1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围
2021年初中数学课程标准
2021年初中数学课程标准初中数学课程标准（7~9年级）一、数与代数一）数与式1、有理数1.1 理解有理数的含义，能够用数轴上的点表示有理数，并且能够比较有理数的大小。
1.2 理解相反数和绝对值的含义，掌握求有理数相反数和绝对值的方法，知道a表示有理数的含义。
1.3 理解乘方的含义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算（以三步以内为主）。
1.4 理解有理数的运算律，能够运用运算律简化运算。
1.5 能够运用有理数的运算解决简单的问题。
2、实数2.1 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能够用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
2.2 理解乘方与开方互为逆运算，能够用平方运算求百以内整数的平方根，能够用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根。
2.3 理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能够求实数的相反数和绝对值。
2.4 能够用有理数估计一个无理数的大致范围。
2.5 理解二次根式、最简二次根式的概念，理解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，能够用它们进行有关的简单四则运算。
3、代数式3.1 借助现实情境理解代数式，进一步理解用字母表示数的含义。
3.2 能够分析问题中的简单数量关系，并用代数式表示。
3.3 能够求代数式的值，能够根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并能代入具体的值进行运算。
4、整式与分式4.1 理解整数指数幂的含义和根本性质，能够用科学计数法表示数。
4.2 理解整式的概念，掌握合并同类型和去括号的方法，能够进行简单的整式加法和减法运算，能够进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
4.3 能够推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a²-b²，（a±b）²=a²±2ab+b²，理解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
4.4 理解分式和最简分式的概念，能够利用分式的根本性质进行约分和通分，能够进行简单的分式加、减、乘、除运算。
初中数学学段目标及各章节课标要求
初中数学学段目标及各章节课程标准要求目录第三学段目标 (2)七年级上册 (3)第一章有理数 (3)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (3)第四章图形几何初步 (3)七年级下册 (4)第五章相交线与平行线 (4)第六章实数 (5)第七章平面直角坐标系 (5)第八章二元一次方程组 (5)第九章不等式与不等式组 (5)第十章数据的收集、整理与描述 (6)八年级上册 (6)第十一章三角形 (6)第十二章全等三角形 (6)第十三章轴对称 (7)第十四章整式乘法与因式分解 (7)第十五章分式 (7)八年级下册 (8)第十六章二次根式 (8)第十七章勾股定理 (8)第十八章平行四边形 (8)第十九章一次函数 (8)第二十章数据的分析 (9)九年级上册 (9)第二十一章一元二次方程 (9)第二十二章二次函数 (9)第二十三章旋转 (10)第二十四章圆 (10)第二十五章概率初步 (10)九年级下册 (11)第二十六章反比例函数 (11)第二十七章相似 (11)第二十八章锐角三角函数 (11)第二十九章投影与视图 (11)第三学段目标知识技能1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。
2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图;探索并理解平面直角坐标系，能确定位置.3．体验数据收集、处理、分析和推断过程,理解抽样方法,体验用样本估计总体的过程;进一步认识随机现象,能计算一些简单事件的概率。
数学思考1．通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程,体会模型的思想，建立符号意识;在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
第三学段(7—9年级)数学课程标准与修订大纲知识点对照
第三学段（7—9年级）数学课程标准与修订大纲知识点对照一、数与式在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的密切联系，增强应用意识，提高应用代数知识与方法解决问题的能力。
在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经理从实践中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合作性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数问题的几何背景；应避免繁琐的运算。
说明: ①涂黑——表示与修订大纲比较，课程标准新增内容.②删除——表示与修订大纲比较，课程标准删除内容.③方框.具体目标1．数与式（1）有理数②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不包括字母）。
倒数。
③理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
（2）实数①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
②了解开方与乘方互为方根逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应。
④能用有理数估计一个无理数的大致范围。
⑤了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。
⑥了解二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
最简二次根式，同类二次根式，积与商的方根的运算性质，字母二次根式的讨论和运算。
（3）代数式①在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义。
估算无理数的大小
估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。
一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记。
例：估算的取值范围。
解：因为1＜3＜4，所以＜＜，即：1＜＜2如果想估算的更精确一些，比如说想精确到0.1．可以这样考虑：因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24．因为2.89＜3＜3.24，所以＜＜，所以1.7＜＜1.8。
