可判断B ；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C ；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A ：()1f x +为偶函数，故()()11f x f x +=-+，令52x =，得7531222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1f x -为奇函数，故()()11f x f x -=---，令12x =，得3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1131244f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以73132224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；B ：因为()1f x -为奇函数，则()()11f x f x -=---,得(2)()f x f x --=-，又()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，得()()2f x f x -+=，所以(2)(2)f x f x --=--+，令x x =-得(2)(2)-=-+f x f x ，即()(4)f x f x =-+，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即(8)()f x f x +=，所以8为函数()f x 的一个周期.故()()71f x f x +=-，所以()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+，从而()7f x +为奇函数，故B 正确；C ：()21f x x =-+在区间(]1,0-上是增函数，且()f x 的图象关于点()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，又()f x 周期为8，故()f x 在()6,8上单调递增，故C 错误；D ：作出()f x 与lg y x =-的大致图象，如图所示，其中lg y x =-单调递减且lg 61,lg121->--<-，所以两函数图象有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，故D 正确.三､填空题13.【答案】1-【解析】【分析】根据函数解析式直接代入求解即可.【详解】由题意可得111lg lg1011010f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.14.【答案】1±【解析】2m =，解方程即可得解.【详解】由题意，22sin m θ==，因为0m ≠，所以1m =±.15.【答案】{}03k k <<【解析】【分析】由题意，函数()23028y kx k k x ++≠=的图象在x 轴上方，故00k >⎧⎨∆<⎩，解不等式组即可得k 的取值范围．【详解】解：因为不等式23208kx kx ++>为一元二次不等式，所以0k ≠，又一元二次不等式23208kx kx ++>对一切实数x 都成立，所以有22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩，解得003k k >⎧⎨<<⎩，即03k <<，所以实数k 的取值范围是{}03k k <<.16.【答案】2【解析】【分析】由已知()f x 为偶函数.当0πx ≤≤时，由sin 0x ≥恒成立，可得()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得出3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.再根据偶函数的性质即可得出答案.【详解】因为()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，则函数()f x 是偶函数.当0πx ≤≤，sin 0x ≥恒成立，()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0πx ≤≤，所以ππ5π444x ≤+≤，当ππ4x +=，即3π4x =时，()0f x =，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()f x 是偶函数，所以3π3π044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以函数()f x 在[]π,π-上有2个零点.四､解答题17.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）根据已知可求出22sin 3α=，进而即可得出答案；（2）根据两角和的余弦公式，即可得出结果.【小问1详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，所以22sin 3α===，所以sin 3tan 1cos 3ααα===.【小问2详解】由（1）得，1cos 3α=，22sin 3α=，则πππcos cos cos sin sin 333ααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭113232=⨯-⨯16-=.18.【答案】（1）(1,3)-；（2）2.【解析】【分析】（1）本题首先可根据题意将()0f x >转化为2230x x -++>，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据(1)2f =得出2a b +=，然后将11a b +转化为122b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后根据基本不等式即可求出最值.【详解】（1）因为1a =，3b =，2()2f x ax ax b =-++，所以不等式()0f x >即2230x x -++>，(3)(1)0x x -+<，解得13x -<<，故不等式()0f x >的解集为(1,3)-.（2）因为(1)2f =，所以2a b +=，则111111()2222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故11a b+的最小值为2.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19.【答案】（1）()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）由正弦函数性质知在()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈上递增，即可求增区间；（2）应用整体法求π26x +的区间，再由正弦函数性质求值域.【小问1详解】由()πππππ2π22πππZ 26236k x k k x k k -≤+≤+⇒-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间是()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ5π2,666x -≤+≤从而1sin 2,162πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 210,36x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.所以()f x 的值域为[]0,3.20.【答案】（1）()1222xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）偶函数，在[0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.【解析】【分析】（1）由题得2b =，0a b +=，即得解；（2）利用函数的奇偶性定义证明函数是偶函数，再判断函数的单调性得解.【小问1详解】解：由题得2b =，∵()00f a b =+=，∴22a b =-=，.∴()1222xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：函数()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=.∴()f x 是偶函数.当0x ≥时，1()=2()22xf x -⋅+，由复合函数的单调性原理得此时函数是增函数.∴()f x 在[0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.21.【答案】（1）()1,1-；（2）当1a >时，解集为()0,1；当01a <<时，解集为()1,0-；【解析】【分析】（1）根据函数()f x 为奇函数，利用()()f x f x -=-列式求解1b =，再代入解不等式；（2）分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求解分式不等式，再与定义域求交集.【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a bx x bx x --+=-++-，所以22211b x x -=-，得21b =，又因为0b >，所以1b =根据解析式可得，1010x x +>⎧⎨->⎩，所以11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-，（2）解不等式()()()log 1log 10a a f x x x =+-->，即解1log 01ax x +>-当1a >时，1log 01a x x +>-等价于111x x+>-，即201x x >-，解得01x <<；当01a <<时，1log 01ax x +>-等价于111x x +<-，即201x x <-，解得0x <或1x >，又因为11x -<<，所以解集为10x -<<.综上，当1a >时，解集为()0,1；当01a <<时，解集为()1,0-；【点睛】解对数不等式问题时，首先需要注意定义域的限制，其次如果底数不确定时，需要分类讨论底数1a >和01a <<两种情况，结合对数函数的单调性求解不等式解集.22.【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+（2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x xy x xx x=+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x xyx x+-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010xx+=+，即20x=时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y最大.。
