八年级数学竞赛讲座飞跃等到相似附答案
八年级数学竞赛题及答案解析(K12教育文档)
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八年级数学竞赛题(本检测题满分：120分,时间：120分钟）班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分,共30分）1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）A ．－5B ．－2C ．1D ．4 2。
下列各式中计算正确的是（ ）A 。
9)9(2-=- B.525±= C.3311()-=- D.2)2(2-=-3。
若901k k <<+ (k 是整数)，则k =（ ）A. 6B. 7C.8D. 9 4。
下列计算正确的是( ) A 。
ab ·ab =2abC.3—=3(a ≥0） D 。
·=(a ≥0，b ≥0）5。
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C 。
三边长之比为3∶4∶5 D 。
三内角之比为3∶4∶56.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对7。
将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h 的取值范围是（ ） A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16D ．7≤h ≤168.在直角坐标系中,将点（－2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A.（4， －3） B 。
2019-2020年八年级数学竞赛试题含答案_.docx
2019-2020 年八年级数学竞赛试题含答案_学校姓名成一、 (每小 8 分，共 64 分 )以下每个的四个中，有一个是正确的，将正确答案的英文字母填在后的括号内．1．用 11 到 2006 些自然数依次成下列算式：1112 + 1314， 1516 + 1718 ，1920 + 2122， 2324 + 2526，⋯⋯ 20032004 + 20052006.其中，能被 4整除的算式有() (A)0 个(B) 125 个（ C）250 个（D）499 个2．中的五角星是用螺栓将两端打有孔的 5 根木条接而构成的，它的形状不定．如果用在中木条交叉点打孔加装螺栓的法来达到使其形状定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要要添加螺栓()(A)1 个(B)2 个（C）3 个（D）4 个3．把度 4 的段分成四小段．若要以四小段构成一个四形，其中每一小段的度足的条件是()11(A) 不大于 1(B) 大于2且小于 1(C) 小于 2(D) 大于4！未定。
且小于 24．如，有一个均匀的片，两面上分写有1、 2，有—个均匀的三棱旋器和一个均匀的四棱旋器，它的面上分写有1、2、3 和 1、2、3、 4.在桌面上同旋三件器物，停下来后，面向桌面的三个数字的奇数的概率是()1111(A) 2(B)3（C）6（D）85．同价格的某种商品在三个商都行了两次提价．甲商第一次提价的百分率a，第二次提价的百分率b；乙商两次提价的百分率都a + b2；丙商第一次提价的百分率 b，第二次提价的百分率a．若 a > b > 0 ，提价最多的商是()(A) 甲(B) 乙(C)丙(D) 不能确定的6．一本册内有24 份卷，共有 426道，每份卷中有25 或 20或 16 ．那么本册中有25 的卷的份数（）(A) 1(B) 2（ C）3（D）47．把一个正方体切成两个方体，如果两者表面乏比l： 2，那么两者体之比（）(A)1：2(B) 1 ：3（ C）1： 5（D） 1：68．有七个大小相同的正方体，每个正方体的六个面上分写有1 到 6 六个整数，并且任意两个相面上的两数之和7．把些正方体如所示一个挨—个地接起来，使相的两个面上的两数之和 8，“※”所在面上的数是()(A)4(B)3（ C）2（D）1二、填空 (每小8 分，共 96 分)9． 算：19972 –19982 +19992 –20002 +⋯ +20052 –20062 =.10．把 (1) 的正方体表面展开成 4 条棱都没有被剪开， 个面是正方形表示 )．(2) ，有—个面的(用字母次是 11．如 ，一个六 形的每个内角都是2. 7、3、 5、 2， 六 形的周 是120 °， 四 的 依.12．小王 置的某种四位密 ，每个密 的各位数字只能是0、 1、 2 或 3，且 0 不能出 在1、 2、3 的后面， 共可以 置 个不同的密 ．13．有 度分 1、2、3、4、5、6、7、 8、 9 ( 位： cm)的 木棒各1 根，利用它 (允 接加 但不允 折断)能 成的周 不同的等 三角形共有种．14．在一个 周上均匀地写了任意四个整数． 定算法是：把每相 两数之和放在 两 数之 ， 然后把原来的四个数抹去， 就算一次操作． 当开始 在 周上所写的四个整数不全是偶数 ，最多只要次操作，就一定能使 周上所得的四个数都 成偶数．15．《 代数学学 》 志2007 年 3 月将改版 《 代学 ·数学周刊》，其徽 是我国古代“弦 ”的 形 ( 示意 )． 可由直角三角形 ABC 点 O 同向 旋 三次 (每次旋90°)而得．因此有“数学 ”的 感．假 中 小正方形的面 1，整个徽(含中 小正方形 )的面 92， AD = 2 ， 徽 的外 周.16．如 ，四 形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 依次是各 中点，O 是形内一点．若 S四边形AEOH = 3， S四边形BFOE = 4，S四边形CGOF = 5，S 四边形 DHOG =.17． 徒加工某零件，加工1 个零件， 傅比徒弟少用 2. 5 小 ；加工 10 小 ， 傅比徒弟多做 9 个零件． 徒合做3 个零件，需要小 ．x 215x 4 –3x 2 + 518．如果 x 4 + x 2 + 1 =4 ，那么3x 2 =.19．如 ，∠ CAD 和∠ CBD 的平分 相交于点 P ． ∠ CAD 、∠CBD 、∠ C 、∠ D 的度数依次 a 、 b 、 c 、 d ，用 含其中 2 个字母的代数式来表示∠P 的度数：.20．如 ，在每个小正方形1 的网格中取出12 个格点，以 些格点 点的等腰直角三角形的腰 可以是，能得到位置不同的等腰直角三角形 共有个．2008 年从化二中八年级数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题：（每题 8 分，共 64 分 )题号12345678答案AACCBBCB二、填空题： (每题 8分，共 96 分)-9．–2001510．EFGH (CDHG )11． 20.712． 12113． 1114． 4c + d15． 4816． 4 17．218． 419．220． 1，2， 2 ， 5 ；45．说明：第 10 题写出一个正确结果就给8 分，第 20题第一空共有 4 个值，每填 1 个值得1 分，填错 1 个扣 1 分，第二空 4 分．。
八年级数学竞赛讲座 相似形(1)
八年级数学竞赛讲座 相似形（1）一、知识要点：1、比例的性质；2、平行线分线段成比例的定理及逆定理；二、典型例题：1、△ABC 中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分BM 为x 、y 、z 三部分(x>y>z)，求x:y:z ；2、△ABC 的周长为1998cm ，一只小松鼠位于AB 边上（点A 、B 除外）的点P 处，它首先由点P 沿平行于BC 的方向跑到AC 边上的点1P 后，立即改变方向，再沿着平行于AB 的方向奔跑，当跑到BC 边上的点2P 后，又立即改变方向，沿平行于CA 边的方向奔跑，当跑到AB 边上的点3P 后，又立即改变方向，沿平等于BC 的方向奔跑，此后，按上述规律一直跑下去。
问小松鼠能否再返回到点P ？如果能再回到点P ，那么至少要跑多少路程？3、如图：在直角△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于F ，且分别交对边于D 、E ， 求：BFC BCDE S S ∆:四边形；4、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，E 是AB 上一点，CF ⊥BC 交ED 的延长线于F ，M 、N 分别是DE 、DF 的中点，求证：∠MAD=∠NAD5、△ABC 中，AD 是角平分线，且∠BAC=120°，求证：AC AB AD 111+=6、如图：△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，DM 、DN 分别是∠CDB 和∠CDA 的角平分线，MN 交CD 于O ，EO 、FO 的延长线分别交AC 、BC 于Q 、P ， 求证：PQ=CD ；7、如图：△ABC 中，AD 与CF 交于E ，D 在BC 上，F 在AB 上，且AE ·BF=2AF ·DE ，试判断AD 是△ABC 的中线、高或角平分线，并说明理由。
8、若z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记z y x t y x t z x t z y t z y x f +++++++++++=，证明：f 是一个整数；9、如图：△ABC 中，D 、E 为AC 、AB 上的点，BD 、CE 相交于O ，取AB 的中点F ，连结OF ，若CD AD 21=，AE BE 21=，求证：OF ∥BC 10、如图：在梯形ABCD 中，N 、P 和Q 、M 分别是底AD 、BC 上的点，有CP ∥AM ，BN ∥DQ ，AM 、BN 相交于E ，CP 、DQ 相交于F ，过E 、F 分别作AD 的平行线交CD 、AB 于G 、H ，求证：EG=FH 11、在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线的充AM B E F C CD F AE B AE M B D CN F CF E N O M A D B Q H P A F E B D C AE DF OB CAFEB C D要条件是1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 12、如图：四边形ABCD 既不是平行四边形又不是梯形，O 是对角线AC 、BD 的交点，OP ∥AD 交CB 的延长线盱P ，OQ ∥CD 交BA 的延长线于Q ，OR ∥BC 交DA 的延长线于R ，OS ∥AB 交CD 的延长线于S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共线；作业题：1、已知32===f e d c b a ，则求2423222242322234322432--------------⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+f d b e c a ？ 2、如图：P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE 、FG 、HI 分别平行于AB 、BC 和CA ，并且都过P 点，已知AB=12，BC=8，CA=6，求AI ：IF ：FB 的值；3、如图：在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别交于M 、N 、R 、S 及P ，求证：PM ·PN=PR ·PS ；4、在△ABC 中，AB ＞AC ，过BC 的中点D 作直线垂直于∠A 的平分线，交AB 于E ，交AC 的延长线于F ，求证：BE=CF=21（AB －AC ）； 5、如图：△ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线分别与AD 、AC 交于E 、F ，H 为EF 的中点，（1）求证：AH ⊥EF ；（2）设△AHF ，△BDE ，△BAF 的周长分别为321,,C C C ，证明：89321≤+C C C ，并求出当等号成立时BF AF 的值； 6、如图，在等腰△ABC ，已知AB=AC=k ·BC ，这里k 是大于1的自然数，点D 、E 依次在AB 、AC 上，且DB=BC=CE ，CD 与BE 相交于O ，求使BC OC 为有理数的最小自然数k ； B DE H AF C AD O EB C。
八年级数学竞赛测试题二及答案(K12教育文档)
八年级数学竞赛测试题二及答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学竞赛测试题二及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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A 1F GEA12008年路桥实验中学八年级数学竞赛模拟试题（考试时间：120分钟 满分：120分）命题时间:2008—5-19 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分) 1、下面4种说法：（1)一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 (2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数(3）两个无理数的和一定是无理数 (4)两个无理数的积一定是无理数 其中，正确的说法个数为（ ). A ．1B ．2C ．3D ．42、已知一次函数y =kx +b ,其中kb 〉0。
则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ ）。
A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限3为整点，如图（1)所示的正方形内(包括边界)整点 的个数是( )A ．13B ．21C ．17D ．254．如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥+-23)21(22)(3x b b x a x a x 的整数解仅为1、2、3，那末适合这个不等式组的整数对（a ，b)共有（ ）A ．32对B ．35对C ．40对D ．48对5、现有一列数1239899100,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅,其中37989,7,1a a a ==-=-,且满足任意相邻三个数的和为常数,则1239899100a a a a a a +++⋅⋅⋅+++的值为（ ）A ．0B ．40C ．32D ．266、如图（2）将六边形ABCDEF 沿着直线GH 折叠，使点A 、B 落在六边形CDEFGH 的内部，则下列结论一定正确的是（ ） A ．∠1＋∠2＝900°－2（∠C+∠D+∠E+∠F) B ．∠1＋∠2＝1080°－2（∠C+∠D+∠E+∠F ） C ．∠1＋∠2＝720°－（∠C+∠D+∠E+∠F ）D ．∠1＋∠2＝360°－12（∠C+∠D+∠E+∠F)7、如图（3)菱形ABCD 中，∠ABC=120°,F 是DC AF 的延长线交BC 的延长线于E ，则直线BF 与直线的锐角的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8、将长、宽、高分别为a ，b ，c （a ＞b ＞c ，单位:cm ） 的三块相同的长方体按图所示的三种方式放入三个底面 面直径为d （d >），高为h 的相同圆柱形水 桶中，再向三个水桶内以相同的速度匀速注水， 直至注满水桶为止, 水桶内的水深y(cm ）与注水时 间t(s ）的函数关系如图（4)所示,则注水速度为 （ ）A ．302/cm sB ．322/cm sC ．342/cm sD ．402/cm s二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9、小明在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在的位置与家的距离为s 千米，且s 与t 之间的函数关系的图象如图中的折线段OA —OB 所示。
2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)
专题分式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点，且AE 、BF 、CD 相交于点G ，如果AG GE +BG GF +CG GD =2014，那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为．【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，得出AG GE =a +b c ，BG GF =a +c b ，CG DG =b +c a ，根据AG GE +BG GF +CG GD=2014，得出a +b c +a +cb +b +c a =2014，将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案．【详解】解：设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ，同理可得：BG GF =a +c b ，CG DG=b +ca ，∵AG GE +BG GF +CG GD =2014，∴a +b c +a +c b +b +c a =2014，∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016．故答案为：2016．2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数，且a +4b=b +4c =c +4a ，则abc =．【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值，由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ，同理可得ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a，由此三式相乘即可解答．【详解】解：∵a +4b=b +4c =c +4a ，∴a -b =4c -4b =4b -c bc ，b -c =4a -4c =4c -a ac ，c -a =4b -4a =4a -b ab ，∴bc =4b -c a -b ，ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a ，∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64，∴abc =±8．故答案为：±8．3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数，则A ⋅B ⋅C ⋅D =．【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算，先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算，然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题，解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用．【详解】解：6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2，∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2，∴A +C =6，B +D =2，2A +C =8，2B +D =1，解得A =2，B =-1，C =4，D =3，∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24，故答案为：-24．4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足条件1x -1y =2x +y ，则代数式y 2x -x2y=．【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值，先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ，再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy，然后代入计算即可．【详解】解：∵1x -1y =2x +y，∴2xy =y -x y +x ，∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1，故答案为：1．5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015，且2a+b-c=8050，则a-b+12c+1=．【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值．令a2013=b2014=c2015=k，求得a=2013k，b=2014k，c=2015k，结合题意求出a、b、c的值，代入即可求解．【详解】解：设a2013=b2014=c2015=k，故a=2013k，b=2014k，c=2015k，则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k，即2×2013k+2014k-2015k=8050，解得：k=2；∴a=4026，b=4028，c=4030，∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014．故答案为：2014．6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式：xyx+y =1b-1，yzy+z=1b，xzx+z=1b+1，那么代数式xyzxy+xz+yz的值为．【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可．【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零，∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1，即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5，∴1x +1y +1z =6，即xy +yz +xz xyz =6，∴xyz xy +xz +yz =16．