最大公因数例3
12短除法求最大公因数 (3)
1
2
3
4
9
6
12
你知道吗？ 利用分解质因数的方法，可以比较简 便地求出两个数的最大公因数。
例如:求24和36的最大公因数？
24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3
24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲 和乙的最大公因数是（ ）．
2、甲数＝２×３×５，乙数＝７×１ １×１３，甲数和乙数的最大公因数 是（ ）。
88和11
(倍数关系）
(一般关系） (互质关系）
42和28
(一般关系）
5和9
13和91
14和21
9和16
(互质关系） (一般关系）
88和121
(一般关系）
(倍数关系） (互质关系）
求下列各组数的最大公因数。
13和39
42和34
15和16
4. 选出正确答案的编号填在横线上。 A. 1 A. 4 B. 3 B. 6 C. 4 C. 8
书第64页9题
A (1) 9 和 16 的最大公因数是______ 。
D. 9 D. 16
D (2) 16 和 48 的最大公因数是______ 。
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大
C 公因 数是______ 。
A. 1
B. 甲数
பைடு நூலகம்C. 乙数
D. 甲、乙两数的积
(1) 自然数a除以b商是15，那么a和b的最 b 。 大公因数______ (2)m和n是相邻的两个不为零的自然数，
书第61页做一做2
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
36的最大公因数
36的最大公因数首先，我们需要明确什么是最大公因数。
最大公因数，也称为最大公约数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如，36和54的公因数有1、2、3、6，而36和54的最大公因数就是6。
接下来，我们可以通过多种方法来求解36的最大公因数。
下面是其中一些常用的方法：方法一：列出因数法首先，我们可以列举36的因数，包括1、2、3、4、6、9、12、18、及36本身。
接着，我们可以进一步列举另一个数的因数，例如我们可以列举出54的因数为1、2、3、6、9、18、27、及54本身。
然后，我们可以找到36和54所共有的因数，包括1、2、3、6、9、18，而最大的共有因数则是18，因此36和54的最大公因数为18。
方法二：质因数分解法第二种方法是运用质因数分解法。
首先，我们将36进行质因数分解，即36=2²×3²。
接着，我们将另一个数54进行质因数分解，即54=2×3³。
然后，我们将36和54的共同质因数取出来，包括2和3，而2和3的乘积等于6，因此36和54的最大公因数为6。
方法三：欧几里得算法欧几里得算法，又叫辗转相除法。
它是求最大公因数最常用的方法之一。
欧几里得算法的基本思想就是：用较大的数去除以较小的数，再用余数去除刚才的较小的数，再用余数去除刚才得到的余数…如此反复，直到余数为零为止。
这时，较小的数就是所求的最大公因数。
以36和54为例，我们可以用欧几里得算法来计算它们的最大公因数。
具体过程如下：54÷36=1 (18)36÷18=2 0因为余数为零，所以最终的结果为18，即36和54的最大公因数为18。
这个方法比起其他方法来说，有一个优点：它可以用于求解多个数的最大公因数。
除了以上几种方法，还有其他的方法可以求解36的最大公因数，例如通过连分数逼近来求解，或者利用辗转相减法来求解，但是这些方法相对来说比较复杂，需要一定的数学基础和技能才能运用。
第三节 最大公因数与最小公倍数
第三节最大公因数与最小公倍数一、基本概念和知识1、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。
2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
4.最大公因数与最小公倍数的计算方法求最大公因数与最小公倍数的常用方法：（1）列举法（2）分解质因数（3）短除法（4）辗转相除法简单的应用例1、求28和70的最大公因数与最小公倍数。
例2：求437和323的最大公因数。
例3：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例4：用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多少块？例5：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例6：把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有多少个小朋友？例7：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例8：一次会议人数在200～300之间，若3人一组余1人，若5人一组余3人，若7人一组余5人，该次会议参加人数是多少？练习1、求（357，231）与[36，48]2、求（70，98，112）与[28，42，108]3、一个数去除31、61和76都余1，则这个数最大是多少？4、铺地用的砖，每块长45厘米，宽30厘米，至少要用多少块这样的砖才能铺成正方形的地？5、一个数去除31、61和76都余1，则这个数最大是多少？6、有一个两位数它被9除余7，被8除余6，被4除余2，求这个两位数。
