宋元数学总结

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唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪（宋、元两代），筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》（11世纪中叶），刘益的《议古根源》（12世纪中叶），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274-1275，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等等。

宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：（1）高次方程数值解法；（2）天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；（3）大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；（4）招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图（幻方）的研究、小数（十进分数）具体的应用、珠算的出现等等。

这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪［宋、元两代］，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》［11世纪中叶］，刘益的《议古根源》［12世纪中叶］，秦九韶的《数书九章》［1247］，李冶的《测圆海镜》［1248］和《益古演段》［1259］，杨辉的《详解九章算法》［1261］、《日用算法》［1262］和《杨辉算法》［1274-1275］，朱世杰的《算学启蒙》［1299］和《四元玉鉴》［1303］等等。宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：

公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法细草》已佚）

公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。

公元1247年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。

公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在《测圆海镜?序》中，李冶批判了轻视科学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。

公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具

宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指可数的。但宋元时期大数学

家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为基础的。所以，四大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。宋元时期，由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科学知识。传统的筹算法不但使用不方便，计算速度也远远不能满足需要。因此，改革运算工具就更显得迫切了。珠算盘是人们在长期的改革实践中，由算筹的小型化和摆弄位置的固定化演变而来，经过不断地改进才逐渐臻于完善。它是广大劳动者的智慧结晶。珠算盘最迟在元末便已普遍使用了。珠算盘不仅外形小巧灵便，而且直接与算法歌诀相配合，真正做到得心应手，形成了简单快速的珠算术。虽然现在已进入了电子计算机的时代，但是在以加减运算为主的财会工作中，因为珠算速度可以和小型电子计算器媲美，所以算盘仍保持着重要的地位。宋元时期的数学教育和对外交流仍很发达。宋元的官立算学仍与隋唐相同。颇具特色的是私立算学不但数量比以前大增，讲授的内容较广泛，效率也比官设算学高得多。唐宋以来，中国和阿拉伯保持着密切联系，阿拉伯商人在广州、泉州、扬州经商，哈里发与中国皇帝之间也时有使臣往来。因此，阿拉伯的历法、幻方、“格子算”、欧几里得的《原本》等数学知识传入中国，中国的十进位制、分数记法、“百鸡问题”、贾宪三角形及增乘开方法等内容也出现在阿拉伯的一些著作中。有人把宋元时期数学的发达的原因归结为三个方面。首先，工商业和城市的发展使社会对数学的需要增加。其次，由于宋代地主阶级人数扩大，许多人终生不得仕进，所以作为六艺之一的数学有较大的吸引力。宋元四大家的著作都是赋闲时的研究成果。最后，由于数学不需要投入大量资金、人力和时间，而且成败无伤、不担风险、不触忌讳，其研究规模特别适合于小农经济。这是中国数学能持续发展的主要原因。宋元数学虽然达到了顶峰，但也存在着严重的危机。一方面，对数学社会需要的增加，并没有导致占统治地位的社会意识的变化。数学仍被认为是“九九贱技”。数学家们在思想上受着压抑。虽然他们在社会下层受到尊重，但是当他们面对上流社会时，总难免自卑自贱。数学四大家在为自己著作写的序言中都流露了这种感情。另一方面，把数学纳入阴阳五行论的轨道是宋元时期数学的一大特点。由于受宋元时期哲学上的客观唯心论的影响，数学被导向神秘化。因此，从元末以后，中国数学除珠算以外，发展缓慢，明末以后，中国数学已经落后于世界先进水平。总的说来，在中世纪长达一千多年的时期内，由于欧洲的科学一直处于萧条和不景气局面，科学的中心转移到了东方，于是数学也随之而进入了“东方的发展阶段”。当时的东方国家，如中国、阿拉伯各国和印度，在数学上都取得了相当高的成就。而这一时期的欧洲，没有特别重大的数学发现，主要是吸收古代世界和东方的数学遗产的时期。