故答案为：16．7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ，y ，z 满足xy x +y =2015，yz y +z =43，zx z +x =-43，则xyzxy +yz +zx 的值为．【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可．【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置，则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ，由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ，由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ，三式相加得21x +1y +1z=12015，则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030，∴xyzxy +yz +zx=4030．8(2024·全国·八年级竞赛)如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若S ①:S ③=1:5，则a :b =．【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据S ①:S ③=1:5，得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，求出AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，求出3a =2b ，即可求出结果．【详解】解：如图所示，∵S ①:S ③=1:5，∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15，∴AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，整理得：3a =2b ，∴a :b =2:3．故答案为：2:3．9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ，规定f x =x x +1，例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13，则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =．【答案】40332【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．【详解】解：∵f x =xx +1，∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1，∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332．故答案为：40332．10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数，且x -1x =3，则x x 2-x +1=．【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11，再求出x +1x =13，最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键．【详解】解：∵x 为正数，且x -1x=3，∴x -1x 2=9，x +1x >0，即x 2+1x 2=11，∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13，∴x +1x =13，∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112，故答案为：13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2，则3x -2 3y -2 的值为．【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，根据x 的值和题中式子即可求解，根据解题的关键是明确它们各自的计算方法．【详解】解：∵x =2y +33y -2，∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2，∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13，故答案为：13．12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小：22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”)．【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．设a =22000，根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可．【详解】解：设a =22000，∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0，故答案为：>．13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a ．则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=．【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再求出a 的值，然后代入化简后的结果计算即可．【详解】解：a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3，∵3<11<4，∴11的整数部分3，∴a =11-3．∴-3a +3=-31111．故答案为：-31111．14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是．【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0，x -5≠0求解即可．【详解】解：根据题意，得x -3≥0x -4≠0，x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5．故答案为：x ≥3且x ≠4且x ≠5．15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，则m 的取值范围是．【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键．由存在两个数使分式没有意义，则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，∴x 2+4x +m =0有两个解，∴Δ=42-4m >0，解得：m <4，∴当m <4时，存在两个实数使原式没有意义．故答案为m <4．二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义，则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键．分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x 值．【详解】∵式子x +6x有意义，∴x +6≥0，x ≠0，∴x ≥-6且x ≠0．故选：D ．17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值，根据1x +1y =2得x +y =2xy ，再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子，即可解题．【详解】解：由1x +1y=2得x +y =2xy ，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74．故选：A ．18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足x +y =2，xy =-5，则xy +y x 的值为( )．A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将xy +y x通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含x +y ，xy 的代数式，最后将x +y ，xy 的值代入并计算即得答案．【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2，当x +y =2，xy =-5时，原式=22-5-2=-145．故选B．19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数，则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组．【详解】解：∵分式x-1x -2的值为正数，∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0，解得：-2<x<1或x>2.故选：C．20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案．【详解】设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，上坡时间为S80，下坡时间为S80×3=S240，总时间为S80+S240=S60，所以平均速度为2S÷S60=120(米/分)．故选D．21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15，则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据xx2+x+1=15得出x+1x=4，再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1，将x+1x=4整体代入求值即可．【详解】解：∵xx2+x+1=1x+1x+1=15，∴x+1x=4，∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115，故选B．22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0，则x2x4+x2+1的值是( )．A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，得到1A=x2+1x2+1，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：由x2-3x+1=0知x≠0，∴x+1x=3，∴x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，则1A=x2+1x2+1=8，∴A=18，即x2x4+x2+1=18，故选：C．三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1，求1-1x-2÷x-4+1x-2的值．【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由x-3x-2=13+2+1，得到x-2 x-3=3+2+1，变形为1+1x-3=3+2+1，即可求得1x-3的值．关键是由已知变形求得1x-3．【详解】解：1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3；∵x-3 x-2=13+2+1，∴x-2x-3=3+2+1，∴1+1x-3=3+2+1，∴1x-3=3+2，即原式=3+2．24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0，求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值．【答案】-22017．【分析】此题考查了分式的化简求值，先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2+2a -2016=0进行配方，得到a +1 2=2017的值，再把它整体代入即可求出答案，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤．【详解】解：由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017，a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1，=a -1(a +1)2-1a +1，=-2(a +1)2，=-22017．25(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ，其中x =2．【答案】1x -1，2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化，解答时，先进行分式运算，再代入求值即可．【详解】解：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1，当x =2时，原式=12-1=2+1．26(2024·全国·八年级竞赛)如图1，有一个高为hcm 的瓶子，瓶中水面的高度为acm ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a =9,b =15,h =21时，求出这个比值．【答案】a a +h -b ，35【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积×9+底面积×21-15 ，也就是底面积×15；水的体积为底面积×9，即可得到答案．【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，设瓶子的底面积为S ，即Sa +S h -b ；水的体积为Sa ，∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ，∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15，水的体积=底面积×9，∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积×9)：(底面积×15)=35，答：这个比值是35．27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证：1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2；(2)计算：1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172．【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值，数字规律的运算；对于(1)，先将等式左边通分，再根据完全平方公式整理可得答案；对于(2)，先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1，再计算加减即可得出答案．【详解】(1)解：1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2；(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1，则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017．28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0；(2)先化简，再求值：x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy，其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0．【答案】(1)2(2)化简得：x y ；原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键，(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果；(2)直接利用括号里面因式分解进行化简，再利用分式乘除运算法则化简，再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值，进行代入求出答案．【详解】解：(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2；(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y．∵x +1+(y -3)2=0，∴x -1=0，y -3=0，∴x =1，y =3，故原式=x y =13=33．29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数，且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数．求a +b +c 的值．【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减，先得出1<1a +1b+1c <3c ，求出c =2，进而得出a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc=1，进而可得出答案．【详解】解：因为1a +1b +1c -1abc 为正整数，且a 、b 、c 为大于1的正整数，1a <1b <1c ，所以1<1a +1b+1c <3c ，得1<c <3，所以c =2，∴1a +1b >1-1c =12，得12<1a +1b <2b ，所以c <b <4,∴b =3．∴1a >1-1b -1c =16，得b <a <6，所以a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b+1c -1abc=1，所以a +b +c =5+3+2=10．30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，求1a +1b+1c 的值．【答案】-15【分析】本题考查分式的求值，根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根，进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，推出abc =-15，ab +bc +ac =3，即可得出1a +1b+1c 的值．解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ．【详解】解：1a +1b +1c =ac +bc +acabc，∵a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根．∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，∴abc =-15，ab +bc +ac =3．∴1a +1b+1c =3-15=-15．31(2024·全国·八年级竞赛)求值：12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算，设1+13+14+1⋯+12007=x ，变形计算即可．【详解】解：设1+13+14+1⋯+12007=x ，则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1．32(2024·全国·八年级竞赛)设a ，b ，c 都是实数，若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2，求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值．【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设a-b=x,b-c=y,c-a =z，得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①，x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②，由①+②得x2+y2+z2=0，求出x=y=z=0，则a=b=c，代入进行变形求值即可．【详解】解：设a-b=x,b-c=y,c-a=z，由已知得：(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2，故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0，①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，②①+②得x2+y2+z2=0，故x=y=z=0，则a=b=c，∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2．。
八年级数学竞赛试题及参考标准答案
C、直角三角形一边的平方等于其它两边的平方
D、直角三角形一边等于等于其它两边的和
12、如图4，正方形AＢCD的边长为1ｃm,以对角线AC为边长再作一个正方形,则正方形AＣEF的面积是( )
A、3cm2Ｂ、4cm2C、５cm2Ｄ、2cm２
1３、以线段 为边,
八年级数学竞赛试题(二)
一、填空题(每小题４分,共40分）
1、实数包括＿___＿_和＿_＿__＿__;一个正实数的绝对值是___＿___；一个非正实数的绝对值是＿_____＿。
2、 的算术平方根是__＿____＿; 的算术平方根是＿______＿__。
3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨7∶０0甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进。上午1０∶00，甲、乙二人的距离的平方是_____。
9.小张和小李分别从A、B两地同时出发，相向而行,第一次在距A地5千米处相遇，继续往前走到各地(B、A)后又立即返回，第二次在距B地4千米处两人再次相遇,则A、Ｂ两地的距离是千米.