最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习③
最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习（三）[典型例题]例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
解答：（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵（4）每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
公因数和最大公因数
2×3=6 6的因数 3×4=12 12的因数
3既是6的因数，又是12的因数，所 以3是6和12的公因数。
最大公因数
概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。 其中，最大的一个叫这几个数的最大公因数。
2×4=8
8的因数有1、2、4、8
2×4×3=24
24的因数有1、2、3、4、 6、8、12、24
公因数和最大公因数
求几个数的最大公因数的方法
可以先分别求出这几个数的因数，再求出这几个数的 例：求12 12、 、24 24、 、36 36的最大公因数。 的最大公因数。 例：求 公因数，最后选出最大的公因数。 12=2 ×2×31、2、3、4、6、12 12 的因数有 24=2 ×2×21 × 32、3、4、6、8、12、24 24 的因数有 、 36=2 ×2×31 × 32、3、4、6、9、12、18、36 36 的因数有 、 可以先把几个数分别写成几个质因数相乘的形式，再 则最大公因数为： 22 × 23 × 3=12 它们的公因数有 1、 、 、 4、6、12 把它们共同拥有的几个质因数相乘得到最大公因数。 答： 12、24、36的最大公因数为 12。 它们的最大公因数为 12 答：12、24、36的最大公因数为12.
8和24的最大 公因数为8公因数 Nhomakorabea最大公因数
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
如：4和5、3和11、7和9等。 质数：除了1和自己本身以外，没有其他因数的数。 如：2、3、5、7、11、13等。 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么说这个质 数是这个数的质因数。如：3是6的质因数。
最大公因数与最小公倍数 知识点总结
最大公因数与最小公倍数（一）【教案】一、教学目标1、认识最小公倍数与最大公因数，掌握其表示方法2、会用短除法和分解质因数求解最大公因数和最小公倍数3、理解辗转相除法求最大公因数4、能够利用最大公因数与最小公倍数的求法，解决生活中的一些应用二、概念（一）概念1、最大公因数：几个数共同的因数中最大的记做：（a，b）2、最小公倍数：几个数共同的倍数中最大的记做：[a，b]3、互质：（a，b）=1组内互质vs两两互质（二）求法1、短除法（1）最大公因数：除数相乘（乘半边）多个数时，除到组内互质（2）最小公倍数：除数乘商（乘一圈）多个数时，除到两两互质2、分解质因数（1）最大公因数：大家都有（2）最小公倍数：谁有都算3、辗转相除法用于求较大的两数的最大公因数（三）应用平均分时，（1）求总数：找公倍数（2）求每份数/份数：找公因数三、流程设计1、认识因数倍数举例：15÷3=5，15÷4=15/4我们称第一种情况叫做15能被3整除，第二种情况叫做15不能被4整除。
在第一种情况下，15叫做3的倍数，3叫做15的因数。
2、认识最大公因数和最小公倍数通过例1认识，并总结最大公因数一定是所有公因数的倍数，所有公倍数一定是最小公倍数的倍数3、分解质因数法求最大公因数由于枚举法较麻烦，故想个稍微简单的方法。
实际上，一个数任何一个因数都是由这个数的质因数或质因数相乘所得到的，故只要能找到相同的质因数即可，故可以将两数的质因数都找到，即将两数全部都分解质因数。
举例：（36，24），（78，52），（45，18，27），“大家有才是真的有”4、短除法求最大公因数将每个数都分解质因数有时候较麻烦，实际上只需要除以共同的质因数即可，故可以三个数一起除，画长短除号。