青海省西宁市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}32A x Z x =∈-<<{}0B x Z x =∈≥A B = A ． B ． C ． D ．{}0,1,2{}2,0,1-{}0{}0,1【答案】D【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】，， {|32}A x Z x =∈-<< {|0}B x Z x =∈≥,．{|02}{0A B x Z x ∴⋂=∈≤<=1}故选：．D 2．设命题，则它的否定为（ ） 2:N,2n p n n ∀∈≤A ． B ． 2N,2n n n ∃∈≤2N,2n n n ∀∈>C ． D ．2N,2n n n ∃∈>2N,2n n n ∃∉>【答案】C【分析】含有一个量词的命题的否定，既要改变量词，又要否定结论.【详解】命题，它的否定为：.故A ，B ，D 错误. 2:N,2n p n n ∀∈≤2N,2n n n ∃∈>故选：C. 3．（ ） 7πsin 6=A B ． C ．D ．1212-【答案】D【分析】直接利用诱导公式即可求解. 【详解】. 7πππ1sin sin sin 6662π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭故选：D4．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是 128A ． B ． C ．或 D ．或141424【答案】C【详解】设扇形的半径为，弧长为 ，则 r l 121282l r S lr +===，，∴解得 或 28r l ==，44r l ==，41lrα==或，故选C ．5．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.23a =30.2b =0.2log 3c =A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c a b >>c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数和对数函数单调性可求得，进而得到结果.10a b c >>>>【详解】0.20030.20.23310.20.20log 1log 3>==>>=> a b c ∴>>故选：A 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数的单调性确定临界值，从而得到大小关系. 6．已知，，则的最小值为（ ） 0x >0y >94x y x y+++A ． B．C ．D ．1012【答案】B【分析】利用基本不等式即可求出．【详解】因为，，由基本不等式可得，，x 0y>946410x y x y +++≥+=+=当且仅当时等号成立． 3,2x y ==故选：B ．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒100ml 精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝20~79mg 80mg 了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中0.6mg /ml 酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． （参考数据：，）． lg 20.30≈lg 30.48≈A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，t 60(120%)20t -<然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案． 【详解】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了， 0.6mg /ml 则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后， 100ml 60ml 他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，， 60(120%)20t -<10.83t ∴<． 0.8451lg 3lg 30.48log log 3 4.83lg 4lg 513lg 2130.3t ∴>=-=-=≈=---⨯整数的值为5．∴t 故选：C ．8．已知函数，．若有2个零点，则实数的取值范围是2(0)()1ln (0)x x f x x x-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()2a g x f x x =--()g x a （ ） A ． B ．C ．D ．(,1]-∞-[1,)+∞[1,)-+∞[0,)+∞【答案】D【分析】令，可得，作出函数与函数的图象，通过函数()0g x =()2a f x x =+()y f x =2a y x =+有2个零点求解的范围即可．()y g x =a 【详解】令，可得，作出函数与函数的图象如下图所示，()0g x =()2a f x x =+()y f x =2a y x =+由图可知，当时，即时，函数与函数的图象有2个交点， 21a ≥0a ≥()y f x =2a y x =+此时，函数有2个零点，因此，实数的取值范围是． ()y g x =a [0,)+∞故选：D ．二、多选题9．已知，，则下列不等式成立的是（ ） 0a b >>0c d >>A ． B ．a cb d +>+a b d c>C ． D ．()()cda b a b +>+a b a b c d ++>【答案】ABD【解析】根据不等式的基本性质，可判定A 、B 正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定C 错误，D 正确.【详解】由，，根据不等式的性质，可得，所以A 是正确的； 0a b >>0c d >>a c b d +>+由，，可得， 0a b >>0c d >>0,cd ac bd >>则，可得，所以B 正确； 0a b ac bdd c cd --=>a b d c>取，，则，从而，所以C 错误；14a =12b =()30,14a b +=∈3344cd⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由幂函数，在上是增函数， a b y x +=()0,∞+则由，即得，则D 正确. 0c d >>a b a b c d ++>故选：ABD .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） ()sin f x x =A ．的图像关于直线对称()f x 2x π=B ．是图像的一个对称中心 (),0π()f xC ．的一个周期为 ()f x πD ．在区间单调递减()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ACD【分析】由函数的对称性和诱导公式可判断；由函数的对称性和诱导公式可判断；由周期函数A B 的定义可判断；由正弦函数的单调性可判断．C D 【详解】由，，()|sin()||cos |22f x x x ππ+=+=()|sin()||cos |22f x x x ππ-=-=即有，()()22f x f x ππ+=-所以的图象关于直线对称，故正确；()f x 2x π=A 由， ()()|sin(||sin()||sin ||sin |2|sin |0f x f x x x x x x ππππ++-=++-=+=≠故的图象不关于对称，故错误． ()f x (,0)πB 由， ()|sin()||sin ||sin |()f x x x x f x ππ+=+=-==可得的周期为，故正确； ()f x πC 当时，，递增；2k x k πππ+……()|sin |0f x x =…()f x 当时，，递减．2k x k ππππ++……()|sin |0f x x =…()f x所以在区间单调递减，故正确．()f x [,0]2π-D 故选：．ACD 11．下列选项正确的是（ ）A ．3sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．5rad 7512π=︒C ．若终边上有一点，则α()43P ,-4sin 5α=-D ．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为6π【答案】BD【分析】利用诱导公式可判断A ，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B ，利用任意角的三角函数定义可判断C ，利用扇形的弧长和面积公式可判断D【详解】对于A ，，故A 错；3sin cos 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭παα对于B ，，故B 正确；55rad 180751212π=⨯︒=︒对于C ，若终边上有一点，则，故C 不正确； α()43P ,-3sin 5α==对于D ，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D 正6π16622ππ⨯⨯=确. 故选：BD12．设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路p S q L p q 图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.【详解】由题知，A 中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A 中S L L S 是的充分而不必要条件；p q B 中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B 中是的充要条件； S L L S p q C 中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C 中是的必要S L L S p q 而不充分条件；D 中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D 中是的充要条件． S L L S p q 故选：BD.三、填空题13．已知幂函数在区间上单调递减，则___________.()21()5m f x m m x -=--(0,)+∞m =【答案】2-【解析】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果． m 【详解】由题意，解得或， 251m m --=2m =-3m =又函数在区间上单调递减，则，∴． (0,)+∞10m -<2m =-故答案为：．2-14．已知，则__________．1sin()33πα-=π(0)2α<<πsin()6α+=【分析】由题设，利用同角平方关系、诱导公式求目标式的值. 【详解】因为 ,且, π02α<<πsin()03α->所以 ,且 π03α<<πcos()3α-==所以. ππππsin()sin ()cos()6233ααα⎡⎤+=--=-=⎢⎥⎣⎦15．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的解集是x 20ax bx c ++<{}3|1x x <<20cx bx a -+>______．【答案】 113xx x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭∣或【分析】根据不等式的解集可得，且方程得解为，，20ax bx c ++<0a >20ax bx c ++=11x =23x =再利用韦达定理将用表示，从而可得出答案．,b c a 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， x 20ax bx c ++<{}3|1x x <<所以，且方程得解为，， 0a >20ax bx c ++=11x =23x =则，，所以，，4b a-=3ca =4b a =-3c a =则不等式，即为，20cx bx a -+>2340ax ax a ++>即，解得或，23410x x ++>13x >-1x <-所以的解集是， 20cx bx a -+>113xx x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭∣或故答案为： 113xx x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭∣或16．