10．在△ABＣ中,∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B=５∠A,若∠B的最大值为ｍ°，最小值为ｎ°,则m°+n°＝．
11.已知 ．
10、如图3,在矩形AＢCＤ中，DC=５cｍ，在ＤC上存在一点E,沿直线
AE把△AＥD折叠，使点D恰好落在ＢC边上，设此点为F,若△AＢF
的面积为30cm2,那么折叠的△AED的面积为__＿____。
二、选择题(每小题3分,共２4分)
１1、下列说法中正确的是( )
Ａ、三角形一边的平方等于其它两边的平方和
且使ａ∥ｃ作四边形，这样的四边形( )
初中数学竞赛：数论的方法技巧(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：数论的方法技巧数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
八年级数学竞赛讲座实数的概念及性质附答案
第六讲 实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组． 【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)(2)设x 为一实数，表示不大于x 的最大整数，求满足=x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用的性质，简化方程．注： 设x 为一实数，则表示不大于x 的最大整数，]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质： (1)x －1<≤x (2)若y< x ，则≤ (3)若x 为实数，a 为整数，则= + a ．【例5】 已知在等式s dcx bax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答： (1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③r 的倒数r1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x 、y 是实数， 096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ． (2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程0185=++-+y y x 的解是 ．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898． (济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( ) A ．12- B ．21- C ．22- D ．22-(江西省中考题)6．已知x 是实数， 则πππ1-+-+-x x x 的值是( )A ．π11-B ．π11+C ．11-πD ．无法确定的( “希望杯”邀请赛试题)7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题)8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． 21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；…(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足0412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ． 11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是 ．( “希望杯’邀请赛试题)12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)13．已知正数a 、b 有下列命题：①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则23≤ab ； ③若a ＝2，b=3，则25≤ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ． 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a ，那么代数式a a+1的值为( ) A ．25 B ．25- C ．5- D ．5 (重庆市竞赛题)15．设表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则+++…+的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．5049( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则ba ba -+的值为( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．3 (全国初中数学竞赛题)17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果a b =N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ． 例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3．(1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x =M ，a y ＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM，并说明理由． (泰州市中考题) 20．设dcx bax y ++=，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证： (1)当bc=ad 时，y 是有理数；(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。
2019-八年级(下)数学竞赛试卷及答案
2019-2020 年八年级（下）数学比赛试卷及答案班级姓名得分一、（每7 分，共 21 分）1．如，正方形ABCD外有一点 P，P 在 BC外，并在平行AB与 CD之，若 PA＝17 ，PB＝ 2 ，PC＝ 5 ，PD＝()A．25B．19C．32D．172．如，四形ABCD中，∠ A＝∠ C＝ 90°，∠ ABC＝ 60°， AD＝ 4， CD＝ 10， BD的等于（）A. 413B.8 3C. 12D.103 3．如，△ ABC中， AB＝ AC＝2， BC上有 10 个不一样的点P1， P2，⋯⋯ P10, M i AP i2P i B P i C（i＝1，2，⋯⋯，10），那么M1M 2M 10的（）A. 4 C. 40 D.不可以确立（第 1 ）（第2）（第3）二、填空（每7 分，共 28 分）1.若一个等腰三角形的三均足方程x2－ 6x＋8＝ 0，个等腰三角形的周。
2. 已知：ab1，且5a22010a 8 0 ，8b22010b 5 0 ，a＝。
b3. 如，从等三角形内一点向三作垂，已知三条垂段的分1、3、5，个等三角形的。
4. 如， P 正方形ABCD内一点， PA∶PB∶ PC＝1∶ 2∶ 3，∠ APD＝。
（第 3 ）（第4）三、解答以下各（每17 分，共 51 分）1. 已知： m , n 知足 m210m 10 ， n 210n10 ， 求 n m的值。
m na b822．已知：ab，试求方程， ，c 三实数知足方程组28bx cx aab c3c 48的根。
3．若△ ADE 、△ BEF 、△ CDF 的面积分别为 5、 3、 4，求△ DEF 的面积。
滁州市第五中学八年级数学比赛试卷答案一、选择题1. A2. A3. C 二、填空题1. 6 或 10 或 12；2.8； 3.6 3 ； °。
5三、解答以下各题 1. 当 m n 时，n m 1 2 ，m1n当 mn 时， m , n 是方程 x 210 x 10 0 的两个根，则 m n 10, mn10 。
八年级数学竞赛题及答案解析培训课件
八年级数学竞赛题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）A ．－5B ．－2C ．1D ．4 2.下列各式中计算正确的是（ ）A .9)9(2-=-B .525±=C .3311()-=- D .2)2(2-=-3.若901k k <<+ （k 是整数），则k =（ ） A . 6 B . 7 C .8 D . 94.下列计算正确的是（ ） A.ab ·ab =2abC.3-=3（a ≥0） D.·=（a ≥0,b ≥0）5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶56.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对7.将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ） A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16 D ．7≤h ≤168.在直角坐标系中,将点（－2,3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A .（4, －3）B .（－4, 3）C .（0, －3）D .（0, 3）9.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （4，5），B （1，2），C （4，2）， 将△ABC 向左平移5个单位长度后，A 的对应点A 1的坐标是（ ） A ．（0，5） B ．（－1，5） C ．（9，5） D ．（－1，0） 10.平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l 经过第一、二、三象限，若点（0，a ），（-1，b ），（c ，-1）都在直线l 上，则下列判断正确的是（ ） A . b a < B . 3<a C . 3<b D . 2-<c二、填空题（每小题3分，共24分）11.函数y ＝的自变量x 的取值范围是________.12.点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 . 13.已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，1－b ），则a b 的值为__________. 14.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y 米与时间x 小时（0≤x ≤5）的函数关系式为__________. 15.在△ABC 中，a ，b ，c 为其三边长，，，，则△ABC 是_________.16.在等腰△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =12 cm ，则BC 边上的高是_________cm ． 17.若),(b a A 在第二、四象限的角平分线上,a 与b 的关系是_________. 18已知：m 、n 为两个连续的整数，且m ＜＜n ，则m +n =_________. 三、解答题（共66分）19.（8分）如图，已知等腰△的周长是，底边上的高的长是，求这个三角形各边的长. 20.（8分）计算：（1）44.1-21.1； （2）0)31(33122-++；（3）2)75)(75(++-； （4）2224145-.21.（8分）在平面直角坐标系中,顺次连接A （-2,1）,B （-2,-1）,C （2,-2）,D （2,3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积. 22．（8分）已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2-ab －27 的值.23.（8分）设一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过A （1，3）， B （0，－2）两点，试求k ，b 的值．24.（8分）一架云梯长25 m ，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m. （1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？第24题图 第25题图25.（8分）甲、乙两人匀速从同一地点到1 500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数图象的一部分如图所示.（1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？26.（10分）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3 000元，每天工作8小时，一个月工作25天，月工资底薪800元，另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.（工人月工资＝底薪+计件工资） （1）一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时？（2）一段时间后,公司规定：“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装，且加工A 型 服装数量不少于B 型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件，工资总额为 W 元，请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？AD C第19题图年级数学竞赛答题卡题目 1 2 3 4 5 答案 题目 6 7 8 9 10 答案二、填空题（每小题3分，共24分）11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.三、解答题（共66分） 19. （8分）如图，已知等腰△的周长是，底边上的高的长是，求这个三角形各边的长.20.（8分）计算：（1）44.1-21.1； （2）0)31(33122-++；（3）2)75)(75(++-； （4）2224145-.21.（8分）在平面直角坐标系中,顺次连接A （-2,1）,B （-2,-1）,C （2,-2）,D （2,3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积.ADC第19题图22．（8分）已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2-ab －27 的值.23.（8分）设一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过A （1，3），B （0，－2）两点，试求k ，b 的值．24.（8分）一架云梯长25 m ，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m. （1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？25.（8分）甲、乙两人匀速从同一地点到1 500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数图象的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？26.（10分）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3 000元，每天工作8小时，一个月工作25天，月工资底薪800元，另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.（工人月工资＝底薪+计件工资） （1）一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时？（2）一段时间后,公司规定：“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装，且加工A 型 服装数量不少于B 型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件，工资总额为 W 元，请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？期中检测题参考答案一、选择题1.C 解析：|－5|=5；|－2|=2，|1|=1，|4|=4，所以绝对值最小的数是1，故选C ．2.C 解析：选项A 中299()-=，选项B 中255=，选项D 中222()-=,所以只有选项C 中3311()-=-正确.3.D 解析：∵ 81＜90＜100，∴ ，即910，∴ k =9.4.D 解析：因为22ab ab a b ⋅=，所以A 项错误；因为33(2)8a a =，所以B 项错误；因为32(0)a a a a =≥，所以C (0,0)a b ab a b =≥≥，所以D项正确.5.D 解析：判断一个三角形是不是直角三角形有以下方法： ①有一个角是直角或两锐角互余； ②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角. B 、C 满足勾股定理的逆定理，故选D.6.C 解析：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为57以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4777C .7.D 解析：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17（cm ），最短长度为8 cm ，则筷子露在杯子外面的长度h 的取值范围是24－17≤h ≤24－8，即7≤h ≤16，故选D .8.C 解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵坐标均互为相反数，所以点（－2，3）关于原点的对称点为（2，－3）.根据平移的性质，结合直角坐标系，（2，－3）点向左平移2个单位长度，即横坐标减2，纵坐标不变.故选C .9.B 解析:∵ △ABC 向左平移5个单位长度，A （4，5），4－5=－1， ∴ 点A 1的坐标为（－1，5）,故选B ．10.D 解析：设直线l 的表达式为()0y kx b k =+≠，Q 直线l 经过第一、二、三象限，∴ 0k >，函数值y 随x 的增大而增大. Q 01>-，∴ a b >，故A 项错误；Q 02>-，∴ 3a >，故B 项错误；Q 12->-，∴ 3b >，故C 项错误；Q 13-<，∴ 2c <-，故D项正确.