举例：（160，96），介绍互质，总结（1）除到两数互质为止；（2）两数除以最大公因数后一定互质*技巧：1、相邻两数互质2、有倍数关系的，最大公因数就是小的那个3、有质数且没有倍数关系的，最大公因数为15、辗转相除法求最大公因数通过例2最后一题，由于分解质因数与短除都比较麻烦，介绍辗转相除法，通过整除的可加、可减性简单解释辗转相除法。
3.6公因数与最大公因数(学霸课堂笔记)-2023-2024学年数学五年级下册同步培优讲义(苏教版)
3.6 公因数与最大公因数第一部分知识清单➢1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
➢8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。
4就是8和12的最大公因数。
➢两个数中，如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；➢如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1，我们也说这两个数互质。
➢几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。
➢几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
第二部分典型例题例1：把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。
这个组最多有（）位同学。
A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据题意可知，如果水果糖有40＋2＝42块，巧克力有35＋1＝36块，正好分完，由此可知，求这个组最多有几名同学，就是求42和36的最大公因数，最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数，据此解答。
详解：40＋2＝42（块）35＋1＝36（块）42＝2×3×736＝2×3×2×342和36的最大公因数是2×3＝6；最多有6位同学。
把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。
这个组最多有6位同学。
故答案为：B例2：4和12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
答案： 4 12分析：如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。
详解：3412⨯=，12是4的倍数，所以4和12的最大公因数是4，最小公倍数是12。
例3：13和26的最大公因数是26。
( )答案：×分析：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较小的那个数为两个数的最大公因数；如果两个数为互质数，两个数的最大公因数是1，据此解答。
五年级下数学-最大公因数的奥数题 全国通用( 21 张)
最大公因数奥数题
几个数公有的因数，
叫做这几个数的公 因数；其中最大的 一个，叫做这几个 数的最大公因数。
方法一： 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18
或找出27 的因数：1，3 ，9 ，27
方法二：
• 18=2×3×3 • 27=3×3×3 • 18和27的最大公因数3×3=9
先求所有木棍 的最大公因数
相同木棍的长度
各自÷锯成 木棍的长度
结果相加
同步练习
2、有50个梨，75个橘子和100个苹 果，要把这些水果平均分给几个小 组，并且每个小组分得的三种水果 的个数也相同，最多可以分给几个 小组？
题型三：植树问题
例3 :条道路由甲村经乙村到丙村。甲、乙 两村相距450米，乙、丙两村相距630米。现 在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间相
2、一条公路由A地经B地到C地，已知AB之间相距600米，BC 之间相距780米。现在路边种树，要求相邻两棵之间的距离 相等，并且在B地以及AB、BC的中点上都要种一棵。那么相 邻两棵树之间的距离最多有多少米？
求3139和2117的最大公因数
3139÷2117= 1------1022 2117÷1022=1------73 1022÷73=14------0
最大公因数就是73
同步练习
1、用辗转相除法求568和1065的 最大公因数。
2、试用辗转相除法判断 1547与3135是否互质。
过关测试
1、为了进行科学种田的实验，要将一块长75米、宽 60米的长方形土地划分成若干块面积相等的小正方形， 那么每块小正方形的面积最大是多少平方米?
等，并且在甲、乙两村的中点和乙、丙两村
的中点都要栽上树。那么相邻两棵树的距离 最多是多少米?
最大公因数与最小公倍数的比较
一般情况
列举法或想
达标测评
1、很快地说出每组数的最大公因数和最小公倍数。
2和8
7和8
24 和 12
2 8
12 和 9
1 56
4和5
12 24
3和8
3
36