如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。
比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例: 与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法: 例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3---2=3--+2=5-2<=2.5所以：5-2>0即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=<1所以：<六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2 ()2=6+2+10=16+2所以:<八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
2014年河北中考《数学考试说明》数与式部分详解及配套中考题
一、数与式（一）有理数考试要求1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值，知道｜a｜的含义（a表示有理数）并解决简单的化简计算问题，会用有理数表示具有相反意义的量，掌握相反数的性质．3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）．4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算．5．能运用有理数的运算解决简单的问题．6．能对含有较大数的信息作出合理的解释和推断．（二）实数考试要求1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算及计算器求某些非负数的平方根，会用立方运算及计算器求某些数的立方根．3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，会求无理数的相反数和绝对值．4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．5．了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值．6．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化），会确定二次根式有意义的条件．（三）代数式考试要求1．理解用字母表示数的意义．2．能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示．3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的数值进行计算．能通过代数式的适当变形求代数式的值，能根据代数式的值或特征推断代数式反应的规律.（四）整式与分式考试要求1．了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数．2．了解整式的概念，理解单项式的系数和次数，多项式的次数、项和项数的概念，明确他们之间的关系，会进行简单的整式加、减运算和乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）．能合理运用整式加、减运算构造多项式,进一步解决问题.3．会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何背景，并能进行简单的计算，能根据需要进行相应的变形．4．会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．能运用因式分解的知识进行代数式的变形，从而解决有关问题．5．了解分式的概念，会确定分式有意义的条件，掌握分式的基本性质，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算，能灵活运用恰当的方法解决与分式有关的问题．(1)“数与代数”领域，删除了一些内容:①对“大数”的认识与应用——“能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断”(实验稿P31)②对有效数字的要求——“了解有效数字的概念”（实验稿P32）(2）新增加的内容▲“数与代数”中既有必学的内容，也有选学的内容①知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）②最简二次根式和最简分式的概念③能进行简单的整式乘法运算中增加了一次式与二次式相乘近几年考试题目实数1.下列各数中，为负数的是（）1A．0 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．22.计算30的结果是( )A．3 B．30 C．1 D．03.计算 3³(-2) 的结果是( ）A ．5B 。
估算无理数大小的方法
估算无理数大小的方法
一。
估算无理数大小可是数学里挺重要的一招。
这就好比咱在黑暗里找路，得有个大致的方向。
1.1 先来说说啥是无理数。
像圆周率π、根号 2 这些没法写成两个整数之比的数，就是无理数。
1.2 为啥要估算它们大小呢？比如说，您要盖房子，得知道材料够不够，这时候就得大概知道无理数的大小。
二。
那咋估算呢？有几个法子。
2.1 找临近的整数。
比如说根号 5，因为 2 的平方是 4，3 的平方是 9，所以根号 5 就在 2 和 3 之间。
2.2 利用平方。
还拿根号 5 举例，咱可以算算 2.2 的平方，2.3 的平方，慢慢逼近，就能更准确地估算。
2.3 跟常见的无理数比较。
像知道根号 2 约等于 1.414，那要是有个无理数比根号 2 大，那肯定比 1.414 大。
三。
估算的时候得注意些事儿。
3.1 别马虎，一步算错，后面全错，那可就“差之毫厘，谬以千里”啦。
3.2 多练，熟能生巧嘛，练得多了，估算起来就又快又准。
学会估算无理数大小，就像手里多了把利器，解决数学问题的时候，那叫一个得心应手！。
利用考试命题双向细目表提高中考复习的针对性
b
反比例函数 （6）能根据一次函数的图角求二元一次议程组的近似解 b
反比例函数 （7）能用一次函数解决实际问题
c
反比例函数 25、反比例函数
反比例函数 （1）体会反比例函数的意义
b
二次函数 （2）能根据已知条件确定反比例函数表达式
c
二次函数 （3）能画反比例函数的图象
b
二次函数
（4）根据图象和解析表达式y=k/x（k≠0）探索并理解其 性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况）
a
（6）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知 直线
a
（7）会用三角尺或量角器过一点画一条直线的 垂线
b
（8）了解线段垂直平分线及其性质[2]
a
30、平行线
（1）知道两直线平行，同位角相等
a
（2）探索平行线的性质
c
（3）知道过直线外一点有且仅有一条直线平等 于已知直线
a
（4）会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这 条直线的平行线
（1）了角正多边形的概念
a