二、填空题11.x≥2解析：因为使二次根式有意义的条件是被开方数≥0，所以x－2≥0，所以x≥2.12.0＜a＜3解析：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法.∵点P（a，a－3）在第四象限，∴a>0，a－3<0，解得0＜a＜3．13.25解析：本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得a＋b＝－3，1－b＝－1，解得b＝2，a＝－5，∴a b＝25. 14.y=0.3x+6 解析：因为水库的初始水位高度是6米，每小时上升0.3米，所以y与x的函数关系式为y=0.3x+6（0≤x≤5）.15.直角三角形解析：因为所以△是直角三角形.16.8解析：如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10 cm，BC=12 cm，∴BD=CD=6 cm，∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=22AB BD-=22106-=8（cm）．17.互为相反数解析:第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标的绝对值相等,•符号相反.18.7解析：∵9＜11＜16，∴3＜＜4.又∵m、n为两个连续的整数，∴m＝3，n＝4，∴m＋n＝3＋4＝7.三、解答题19. 解：设，由等腰三角形的性质，知.由勾股定理，得，即，解得，所以，．20.解：（1）.（2）.（31332827933393 3.3333+=+=+=AB C第16题答图（4）.61513334)31(331220=+=++=-++ （5）（6）.21.解:梯形.因为AB ∥CD ，AB 的长为2,CD 的长为5,AB 与CD 之间的距离为4,所以S 梯形ABCD ＝(25)42+⨯＝14. 22.解: 因为a 31-≥0，︱8b －3︱≥0，且a 31-和︱8b －3︱互为相反数，所以a 31-，0=︱8b －3︱，0= 所以,83,31==b a 所以()2-ab －27＝64－27＝37. 23.分析：直接把A 点和B 点的坐标分别代入y =kx +b ，得到关于k 和b 的方程组，然后解方程组即可.解：把（1，3）、（0，－2）分别代入y =kx +b ，得+32k b b =⎧⎨=-⎩，，解得52k b =⎧⎨=-⎩，，即k ，b 的值分别为5，－2． 24.分析：（1）可设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度是直角三角形的三边长，所以x 2+72=252，解出x 即可.（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4 m ，应计算才能确定.解：（ 1）设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高， 根据题意，得AB 2+BC 2=AC 2，即x 2+72=252，解得x =24， 即这个梯子的顶端A 距地面有24 m 高. （2）不是.理由如下：如果梯子的顶端下滑了4 m ，即AD =4 m,BD =20 m. 设梯子底端E 离墙距离为y m ，根据题意，得BD 2+BE 2=DE 2，即202+y 2=252，解得y =15. 此时CE =15－7=8（m ）.所以梯子的底部在水平方向滑动了8 m. 25.解：（1）甲行走的速度：150530÷=（米/分）. （2）补画的图象如图所示（横轴上对应的时间为50）.（3）由函数图象可知，当t =12.5时，s =0； 当12.5≤t ≤35时，s =20t -250； 当35<t ≤50时，s =-30t +1 500.当甲、乙两人相距360米时，即s =360， 360=20t -250，解得30.5=t , 360 =-30t +1 500. 解得 38=t∴当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.26.解：（1）设一名熟练工加工１件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，由题意,得解得答：一名熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时. （2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×8-2a ）件. ∴ W ＝16a +12（25×8-2a ）+800,∴ W ＝-8a +3 200. 又a ≥ （200-2a ）,解得a ≥50. ∵ -8<0,∴ W 随着a 的增大而减小. ∴ 当a =50时，W 有最大值2 800.∵ 2 800<3 000,∴ 该服装公司执行规定后违背了广告承诺.第25题答图。
新人教版八年级(下)数学竞赛试卷及答案
八年级第二学期数学科竞赛试题一、选择题（本小题共12小题，每小题3分，共36分）下列各题给出的四个选项中，1、如果分式x-1有意义，那么x 的取值范围是 A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ≠1D 、x =12、己知反比例数xky =的图象过点（2，4），则下面也在反比例函数图象上的点是A 、（2，－4）B 、（4，－2）C 、（－1，8）D 、（16，21）3、一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为A 、4B 、34C 、4或34D 、24、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、等腰梯形 5、菱形的面积为2，其对角线分别为x 、y ，则y 与x 的图象大致为A BC D6、△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，下列条件：①∠A=∠B －∠C ；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5；③))((2c b c b a -+=；④13:12:5::=c b a ，其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB 长60cm ，则荷花处水深OA 为A 、120cmB 、360cmC 、60cmD 、cm 320第7题图第8题图第9题图学校： 班级： 姓名： 座号：8、如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O 与AD 、BC 分别相交于E 、F ，若AB=4，BC=5，OE=1.5,那么四边形EFCD 的周长为A 、16B 、14C 、12D 、109、如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若∠B=700，则∠EDC 的大小为A 、100B 、150C 、200D 、300 10、下列命题正确的是A 、同一边上两个角相等的梯形是等腰梯形；B 、一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；C 、如果顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形。
八年级数学竞赛讲座飞跃等到相似附答案
八年级数学竞赛讲座飞跃等到相似附答案初中数学竞赛1 第二十讲飞跃-从全等到相似全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等．通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一．熟悉以下形如“A 型”、“X 型”“子母型”等相似三角形．例题求解如图，△ABC 中，∠ABC=60’°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，则PB= ．(全国初中数学竞赛题)思路点拨PA 、PB 、PC 分别是△ABP 、△BCP 的边，从判定这两个三角形的关系入手．注相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上．类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．” 在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比．a 、b 、c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是( ) A ．∠B2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B2∠A D ．不确定(全国初中数学联赛试题)思路点拨先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC于初中数学竞赛2 E ，交CF 于F ．求证：BP 2=PE ×PF(吉林省中考题)思路点拨由于BP 、PE 、PF 在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC(ABAE) ．(1)△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；(2)设k BC AB ，是否存在这样的k 值，使△AEF 与△BFC 相似?若存在，证明你的结论并求出k 的值：若不存在，说明理由．(重庆市中考题)思路点拨本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则Rt △AEF 与Rt △BFC 中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k 的值．如图，△ABC 和△A l B l C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ．求证：AA 1⊥CC 1．(重庆市竞赛题)思路点拨作出等边三角形最基本的辅助线，并延长AA l 交CC l 于E ，寻找相似三角形，证明∠A=90°．注比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型．基本证法有：。
八年级数学竞赛讲座图形的平移与旋转附答案
第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【例5】 如图，等边△ABC 的边长为31225+=a ，点P 是△ABC 内的一点，且PA 2+PB 2＝PC 2，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 题设条件满足勾股关系PA 2+PB 2＝PC 2的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a ，AB=b ，则CD 的长为 ．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( ) A ．12- B ．22C ．lD ．21 (2002年荆州市中考题)5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C．3 D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A ．5B ．13C ．5D ．6 (2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ． 15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ． (1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形； (2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。
新课标八年级数学竞赛培训第20讲由全等到相似
2010 年新课标八年级数学比赛培训第20 讲：由全等到相像一、填空题（共8 小题，每题 4 分，满分 32 分）1．（ 4 分）如图，在△ ABC 中，∠ ABC＝ 60°，点 P 是△ ABC 内的一点，使得∠ APB＝∠ BPC ＝∠ CPA，且 PA＝ 8，PC＝ 6，则 PB＝．2．（ 4 分）如图，由边长为 1 的 25 个小正方形构成的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC 相像且面积最大的△A1B1C1，使它的三个极点都落在小正方形的顶点上，则△ A1 B1C1的最大面积是．3．（ 4 分）已知：如图，在△ABC 中， AB＝ 15m， AC＝ 12m，AD 是∠ BAC 的外角均分线，DE∥ AB 交 AC 的延伸线于点E，那么 CE＝m．4．（ 4 分）以下图，正方形ABCD 边长是2，BE ＝ CE， MN＝ 1，线段 MN 的端点M、 N 分别在 CD 、 AD 上滑动，当 DM ＝时，△ ABE 与以 D、 M、N 为极点的三角形相像．5．（ 4 分）如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点， AE⊥ EF，有以下结论：① ∠ BAE ＝ 30°；② CE 2＝ AB × CF ；③ CF CD ；④ △ ABE ∽△ AEF ．此中正确结论的序号是．6．（4 分）已知平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线按序与AC 、AD 及 CD 的延伸线订交于点 E 、 F 、G ，若 BE ＝ 5， EF ＝ 2，则 FG 的长是．7．（ 4 分）如图， ABCD 是正方形， E 、F 是 AB 、BC 的中点， 连结 CC 交 DB 、DF 于 G 、H ，则 EG ： GH ＝．8．（ 4 分）如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＜ CD ，向来线交 BA 延伸线于 E ，交 DC延伸线于 J ，交 AD 于 F ，BD 于 G ，AC 于 H ，BC 于 I ，已知 EF ＝FG ＝ GH ＝ HI ＝ IJ ，则．二、选择题（共 8 小题，每题5 分，满分 40 分）9．（ 5 分）已知一个梯形被一条对角线分红两个相像三角形，假如两腰的比为，那么两底的比为（）A ．B ．C．D．10．（ 5 分）在△ ABC 与△ A′B′ C′中，∠ B＝∠ B′＝ 90°，∠ A＝ 30°，则以下条件，不可以说明△ ABC 与△ A′B′ C′相像的是（）A ．∠ A′＝ 30°B ．∠ C′＝ 60°C．∠ C＝ 60°D．∠ A′＝ 2∠C′11．（ 5 分）如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上一点，下边四种状况中，△ABD ∽△ ACB 一定建立的状况是（）A ．AD?BC＝ AB?BD B． AB2＝ AD ?ACC．∠ ABD ＝∠ CBD D． AB?BC＝ AC?BD12．（ 5 分）如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝ 90°， D 是 BC 中点， AE⊥ AD 交 CB 的延伸线于E，则以下结论正确的选项是（）A ．△ AED ∽△ ACB B ．△ AEB∽△ ACD C．△ BAE∽△ ACE D．△ AEC∽△ DAC 13．（ 5 分）如图，梯形ABCD 中， AD∥ BC，∠ ABC＝ Rt∠，对角线AC⊥BD 于 P 点．已知AD： BC＝ 3：4，则 BD ：AC 的值是（）A ．B ．C．D．14．（ 5 分）如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的极点 A 顺时针旋转90°，得△ ABF ，连结EF 交 AB 于 H ，则以下结论错误的选项是（ ）A ．AE ⊥ AFB ． EF ： AF： 1C ．AF 2＝FH ?FED ． FB ： FC ＝ HB ：EC15．（5 分）如图，在等边△ ABC 中，D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点， 且∠ ADE ＝ 60°，BD ＝ 3， CE ＝2，则△ ABC 的边长为（ ）A ．9B ．12C ． 15D ． 1816．（ 5 分）设 a ，b ，c 分别是△ ABC 的三边长，且，则它的内角∠ A 、∠ B 的关系是（）A ．∠B ＞2∠ AB ．∠ B ＝ 2∠ AC ．∠ B ＜ 2∠ AD ．不确立三、解答题（共 11 小题，满分 0 分）17．已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，AD 是中线， P 是 AD 上一点，过C 作 CF ∥ AB ，延长 BP 交 AC 于 E ，交 CF 于 F 、求证： BP 2＝ PE?PF ．18．已知：如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF ⊥ EC 交 AB 于 F ，连结 FC ．（AB＞ AE ）．（ 1）△ AEF 与△ ECF 能否相像？若相像，证明你的结论；若不相像，请说明原因；（ 2）设，能否存在这样的 k 值，使得△ AEF 与△ BFC 相像？若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明原因．19．如图，△ABC 和△ A l B l C1均为正三角形， BC 和 B1C1的中点均为 D ．求证： AA1⊥ CC1．20．已知：正方形的边长为1．（ 1）如图 1，能够算出一个正方形的对角线的长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出n 个正方形并排拼成的矩形的对角线；（2）依据图 2，求证：△ BCE∽△ BED；（3）由图 3，在以下所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：① ∠ BEC+∠ BDE ＝ 45°；② ∠ BEC+∠ BED ＝ 45°；③ ∠ BEC+∠ DFE ＝ 45°．21．以下图，在△ABC 中， BA ＝BC＝ 20cm， AC＝ 30cm，点 P 从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为x．（ 1）当 x 为什么值时， PQ∥ BC；（ 2）当，求的值；（ 3）△ APQ 可否与△ CQB 相像？若能，求出AP 的长；若不可以，请说明原因．22．