1
20
1
24
2. 找出7和19的最大公因数 A . B. C . 133 19 1
3. 找出17和51的最大公因数
A . B. C . 51 3 17
教学目标
• 1．进一步巩固最大公因数和最小公倍 数的计算方法． • 2．最大公因数和最小公倍数解决实际 问题．
前提测评
• 1、根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（
）和（
）。
（2）连续两个自然数（ ）和（ ）。 （3）1和任何自然数（ ）和（ ）。 （4）两个合数（ ）和（ ）。
（5）奇数和奇数（
最大公约数是1，最小公倍数84
准备两根木料，一根长18米，另一根 长12米，现在要把它们锯成同样长的小段 （每段要整米数），每段不许有剩余，每 段可以是几米长？每段最长是多少米？
要使两根木料锯成同样 长的小段，长必须既是16 的因数，又是12的因数。
最大公因数
我们家贮藏室
1
长 16 dm，宽 12 dm。
（6）奇数和偶数（
）和（
）和（
）。
）。
3和 6
10和8
9和 4
3 6
2 40
1 36
例1、 求28和42的最大公因数和最小公倍数 例2 、求12和24的最大公因数和最小公倍数 例3 、求11和8的最大公因数和最小公倍数。
最大公因数
倍数关系 互质关系
最大公因数和最小公倍数讲解
最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数讲解在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个重要的概念。
它们可以帮助我们在解决一系列数学问题时找到共同的因素或倍数。
最大公因数是指两个或多个数中的最大的能够整除它们的公因数，而最小公倍数是指两个或多个数中的最小的能够整除它们的公倍数。
最大公因数（Greatest Common Divisor）最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个数中的最大的能够整除它们的公因数。
可以使用多种方法来找到两个数的最大公因数，常用的有质因数分解法和欧几里得算法。
质因数分解法是一种基本的方法，它将一个数按照质因数分解为若干个质数的乘积，然后找出两个数相同的质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。
例如，对于数120和72，它们的质因数分解分别为120=2^3 × 3 × 5和72=2^3 × 3^2，可以看出它们的最大公因数是2^3 × 3=24。
欧几里得算法是一种更为高效的方法，它基于以下原理：两个数的最大公因数等于其中较小数与两数相除的余数的最大公因数。
首先，将较大的数除以较小的数，得到商和余数。
然后，再将较小的数除以余数，再得到商和余数。
重复这个过程，直到余数为0为止。
此时，最后一次得到的余数即为两个数的最大公因数。
例如，对于数120和72，将120除以72得到商1余48，再将72除以48得到商1余24，最后将48除以24得到商2余0，可以得出最大公因数为24。
最小公倍数（Least Common Multiple）最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个数中的最小的能够整除它们的公倍数。
最小公倍数可以通过多种方法来计算，常用的有质因数分解法和公式法。
质因数分解法同样适用于计算最小公倍数。
首先，将每个数按照质因数分解为若干个质数的乘积，然后将这些质数按照出现的最高次数相乘，得到最小公倍数。
5,3,10的最大公因数
5,3,10的最大公因数
我们要找出5, 3, 10这三个数的最大公因数。
最大公因数，简称GCD，是两个或多个整数共有的最大的正整数因子。
例如，对于数字12和15，它们的公因数是1, 3，所以最大公因数是3。
在这个问题中，我们要找的是5, 3, 10的GCD。
通常，对于两个数字a和b，我们可以使用欧几里得算法来找它们的GCD。
欧几里得算法的基本思想是：GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)，其中a mod b 表示a除以b的余数。
我们会一直应用这个思想，直到其中一个数字变为0，此时另一个数字就是它们的GCD。
但是，对于三个数字，我们需要分别找出两两之间的GCD，然后再找出这三个GCD中的最大值。
5和3的GCD是：1
3和10的GCD是：1
5和10的GCD是：5
所以，5, 3, 10的最大公因数是：5。
32求最大公因数的方法
32求最大公因数的方法最大公因数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个数。
求最大公因数的方法有多种，下面将详细介绍几种常见的求最大公因数的方法。
一、质因数分解法质因数分解法是一种常见的求最大公因数的方法。
首先将要求最大公因数的两个数分别进行质因数分解，然后取两个数的质因数分解式中相同的因数，再将这些因数相乘得到最大公因数。