若对任意的实数，不等恒成立，则实数的取值范[0,4]x ∈log (21)2log ()(01)a a x x m a +≥+<<m 围是______． 【答案】[1,)+∞【分析】，再参变分离后换元得到，x m +21122m t t ≥-++从而利用在上的单调性求出最大值，由此得到实数的取值范围．21122y t t =-++[1,3]t ∈m 【详解】因为，所以在上单调递减， 01a <<log a y x =()0,∞+要使得不等式有意义， log (21)2log ()a a x x m +≥+需要在恒成立，可得，0x m +>[0,4]x ∈0m >此时不等式恒成立，即，log (21)2log ()a a x x m +≥+x m ≤+m x ≥-令，且，t =[1,3]t ∈212t x -=所以，22111222t m x t t t -≥=-=-++因为在上单调递减，21122y t t =-++[1,3]t ∈所以当时，取得最大值为1，则，1t =21122y t t =-++m 1≥综上：，故实数的取值范围是．m 1≥m [1,)+∞【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用对数函数的单调性去掉“”，结合换元法，将问题转化为f 二次函数在某区间上的恒成立问题.四、解答题17．（1）求值：； 223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭（2）已知角的终边经过点，求的值．α(2,3)P ()()3ππcos sin π2cos cos 22αααα⎛⎫⎛⎫-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）；（2）．522113【分析】（1）根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.（2）利用三角函数的定义求出tan a ，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答．【详解】（1） 223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭ ()223332log 322122log 3122log 2log 33-⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 2223log 314532log 392=⨯+⨯=-（2）因角的终边经过点P （2，3）， α则由三角函数的定义得：， 3tan 2α=所以()()3cos πsin sin 2sin sin 2sin cos 2απαααααα⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭． 22222sin 2sin cos tan 2tan sin cos tan 1αααααααα++==++22332212213312⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭18．已知集合，集合.41242x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭{}3log (12)2B x x =+>(1)求；A B ⋃(2)已知，若 是 的充分不必要条件，求实数的取值{}22(1)(1)0C x x mx m m =-+-+≤x C ∈x B ∈m 范围.【答案】(1) {}3xx ≥∣(2) (5,)+∞【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可；,A B （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围.C C B m【详解】（1）由得 则 ， 41242x -≤≤36x ≤≤{}36A xx =≤≤∣由 得 则 ， 3log (12)2x +>>4x {4}B x x =>∣所以 ； {}3A B xx ⋃=≥∣（2）{}{}22(1)(1)011C x x mx m m x m x m =-+-+≤=-≤≤+因为 是 的充分不必要条件 x C ∈x B ∈所以是的真子集， C B 所以 ， 即 . 14m ->5m >即实数的取值范围为. m (5,)+∞19．已知函数． 2()4f x x =+(1)设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； ()()f x g x x=()g x (2,)+∞(2)当时，解关于x 的不等式． 0a >2()(1)2(1)f x a x a x >-++【答案】(1)证明见详解.(2)当时，；当时，；当时，.1a =2x ≠01a <<2(,)(,2)x a ∈+∞⋃-∞1a >2(2,)(,)x a ∈+∞⋃-∞【分析】（1）利用函数单调性的定义、作差法进行证明.（2）根据已知变形，把问题转化为含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论进行求解.【详解】（1）因为，所以，2()4f x x =+2()44()f x x g x x x x x+===+对于任意的，且， 12,(2,)x x ∈+∞12x x < 12121212124444()()(()()(g x g x x x x x x x x x -=+-+=-+-， 2112121212124()(4)()()x x x x x x x x x x x x ---=-+=由于，且，所以， 12,(2,)x x ∈+∞12x x <12120,40x x x x -<->故，所以在区间上单调递增；12()()0g x g x -<()g x (2,)+∞（2）不等式可化简为， 2()(1)2(1)f x a x a x >-++22(1)40ax a x -++>因为，所以上式化简得，0a >2(2)0x x a-->令，解得或，2()(2)0x x a--=2x =2x a =当时，即时，得； 22a=1a =2x ≠当时，即时，得；22a>01a <<2(,)(,2)x a ∈+∞⋃-∞当时，即时，得； 22a <1a >2(2,)(,)x a∈+∞⋃-∞综上，当时，；1a =2x ≠当时，；01a <<2(,)(,2)x a∈+∞⋃-∞当时，.1a >2(2,)(,x a∈+∞⋃-∞20．为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．(1)求函数；()y f x =(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】(1) *2*60120,35,N 270120,533,N x x x y x x x x ⎧-≤≤∈=⎨-+-<≤∈⎩(2)当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.【分析】（1）一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得即为净收入，根据题意建立函数关系即可.（2）根据函数解析式，利用一次函数、二次函数、分段函数，求出最值. 【详解】（1）当时，，令，解得，5x ≤60120y x =-601200x ->2x >，，，，*N x ∈ 3x ∴≥35x ∴≤≤*N x ∈当时，， 5x >2[602(5)]120270120y x x x x =---=-+-令，其整数解为：，， 22701200x x -+->233x ≤≤*N x ∈所以，，533x <≤*N x ∈所以 *2*60120,35,N 270120,533,N x x x y x x x x ⎧-≤≤∈=⎨-+-<≤∈⎩（2）对于，显然当时，元，*60120,35,N y x x x =-≤≤∈5x =max 180y =对于，2*270120,533,N y x x x x =-+-<≤∈因为，22(17.5)492.5y x =--+所以当或时，元，，17x =18max 492y =492180> 当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.∴21．已知函数(，且).()log (32),()log (32)a a f x x g x x =+=-0a >1a ≠（1）判断函数的奇偶性，并予以证明；()()f x g x -（2）求使的x 的取值范围.()()0f x g x ->【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）. 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据对数函数的定义得函数的定义域关于原点对称，再根据函数的奇偶()()f x g x -性定义判断即可；（2）由已知条件得，再分与两种情况讨论，结合对数函数的log (32)log (32)a a x x +>-01a <<1a >单调性列出不等式组，求出x 的取值范围即可.【详解】（1）函数是奇函数.()()f x g x -证明：要使函数的解析式有意义，()()f x g x -需的解析式都有意义，()log (32),()log (32)a a f x x g x x =+=-即解得， 320,320,x x +>⎧⎨->⎩3322x -<<所以函数的定义域是， ()()f x g x -3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭所以函数的定义域关于原点对称.()()f x g x ---因为()()f x g x ---log (32)log (32)a a x x =--+[]log (32)log (32)a a x x =-+--[()()]f x g x =--所以函数是奇函数.()()f x g x -（2）若，()()0f x g x ->即.log (32)log (32)a a x x +>-当时，有 1a >3232,320,320,x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩解得； 302x <<当时，有 01a <<3232,320,320,x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩解得， 302x -<<综上所述，当时，x 的取值范围是， 1a >30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，x 的取值范围是. 01a <<3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有本题函数的奇偶性的判断与证明､对数函数的单调性､根据单调性解不等式，不用对参数进行讨论，属于中档题目.22．已知函数 ()1sin 262πf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数最小正周期(2)当时，求函数最大值及相应的x 的值 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1)π(2)最大值，12π3x =【分析】（1）直接根据周期公式计算即可.（2）计算得到，再根据三角形性质得到最值. ππ5π2666x -≤-≤【详解】（1），最小正周期. ()1sin 262πf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2ππ2T ==（2），故， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2666x -≤-≤所以当，时，函数取得最大值. ππ262x -=3x π=11122-=。