如图，设 P 是等边△ ABC 的一边 BC 上的随意一点，连结 A P ，它的垂直均分线交AB 、AC 于 M 、 N 两点，求证： BP?PC ＝ BM?CN ．23．如图，正方形ABCD 中， M 为 AD 中点，以 M 为极点作∠ BMN ＝∠ MBC ， MN 交 CD于 N ，求证： DN ＝ 2NC ．24．在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＞ CD ， K ， M 分别在 AD ， BC 上，∠ DAM ＝∠ CBK ．求证：∠ DMA ＝∠ CKB ．（第二届袓冲之杯初中比赛）2 225．如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 2∠ABC ，求证： AB ＝ AC+AC?BC ．26．如图， AB 是等腰直角三角形的斜边，若点M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线MN 将△ MCN 翻折， 使点 C 落在 AB 上，设其落点为点 P ．当点 P 是边 AB 的中点时， 求证：．27．如图，若 ，求证： ．2010 年新课标八年级数学比赛培训第20 讲：由全等到相像参照答案与试题分析一、填空题（共 8 小题，每题4 分，满分 32 分）1．（ 4 分）如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 60°，点 P 是△ ABC 内的一点， 使得∠ APB ＝∠ BPC＝∠ CPA ，且 PA ＝ 8，PC ＝ 6，则 PB ＝4 ．【剖析】 由∠ APB ＝∠ BPC ＝∠ CPA ＝ 120°，∠ ABC ＝ 60°，能够获得∠ BAP ＝∠ PBC ，判断两个三角形相像，而后用相像三角形的性质计算求出PB 的长．【解答】 解：由题意∠ APB ＝∠ BPC ＝∠ CPA ＝ 120°，设∠ PBC ＝ α，∠ ABC ＝ 60°则∠ ABP ＝60°﹣ α，∴∠ BAP ＝∠ PBC ＝α，∴△ ABP ∽△ BCP ，∴，BP 2＝ AP?PC ，∴．故答案是： 4．【评论】 本题考察的是相像三角形的判断与性质，先用两角对应相等的两三角形相像，判断△ APB ∽△ BPC ，再用相像三角形对应边的比相等进行计算求出PB 的长．2．（ 4 分）如图，由边长为 1 的 25 个小正方形构成的正方形网格上有一个△ABC ；在网格上画出一个与△ ABC 相像且面积最大的△ A 1B 1C 1，使它的三个极点都落在小正方形的顶点上，则△ A 1 B 1C 1 的最大面积是5 ．【剖析】因为限制条件比许多，重点是新三角形的三个极点一定都落在小正方形的极点上，所以能够对原三角形的边扩大最大倍数时，新三角形的最长边为网格的对角线，然后求出两三角形的相像比来解决．【解答】解：以下图，∵△ ABC∽△ A1 B1C1，相像比为，∵S△ABC＝ 1，∴S△A1B1C1＝ 5．故答案为： 5．【评论】本题考察相像图形的意义及作图能力．解题的重点是依据AC，找到AC 的对应边最长的长度为．3．（ 4 分）已知：如图，在△ABC 中， AB＝ 15m， AC＝ 12m，AD 是∠ BAC 的外角均分线，DE∥ AB 交 AC 的延伸线于点E，那么 CE＝48 m．【剖析】依据平行线的性质可推得△ ABC ∽△ EDC，再依据相像三角形的对应边成比率可得出一关系式 AB ：DE＝ AC： CE，由外角均分线可推出 DE ＝AE，则可求解．【解答】解：∵ DE∥ AB∴∠ BAC＝∠ E，∠ B＝∠ EDC∴△ ABC∽△ EDC∴AB： DE ＝ AC： CE∵ AD 是∠ BAC 的外角均分线，DE∥ AB∴∠ EDA＝∠ EAD∴DE＝ AE＝ AC+CE∴AB：（ AC+CE）＝ AC： CE即15：（ 12+CE）＝ 12： CE∴CE＝ 48m．故答案为： 48．【评论】本题考察了平行线的性质及相像三角形的判断及性质，注意相像三角形中对应边成比率．4．（ 4 分）以下图，正方形分别在 CD 、AD 上滑动，当形相像．ABCD 边长是2，BE ＝ CE， MN＝ 1，线段 MN 的端点M、 N DM ＝或时，△ ABE与以D、M、N为极点的三角【剖析】依据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角三角形相像．但本题中 M、 N 的点不决，也就是边的对应关系不决，所以需分状况议论．【解答】解：∵正方形ABCD 边长是 2∴BE＝ CE＝ 1，∠ B＝∠ D ＝90°∴在 Rt△ ABE 中， AE第一种状况：当△ ABE∽△ MDN 时，AE：MN ＝ AB：DM ，即：1＝2：DM，∴DM；第二种状况：当△ ABE∽△ NDM 时，AE：MN ＝ BE：DM ，即：1＝1：DM，∴DM．所以 DM或．【评论】本题考察了直角三角形相像的判断定理，需注意边的对应关系．5．（ 4 分）如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点， AE⊥ EF，有以下结论：① ∠ BAE＝ 30°；第 10 页（共 31 页）③CF CD ；④ △ ABE∽△ AEF ．此中正确结论的序号是②④．【剖析】由题中条件可得△CEF ∽△ BAE，从而得出对应线段成比率，从而又可得出△ABE∽△ AEF，即可得出题中结论．【解答】解：∵ AE⊥EF ，∴∠ BAE＝∠ CEF ，∴△ CEF∽△ BAE，∴，即CE?BE＝AB?CF，即CE 2＝AB?CF，∴ ② 正确；由△ CEF∽△ BAE 可得，∴∠ EAF＝∠ BAE的正切值同样，∴∠ EAF ＝∠ BAE 又∠ B＝∠ C＝ 90°．∴△ ABE∽△ AEF ，∴④正确；因为题中并无波及数值计算，所以①③ 均不建立．故答案为②④ ．【评论】本题主要考察了相像三角形的判断及性质，此中又波及正方形的一些性责问题，能够娴熟掌握．6．（4 分）已知平行四边形ABCD 中，过点 B 的直线按序与AC、AD 及 CD 的延伸线订交于点 E、 F 、G，若 BE ＝ 5， EF＝ 2，则 FG 的长是10.5．【剖析】依据平行四边形可判断△AEB∽△ EGC，△ AEF ∽△ BEC，利用其对应边成比率，可求出 EG，而后用EG 减去 EF 即可．【解答】解：∵ AD∥ BC，∴△ AEF ∽△ BEC ，∴，又∵△ ABE∽△ EGC，∴，∴，将BE＝ 5， EF＝2，代入求得 EG＝ 12.5，FG＝ EG﹣ EF ＝ 12.5﹣ 2＝ 10.5．【评论】本题考察学生相像三角形的判断与性质和平行四边形的性质的理解与掌握．利用相像三角形中的对应边成比率是解答本题的重点．7．（ 4 分）如图， ABCD 是正方形， E、F 是 AB、BC 的中点，连结 CC 交 DB 、DF 于 G、H ，则EG： GH＝ 5： 4 ．【剖析】过点G 作GP ∥ BC 交DF于P ，设GH ＝ 2a ，则由平行线的性质可得，即 CH＝ 3a，从而即可得出结论．【解答】解：过点G 作 GP∥ BC 交 DF 于 P，则，设 GH ＝2a，则 HC＝ 3a，可得 EG，∴EG： GH＝ 5： 4．故答案为： 5： 4．【评论】本题主要考察了平行线分线段成比率的性质以及正方形的一些性责问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．8．（ 4 分）如图，在梯形 ABCD 中， AB∥ CD ， AB＜ CD ，向来线交 BA 延伸线于 E，交 DC 延伸线于 J，交 AD 于 F ，BD 于 G，AC 于 H，BC 于 I ，已知 EF ＝FG＝ GH ＝ HI ＝ IJ，则2．【剖析】由平行线可得对应线段成比率，又由已知EF＝ FG ＝ CH＝ HI ＝ IJ，可分别求出线段 AB、 CD 与 AE、 CJ 的关系，从而可求解结论．【解答】解：∵ AB∥CD ， EF＝ FG＝ CH ＝HI ＝ IJ，∴，∴，，∴ DJ＝ 4AE，又，解得 AB AE，又AE CJ ，∴ AB CJ， EB＝ 4CJ，，CD＝ 5CJ，∴AB： CD：5＝1：2．故答案为2．【评论】本题主要考察了相像三角形对应边成比率，梯形或平行线分线段成比率的性质问题，应娴熟掌握．二、选择题（共8 小题，每题 5 分，满分 40 分）9．（ 5 分）已知一个梯形被一条对角线分红两个相像三角形，假如两腰的比为，那么两底的比为（）A ．B ．C．D．【剖析】已知一个梯形被一条对角线分红两个相像三角形，再依据梯形两底平行的关系，确立相像的两个三角形，再依据相像三角形对应边长成比率，即可求得两底之比．∵AD∥ BC，∴∠ 1＝∠ 2．∵梯形 ABCD 被一条对角线分红两个相像三角形，∴△ ABD∽△ DCB，已知两腰为： AB 和 DC，∴，∴BD＝ 4AD ，CB＝ 4BD ＝ 16AD，∴．应选： D ．【评论】本题主要考察了梯形的性质和相像三角形的基天性质及对应边长成比率，依据相像比来求解．10．（ 5 分）在△ ABC 与△ A′B′ C′中，∠ B＝∠ B′＝ 90°，∠ A＝ 30°，则以下条件，不可以说明△ ABC 与△ A′B′ C′相像的是（）A ．∠ A′＝ 30°B ．∠ C′＝ 60°C．∠ C＝ 60°D．∠ A′＝ 2∠C′【剖析】依据 A、 B、 C、 D 选项中给出的条件，分别证明△ABC 与△ A′ B′ C′相像，不可以证明△ ABC 与△ A′B′ C′相像的条件即为答案，即可解题．【解答】解： A、∵∠ A′＝ 30°，∠ B＝∠ B′＝ 90°，∠ A＝30°，∴△ ABC∽△ A′ B′ C′，故本选项错误；B、∵∠ C′＝ 60°，∴∠ A′＝ 30°，∵∠ B＝∠ B′＝ 90°，∠ A＝30°，∴△ ABC∽△ A′ B′ C′，故本选项错误；C、∠ C＝ 60°，没法确立△ A′ B′ C′中各角的度数，故没法证明△A BC∽△ A′B′ C′，故本选项正确；D 、∵∠ A′＝ 2∠ C′，∠ A′ +∠C′＝ 90°，∴∠ A′＝ 30°，∵∠ B＝∠ B′＝ 90°，∠ A＝30°，∴△ ABC∽△ A′ B′ C′，故本选项错误．应选： C．【评论】本题考察了相像三角形的判断，三角形内角和定理，本题中依据题目中给出的条件求证△ ABC∽△ A′ B′ C′是解题的重点．11．（ 5 分）如图，在△ABC 中， D 是边 AC 上一点，下边四种状况中，△ABD ∽△ ACB 一定建立的状况是（）A ．AD?BC＝ AB?BD B． AB2＝ AD ?ACC．∠ ABD ＝∠ CBD D． AB?BC＝ AC?BD【剖析】要使△ ABD ∽△ ACB，已知有一组公共角，则能够依据相像三角形的判断方法对各选项进行剖析即可．【解答】解： A、因为AD ?BC＝ AB?BD 的夹角非∠ A，所以不可以判断两三角形相像，故本选项错误；B、因为切合两边及夹角法，故可判断两三角形相像，故本选项正确；C、因为没法确立三角形的对应角相等，故没法判断两三角形相像，故本选项错误；D 、因为 AB?BC＝ AC?BD 的夹角为∠ C、∠ B，不确立能否相等，没法判断两三角形相像，故本选项错误，应选： B．【评论】本题考察了相像三角形的判断，考察了相像三角形不一样的判断方法，本题中根据两边比值相等和夹角相等判断三角形相像是解题的重点．12．（ 5 分）如图，在△ ABC 中，∠ BAC＝ 90°， D 是 BC 中点， AE⊥ AD 交 CB 的延伸线于E，则以下结论正确的选项是（）A ．△ AED ∽△ ACB B ．△ AEB ∽△ ACDC ．△ BAE ∽△ ACED ．△ AEC ∽△ DAC【剖析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半获得 DA ＝ DC ，则∠ DAC ＝∠ C ，再利用等角的余角相等获得∠EAB ＝∠ DAC ，从而有∠ EAB ＝∠ C ，再加上公共角即可判断△BAE ∽△ ACE ．【解答】 解：∵∠ BAC ＝ 90°， D 是 BC 中点，∴ DA ＝ DC ，∴∠ DAC ＝∠ C ，又∵ AE ⊥ AD ，∴∠ EAB+∠ BAD ＝ 90°，∠ CAD +∠ BAD ＝ 90°， ∴∠ EAB ＝∠ DAC ，∴∠ EAB ＝∠ C ，而∠ E 是公共角， ∴△ BAE ∽△ ACE应选： C ．【评论】 本题主要考察学生对相像三角形判断定理的掌握和应用．13．（ 5 分）如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ABC ＝ Rt ∠，对角线 AC ⊥BD 于 P 点．已知AD ： BC ＝ 3：4，则 BD ：AC 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【剖析】 由 AD ∥ BC ，可推△ ADP ∽△ CBP ，由相像三角形的性质可得，所以 APAC ， PC AC ，BP BD ，因∠ ABC ＝ 90°，对角线 AC ⊥ BD 于 P ，利用△APB ∽△ BPC 获得 PB 2＝ PA?PC ，即可求解．【解答】 解：∵ AD ∥ BC∴△ ADP ∽△ CBP∴∴ APAC ，PC AC ， BP BD∵∠ ABC ＝ 90°，对角线 AC ⊥ BD 于 P∴△ APB ∽△ BPC∴ PB 2＝ PA?PC∴∴．应选： A ．【评论】 本题需认真剖析题意，联合图形，利用相像三角形的性质即可解决问题．14．（ 5 分）如图，将△ ADE 绕正方形 ABCD 的极点 A 顺时针旋转 90°，得△ ABF ，连结EF 交 AB 于 H ，则以下结论错误的选项是（ ）A ．AE ⊥ AFB ． EF ： AF： 1C ．AF 2＝FH ?FED ． FB ： FC ＝ HB ：EC【剖析】 由旋转获得△ AFB ≌△ AED ，依据相像三角对应边的比等于相像比，即可求得．【解答】 解：由题意知，△ AFB ≌△ AED∴ AF ＝ AE ，∠ FAB ＝∠ EAD ，∠ FAB+∠ BAE ＝∠ EAD +∠ BAE ＝∠ BAD ＝ 90°．∴ AE ⊥ AF ，所以 A 正确；∴△ AEF 是等腰直角三角形，有EF ： AF： 1，所以 B 正确；∵ HB ∥ EC ，∴△ FBH ∽△ FCE ，∴ FB ： FC ＝ HB ： EC ，所以 D 正确． ∵△ AEF 与△ AHF 不相像，∴ AF 2＝ FH ?FE 不正确．应选： C ．【评论】 本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判断和性质求解．15．（5 分）如图，在等边△ ABC 中，D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点，且∠ ADE ＝ 60°，BD＝ 3， CE＝2，则△ ABC 的边长为（）A ．9B ．12C． 15D． 18【剖析】由∠ ADE ＝ 60°，可证得△ABD ∽△ DCE ；可用等边三角形的边长表示出DC 的长，从而依据相像三角形的对应边成比率，求得△ABC 的边长．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B＝∠ C＝ 60°， AB ＝BC；∴CD ＝ BC﹣BD ＝ AB﹣ 3；∴∠ BAD+∠ ADB ＝120°∵∠ ADE＝ 60°，∴∠ ADB+∠ EDC＝ 120°，∴∠ DAB＝∠ EDC，又∵∠ B＝∠ C＝ 60°，∴△ ABD∽△ DCE；∴，即；解得 AB＝ 9．应选： A．【评论】本题主要考察了等边三角形的性质和相像三角形的判断和性质，能够证得△ ABD ∽△ DCE 是解答本题的重点．16．（ 5 分）设 a，b，c 分别是△ ABC 的三边长，且，则它的内角∠ A、∠ B 的关系是（）A ．∠ B＞2∠ AB ．∠ B＝ 2∠ A C．∠ B＜ 2∠ A D．不确立【剖析】依据即可求得，延伸 CB 至 D ，使BD＝ AB，即可求证△ABC ∽△ DAC ，即可得∠ ABC ＝∠ D+∠ BAD ＝ 2∠ D ＝ 2∠ BAC ．即可解题．【解答】 解：由得，延伸 CB 至 D ，使 BD ＝ AB ，于是 CD ＝ a+c ，在△ ABC 与△ DAC 中，∠ C 为公共角，且 BC ： AC ＝AC ：DC ，∴△ ABC ∽△ DAC ，∠ BAC ＝∠ D ，∵∠ BAD ＝∠ D ，∴∠ ABC ＝∠ D+∠ BAD ＝ 2∠ D ＝ 2∠ BAC ．应选： B ．【评论】 本题考察了相像三角形对应边比值相等的性质，相像三角形的判断，本题中求证△ ABC ∽△ DAC 是解题的重点．三、解答题（共 11 小题，满分 0 分）17．已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，AD 是中线， P 是 AD 上一点，过C 作 CF ∥ AB ，延长 BP 交 AC 于 E ，交 CF 于 F 、求证： BP 2＝ PE?PF ．【剖析】 要证线段乘积式相等，经常先证比率式建立，要证比率式，须有三角形相像，要证三角形相像，须依据已知与图形找条件即可．【解答】 证明：连结 PC ，∵ AB ＝ AC ， AD 是中线， ∴ AD 是△ ABC 的对称轴．∴ PC ＝ PB ，∠ PCE ＝∠ ABP ．∵ CF ∥ AB ，∴∠ PFC ＝∠ ABP （两直线平行，内错角相等） ， ∴∠ PCE ＝∠ PFC ．又∵∠ CPE ＝∠ EPC ，∴△ EPC ∽△ CPF ．∴（相像三角形的对应边成比率） ．∴ PC 2＝ PE?PF ． ∵ PC ＝BP∴ BP 2＝ PE?PF ．【评论】 证明线段乘积式相等，经常先证比率式建立这是十分重要的方法之一，本题主要考察的是相像三角形性质的应用．18．已知：如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF ⊥ EC 交 AB 于 F ，连结 FC ．（AB＞ AE ）．（ 1）△ AEF 与△ ECF 能否相像？若相像，证明你的结论；若不相像，请说明原因；（ 2）设 ，能否存在这样的 k 值，使得△ AEF 与△ BFC 相像？若存在，证明你的结论并求出 k 的值；若不存在，说明原因．【剖析】（ 1）要求两三角形相像，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相像，依据 FE ⊥ EC ，所以∠ AEF 和∠ DCE 都是∠ DEC 的余角，所以∠第 20 页（共 31 页）解，延伸 FE 交 CD 于 G ，我们不难得出△AEF 和△ GED 全等，那么 EF ＝ EG ，再依据一组直角和一条公共边我们可得出△ FEC 和△ GEC 全等，即可得出∠ FCE ＝∠ GCE 也就得出了∠ AEF ＝∠ ECF ，于是就凑齐了两三角形相像的条件．（ 2）要想使两三角形相像，已知的条件有一组直角，那么分两种状况进行议论：当∠ AFE ＝∠ FCB 时，那么∠ AFE 就和∠ BFC 互余，所以∠ EFC 就是直角，而∠FEC 也是直角所以这类状况是不建立的．