例如，要求30和45的最大公因数。
首先进行质因数分解：30=2×3×545=3×3×5可以看到，30和45的质因数分解式中相同的因数是3和5，因此最大公因数为3×5=15二、辗转相除法辗转相除法也是一种常用的求最大公因数的方法。
这种方法实际上是利用了两个数的最大公因数和辗转相除法的性质，将两个数反复进行除法运算，直到余数为0，此时的除数就是最大公因数。
以求96和28的最大公因数为例，根据辗转相除法：96÷28=3余1228÷12=2余412÷4=3余0余数为0时，此时的除数4就是最大公因数，即最大公因数为4三、欧几里得算法欧几里得算法也是一种常见的求最大公因数的方法。
这种方法利用了两个数的最大公因数与它们的差的最大公因数之间的关系，通过反复取两个数的差与较小的数之间进行除法运算，直到余数为0，此时的除数就是最大公因数。
以求252和105的最大公因数为例，根据欧几里得算法：252÷105=2余42105÷42=2余2142÷21=2余0余数为0时，此时的除数21就是最大公因数，即最大公因数为21四、连续整数检验法连续整数检验法又称试除法，是一种较为简单直观的求最大公因数的方法。
这种方法通过从较小的数开始，将较小的数逐个减小直到能够同时整除两个数，此时得到的数就是最大公因数。
以求56和42的最大公因数为例，根据连续整数检验法：56÷1=56，42÷1=42，最大公因数变为156÷2=28，42÷2=2156÷3=18，42÷3=14，最大公因数变为356÷4=14，42÷4=10，最大公因数变为456÷5=11，42÷5=8，最大公因数变为556÷6=9，42÷6=7，最大公因数变为656÷7=8，42÷7=6，最大公因数变为7此时，两个数的最大公因数为7总结：通过质因数分解法、辗转相除法、欧几里得算法和连续整数检验法，可以求得两个数的最大公因数。
最小公倍数和最大公因数的关系例1,例2、例3、例4
解：设一个数是A，得短除式如下： 4
28 7 A a
那么252=4×7×a
a=9
A=4×9=36 定理：两个数的最大公因数和最小公倍数之积，等于这两个数之积。 [a,b] ×(a,c)=a×b 所以上题可以这样做：
4×252=28×A
A=4×252÷28=9
例二.两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这
两个数的差。
解： 5
A a
B b
则 A=5a B=5b 5a+5b=50 5(a+b)=50 a+b=10
a=3 b=7
A=5×3=15 B=5×7=35 A=5×1=5 B=5×9=45
差：35-15=20
或：
a=1 b=9
差：45-5=40
例三.两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这 两个数的和。
解： 21
A a
B b
21×a×b=126 a×b=126÷21=6 6=1×6 6=2×3 A +B=21+126=147
a=1 b=6
A=1×21=21 B =6×21=126 A=2×21=42 B =3×21=63
（114,54）=6 因为6的因数有1,2,3,6，所以，m可能是1,2,3,6.
பைடு நூலகம்
只有m=6满足条件，a+b=9 a×b=20
20=4×5,且4+5+9 所以，m=6. 那么A=6×4=24
B =6×5=30
a=2 b=3
A +B=42+63=105
例4.两个数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差 是114，求这两个自然数。
公因数公倍数典型例题
公因数公倍数典型例题公因数和公倍数是数学中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
下面我们来看几个典型的例题。
例题一：求两个数的最大公因数和最小公倍数。
问题描述：求48和60的最大公因数和最小公倍数。
解答：首先，我们可以列出48和60的所有因数，然后找出它们的公因数，再从中找出最大的一个作为最大公因数。
48的因数为1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，而60的因数为1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
它们的公因数有1、2、3、4、6、12，所以48和60的最大公因数为12。
接下来，我们可以列出48和60的所有倍数，然后找出它们的公倍数，再从中找出最小的一个作为最小公倍数。
48的倍数为48、96、144、192、240、288、336、384、432、480，而60的倍数为60、120、180、240、300、360、420、480。
它们的公倍数有240和480，所以48和60的最小公倍数为240。
例题二：利用公因数求未知数的值。
问题描述：某数的最大公因数是24，最小公倍数是120，求这个数是多少。