青海省西宁市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
青海省西宁市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}1,2A =的非空子集个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上是增函数的为（ ） A ．cos y x =B ．2x y =C ．lg y x =D ．y x =3．若()()sin 0,tan 0,πθπθ-<-<则角θ 的终边在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．弧长为3，圆心角为1rad 的扇形面积为（ ） A ．94B ．92C ．2D ．π5．函数()f x = ） A ．{}0x x >B ．{}1x x >C ．{}1x x ≥D ．{}01x x <≤6．已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．1-2BC BA +B ． 12BC BA -C ． 1-2BC BA -D ． 12BC BA +7．函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个8．已知cos 8a π=，sin8b π=，20.3c -=，则（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >> 9．已知0a >，且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．已知幂函数()af x x =的图象经过函数()212x g x a -=-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点，则幂函数()f x 不具有的特性是（ ） A ．在定义域内有单调递减区间 B ．图象过定点()1,1 C ．是奇函数D ．其定义域是R11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ 0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的值域为[]1,1- C ．函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数cos y A x ω=的图象 12．设函数()f x 在定义域R 上满足()()0f x f x -+=，若()f x 在()0,∞+上是减函数，且()20f -=，则满足()()10x f x ->的x 的取值范围为（ ） A ．()(),11,2-∞B ．()()2,01,2-C ．()()212-+∞,,D ．()(),21,-∞-⋃+∞二、填空题13．计算：02378lg1008-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则()2g f x =⎡⎤⎣⎦时，x =__________．15．已知tan 54πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1sin cos ϕϕ=__________． 16．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且满足()()()f xy f x f y =+，()21f =.如果对于0x y <<，都有()()f x f y <，则不等式()()112f x f x -++<的解集为__________（表示成集合）．三、解答题17．已知角α的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求sin ,cos ,tan ααα的值；（Ⅱ）求2sin cos 22αα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．已知函数()22f x x x m =-++.（Ⅰ）若函数()f x 恰有一个零点，求实数m 的值；（Ⅱ）令()()1g x f x =-，若()g x 在区间[]2,2a a +上不单调，求实数a 的取值范围. 19．我国科研人员屠呦呦法相从青蒿中提取物青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间r （小时）之间近似满足如图所示的曲线（1）写出第一服药后y 与t 之间的函数关系式y=f （x ）； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于19微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？20．已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.21．已知全集U =R ，集合{}13A x x =≤≤，{}1,B x x m m A ==+∈.（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C ；（Ⅱ）若非空集合{}4D x a x a =-<<，且()D A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围.22．已知O 为坐标原点，(2cos OA x =，()sin ,1OB x x =+-，若()2f x OA OB =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】集合{}1,2A =的子集为{}{}{}1,12,2,∅ 因为要求非空的，故共有3个． 故答案为B ． 2．D 【解析】A cos y x =，，是偶函数，但是在整个()0,+∞上有增有减。
2020-2021学年西宁市高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年西宁市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(−1,0)，c ⃗ =(√3,k)，若a ⃗ −2b ⃗ 与c⃗ 共线，则实数k =( ) A. 0B. 1C. √3D. 32.设X ={x|0≤x ≤2}，Y ={y|0≤y ≤1}，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( )A. y =23xB. y =(x −2)2C. y =14x 2D. y =x −13.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是单调递减函数，若f(lnx)+f(ln 1x )−2f(1)<0，则x 的取值范围是( )A. (0,1e ) B. (1e ,e)C. (e,+∞)D. (0,1e )∪(e,+∞)4.设角A 是第三象限角，且|sin A2|=−sin A2，则A2在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.已知sin(x −9π14)cos π7+cos(x −9π14)sin π7=13，则cosx 等于( )A. 13B. −13C. 2√23 D. ±2√236.设集合，，i 为虚数单位，，则M ∩N为( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]7.已知函数f(x)=sin(π2x)−1−log a x({0<a <1)至少有5个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,√77) B. (√77,1) C. (√55,1) D. (0,√55) 8. 若函数f(x)=−sin 2ωx −6sinωxcosωx +3cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为2π，若对任意x ∈R 都有f(x)−1≤|f(α)−1|，则tanα的值为( )A. 32B. 23C. −32D. −239.已知函数f(x)的导函数f ′(x)只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数f(x)及f ′(x)的图象可以为( )()A. B.C. D.10.函数y=x2+1x2的图象关于()对称．A. 原点B. 直线y=−xC. y轴D. 直线y=x11.下列函数在(−∞,+∞)内为单调函数的是()A. y=x2−xB. y=|x|C. y=e−xD. y=sinx12.7.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像()A. 关于点对称B. 关于直线x=对称C. 关于点对称D. 关于直线x=对称二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos2α=35，则sin4α−cos4α=______ ．14.函数f(x)=4x−4x31+2x2+x4在R上的最大值为______ ．15.已知M={y|y=x2−4x+3,x∈R}，N={y|y=−x2+2x+8,x∈R}则M∩N=______．16.已知p，q∈R，p<q，不等式x2−px−qx+pq−2≤0的解集为[m,n]，有下列四个命题：①13p+13q∈[m,n]；②(m+1)(n+1)<(p+1)(q+1)；③n−m=q−p+2√2；④m3+n3>p3+q3．其中，全部正确命题的序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=ax2−(2a+1)x+a+1．(1)若a=2，解关于x的不等式f(x)≥0；(2)若对于a∈[−2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．18.如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是MN⏜弧上一点，∠PAB=θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮，求矩形铁皮PQCR面积的最大值和这时θ的值．19.A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形．记∠AOC=α．(1)若A点的坐标为(35,45)，求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值；(2)求|BC|2的取值范围．20.f(x)=x2+ax+bx是定义在[−4,0)∪(0,b]上的奇函数(1)求a，b的值；(2)用单调性定义证明：f(x)在(0,√b]上为减函数21.设集合A=x|2x2+3px+2=0，B=x|2x2+x+q=0，其中p，q，x∈R，当A∩B={12}时，求p的值和A∪B．22. 如图，在▱ABCD 中，AB =3，AD =2，∠BAD =60°． (1)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)求cos∠BAC 的值．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查了平面向量共线的坐标表示，属基础题．先求出a⃗−2b⃗ ，再根据向量共线的结论即可求解．解：因为向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(−1,0)，c⃗=(√3,k)，∴a⃗−2b⃗ =(3,√3)，∵a⃗−2b⃗ 与c⃗共线；∴3−3k=0⇒k=1．故选：B．2.答案：C解析：解：X={x|0≤x≤2}，Y={y|0≤y≤1}，对于A，由0≤23x≤43，函数值y构成的集合不在集合Y中，不是映射；对于B，由−2≤x−2≤0，可得0≤(x−2)2≤4，函数值y构成的集合不在集合Y中，不是映射；对于C，由0≤x2≤4，可得0≤14x2≤1，函数值y构成的集合在集合Y中，是映射；对于D，由−1≤x−1≤1，函数值y构成的集合不在集合Y中，不是映射．