当∠ AEF ＝∠ FCB 时， AE ： BC ＝ AF ： BF ，那么因为 E 是 AD 中点，所以 BC ＝ 2AE ，所以我们可得出 BF ＝ 2AF ，即 AB ＝ 3AF ，又依据（ 1）中 AF ＝ GD ， AB ＝ CD ，我们可在△ CEG 中依据△ EGD 和△ EDC 相像，得出对于 GD 、 ED 、 DC 的比率关系，也就是 AF 、AB 、 AE 的比率关系，有了 AB ＝ 3AF ，就能求出 ED 与 AF 的比率关系，也就求出了BC与 AF 的比率关系， 以 AF 为中间值即可得出AB 与 BC 的比率关系， 也就求出了 k 的值．【解答】 解：（ 1）△ AEF ∽△ ECF ．证明以下：延伸 FE 与 CD 的延伸线交于G ，∵ E 为 AD 的中点， AE ＝ DE ，∠ AEF ＝∠ GED ，∴ Rt △AEF ≌ Rt △ DEG ．∴ EF ＝ EG ．∵ CE ＝ CE ，∠ FEC ＝∠ CEG ＝ 90°， ∴ Rt △EFC ≌ Rt △ EGC ．∴∠ AFE ＝∠ EGC ＝∠ EFC ．又∵∠ A ＝∠ FEC ＝ 90°， ∴ Rt △AEF ∽ Rt △ ECF ．（ 2）设 AD ＝ 2x ， AB ＝ b ， DG ＝ AF ＝ a ，则 FB ＝ b ﹣ a ， ∵∠ GEC ＝ 90°， ED ⊥ CD ，∴ ED 2＝ GD?CD∴ x 2＝ ab ，假定△ AEF 与△ BFC 相像，则有两种状况：一是∠ AFE ＝∠ BCF ；则∠ AFE 与∠ BFC 互余，于是∠ EFC ＝ 90°，所以此种状况是不建立的．依据△ AEF ∽△ BCF ，于是：，即 ，得 b ＝ 3a ．所以 x 2＝ab ＝ 3a 2，所以 xa ，于是 k．【评论】 本题主要考察了相像三角形以及全等三角形的判断和性质，依据相像三角形得出有关线段间的比率关系是解题的重点．19．如图， △ABC 和△ A l B l C 1 均为正三角形， BC 和 B 1C 1 的中点均为 D ．求证： AA 1⊥ CC 1．【剖析】 连结 AD ，延伸 AA 1 交 DC 于 O ，交 C 1C 于 E ，利用特别角的三角函数值求得，求证△ AA 1 1 1 11⊥ CC 1． D ∽△ CC D ，∠ A AD ＝∠ C CD ，而后即可证明 AA【解答】 证明：连结 AD ， A 1D ，延伸 AA 1 交 DC 于 O ，交 C 1C 于 E ，∵∠ ADA 1＝ 90°﹣∠ A 1DC ＝∠ CDC 1，，∴△ AA 1D ∽△ CC 1D ，∠ A 1AD ＝∠ C 1CD ，又∵∠ AOD ＝∠ COE ，∴∠ ADO ＝∠ CEO ＝ 90°，即 AA 1⊥ CC 1．【评论】本题主要考察学生对相像三角形的判断与性质和等边三角形的性质的理解和掌握，证明本题的重点是利用特别角的三角函数值求得，求证△ AA1D ∽△ CC1D，∠ A1AD ＝∠ C1CD ，难度较大．20．已知：正方形的边长为 1．（ 1）如图 1，能够算出一个正方形的对角线的长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出n 个正方形并排拼成的矩形的对角线；（2）依据图 2，求证：△ BCE∽△ BED；（3）由图 3，在以下所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：① ∠ BEC+∠ BDE ＝ 45°；② ∠ BEC+∠ BED ＝ 45°；③ ∠ BEC+∠ DFE ＝ 45°．【剖析】（ 1）因为是矩形，其对角线与两边恰巧构成直角三角形，利用勾股定理便能够求对角线的长．（2）利用三角形的相像的判断定理即可求证．（3）利用相像性求出相等的角，取代要求的角看能否正确．【解答】解：（ 1）如图 1 所示：∵两个正方形拼成的矩形的长 AC＝ 2，宽 AE＝ 1∴此时对角线EC∴同理， n 个正方形构成的矩形的长为n，宽为 1，对角线长为．（ 2）如图 2 所示，由题意可得：BE，BD＝2，BC＝ 1∴．又∵∠ CBE＝∠ EBD，∴△ BCE∽△ BED ．（3）证明：② ∠BEC+∠ BED ＝45°．由（ 2）证明出：△ BCE∽△BED ，∴∠ BEC＝∠ BDE ．由平行线定理可知：∠BDE＝∠ DEF ，∴∠ BEC+∠ BED ＝∠ BDE +∠ BED ＝∠ DEF +∠ BED＝∠ BEF ＝ 45°建立．【评论】本题主要考察判断三角形的相像和利用相像三角形的性质求解．21．以下图，在△ABC 中， BA ＝BC＝ 20cm， AC＝ 30cm，点 P 从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为x．（ 1）当 x 为什么值时， PQ∥ BC；（ 2）当，求的值；（ 3）△ APQ 可否与△ CQB 相像？若能，求出AP 的长；若不可以，请说明原因．【剖析】（ 1）当 PQ∥BC 时，依据平行线分线段成比率定理，可得出对于AP，PQ，AB，AC 的比率关系式，我们可依据P，Q 的速度，用时间x 表示出 AP， AQ，而后依据得出的关系式求出x 的值．（ 2）我们先看当时能得出什么条件，因为这两个三角形在AC 边上的高相等，那么他们的底边的比就应当是面积比，由此可得出CQ：AC＝ 1：3，那么 CQ＝ 10cm，此不时间 x 正好是（ 1）的结果，那么此时PQ∥ BC，由此可依据平行这个特别条件，得出三角形 APQ 和 ABC 的面积比，而后再依据三角形 PBQ 的面积＝三角形 ABC 的面积﹣三角形APQ 的面积﹣三角形 BQC 的面积来得出三角形 BPQ 和三角形 ABC 的面积比．第 24 页（共 31 页）对应成比率以及AP 和 BC 对应成比率两种状况来求x 的值．【解答】解：（ 1）由题意得， PQ 平行于 BC，则 AP： AB＝ AQ： AC， AP＝ 4x，AQ＝ 30 ﹣ 3x∴∴ x（2）∵ S△BCQ： S△ABC＝ 1： 3∴CQ： AC＝ 1： 3， CQ＝ 10cm∴时间用了秒， AP cm，∵由（ 1）知，此时PQ 平行于 BC∴△ APQ∽△ ABC，相像比为，∴S△APQ： S△ABC＝ 4： 9∴四边形 PQCB 与三角形 ABC 面积比为5：9，即 S 四边形PQCB S△ABC，又∵ S△BCQ：S△ABC＝ 1： 3，即 S△BCQ △ ABC，S∴ S△＝ S 四边形﹣ S△═△△△，BPQ PQCB BCQ S ABC S ABC S ABC∴S△BPQ： S△ABC＝ 2： 9（ 3）假定两三角形能够相像状况 1：当△ APQ∽△ CQB 时， CQ：AP ＝BC ：AQ，即有解得 x ，经查验， x 是原分式方程的解．此时 AP cm，状况 2：当△ APQ∽△ CBQ 时， CQ：AQ＝ BC： AP，即有解得 x＝ 5，经查验， x＝ 5 是原分式方程的解．此时 AP＝ 20cm．综上所述， AP cm 或 AP＝ 20cm．【评论】本题主要考察了相像三角形的判断和性质，依据三角形相像得出线段比或面积比是解题的重点．22．如图，设P 是等边△ ABC 的一边 BC 上的随意一点，连结A P，它的垂直均分线交AB、AC 于 M、 N 两点，求证：BP?PC＝ BM?CN．【剖析】连结 PM， PN，证明△ AMN ≌△ PMN ，再证△ MPB ∽△ PNC，即可得出结论．【解答】证明：连结PM ，PN，∵ MN 垂直均分AP，∴AM ＝MP， AN＝ PN，又 MN 为公共边，∴△ AMN ≌△ PMN （ SSS），∴∠ MPN ＝∠ BAC＝ 60°，∵∠ BPM+∠ CPN＝ 120°，∠ BPM+∠ BMP＝ 120°，∴∠ BMP＝∠ CPN，由∠ B＝∠ C＝ 60°，∴△ MPB∽△ PNC，∴，即BP?PC＝ BM ?NC ．【评论】本题主要考察了相像三角形的判断及性质以及等边三角形的性质等问题，能够娴熟掌握．23．如图，正方形ABCD 中， M 为 AD 中点，以M 为极点作∠ BMN ＝∠ MBC ， MN 交 CD 于N，求证： DN＝ 2NC．【剖析】因为 M 是正方形AD 边上的中点，联合正方形的性质，易证△ABM≌△ DCM ，那么有 BM ＝ CM ，利用等边平等角可得∠MBC ＝∠ MCB ，联合已知条件∠BME＝∠ MBE ，易证△ EMB ∽△ MCB ，从而利用比率线段可求BM ，从而求出BE、CE，再依据 AD ∥ BE，利用平行线分线段成比率定理的推论，易证△DMN ∽△ CEN，再次利用比率线段，从而可求 DN＝ 2CN．【解答】证明：连结CM ，延伸 BC、 MN ，两延伸线交于点E．设正方形的边长是2a，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ A＝∠ D＝ 90°， AB＝ CD ，又∵ M 是 AD 中点，∴AM ＝DM ，∴△ ABM≌△ DCM ，∴BM ＝CM ，∴∠ MBC ＝∠ MCB ，又∵∠ BME ＝∠ MBE ，∴△ EMB∽△ MCB ，∴BE： BM ＝BM ： BC，又∵ BM a，∴BE a，∴ CE a﹣ 2a a，又∵ AD ∥BE，∴△ DMN ∽△ CEN，∴DN ： CN＝DM ： CE，∴DN ： CN＝a： a＝ 2，∴DN ＝ 2CN．【评论】本题考察了正方形的性质、平行线分线段成比率定理的推论、相像三角形的判断和性质、勾股定理、全等三角形的判断和性质以及比率的计算．24．在梯形ABCD 中， AB∥ DC ， AB＞ CD， K ， M 分别在 AD ， BC 上，∠ DAM ＝∠CBK ．求证：∠ DMA ＝∠ CKB ．（第二届袓冲之杯初中比赛）【剖析】连 KM，由∠ DAM ＝∠ CBK ，获得 A，B，M，K 四点共圆，则∠ DAB＝∠ CMK ，∠AKB ＝∠ AMB ，而∠ DAB +∠ ADC＝ 180°，获得∠ CMK +∠ KDC ＝ 180°，所以 C，D，K ， M 四点共圆，所以∠CMD ＝∠ DKC ，即可获得∠DMA ＝∠ CKB．【解答】解：连 KM ，如图，∵∠ DAM ＝∠ CBK ，∴ A， B， M，K 四点共圆，∴∠ DAB＝∠ CMK ，∠ AKB ＝∠ AMB，又∵ AB∥ DC，∴∠ DAB+∠ ADC＝ 180°，∴∠ CMK +∠KDC ＝ 180°．∴ C， D ，K ， M 四点共圆，∴∠ CMD ＝∠ DKC ，∴180°﹣∠ DKC ﹣∠ AKB＝ 180°﹣∠ CMD ﹣∠ AMB，∴∠ DMA ＝∠ CKB ．【评论】本题考察了四点共圆的判断方法以及四点共圆的性质．也考察了梯形的性质．2 225．如图，△ ABC 中，∠ ACB＝ 2∠ABC，求证： AB ＝ AC +AC?BC．【剖析】延伸 AC 至 D ，使 CD＝ BC，连结 BD ，依据等腰三角形底角相等的性质可证∠D ＝∠ ABC，可证△ ABC∽△ ADB ，得2 2化简得 AB ＝AC +AC?CD，即可解题．【解答】证明：延伸AC 至 D，使 CD ＝ BC，连结 BD，∵BC＝ CD，∴∠ CBD＝∠ CDB，∵∠ ACB＝ 2∠ ABC，∠ ACB＝∠ CBD +∠CDB ，∴∠ D＝∠ ABC，∠ A＝∠ A，∴△ ABC∽△ ADB ，∴，2 2即 AB ＝ AC?AD ＝ AC（ AC+CD）＝ AC +AC?BC．【评论】本题考察了相像三角形对应边比值相等的性质，考察了相像三角形的判断，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中求证△ABC∽△ ADB 是解题的重点．26．如图， AB 是等腰直角三角形的斜边，若点M 在边 AC 上，点N 在边 BC 上，沿直线MN 将△ MCN 翻折，使点 C 落在 AB 上，设其落点为点P．当点 P 是边 AB 的中点时，求证：．【剖析】依据折叠的性质可得 MN ∥ AB ，即可证明△ CMN ∽△ CAB，即可得 1 ，即可解题．【解答】证明：连结PC，折痕 MN 垂直 PC， AC＝BC ，AP＝ BP ．由折叠可知MN ⊥ CP，又∵△ ABC 为等腰三角形，P 为 AB 的中点，∴AB⊥ CP， AP＝ PB，∴1，MN ∥ AB，∴△ CMN ∽△ CAB．∴1，∴．【评论】本题考察了相像三角形的证明，相像三角形对应边比值相等的性质，本题中求证△ CMN ∽△ CAB 是解题的重点．27．如图，若，求证：．【剖析】过点 A、B 分别作 UW、 WV 的平行线，交点为 P，连结 PE、 PD ，利用△ ABP ∽△UVW ，得 CD ＝ BP， EF ＝ PA，再用△ PDE ∽△ XYZ，即可解题．【解答】证明：过点A、 B 分别作 UW、 WV 的平行线，交点为P，连结 PE、 PD ，则△ ABP∽△ UVW ，从而，得CD＝BP，EF＝PA，则 CD BP， EF PA，所以， BC PD， FA EP，于是△ PDE ∽△ XYZ，，故．【评论】本题主要考察学生对相像三角形的判断与性质和平行线分线段成比率这一知识点的理解和掌握．。
(完整版)新人教版八年级(下)数学竞赛试卷及答案,推荐文档
∴∠BAD=EAD
…………………2 分
由勾股定理得 42+（8-x）2=x2， 解得 x=5，
在△ABD 与△AED 中
BAD EAD
AD AD
ADB ADE
∴AF=5cm．
（2）①显然当 P 点在 AF 上时，Q 点在 CD 上，此时 A、C、P、Q 四点不可能构成平 行四边形； 同理 P 点在 AB 上时，Q 点在 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形．
A、16
B、14
C、12
D、10
若一反比例函数 y k 的图象过点 D，则其解析式为
。
第 16 题图
7、如图，把菱形 ABCD 沿 AH 折叠，使 B 点落在 BC 上的 E 点处，若∠B=700，则
x
3、解答题（共 28 分）
∠EDC我的去大小人为 也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天我分页符ZNBX吃噶十多
2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形
x
BO
x
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、等腰梯形
点 B 在 x 轴负半轴上，且 OA=OB，则△AOB 的面积为
3、菱形的面积为 2，其对角线分别为 x、y，则 y 与 x 的图象大致为
A．2
B． 2
C．2 2
D．4
10、如图，在一个由 4×4 个小正方形组成的正方形网格中，
∴△ABD≌△AED
…………………3 分
因此只有当 P 点在 BF 上、Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形， ∴以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∴BD=ED AE= AB=12 …………………4 分
2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)
专题分式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点，且AE 、BF 、CD 相交于点G ，如果AG GE +BG GF +CG GD =2014，那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为．【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，得出AG GE =a +b c ，BG GF =a +c b ，CG DG =b +c a ，根据AG GE +BG GF +CG GD=2014，得出a +b c +a +cb +b +c a =2014，将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案．【详解】解：设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ，同理可得：BG GF =a +c b ，CG DG=b +ca ，∵AG GE +BG GF +CG GD =2014，∴a +b c +a +c b +b +c a =2014，∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016．故答案为：2016．2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数，且a +4b=b +4c =c +4a ，则abc =．【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值，由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ，同理可得ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a，由此三式相乘即可解答．【详解】解：∵a +4b=b +4c =c +4a ，∴a -b =4c -4b =4b -c bc ，b -c =4a -4c =4c -a ac ，c -a =4b -4a =4a -b ab ，∴bc =4b -c a -b ，ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a ，∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64，∴abc =±8．故答案为：±8．3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数，则A ⋅B ⋅C ⋅D =．【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算，先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算，然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题，解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用．【详解】解：6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2，∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2，∴A +C =6，B +D =2，2A +C =8，2B +D =1，解得A =2，B =-1，C =4，D =3，∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24，故答案为：-24．4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足条件1x -1y =2x +y ，则代数式y 2x -x2y=．