解答：假设这个数为x，根据最大公因数和最小公倍数的定义，我们可以得到以下等式：x的因数可以整除24，x的倍数可以被120整除。
因此，x的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，x的倍数为120、240、360、480、600、720、840、960、1080、1200。
从中我们可以找到24是x的因数，而120是x的倍数。
因此，这个数为24的倍数，同时也是120的因数，即x=24。
通过以上例题，我们可以看到公因数和公倍数在解决实际问题中的重要性。
它们不仅可以用于求解最大公因数和最小公倍数，还可以用于解决一些未知数的问题。
因此，我们在学习数学的过程中要重视公因数和公倍数的学习，掌握它们的求解方法和应用技巧，提高自己的数学应用能力。
五年级数学下册教案-4.4.1 用最大公因数解决铺地砖的实际问题22-人教版
《最大公因数例3（解决简单问题）》教学设计教学内容：人教版五年级下册第62页的例3。
教学目标：1、知识技能：学生在解决问题过程中理解掌握两个数的公因数和最大公因数的意义。
2、数学思考：经历观察、分析、推理、归纳、验证等数学活动，培养学生进行有条理、有根据地思考能力。
3、问题解决：学会用公因数、最大公因数的知识解决简单的现实问题，体验数学与生活的密切联系。
4、情感态度价值观：在学生探索新知的过程中，培养学生学好数学的信心以及体会生活中处处有数学，激发学习数学的兴趣。
教学重点：理解用公因数和最大公因数的的知识来解决生活中的实际问题。
教学难点：巩固并掌握求两个数的最大公因数的方法。
教学准备：长方形纸、直尺、铅笔等。
教学过程：播放“空中课堂”教学片头。
[宣传抗击新型冠状病毒引起学生关注，激发学生学习兴趣。
]一、谈话引入，明确目标。
师：大家好，我是陈老师，很高兴与同学们相遇在空中课堂。
今天这节课，我们来学习最大公因数例3——解决简单问题。
师：请同学们首先阅读本节课的学习目标、学习重点、学习难点，准备好学习用品：长方形纸、直尺、铅笔等。
师：同学们，阅读完成了吗？下面我们就开始上课了！同学们都知道，数学与我们的生活密切相关，接下来我们就来看看，谁善于运用所学的数学知识来解决生活中的问题。
[通过谈话，让学生明确学习内容与学习目标，以“帮人铺设地砖”激起学生助人为乐的思想品质。
]二、创设情境，提出问题。
演示主题图和例3。
师：小明家最近正在进行装修，为铺设贮藏室选择什么样的地砖伤透了脑筋，请同学们帮他设计一下怎么铺设地砖。
师：小明家贮藏室长 16 dm，宽 12 dm。
小明对于铺设地砖的要求是：如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满(使用的地砖都是整块)。
可以选择边长是几分米的地砖? 边长最大是几分米?[在创设“铺设地砖”的情境中，提出数学问题，引了学生的探索欲望。
]三、深入理解，分析问题。
师：你都知道了哪些有价值的信息呢？生1：我知道：贮藏室长16分米，宽12分米，那就说明贮藏室的地面是一个长方形。
最大公因数
8和12公有的因数是哪几个？公有的最大因 数是多少？
8的因数 1，2, 4, 8
12的因数 1, 2, 3, 4, 6, 12
8和12公有的因数是： 1， 2 ， 4。
8的因数
12的因数
8
1， 2， 4，
3, 6， 12，
1, 2, 4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。 其中，4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
棒最长是多少厘米? 12 cm
12、16 和 44 的最大公因数是 4 。
16 cm
答: 每根小棒最长是 4 厘米。
44 cm
课堂小结
• 通过这节课的学习，你有什么收获？
谢谢 下课！
9.小巧匠。
要把它们截成同样长的小 棒，不能有剩余，每根小
棒最长是多少厘米? 12 cm
12、16 和 44 的最大公因数是 4 。
16 cm
答: 每根小棒最长是 4 厘米。
44 cm
课堂小结
• 通过这节课的学习，你有什么收获？
48和36的最大公因数是12，每排最多有12人。 48÷12=4（排） 36÷12=3（排） 男生有4排。 女生有3排。
7. 在相应的(
公因数。
)里写出相邻阶梯上两个数的最大
72 36 ( 36) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
8. 选出正确答案的编号填在横线上。 (1) 9 和 16 的最大公因数是______ A 。
1
2
3
4
9
6
12
3.找下列每组数的最大公因数。
4和8
4
12和36
12
1和7
1
8和9
示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数
示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数一、课题基本资料学习范畴：数与代数学习重点：运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