故选：C．运用映射的定义，考虑函数值的集合是否在集合Y中，即可得到结论．本题考查映射的定义和判断，考查运算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是单调递减函数，若f(lnx)+f(ln1x)−2f(1)<0，则f(lnx)+f(lnx)<2f(1)，∴lnx<−1，或lnx>1，∴0<x<1e，或x>e，故选：D．由题意可得则f(lnx)+f(lnx)<2f(1)，即lnx<−1，或lnx>1，由此求得x的范围．本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，对数不等式的解法，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查三角函数的符号，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先确定A2可能是第二或第四象限角，再根据|sin A2|=−sin A2，可得sin A2<0，从而可得结论．解：∵角A是第三象限角，则A2可能是第二或第四象限角，又|sin A2|=−sin A2，故sin A2<0，∴A2是第四象限角，故选D．5.答案：B解析：由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值，本题主要考查了两角和的正弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．解：∵sin(x−9π14)cosπ7+cos(x−9π14)sinπ7=13，∴sin(x−9π14+π7)=sin(x−π2)=−cosx=13，∴cosx=−13．故选：B．6.答案：C解析：7.答案：A解析：若使f(x)=sin(π2x)−1−log a x至少有5个零点，则只需使函数ℎ(x)与函数g(x)至少有5个交点；从而利用数形结合的思想方法求解即可．本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．解：若使f(x)=sin(π2x)−1−log a x至少有5个零点，则只需使函数f(x)与函数g(x)至少有5个交点；作函数ℎ(x)=−sin(π2x)−1与g(x)=log a x的图象如下，。
2021-2022学年青海省西宁市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
青海省西宁市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．下列在法则f的作用下，从集合A到集合B的对应中，不是映射的个数是（）A．0B．1C．2D．33．航海罗盘将圆周32等分，如图所示，则图中劣弧所对的圆心角为（）A．B．C．D．4．设，，则＝（）A．（﹣8，﹣2）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣2，2）5．若a＝，b＝，则a+b等于（）A．﹣10B．10C．﹣2D．26．若，则角α终边上一点的坐标可能是（）A．B．C．D．7．已知a＝log23，b＝（）3，c＝log3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 8．已知tan（5π+x）＝﹣2，则的值为（）A．4B．3C．﹣3D．﹣49．已知点（n，8）在幂函数f（x）＝（m﹣2）x m的图象上，则函数f（x）在区间〖n，n+1〗上的值域为（）A．〖﹣8，27〗B．〖2，3〗C．〖4，9〗D．〖8，27〗10．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b ﹣2的图像是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（0，〗C．（0，〗D．（﹣∞，〗12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象上相邻两个最高点间的距离为B．f（x）的图象在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线成轴对称D．f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数二、填空题13．函数的定义域是．14．函数f（x）＝sin（）的最小正周期是．15．函数y＝的零点为．16．已知函数f（x）＝log a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若角α终边经过点A，则＝．三、解答题17．（10分）如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣2|x|+3．（1）画出函数图像（画在答题卡上，标出关键点坐标）；（2）结合图像，试讨论方程f（x）＝m根的个数．19．（12分）已知向量与，其中．（1）若∥，求sinθ和cosθ的值；（2）若f（θ）＝，求f（θ）的值域．20．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，集合B＝{x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a＝2，求A∪B和A∩∁R B；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．21．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的〖解析〗式；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）确定函数f（x）的〖解析〗式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题1．C〖解析〗∵P＝Q，∴，解得，∴a﹣b＝0，故选：C．2．D〖解析〗根据映射的定义可得：①③中出现了一对多，②中，原象2，4没有像，④中元素完全符合映射的定义，所以不是映射的个数有3个，故选：D．3．B〖解析〗因为劣弧的弧长占了32等分中的7等分，所以劣弧所对的圆心角为．故选：B．4．A〖解析〗∵，，∴＝（﹣5﹣3，﹣1﹣1）＝（﹣8，﹣2），故选：A．5．D〖解析〗a＝＝﹣4，b＝＝6，∴a+b＝2，故选：D．6．C〖解析〗对于A，若角α终边上一点的坐标是，则sinα＝＝，故错误；对于B，若角α终边上一点的坐标是，则sinα＝＝﹣，故错误；对于C，若角α终边上一点的坐标是（，﹣），则sinα＝＝﹣，故正确；对于D，若角α终边上一点的坐标是（﹣，），则sinα＝＝，故错误．故选：C．7．A〖解析〗a＝log23＞log22＝1，b＝（）3＝＜1，c＝log3＜0，所以a＞b＞c，故选：A．8．B〖解析〗因为tan（5π+x）＝﹣2，则tan x＝﹣2，所以＝＝，故选：B．9．D〖解析〗因为函数f（x）＝（m﹣2）x m的是幂函数，所以m﹣2＝1，解得m＝3；所以函数f（x）＝x3，又点（n，8）在函数f（x）＝x3的图象上，所以n3＝8，解得n＝2，所以函数f（x）在区间〖2，3〗上是单调增函数，且f（2）＝8，f（3）＝27，所以f（x）的值域为〖8，27〗．故选：D．10．D〖解析〗由函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，则0＜b＜1，1＜a＜2，函数g（x）＝a x+b﹣2恒过定点（0，b﹣1），因为0＜b＜1，则﹣1＜b﹣1＜0，又1＜a＜2，则函数g（x）为单调递增函数，故选：D．11．B〖解析〗由题意可得，解得0，故选：B．12．D〖解析〗函数的最小正周期为，对于A：函数f（x）的图象上相邻的最高点的距离为π，故A错误；对于B：当x时，，故函数在该区间上不单调，故B 错误；对于C：当x＝﹣时，，故函数取不到最值，故C错误；对于D：函数f（x）＝向右平移个单位后，得到g（x）＝cos2x的关系式，故函数为偶函数，故D正确．故选：D．二、填空题13．（﹣2，0）∪（0，+∞）〖解析〗由题意得：，解得：x＞﹣2且x≠0，故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞），故〖答案〗为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．14．4〖解析〗因为f（x）＝sin（），所以f（x）的最小正周期为．故〖答案〗为：4．15．1〖解析〗令y＝＝0⇒＝，解得x＝1，故函数的零点为1，故〖答案〗为：1．16．1﹣〖解析〗因为函数f（x）＝log a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），若角α终边经过点A，所以sinα＝＝，cosα＝＝，则＝2sinαcosα﹣cosα＝2×﹣＝1﹣．故〖答案〗为：1﹣．三、解答题17．解：（1）由于圆O的半径为r＝10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝．（2）因为，所以l＝αr＝，S扇形AOB＝lr＝××10＝，又S△AOB＝×10×10＝25，所以阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣25．18．解：（1）由已知函数的定义域为R关于原点对称，且f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2|﹣x|+3＝x2﹣2|x|+3＝f（x），所以函数f（x）是偶函数；函数f（x）的图象如图所示：（2）由图象可得：当m＝3时，方程f（x）＝m有3个根，当m＞3或m＝2时，方程f（x）＝m有2个根，当2＜m＜3时，方程f（x）＝m有4个根，当m＜2时，方程f（x）＝m没有根．19．解：（1）∵与，∥，∴sinθ＝cosθ，∵sin2θ+cos2θ＝1，，∴sinθ＝，cosθ＝．（2）f（θ）＝＝sinθ+cosθ＝2sin（θ+），∵，∴∈（，），∴sin（）∈（，1〗，∴f（θ）∈（1，2〗．∴f（θ）的值域为（1，2〗．20．解：（I）a＝2时，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a+1}＝{x|3≤x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤5}，A∩∁R B＝{x|﹣2≤x≤5}∩{x|x＞5或x＜3}＝{x|﹣2≤x＜3}；（II）由A∪B＝A，得B⊆A，若B＝∅，则a+1＞2a+1，解得a＜0，当B≠∅，则，解得0≤a≤2，综上，a≤2，所以a的范围{a|a≤2}．21．解：（Ⅰ）由图像知，故，A＝2，再由＝﹣2得，故，结合0＜φ＜π得，故f（x）＝2sin（2x）；（Ⅱ）由y＝f（x）的图象向右平移个单位，得g（x）＝2＝2sin（2x﹣），要求函数y＝g（x）的单调递增区间，只需，解得，故g（x）的单调递增区间为〖〗，k∈Z．22．（1）解：函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，即有b＝0，且f（）＝，则，解得，a＝1，则函数f（x）的〖解析〗式：f（x）＝（﹣1＜x＜1）；（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）＝＝，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．。
青海省大通回族土族自治县第一中学2022-2023学年数学高一上期末学业质量监测试题含解析
2、D
【解析】利用垂径定理可求弦长.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
故弦长为： ，
故选：D.