（2）探索并了解多边形的内角和与外角和公式
c
36、特殊四边形
（1）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 的概念
b
四边形
（2）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 的性质
c
四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形
四边形
（3）了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 之间的关系
c
二次函数 （5）能用反比例函数解决实际问题
c
二次函数 26、二次函数
二次函数 （1）体会二次函数的意义
b
二次函数 （2）通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式 c
新人教版数学七年级下册第六章《实数》全章教案
5．144的算术平方根是多少？怎样用符号表示？
学生活动：独立思考1、2答案，提出疑难问题。
给学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根概念，通过讨论、交流，提出问题
师
生
互
动
归
纳
新
知
问题1：你能叙述算术平方根的概念吗？
一般地：如果一个正数 的平方等于a，即 =a，那么这个正数 叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
年级
七年级
课题
6.1平方根(2)
课型
新授
教
学
目
标
知识
技能
1．用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义．
2．用计算器求一个非负数的算术平方根．
过程
方法
通过用计算器求值及近似值计算，提高学生的运算能力和动手能力；
情感
态度
通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习的兴趣。
问题（四）
两种运算有什么不同？
问：前四个是什么运算？后面的又是什么运算？
教师板书：求一个数a的平方根的运算，叫开平方，其中a叫被开方数.。
学生思考，小组讨论，个别回答
问题是知识能力生长点，通过富有实际意义的问题，激发学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，让他们体会数学的韵味.。
尝
试
应
用
问题（五）
（2）0的平方根和算术平方根都是0。
区别
（1）定义不同：
“如果一个数 的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根”，
“如果一个正数x的平方等于a,即 ,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。
北师大版八年级数学上章节目标及课标要求
北师大版八年级数学上章节目标及课标要求第一章：勾股定理1.教学目标（3）通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值。
2.《课程标准》要求1.在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念。
2.在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力。
3.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法和过程，体验解决问题方法的多样性。
4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
第二章：实数1.教学目标（1）经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程，发展抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。
（2）结合具体情境，让学生理解估算的意义，能进行简单的估算，发展学生的数感和估算能力。
（3）了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会求平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简。
（4）能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的应用价值。
2.《课程标准》要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数。
2.掌握必要的运算（包括估算）技能。
3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
4.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方根运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
5.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
8.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号校仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关简单四则运算。
第三章：位置与坐标1.教学目标（1）从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动，进一步发展学生的空间观念.（2）经历探索图形坐标的变化与图形位置变化之间关系的过程，进一步发展学生的数形结合意识、形象思维能力和数学应用能力。
知识卡片-估算无理数的大小
估算无理数的大小
能量储备
在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范
围需要记住一些常用数的平方.一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记.
通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：求无理数整数部分的方法
要确定无理数m 的整数部分，先要找到m 位于哪两个连续整数之间，方法是：找出m 在哪两个连续的完全平方数之间，再求这两个完全平方数的算术平方根，其中较小的算术平方根就是m 的整数部分，而小数部分则可以表示成m 减去整数部分的形式．
例：已知a 是 8的整数部分，b 是10的整数部分，求(－a )3
＋(b －a )2
的值． 分析：用估算的方法可以确定8和10分别位于哪两个相邻的整数之间，从而可以确定a 与b 的值，然后代入计算．
解：因为4＜8＜9，9＜10＜16， 所以2＜8＜3，3＜10＜4.
又因为a 是 8的整数部分，b 是10的整数部分， 所以a ＝2，b ＝3.
所以(－a )3＋(b －a )2＝(－2)3
＋(3－2)2
＝－8＋1＝－7.
方法点2：估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值
蓄势待发 考前攻略
中考常以估算无理数整数部分或者小数部分的形式考查，难度较小.