学生不须认识其原理。
已有知识： 1.学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N5「公倍数和公因数」中，学会透过列举两个数的倍数，求该两个数的公倍数及最小公倍数；以及透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。
学生已认识最大公因数和最小公倍数简称分别为“H.C.F.”和“L.C.M.”。
2.另外，学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N2「除法（二）」中认识整除性，除数为2、5和10。
3.学生在初中数学修订课程学习单位1「基础计算」的学习重点1.1中，认识4、6、8和9的整除性判别方法。
4.学生亦应已透过过渡期学与教材料，学习3的整除性判别方法。
5.学生在初中数学修订课程学习单位1「基础计算」的学习重点1.3中，认识正整数的质因数分解。
［备注：部分学生可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
］规划建议：教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点1.4「求最大公因数和最小公倍数」的教学当中，教师亦可在其他合适地方引入此课题。
二、建议教学内容1.教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。
♦例1：运用列举法，求12和18的最大公因数。
首先由小至大，列举12和18的所有因数，并圈出12和18的所有公因数。
12的因数：○1○2○3 4 ○61218的因数：○1○2○3○69 18从圈出的公因数中，可见6是12和18的最大公因数。
♦例2：运用列举法，求12和18的最小公倍数。
首先由小至大，列举12和18的首几个倍数，并圈出12和18的公倍数。
12的倍数：12 24 ○3648 60 ○72……18的倍数：18 ○3654 ○72……从圈出的公倍数中，可见36是12和18的最小公倍数。
2.教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点，从而引入短除法。
最大公因数和最小公倍数举例
最大公因数和最小公倍数举例最大公因数和最小公倍数是数学中的两个重要概念，下面将分别对它们进行解释，并给出10个具体的例子。
一、最大公因数最大公因数又称为最大公约数，是指两个或多个整数中能够整除它们的最大正整数。
计算最大公因数的方法有很多，常见的有质因数分解法、辗转相除法等。
例子1：求出30和45的最大公因数。
解答：首先进行质因数分解，30=2×3×5，45=3×3×5。
最大公因数是3×5=15。
例子2：求出24和36的最大公因数。
解答：24=2×2×2×3，36=2×2×3×3。
最大公因数是2×2×3=12。
例子3：求出14和21的最大公因数。
解答：14=2×7，21=3×7。
最大公因数是7。
例子4：求出72和120的最大公因数。
解答：72=2×2×2×3×3，120=2×2×2×3×5。
最大公因数是2×2×2×3=24。
例子5：求出80和100的最大公因数。
解答：80=2×2×2×5，100=2×2×5×5。
最大公因数是2×2×5=20。
例子6：求出16和64的最大公因数。
解答：16=2×2×2×2，64=2×2×2×2×2×2。
最大公因数是2×2×2×2=16。
例子7：求出45和75的最大公因数。
解答：45=3×3×5，75=3×5×5。
最大公因数是3×5=15。
例子8：求出18和27的最大公因数。
解答：18=2×3×3，27=3×3×3。
找公因数的方法
找公因数的方法公因数是指两个或多个数共有的因数。
在数学中，找出两个或多个数的公因数有助于我们理解数的性质和关系。
本文将介绍几种常见的找公因数的方法。
一、因数分解法因数分解是一种常见且简单的找公因数的方法。
它的基本思想是将一个数分解为若干个质数的乘积，然后找出这些质数的公因数。
例如，对于数100，我们可以将其分解为2×2×5×5，其中有两个2和两个5，因此2和5是100的公因数。
二、列举法列举法是一种直接列举出一个数的所有因数的方法。
我们可以从1开始，依次除以所有可能的因数，直到不能整除为止。
例如，对于数36，我们可以列举出1、2、3、4、6、9、12、18、36这9个因数，其中1和36是36的公因数。
三、辗转相除法辗转相除法是一种利用数的除法关系来找公因数的方法。
它的基本思想是通过连续的除法操作，将两个数转化为它们的最大公因数。
例如，对于数24和36，我们可以通过以下步骤找到它们的最大公因数：1. 36 ÷ 24 = 1 余122. 24 ÷ 12 = 2 余0因此，24和36的最大公因数是12。
四、欧几里得算法欧几里得算法是一种高效的找公因数的方法，它基于辗转相除法的思想。