3、A
【解析】根据图象求得函数解析式，再由 ， ，且 ，
得到 的图象关于 对称求解.
【详解】由图象知： ，
则 ， ，
所以 ，
因 在函数图象上，
所以 ，
则 ，
解得 ，
因为 ，则 ，
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为 与 大小比较的形式： ；
（2）利用函数单调性将 转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
偶函数的性质： ；奇函数性质： ；
若 在D上为增函数，对于任意 ，都有 ；
若 在D上为减函数，对于任意 ，都有 .
14、2
【解析】令 ，证得 为奇函数，从而可得 在 的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.
【详解】设 ，定义域为 ,
则 ，
所以 ，
即 ，所以 为奇函数，
所以 在 的最大值和最小值之和为0，
令 ，则
因为 ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ，
则 ，
∴
故答案为：2.
15、（1）3（2） 或
【解析】（1）由 可得 ，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
青海省西宁市大通回族土族自治县2020-2021学年高三上学期第一轮复习期末联考数学(理)试题
青海省大通县教学研究室2021届高三第一轮复习期末联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合{|12},{|03}A x x B x x =-=<，则A B ⋂=（ ）A ．{|10}x x -<B ．{|10}x x -C ．{|02}x x <<D ．{|02}x x < 2．已知复数z =，i 为虚数单位，则2z =（ ） A ．522i - B ．522i + C ．322i - D ．322i +3．已知x ，y 满足约束条件20,220,1,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩则35z x y =-的最小值为（ ）A ．6-B ．8-C ．10-D ．12-4．经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为0.618时是最美的，如果某人的这个比值与0.618相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准．若某女性的身高170厘米，下肢部分之长为103厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高度最适合的为（ ）A ．5.4厘米B ．5.8厘米C ．4.9厘米D ．4.5厘米 5．直线2y x =-被圆224210x y x y +-++=所截得的弦长为（ ） A ．4 B． C． D6．已知锐角ABC 三边长分别为x1x +，则实数x 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．2,25⎛⎫⎪⎝⎭D ．(2,5)7．某高校对全体大一新生开展了一次有关“人工智能引领科技新发展”的学术讲座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分100分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的5名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是（ ） ①甲、乙的中位数之和为159；②甲的平均成绩较低，方差较小； ③甲的平均成绩较低，方差较大； ④乙的平均成绩较高，方差较小； ⑤乙的平均成绩较高，方差较大A ．①②④B ．①③④C ．①③⑤D ．②⑤ 8．44sin cos 1212ππ+=（ ）A ．12 B ．58 C ．34 D ．789．在平面直角坐标系O x y 中，直线1y x =+与椭圆2212x y +=相交于A 、B 两点，则OAB 的面积为（ ）A ．3 B ．1 C ．23D ．3 10．函数()cos()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则()sin()g x A x ωϕ=-的单调递增区间为（ ）A ．122,2()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．212,2()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．212,2()33k k k ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．122,2()33k k k ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知34501,log ,log ,log t a t b t c t <<===，则（ ）A ．453b c a <<B ．534c a b <<C ．543c b a <<D ．435b a c << 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足||1,(1,3)a b ==，若()2a a b ⋅-=，则a 与b 的夹角为________． 14．5()x a x -的展开式中3x 的系数为1250-，则是实数a 的值为__________．15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,2,ABC AC BC AB AP ⊥==则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ．若1||PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知前n 项和为n S 的等差数列{}n a 的通项公式为403n a n =-． （1）求n S 的最大值； （2）令()()114040n n n b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足12109n T =的正整数n 的值．18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，平面AEC ⊥平面,,ABC AC BC AE CD ⊥⊥，四边形BCDE 为平行四边形．（1）证明：AE EC ⊥；（2）若AE EC CB ===D AC E --的余弦值． 19．（本小题满分12分）某班为了活跃元旦晩会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放人一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏． （1）求甲获得奖品的概率；（2）设ⅹ为甲参加游戏的轮数，求X 的分布列与数学期望． 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（1）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且||PF =l 的方程； （2）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=，求ABF 的周长． 21．（本小题满分12分） 已知函数32()e ()f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，若()0x f x e +，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2()1||f x x m x m =----． （1）当1m =时，求不等式1()2f x <的解集； （2）若()1f x ，求实数m 的取值范围．青海省大通县教学研究室2021届高三第一轮复习期末联考·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．D {|02}A B x x =<． 2．C 21322222z i i =--=-．3．D 线性区域端点的坐标为3(2,0),(1,3),1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可知z 的最小值为12-． 4．A 设该女性选择高跟鞋的高度为x ，由题意有1030.618170x x +=+，解得 5.4x ≈厘米．5．D 圆的方程化为标准方程为22(2)(1)4x y -++=，圆心到直线的距离为2=，所求弦长为=6．A由题意有2222(1)502(1)0x x x x ⎧++->⎪+⎪⎨>，解得12x <<． 7．B 由茎叶图可得甲、乙两组数据的中位数分别为76，79，故甲、乙的中位数之和为155．6372768396785x ++++==甲， 6972798897815x ++++==乙．2222221(6378)(7278)(7678)(8378)(9678)122.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲， 2222221(6981)(7281)(7981)(8881)(9781)106.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙． 所以正确的说法是①③④．8．D 24422222117sin cos sin cos 2sin cos 1sin 11212121212122688πππππππ⎛⎫+=+-=-=-= ⎪⎝⎭．9．C 联立方程22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，||3AB ==，点O 到直线1y x =+，则OAB的面积为12233S =⨯⨯=． 10．B 由图可知，21,2A T πω===，∴ωπ=．由22()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，不妨取6πϕ=-，∴()sin 6g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22()262k x k k ππππππ-++∈Z ，得2122()33k x k k -+∈Z ，所以()g x 的递增区间为212,2()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 11．D 该几何体的直观图为三棱柱切去一个三棱锥而得，如图所示，其体积为12111-=．12．C ∵345111log ,log ,log log 3log 4log 5t t t a t b t c t ======， ∴34343log 44log 3log 4log 334log 3log 4log 3log 4log 3log 4t t t t t t t t t t a b ---=-==⋅⋅，∵3401,43t <<<，∴34log 30,log 40,log 4log 30t t t t <<->，∴3log 44log 3340log 3log 4t t t t a b --=>⋅，即43b a <．同理可得45log 5log 4450log 4log 5t t t t b c --=>⋅．故543c b a <<．13．120° 由()2a a b ⋅-=知，22a a b -⋅=，则1a b ⋅=-，所以1cos ,2a b 〈〉=-，故夹角为120°．14．5- 展开式中3x 的系数为23235C (1)101250,5a a a ⨯⨯-==-=-．15．92π 三棱锥P ABC -32=，则三棱锥P ABC -的外接球的体积多3439322ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．16．由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+，∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ，此时2||2PH PF a ++最小且最小值为4a ，易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=，所以24b a a +=，即222,5b a c a ==，可求离心率e =17．解：（1）令0n a ，可得403n． 2分 可得当113n 时，0n a >；当14n 时，0n a <． 