【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值，先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ，再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy，然后代入计算即可．【详解】解：∵1x -1y =2x +y，∴2xy =y -x y +x ，∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1，故答案为：1．5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015，且2a+b-c=8050，则a-b+12c+1=．【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值．令a2013=b2014=c2015=k，求得a=2013k，b=2014k，c=2015k，结合题意求出a、b、c的值，代入即可求解．【详解】解：设a2013=b2014=c2015=k，故a=2013k，b=2014k，c=2015k，则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k，即2×2013k+2014k-2015k=8050，解得：k=2；∴a=4026，b=4028，c=4030，∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014．故答案为：2014．6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式：xyx+y =1b-1，yzy+z=1b，xzx+z=1b+1，那么代数式xyzxy+xz+yz的值为．【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可．【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零，∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1，即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5，∴1x +1y +1z =6，即xy +yz +xz xyz =6，∴xyz xy +xz +yz =16．故答案为：16．7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ，y ，z 满足xy x +y =2015，yz y +z =43，zx z +x =-43，则xyzxy +yz +zx 的值为．【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可．【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置，则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ，由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ，由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ，三式相加得21x +1y +1z=12015，则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030，∴xyzxy +yz +zx=4030．8(2024·全国·八年级竞赛)如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若S ①:S ③=1:5，则a :b =．【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据S ①:S ③=1:5，得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，求出AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，求出3a =2b ，即可求出结果．【详解】解：如图所示，∵S ①:S ③=1:5，∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15，∴AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，整理得：3a =2b ，∴a :b =2:3．故答案为：2:3．9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ，规定f x =x x +1，例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13，则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =．【答案】40332【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．【详解】解：∵f x =xx +1，∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1，∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332．故答案为：40332．10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数，且x -1x =3，则x x 2-x +1=．【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11，再求出x +1x =13，最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键．【详解】解：∵x 为正数，且x -1x=3，∴x -1x 2=9，x +1x >0，即x 2+1x 2=11，∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13，∴x +1x =13，∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112，故答案为：13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2，则3x -2 3y -2 的值为．【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，根据x 的值和题中式子即可求解，根据解题的关键是明确它们各自的计算方法．【详解】解：∵x =2y +33y -2，∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2，∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13，故答案为：13．12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小：22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”)．【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．设a =22000，根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可．【详解】解：设a =22000，∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0，故答案为：>．13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a ．则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=．【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再求出a 的值，然后代入化简后的结果计算即可．【详解】解：a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3，∵3<11<4，∴11的整数部分3，∴a =11-3．∴-3a +3=-31111．故答案为：-31111．14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是．【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0，x -5≠0求解即可．【详解】解：根据题意，得x -3≥0x -4≠0，x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5．故答案为：x ≥3且x ≠4且x ≠5．15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，则m 的取值范围是．【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键．由存在两个数使分式没有意义，则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，∴x 2+4x +m =0有两个解，∴Δ=42-4m >0，解得：m <4，∴当m <4时，存在两个实数使原式没有意义．故答案为m <4．二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义，则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键．分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x 值．【详解】∵式子x +6x有意义，∴x +6≥0，x ≠0，∴x ≥-6且x ≠0．故选：D ．17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值，根据1x +1y =2得x +y =2xy ，再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子，即可解题．【详解】解：由1x +1y=2得x +y =2xy ，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74．故选：A ．18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足x +y =2，xy =-5，则xy +y x 的值为( )．A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将xy +y x通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含x +y ，xy 的代数式，最后将x +y ，xy 的值代入并计算即得答案．【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2，当x +y =2，xy =-5时，原式=22-5-2=-145．故选B．19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数，则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组．【详解】解：∵分式x-1x -2的值为正数，∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0，解得：-2<x<1或x>2.故选：C．20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案．【详解】设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，上坡时间为S80，下坡时间为S80×3=S240，总时间为S80+S240=S60，所以平均速度为2S÷S60=120(米/分)．故选D．21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15，则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据xx2+x+1=15得出x+1x=4，再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1，将x+1x=4整体代入求值即可．【详解】解：∵xx2+x+1=1x+1x+1=15，∴x+1x=4，∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115，故选B．22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0，则x2x4+x2+1的值是( )．A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，得到1A=x2+1x2+1，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：由x2-3x+1=0知x≠0，∴x+1x=3，∴x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，则1A=x2+1x2+1=8，∴A=18，即x2x4+x2+1=18，故选：C．三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1，求1-1x-2÷x-4+1x-2的值．【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由x-3x-2=13+2+1，得到x-2 x-3=3+2+1，变形为1+1x-3=3+2+1，即可求得1x-3的值．关键是由已知变形求得1x-3．【详解】解：1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3；∵x-3 x-2=13+2+1，∴x-2x-3=3+2+1，∴1+1x-3=3+2+1，∴1x-3=3+2，即原式=3+2．24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0，求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值．【答案】-22017．【分析】此题考查了分式的化简求值，先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2+2a -2016=0进行配方，得到a +1 2=2017的值，再把它整体代入即可求出答案，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤．【详解】解：由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017，a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1，=a -1(a +1)2-1a +1，=-2(a +1)2，=-22017．25(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ，其中x =2．【答案】1x -1，2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化，解答时，先进行分式运算，再代入求值即可．【详解】解：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1，当x =2时，原式=12-1=2+1．26(2024·全国·八年级竞赛)如图1，有一个高为hcm 的瓶子，瓶中水面的高度为acm ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a =9,b =15,h =21时，求出这个比值．【答案】a a +h -b ，35【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积×9+底面积×21-15 ，也就是底面积×15；水的体积为底面积×9，即可得到答案．【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，设瓶子的底面积为S ，即Sa +S h -b ；水的体积为Sa ，∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ，∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15，水的体积=底面积×9，∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积×9)：(底面积×15)=35，答：这个比值是35．27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证：1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2；(2)计算：1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172．【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值，数字规律的运算；对于(1)，先将等式左边通分，再根据完全平方公式整理可得答案；对于(2)，先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1，再计算加减即可得出答案．【详解】(1)解：1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2；(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1，则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017．28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0；(2)先化简，再求值：x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy，其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0．