完胜关卡。
《实数和二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解
实数和二次根式》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】类型平方根立方根项目被开方数非负数任意实数3a符号表示a性质一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；要点二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 意义.（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42a 2()a 的异同2a a 可以取任何实数，而2a 中的a 必须取非负数；2a a ，2)a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2a 2a .3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a a a b b b=≥> 商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a b 、一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-.【典型例题】类型一、有关方根的问题【高清课堂：389318 实数复习，例1】1、已知31233-+-+-=x x x y ，求y x 2的值.【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出x 的值，从而求出y 值，及y x 2的值. 【答案与解析】 解：由题意得303030x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得x ＝－3 31233-+-+-=x x x y ＝－2∴y x 2＝()()23218-⨯-=-.【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到y x 2的值. 举一反三： 【变式1】已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根。
无理数取值范围
无理数取值范围
嘿，朋友！咱们今天来聊聊无理数的取值范围。
你说啥是无理数？简单说，就是那些无限不循环的小数呗。
就好像
人生，有时候充满了不可预测和没有规律的变化。
咱先来说说常见的无理数，比如圆周率π，约等于3.1415926……，一直没完没了，而且没有啥循环的规律，你能猜到它下一位是啥吗？
不能吧！这就像你永远不知道明天会发生啥惊喜或者意外一样。
再比如说根号 2 ，约等于1.41421356……，也是无限不循环。
这是
不是有点像小孩子的脾气，捉摸不定，没有个固定的模式？
那无理数的取值范围到底咋定呢？其实啊，无理数可以取到从负无
穷到正无穷之间的任何值。
你想想，这范围多广啊！就像宇宙一样无
边无际。
假如把有理数比作是按部就班的上班族，每天的生活规律得很。
那
无理数就是那些自由奔放的艺术家，充满了无限的创造力和不确定性。
你说无理数这玩意儿，它咋就这么神奇呢？明明没有规律，却又真
实存在于数学的世界里。
这是不是跟咱们生活中的一些天才一样，他
们的想法和行为常常让人摸不着头脑，可就是能创造出惊人的成果。
比如咱们算个圆的周长或者面积的时候，π 这个无理数就派上用场了。
要是没有它，那数学的世界得少了多少精彩啊！
所以说，无理数的取值范围虽然难以捉摸，但它却是数学这个大花园里独特而美丽的花朵。
它让数学变得更加丰富多彩，充满了神秘和魅力。
朋友，这下你对无理数的取值范围是不是有点感觉啦？。
6.用有理数估计无理数的大致范围
6.用有理数估计无理数的大致范围(20070911173311031566)第1题. （2007安徽课改，5分）5的整数部分是 ．答案：2(20070911173313078973)第2题. （2007广东茂名课改，8分）已知正方形和圆的面积均为s ． 求正方形的周长1l 和圆的周长2l （用含s 的代数式表示），并指出它们的大小．答案：解：设正方形的边长为a ，圆的半径为R ，则2a s =， 2πR s =．2分∴a =R = 4分∴14l a ==，22π2πl R === 6分∵4> ，∴ 12l l >． 8分(20070911173313765617)第3题. （2007广东梅州课改，3分）比较2.5-， ）Ａ．3 2.5-<<2.53<-<Ｃ．3 2.5<<2.53<<-答案：A(20070911173314484938)第4题. （2007广东课改，3分）下列四个数中，最小．．的数是（ ）． （A ）2－ （B ）1－ （C ）0 （D答案：A(20070911173315250687)第5题. （2007广西玉林课改，3图，点O 为圆心，且5OA AB BC CD ====，那么周长是接近100的圆是（ ）Ａ．以OA 为半径的圆Ｂ．以OB 为半径的圆Ｃ．以OC 为半径的圆Ｄ．以OD 为半径的圆答案：Ｃ(20070911173315953641)第6题. （2007河北课改，3分）比较大小：7答案：＜(20070911173316765937)第7题. （2007山东烟台课改，4分）如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有个．答案：4(20070911173317453925)第8题. （2007山东淄博课改，3的大小应（）A．在9.1～9.2之间B．在9.2～9.3之间C．在9.3～9.4之间D．在9.4～9.5之间答案：C(2007091117331818735)第9题. （2007河南课改，3分）已知x为整数，且满足x，则x=．答案：101-，，(20070911173319015176)第10题. (2007浙江湖州,3分)2的值是在（）Ａ．5和6之间Ｂ．6和7之间Ｃ．7和8之间Ｄ．8和9之间答案：B(20070911173319656546)第11题. (2007湖北潜江课改，3分)估算728-的值在A. 7和8之间 B. 6和7之间C. 3和4之间D. 2和3之间答案：D(2007091117332042127)第12题. （2007江苏盐城课改，3）Ａ．在3到4之间Ｂ．在4到5之间Ｃ．在5到6之间Ｄ．在6到7之间答案：C A。
1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围
1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5答案：C2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ）Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间答案：B3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b += ．答案：114. (2011 辽宁省本溪市) ）A ．2B ．4C ．15D ．16答案：B5. (2011 辽宁省大连市) ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：B6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）．答案：>；7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ）A ．2-B ．C ．0 D答案：A8. (2011 广西贺州市) 在22-__________.答案：29. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且21amn bn +=，则2a b += 。
答案：5210. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ）A ．0B ．2-C ．3 D答案：B11. (2011 天津市) ）（Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间答案：C12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间．答案：4与5或5与413. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：B14. (2011 河北省)π-40，，这四个数中，最大的数是 ．答案：π15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间答案：C。
初二数学北师大版用有理数估计一个无理数的大致范围基础版