4分 故当13n =时，n S 的最大值为13131213(403)(3)2472S ⨯=⨯-+⨯-= 6分 （2）由403n a n -=-，有11111(3)[3(1)]9(1)91n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-⨯-+++⎝⎭8分 有11111111119223191n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 10分 有1112191109n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，解得108n = 故满足12109n T =的正整数n 的值为108． 12分 18．解：（1）证明：因为平面AEC ⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC BC ⊥， 所以BC ⊥平面,AEC BC AE ⊥，又,AE CD CDBC C ⊥=，则AE ⊥平面,BCDE EC ⊂平面BCDE ，所以，AE EC ⊥； 4分（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接,OE OF ，则OE ⊥平面,ABC OF ⊥平面AEC ； 以点O 为坐标原点，分别以,,OA OF OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，已知AE EC CB ===2,1AC OE ==． 6分(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,O A C D -，则(2,0,0),(1,AC AD =-=-， 8分设平面DAC 的一个法向量(,,)m x y z =，由0,0m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0x x z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令y =0,2x z ==，即(0,2,2)m =；平面ECA 的一个法向量为(0,1,0)n =； 10分2cos ,||||2m n m n m n⋅〈〉===+所以二面角D AC E -- 12分 19．解：（1）设甲获得奖品为事件A ，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则63211(A)1263212P =⨯⨯⨯=． 5分 （2）随机变量X 的取值可以为1，2，3，4． 6分61(1)122P X ===， 7分 631(2)1264P X ==⨯=， 8分 6311(3)126312P X ==⨯⨯=， 9分 6321(4)12636P X ==⨯⨯=． 10分 X 的分布列为所以数学期望111123()12342412612E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分20．解：（1）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为(1,2)m -- 2分联立方程242y xy x m ⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为224(44)0x m x m +-+=，又由22Δ(44)1616320m m m =--=->，可得12m <4分由点F 的坐标为(1,0)，有||PF ==0m =或4m =（舍去） 故直线l 的方程为2y x = 6分（2）设直线l 的方程为2(0)y x b b =+≠，点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y联立方程242y x y x b ⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为224(44)0x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()2221212121222422(1)2y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+= 又由22Δ(44)1616320b b b =--=->，可得12b <8分 又由()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-，可得()()121211,FA FB x x y y ⋅=--+()22121212111(1)123044x x x x y y b b b b b =-+++=--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-10分由12b =-，可得121213,36,||x x x x AB +=====()()1212||||11215AF BF x x x x +=+++=++=故ABF 的周长为15+ 12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，22()3e 23e 3e a f x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭ 1分①当0a =时，2()3e 0f x x ='，此时函数()f x 在R 上单调递增，增区间为(,)-∞+∞； 2分②当0a >时，令()0f x '>，可得203a x e <<，此时函数()f x 的减区间为20,3a e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为(,0)-∞，2,3a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 3分③当0a <时，令()0f x '>，可得203a x e <<，此时函数()f x 的减区间为2,03a e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为2,3a e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞； 4分 （2）不等式()e 0xf x +可化为23xaxe ex +，可得32x e ex a x +，有2xe a ex x+ 6分令2()(0)x e g x ex x x =+>，有3(2)()xx e g x e x -'=+ 7分 令3(2)()(0)x x e h x e x x -=+>，有()24446(1)3(2)()x x x x x ex x e x e h x x x-+---='= 9分24(2)20xx e x⎡⎤-+⎣⎦=>，可得函数()h x 单调递增，又由(1)0h =，可得01x <<时，()0h x <；1x >时，()0h x >，可得函数()g x 的减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞ 11分 有min ()(1)2g x g e ==，可得2a e故当0x >时，若()0x f x e +，则实数a 的取值范围为(,2]e -∞． 12分 22．解：（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 有2(1)4x y =++ 1分 整理可得直线l 的的直角坐标方程为260x y --= 2分 曲线C 的极坐标方程可化为22224sin 3cos 12ρθρθ+= 3分将cos ,sin x y ρθρθ==代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程为223412x y += 5分（2）曲线C 的直角坐标方程可化为22143x y += 6分设点P 的坐标为(2cos )αα 7分点P 到直线l的距离为25d=== 故点P 到直线l 的距离的最大值为 10分23．解：（1）当1m =时，()|2||1|f x x x =---． 1分 ①当1x <时，不等式1()2f x <可化为1(2)(1)2x x ---<，得112<，不合题意，舍去； 2分②当12x 时，不等式1()2f x <可化为1(2)(1)2x x ---<，得54x >，有524x <； 3分 ③当2x >时，不等式1()2f x <可化为1(2)(1)2x x ---<，得112-<，有2x >． 4分由上知不等式1()2f x <的解集为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5分 （2）由()222()1()11f x x m x m m m m m ----=-+=-+， 8分若()1f x ，有211m m -+，解得01m ，故若()1f x ，则实数m 的取值范围[0,1]． 10分。
2023-2024学年西宁市大通县高一数学上学期期末试卷附答案解析
2023-2024学年西宁市大通县高一数学上学期期末试卷2024年1月考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,3,5,1,5A B ==，则（）A.A B= B.A B⊆ C.B A⊆ D.以上都不正确2.函数()1f x x =-的定义域为（）A.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.()1,00,2∞⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦C.(],2∞-- D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3.已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+-的值为（）A.-3B.3C.13-D.134.若1251lnπ,log ,e 3x y z -===，则（）A.x y z <<B.z x y <<C.y z x <<D.z y x<<5.若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,∞+上单调递减，则m =（）A.3B.1C.-1或3D.1或-36.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()10f x f x +-=，当01x 时，()sinπf x x =，则74f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）B.1C.32D.227.若关于x 的不等式2210ax ax ++>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.{01}a a <∣B.{01}a a <<∣C.{0a a <∣，或1}a >D.{10}aa -<∣8.已知函数()cos2f x x x =-，若函数()f x a +的图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（）A.5π6B.π3 C.π6D.π12二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知命题:0,ln 0p x x ∀>>，则（）A.p ⌝是真命题B.:0,ln 0p x x ⌝∀> C.p 是真命题D.:0,ln 0p x x ⌝∃> 10.下列结论正确的是（）A.当0x 时，1121x x +++ B.当0x >时，2C.1x x+的最小值为2的最小值为211.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.2ω=C.π3ϕ=D.()f x 的图象可由πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度得到12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，当12x 时，()1f x x =-+，则（）A.()f x 的图象关于点()1,0对称B.()31f =C.当22x - 时，()1f x x =-+D.()f x 在[)0,∞+上单调递减三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：201log 6210.0428-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________.14.若函数()y f x =在R 上是减函数，且()()2f m f m ->-，则实数m 的取值范围是__________.15.