欧几里得算法可以递归地找到两个数的最大公因数。
具体步骤如下：1. 如果两个数中有一个为0，则另一个数即为最大公因数；2. 否则，用较小的数除以较大的数，得到余数；3. 将较大的数和余数作为新的一对数，重复上述步骤，直到余数为0；4. 最后一次除法的除数即为最大公因数。
例如，对于数24和36，欧几里得算法的计算过程如下：1. 36 ÷ 24 = 1 余122. 24 ÷ 12 = 2 余0因此，24和36的最大公因数是12。
五、质因数分解法质因数分解是一种将一个数分解为质数的乘积的方法。
它可以帮助我们找到一个数的所有因数。
具体步骤如下：1. 将一个数分解为若干个质数的乘积；2. 找出这些质数的所有组合，即可得到所有因数。
《用求最大公因数的方法解决实际问题》导学案
第11课时用求最大公因数的方法解决实际问题学习内容用求最大公因数的方法解决实际问题 P62例3 和练习十五第7-11题编写人学习目标能用多种方法熟练、正确地找出两个数的公因数与最大公因数。
能有条理、有根据地进行思考。
重难点用多种方法求两个数的最大公因数。
理解求最大公因数的意义和各种方法之间的本质联系。
导学流程自主空间【独立自主学习】1、什么叫做公因数，最大公因数？2、用集合圈的方法找出16和12， 24和32的最大公因数。
16的因数 12的因数 24的因数 32的因数16和12公有的因数 24和32公有的因数3、用列举的方法找出16和12的最大公因数。
16的因数有：（）12的因数有：（）16和12的公因数有：（）16和12的最大公因数是：（）4、用分解质因数的方法求24和36的最大公因数。
【合作互助学习】例3：一间贮藏室长16dm，宽12dm。
现在要给贮藏室地面铺上正方形地砖，正方形地砖（必须是整块的）的边长可以选择多少分米的？最长是多少分米？（1）讨论：要求正方形地砖（必须是整块的）的边长可以选择多少分米的？最长是多少分米？实际就是求16和12的，可以用学具摆摆看。
（也可以画一画）交流：边长可以是3分米的行吗？边长是5分米的呢？最长是几分米？算一算验证一下。
（2）我们发现边长可以是（）分米的，没有剩余，最大的是边长是（）分米的，边长是其它的行吗？那么“1、2、4、”与16和12到底有着什么特殊关系呢？【展示引导学习】1、展示自主学习、对学、群学中的内容，说一说在做的过程中应注意什么？2、甲数=2×2×3，乙数=2×3×5，甲数和乙数的最大公约数是（），公因数有（）。
【评价提升学习】1、分解质因数24=（）×（）×（）×（）×（）分解质因数36=（）×（）×（）×（）×（）24和36的最大公因数是（）×（）×（）=（）2、已知a=2×2×3×5，b=2×5×7，a和b公有的质因数有（），它们的最大公因数是（）。
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2.王老师买来一些水果糖和棒棒糖分别平均分给一个组的同学，都正好 分完。这个组最多可能有几位同学？每人得到几块水果糖，几块棒棒糖？
45的因数有：1,3,5,9,15,45
45块
30块
30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30
所以12和18的最大公因数是：15
45÷15＝3 30÷15＝2
答：这个组最多可能有15位同学，每人得 到3块水果糖、2块棒棒糖。
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五、布置作业
作业：第63页练习十五，第5题、第6题。
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（5分钟后比谁能正确回答思考题并做对检 测题！）
三、课堂小结：
利用公因数和最大公因数的知识解决问题。 要使铺满地面的正方形都是整块的，边长必须是12和16的 公因数，最大的边长就是它们的最大公因数。
因为：12和16的公因数：1，2，4。最大公因数是4。 所以：正方形边长可以是1dm，2dm，4dm。边长最大
分数的意义和性质
例3 最大公因数
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一、学习目标：
能正确、熟练地运用求两个数的最大 公因数的方法解决实际问题。
。
二、自学指导：
认真看课本第62页的内容，看图看文字， 重点看“分析与解答”里的方法。思考： （1）、用边长1dm的地砖铺，长边上用了整数 块吗？宽边上呢？ （2）、解决这类问题，实际上就是求两个数 的什么？
是4dm。
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四、课堂练习
1.有两根小棒，长分别是12厘米，18厘米，要把它们截成同样长的 小棒，没有剩余，每根小棒最长有多少厘米？
因为12的因数有：1，2 ， 3 ，4 ，6 ， 12 18的因数有：1，2 ， 3 ，6， 9 ， 18
所以12和18的最大公因数是：6 答：每根小棒最长是6cm。