初二数学北师大版用有理数估计一个无理数的大致范围基础版1、如图，正方形的边长为2，反比例函数图像过点，则k的值是A．B．C．D．答案D解析2、平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点.若函数的图象的交点为整点时，则整数k的值可取（答案C 解析考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．解答：解：由题意得： y=kx+k① y=2x-1②??，把①代入②得，kx+k=2x-1，解得： x=-1-?y=-?-3??，∴k 可取的整数解有-1，1，3，5共4个．故选C．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题，难度不大，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．3、某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装1 答案B 解析4、有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则（）A．－2bB．0 C．2cD．2c－2b答案B 解析5、据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法答案D 解析6、下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是(; )。
答案C 解析7、的绝对值是(▲)A．4B．C．D．答案A 解析8、等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线分其周长的两部分的差为3cm，则腰长为;（答案B 解析9、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S四答案解析10、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是答案B 解析11、小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车答案A 解析初二数学部审青岛版圆的性质12，（2013?海淀区二模）下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（）A．B．C．D．答案B 解析试题分析：根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确；C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误．故选：B．点评：本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想．13、。
初三数学北京课标版用有理数估计一个无理数的大致范围基础版
初三数学北京课标版用有理数估计一个无理数的大致范围基础版1、若lt; 0，则中最大的一个数是;（ )A 答案C 解析2、若的值是（;）A; -2 答案C 解析3、矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色(如图)，则答案B 解析4、如图1的四个选项中，该几何体的左视图是; 答案A 解析5、若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为( 答案C 解析6、（2014?天河区一模）华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌童装平答案A 解析试题分析：设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量=总盈利，从而列出方程．解：设每件童装应降价x 元，由题意，得（90﹣50﹣x）（20+2x）=1200，即：（40﹣x）（20+2x）=1200，故选A．点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解销售量、销售利润之间的关系．7、如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（▲ )A．6B．5C．4D．3答案B 解析8、若不等式组的解集为，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＝0C．a＞4 答案B 解析9、函数y=中，自变量x的取值范围是A．B．C．D．答案A 解析10、二次函数y="ax2+bx" +c的图象如图所示，则点M在(n 答案D 解析11、图所列图形中是中心对称图形的为 A; 答案C 解析初三数学部审浙教版圆的性质下列方程的变形正确的是答案D 解析下列各组图形中，是全等形的是（）答案B 解析12。
（7分）先将·(1－)化简，然后请自选一个你喜欢的x值，再求原式的值．答案x+1 解析13、如图，已知直线AB∥CD，CE交AB于点F，∠DCF=110°，且AE=AF，则∠A等于A．;答案B 解析14，一个四棱柱的俯视图如图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（）答案D 解析。
初三数学华东师大版用有理数估计一个无理数的大致范围难题
初三数学华东师大版用有理数估计一个无理数的大致范围难题1、表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是（n 答案A解析2、方程的解是（）A．B．C．D．答案C 解析3、－|2| 的相反数是A．2B．－答案A 解析4、如图1所示的几何体的左视图是（）答案C 解析5、小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，它的主视图应该是答案B解析考点：简单组合体的三视图．分析：细心观察图中生日蛋糕摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图形判定则可．解：生日蛋糕可以看作是三个圆柱，从正面看，它的正视图应该是三个大小不一的矩形．从四个选项中看，只有B选项符合这个条件．故选B．6、如下左图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图答案A 解析7、武汉市2010年国内生产总值(GDP)比2009年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2010年答案D 解析8、方程的解是（）A．－1B．2C．1D．0 答案B 解析9、观察下列各式：……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=A．97×98×99B．98×99×1 答案C 解析10、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的答案C 解析11、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小答案28°解析初三数学部审湘教版使用适当的函数表示法12。
的相反数是（）答案B 解析13，下列运算正确的是（;）答案C 解析14、在下列5个式子①ab＝0;②a＋b＝0;③;④a2＝0 答案B 解析15、。
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1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是
A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5
答案：C
2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ）
Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间
答案：B
3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <
<，则a b += ．
答案：11
4. (2011 辽宁省本溪市) ）
A ．2
B ．4
C ．15
D ．16
答案：B
5. (2011 辽宁省大连市) ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
答案：B
6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）．
答案：>；
7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ）
A ．2-
B ．
C ．0 D
答案：A
8. (2011 广西贺州市) 在22-__________.
答案：2
9. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且
21amn bn +=，则2a b += 。
答案：
52
10. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ）
A ．0
B ．2-
C ．3 D
答案：B
11. (2011 天津市) ）
（Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间
答案：C
12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间．
答案：4与5或5与4
13. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案：B
14. (2011 河北省)
π-40，，这四个数中，最大的数是 ．
答案：π
15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ）
A ．2与3之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间
答案：C。