若π2sin 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2θ=__________.16.记[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][2.32, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，已知函数()[]2,0,,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩则()()1f f -=__________；若函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知,αβ为锐角，()52cos ,cos π510αβ=-=-.（1）求sin2α的值；（2）求()cos αβ-的值.18.（本小题满分12分）已知1,:1p q x a - .（1）若q 是p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，且,p q 至少有一个成立，求x 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，且()()()01,12f f x f x x =+-=.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]0,t 上的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()22cos f x x x m =++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6.（1）求常数m 的值；（2）当x ∈R 时，求()f x 的最小值以及相应x 的集合.21.（本小题满分12分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系式为0ektP P -=，其中0,P k 是正的常数.已知5h 后消除了10%的污染物，试求：（1）10h 后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需的时间.（参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln5 1.6≈≈≈）22.（本小题满分12分）已知函数()()12log 241x x f x +=-+.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若对于()()0,1,x f x x a ∀∈>+恒成立，求实数a 的取值范围.2023~2024学年度第一学期大通县期末考试·高一数学参考答案､提示及评分细则1.C由集合间的包含关系可知B A ⊆.故选C .2.B 由题意可知240,0,x x ⎧-⎨≠⎩ 解得12x 且0x ≠，故x 的取值范围是()1,00,2∞⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦.故选B.3.B 由sin cos tan 2,sin cos ααααα+=-分子分母同时除以cos α，可得sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.故选B.4.C 1251lnπ1,log 0,0e 1,3y z x -><<<∴<< .故选C.5.A 因为函数()()224122mm f x m m x-+=--为幂函数，且在区间()0,∞+上单调递减，所以2221m m --=且2410m m -+<，由2230m m --=，得1m =-或3m =，当1m =-时，满足2410m m -+>，舍去；当3m =时，满足2410m m -+<.综上3m =.故选A.6.D因为()()10f x f x +-=，所以()()1f x f x +=，函数()f x 的周期为1，所以7733π1sin 44442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选D.7.A 当0a =时，显然成立；当0a ≠时，要使问题成立则20,Δ(2)40,a a a >⎧⎨=-<⎩解得01a <<，所以实数a 的取值范围为{01}aa <∣ .故选A.8.C()31π2sin2cos22sin 2226f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()π2sin 22,6f x a x a f x a ⎛⎫+=+-+ ⎪⎝⎭ 的图象关于y 轴对称，ππππ2π,,,6232k a k k a k ∴-=+∈=+∈Z Z ，当1k =-时，a 取得最小值π6.故选C.9.AD 命题:0,ln 0p x x ∀>>，则:0,ln 0p x x ⌝∃> ，所以B 错误，D 正确；又因为当1x >时，ln 0x >；当01x <<时，ln 0x <，所以命题p 假，p ⌝是真命题，故A 正确，C 错误.故选AD.10.AB当0x 时，1121x x ++=+ ，当且仅当111x x +=+时，即0x =时等号成立，故A 正确；当0x >2===1x =时等号成立，故B 正确；当0x <时，显然12x x+不成立，故C 错误；因为2+=221x +=无解，故取不到等号，故D 错误.故选AB.11.BD由函数的图象可知，最小正周期2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2ππ,2,B ωω==正确，A 错误；()()sin 2f x x ϕ=+，函数的图象过点π,16⎛⎫⎪⎝⎭，则有ππππsin 21,,,C 6626f ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭错误；函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位得到函数πππsin 2sin 21236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，D 正确.故选BD.12.AC对于A ，由题设()()20f x f x +-=，可知()f x 的图象关于点()1,0对称，A 正确；对于B ，在()()20f x f x +-=中，令3x =，得()()()3110,B f f f =--=-=错误；对于C ，当01x 时，122x - ，所以()()2211f x x x -=--+=-，又()()20f x f x +-=，所以()()21f x f x x =--=-+，即当02x 时，()1f x x =-+，而()f x 为偶函数，所以当20x - 时，()1f x x =+，综上可知，当22x - 时，()1f x x =-+，C 正确；对于D ，由B 的解析可知()()310f f ==，故D 错误.故选AC .13.0因为201log 61210.040.25,1,268--⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，所以201log 6210.04251608-⎛⎫+--=+-= ⎪⎝⎭.14.(),1∞-由函数()y f x =在R 上是减函数，()()2f m f m ->-，得2m m -<-，解得1m <，所以实数m 的取值范围是(),1∞-.15.19-因为()π2sin sin cos 423θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 3θθ+=，两边平方得228sin cos 2sin cos 9θθθθ++=，即811sin2,sin299θθ+==-.16.0（2分）（3分）()()()()1110;log 22a f f f g x f x x ⎛⎫⎡⎤-====- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有3个零点⇔方程()log a f x x =有3个不同的实数根，即()f x 的图象与函数log a y x =的图象有3个交点，分析可知当01a <<，显然不成立，所以1a >.做出()f x 与log a y x =的图象如图.两函数图象在y 轴的左侧只有1个交点，故y 轴右边有2个交点，则1log 22,log 32,log 43,a a a<⎧⎪>⎨⎪⎩解得a <17.解：（1）因为πcos ,0,52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α==，所以2554sin22sin cos 2555ααα==⨯⨯=.（2）因为()π,0,,cos πcos 210αβββ⎛⎫∈-=-=- ⎪⎝⎭，所以272cos ,sin 1010ββ===，所以()cos cos cos sin sin 51051010αβαβαβ-=+=⨯+⨯=.18.解：（1）设{}{}{}112,1A x x B x x a ===-∣∣ ，因为q 是p 的必要非充分条件，所以A 是B 的真子集，则2a ，所以实数a 的取值范围为[)2,∞+.（2）当1a =时，:12,:11p x q x - ，考虑“,p q 至少有一个成立”的对立面：,p q 均不成立，此时12,11,x x x x <>⎧⎨<->⎩或或解得1x <-或2x >.故,p q 至少有一个成立时，x 的取值范围为[]1,2-.19.解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()()21(1)1f x a x b x c ∴+=++++，故()()12f x f x ax a b +-=++，()()12f x f x x +-= ，即22ax a b x ++=，22,0,a a b =⎧∴⎨+=⎩即1,1.a b =⎧⎨=-⎩又()01,1f c =∴= .故()21f x x x =-+.（2）由（1）知()f x 的图象的对称轴方程为()()1,0112x f f ===，且()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.当01t < 时，()max ()01f x f ==；当1t >时，()2max ()1f x f t t t ==-+.故()f x 在区间[]0,t 上的最大值max21,01,()1, 1.t f x t t t <⎧=⎨-+>⎩ 20.解：（1）()πcos212sin 216f x x x m x m ⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，max π()2sin1362f x m m ∴=++=+=，解得3m =.（2）由（1）知()π2sin 246f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当π3π22π,62x k k +=+∈Z ，即2ππ,3x k k =+∈Z 时，()f x 的最小值为2，对应的x 的集合为2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .21.解：（1）由0ektP P -=，可知0t =时，0P P =.当5t =时，()5500110%e e 0.9kk P P P --=-=⇒=，所以1ln0.95k =-，当10t =时，1ln0.910ln0.81500e e 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物.（2）当050%P P =时，有150050%e P P =，解得1lnln2ln20.725555359ln9ln10ln2ln52ln30.7 1.62 1.1ln 10t -=⨯=⨯=⨯=⨯=-+-+-⨯，所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时.22.解：（1）由题意可知()0f x >，即12411x x +-+>.令20x t =>，则有220t t ->，解得02t <<，所以022x <<，即1x <.所以不等式()0f x >的解集为(),1∞-.（2）由题意可知()f x x a >+，即()12log 241x x x a +-+->，即12241log 2x x xa +-+>.又1241122,22x x x x x+-+=-++令()()121,2,2xn g n n n=∈=-++，易知()g n 在()1,2上单调递减，所以()122g n <<，所以()21log 1g n -<<，因为()()0,1,x f x x a ∀∈>+，所以1a - .故实数a 的取值范围为(],1∞--.。
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