【答案】(1)2(2)化简得：x y ；原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键，(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果；(2)直接利用括号里面因式分解进行化简，再利用分式乘除运算法则化简，再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值，进行代入求出答案．【详解】解：(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2；(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y．∵x +1+(y -3)2=0，∴x -1=0，y -3=0，∴x =1，y =3，故原式=x y =13=33．29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数，且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数．求a +b +c 的值．【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减，先得出1<1a +1b+1c <3c ，求出c =2，进而得出a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc=1，进而可得出答案．【详解】解：因为1a +1b +1c -1abc 为正整数，且a 、b 、c 为大于1的正整数，1a <1b <1c ，所以1<1a +1b+1c <3c ，得1<c <3，所以c =2，∴1a +1b >1-1c =12，得12<1a +1b <2b ，所以c <b <4,∴b =3．∴1a >1-1b -1c =16，得b <a <6，所以a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b+1c -1abc=1，所以a +b +c =5+3+2=10．30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，求1a +1b+1c 的值．【答案】-15【分析】本题考查分式的求值，根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根，进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，推出abc =-15，ab +bc +ac =3，即可得出1a +1b+1c 的值．解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ．【详解】解：1a +1b +1c =ac +bc +acabc，∵a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根．∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，∴abc =-15，ab +bc +ac =3．∴1a +1b+1c =3-15=-15．31(2024·全国·八年级竞赛)求值：12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算，设1+13+14+1⋯+12007=x ，变形计算即可．【详解】解：设1+13+14+1⋯+12007=x ，则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1．32(2024·全国·八年级竞赛)设a ，b ，c 都是实数，若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2，求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值．【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设a-b=x,b-c=y,c-a =z，得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①，x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②，由①+②得x2+y2+z2=0，求出x=y=z=0，则a=b=c，代入进行变形求值即可．【详解】解：设a-b=x,b-c=y,c-a=z，由已知得：(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2，故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0，①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，②①+②得x2+y2+z2=0，故x=y=z=0，则a=b=c，∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2．。
八年级数学竞赛试题及答案.docx
还剩：21345、25143、23541、43125、45321
所以共有
5种排法故选：D．
２、 设18
路公交车的速度是
x米/分,小王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻两车的间距为
s米．
每隔6分钟从背后开过一辆
18路公交车,则6x－6y=s．①
１、法一：设
a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列．
首先,对于a1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数
,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾．
又如果a（1≤i≤3）是偶数,a
i+1是奇数,则ai+2是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,
i
除非接的这个奇数是最后一个数．
（第3题）
的值等 于
．(x表示不超过x的最大整数)
5．小明家电话号码原为六位数
,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字
8,成为一个七位数的
电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字
2,成为一个八的 电 话 号 码 的 八 位 数,恰 是 原 来 电 话 号 码 的 六 位 数 的81倍,则 小 明 家 原 来 的 电 话 号 码
所以a1,a2,a3,a4,a5只能是：偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件：
2,1,3,4,5；
2,3,5,4,1；
2,5,1,4,3；
4,3,1,2,5；
4,5,3,2,1．
法二：第一位是
2,后面两位奇数任意：21345、23145、21543、25143、23541、25341
第一位是4,后面两位奇数不能是1、5或5、1：41325、43125、43521、45321
八年级数学竞赛讲座数形互助附答案
第三十讲 数形互助数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系．以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题．用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等．例题求解【例1】 若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三 条边的长，那么这个三角形的面积等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积．注 古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系．17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备． 【例2】 如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( )A ．1B ．32C ．2D ．3 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值．【例3】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．(1)用x 的代数式表示y ；(2)当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少?(2001年南京市中考题)思路点拔 对于(1)S 矩形AMHN =HM ×AM ，AM=AB+BM ，只需把BM 用x 的代数式表示即可，对于(2)，把关于x 的代数式通过配方变形可获解．注意相似三角形基本图形的运用．【例4】已知正数 a 、b 、c 和x 、y 、z 满足k z c y b x a =+=+=+，求证：2k cx bz ay <++． 思路点拨 相等的量赋予它的几何意义，易想到等边三角形、正方形，从构造边长为k 的正方形入手． 注 对于一个几何问题，能否通过代数运算解块，关键在于几何问题中数量关系能否方便地表示成适应代数适算的表达式：一个几何问题，能否通过列方程的手段解决，在于问题本身是否存在着构成方程的等量关系，在寻找等量关系的过程中，常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识与方法．美国数学家斯蒂思说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法．”图形能直观、形象地表示数量关系，能帮助分析、理顺复杂的数量关系．用形辅数目前常见的方式是：(1)利用等量构造等边三角形、正方形；(2)利用根式的几何意义构造直角三角形、矩形．【例5】 如图，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米／秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米／秒的速度移 动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么： (1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似? (2002年山西省中考题)思路点拨 (1)把相关线段用t 的代数式表示，利用勾股定理建立t 的方程，(2)注意动态变化过程中某些量的不变性，从而提出相关问题，(3)借助三角形相似的判定方法，探求质点运动的时间，其中蕴含着分类讨论的思想方法．学力训练1．如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 ．2．用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是 ．(黑龙江省中考题)3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，其中②~⑥中，与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥4．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和210，那么这个三角形的斜边长为( ) A ．10 B ．410 C ．13 D ．1325．如图，以长为2的定线段为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上． (1)求AM ，DM 的长； (2)求证：AM 2=AD ×DM ．6．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，设该矩形的长QM=ymm ，宽MN=xmm ． (1)求证：y=x 23120 ；(2)当x 与y 分别取什么值时，矩形P QMN 的面积最大?最大面积是多少?7．已知：如图，正方形ABCD 的周长为4 a ，四边形EFGH 的四个顶点F 、F ，G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上滑动，在滑动过程中，始终有EH ∥BD ∥FG ，且EH=FG ，那么四边形EFGH 的周长是否可求?若能求出，它的周长是多少?若不能求出，请说明理由． (2003年新疆建设兵团中考题)8．如图，在△ABC 中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，将△ABC 折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ，则△AZC 的面积是 ．9．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，C 为CD 的中点，BE=13，梯形ABCD 的面积为120，那么AB+BC+DA= ．10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 、N 是BC 边上的点，BM=MN=NC ，如果AM=4，AN=3，则MN= ． (上海市高中理科实验班招生试题)11．代数式15324422+-++x x x 的最小值是 ．12．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在右图所示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明．要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母． (山西省中考题)13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P 是BC 边上的一个动点，直线l 过点P 且平行于DC ，交梯形另外一边于E 点，设BP=x ，梯形位于直线l 左侧的图形的面积为S ，分别求出当点E 位于BA 、AD 上时，S 与x 之间的关系式，并分别指出x 的取值范围． (威海市中考题)14．如图，已知正方形ABCD ，直线AG 分别交BD 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点G ，点H 是线段FG 上的点，且HC ⊥C E ． (1)求证：点H 是GF 的中点； (2)设x BEDE=(0<x<1)，y S S GCF ECH =∆∆，请用含x 的代数式表示y ．(2001年浙江省嘉兴市中考题)15．已知a 、b 、c 均为非负实数，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++． 16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D ，E 是BC 边上的两点，且∠ABC=21∠ADC=31∠AEC ，已知BD=11，DE ＝5，求AC 长． (北京市竞赛题)17．如图，在△ABC 中，BE 、CF 是中线，且BE ⊥CF ，AC=b ，AB= c (c> b ) (1)求BC 的长； (2)若△ABC 存在，讨论cb的取值范围．。
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八年级数学竞赛讲座飞跃等到相似附答案
<i>初中数学竞赛</i>
1 第二十讲飞跃-从全等到相似
全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等．通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一．熟悉以下形如“A 型”、“X 型”“子母型”等相似三角形．
例题求解
如图，△ABC 中，∠ABC=60’°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，则PB= ．
(全国初中数学竞赛题)
思路点拨PA 、PB 、PC 分别是△ABP 、△BCP 的边，从判定这两个三角形的关系入手．
注相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上．
类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．” 在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比．
a 、
b 、
c 分别是△ABC 的三边的长，且c
b a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是( ) A ．∠B2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B2∠A D ．不确定
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系．
如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC
于
<i>初中数学竞赛</i>
2 E ，交CF 于F ．求证：BP 2
=PE ×PF
(吉林省中考题)
思路点拨由于BP 、PE 、PF 在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题．
如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于
F ，连结FC(ABAE) ．
(1)△AEF 与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；
(2)设k BC AB ，是否存在这样的k 值，使△AEF 与△BFC 相似?若存在，证明你的结论并求出k 的值：若不存在，说明理由．(重庆市中考题)
思路点拨本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则Rt △AEF 与Rt △BFC 中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k 的值．
如图，△ABC 和△A l B l C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ．求证：AA 1⊥CC 1．
(重庆市竞赛题)
思路点拨作出等边三角形最基本的辅助线，并延长AA l 交CC l 于E ，寻找相似三角形，证明∠A=90°．注比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型．基本证法有：
(1)从相似三角形入手；。