流体力学-不可压缩流体的一维层流流动

（5-19）
体积流量
qV
R 2um
p * R 4 L 8
（5-20）
阻力系数
p*
L b
2
um2
2
Re umb /
64
umb /
64
Re
（5-21）
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应用条件 （1）方程（5-13）、（5-14）对圆管和圆形套管均适用； （2）方程（5-13）对牛顿流体和非牛顿流体均适用，（5-14） 为速度方程，适用于牛顿流体； （3）方程（5-16）～（5-16）是牛顿流体在管内作充分发展 层流流动的结果。即介质为牛顿流体，管道为L/D＞＞1的圆管， 雷诺数小于2000。
Re umD1 k / 2000
D=2R
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5.4 降膜流动分析 5.4.1 倾斜平板上的降膜流动
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一维不可压缩稳态流动，即
u x 0
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所以
输入微元体的动量流量 u2dy
输出微元体的动量流量 u2dy
C1
p * L
R2 4
1 k2
1 ln k
C2
p * L
R2 4
1
1
k2
ln R ln k
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切应力与速度分布 将积分常数代入一般方程得切应力 和速度分布式为
rz
p * L
R 2
r R
1 2 ln
k2 1
k
R
r
u
p * R 2
L 4
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5.3 管内流动分析 5.3.1 圆管内的层流流动
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采用住坐标； 一维不可压缩稳态流动，即
在z 方向
u x 0
输入微元体的动量流量 输出微元体的动量流量
u2 2rdr
微元体的受力在z方向投影
微元体在z方向 的诸力之和
rz 2rdr
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充分发展流动——流体速度沿流动方向没有变化的流动。
5.2 狭缝流动分析
狭缝流动——两块足够大的平行平版之间的流动。 狭缝流动特点——（1）板间距大大小于板的横向尺度， 可忽略端部效应，将流动视为充分发展流动； （2）狭缝的水利直径很小，介质粘度较大，流动处于 层流。 压差流——由于进口两端的压力差产生的流动； 剪切流——由于两壁面的相对运动产生的流动。
微元体上x方 向的诸力之和
yxdx
yx
yx
y
dy dx
pdy
p p dx dy g cosdxdy
x
yx
y
p x
g cos dxdy
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切应力方程 yx p g cos p *
y x
x
（5-3a）
其中
p* p gx cos
X方向的充分发展流动
（2）根据所采用的坐标系，写出相应的牛顿剪切 定律表达式作补充方程。
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如图所示，一维流动的牛顿剪切定律为
yx
du dy
（5-2）
其中 yx 的第一个下标表示y切应力所在平面的法线
方向，第二个下标x表示切应力的作用方向。
（3）将式（5-2）代入（5-1），获得流体流动微分方 程。
du g y C1 dy
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5.4.2 竖直圆管外壁的降膜流动 竖直圆管外壁的降膜流动特点
切应力微分方程
（5-38a）
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切应力分布方程
将 rz du / dr 代入上式，得速度微分方程
5.1.2 常见边界条件 常见的流场边界条件为：
固壁-流动边界 由于流体的粘滞性，故与流体接 触的固体壁面上的速度等于固体壁面的速度。
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液体-气体边界 液相切应力在汽液边界上为零，或液 相速度梯度在气液边界上为零。 液体-液体边界 液-液界面两侧的速度或切应力相等。 5.1.3 流动条件说明 不可压缩——流体密度为常数； 一维流动——流体只在一个坐标方向上流动，且流体 速度变化也只与一个空间坐标有关； 层流——平行流动的流体层之间只有分子作用，牛顿 剪切定律成立； 湍流——流速较高，存在随机脉动，引起流体层之间 的强烈扰动；
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5.3.2 圆形套管内的层流流动
其切应力方程和速度方程与圆管中相同
rz
P * L
r 2
C1 r
u
p * L
r2
4
C1
ln
r
C 2
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边界条件
u 0 rkR
u 0 rR
将边界条件式（5-22）代入式（5-14b），得积分常数为：
p * const x
yx
p * x
y
C1
（5-3b）
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速度方程
du dy
1
p * x
y
C1
u
1
p * x
y2 2
C1
Y
C2
（5-4a） （5-4b）
应用条件 切应力方程（5-3）对于牛顿流体和非牛顿流体均 适用；速度方程（5-4）只适用于牛顿流体。
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p *
8
1
k
2
1 k2
ln1/ k
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体积流量 qv R 2 1 k 2 um
p *
R 4
1
k4
L 8
1 k2 2
ln 1 /
k
说明（1）若令k=0，则以上套管公式可转为圆管公式；（2）若 令k→1，则以上套管公式可转为固定壁面狭缝流动公式；（3） 套管层流的条件为
5.2.2 狭缝流动的切应力与速度分布 边界条件
u y0 0，u yb U
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切应力与速度分布
YX
1 p * b 2y U
2 x
b
u
b2
2
p * x
y
b
y b
2
U
y b
平均速度和流量
1b
b2 p * U
um b
udy
0
12
x
2
（5-8）
切应力方程
yx g cos
y
yx gy cos C1
（5-29a） （5-29b）
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速度方程
du g cos y C1
dy
u
g cos 2
y2
C1
y C2
（5-30a） （5-30b）
边界条件
u 0 yo
yx
y
du dy
y 0
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qV
b
1 udy bum
b3
12
p * Ub x 2
（5-9）
应用说明 （1）固定壁面的压差流，U=0；（2）仅由壁面运 动产生是剪切流， p * gcog 。（3）流体在垂直狭缝 中向下流动，β=0。（x4）流体在水平狭缝中流动，β=π/2； （5）流体在垂直狭缝中向上流动，β=π
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第五章 不可压缩流体的一维层流流动
5.1 概 述
5.1.1 建立流动微分方程的基本方法 根本：动量守恒定律与牛顿剪切定理
基本步骤： （1）根据动量守恒定律建立微元体的动量守恒方程。 稳态流动时
输入微元体 输出微元体 作用于微元体
的动量流量 的动量流量
的诸力之和
0
（5-1）
边界条件 du 0 dr r0
u 0 rr
（5-15）
切应力与速度分布
rz
p * L
r 2
u
p *
R2
1
r
2
L 4 R
最大速度
umax
p * L
R2
4
（5-16） （5-17）
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平均速度
u m
1
R 2
R
u.2rdr
0
p * R2
L 8
umax 2
5.2.3 水平狭缝压差流动的流动阻力
β=π/2 →
p * p const p p0 pL
x x
L
L
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U=0，根据（5-8）
um
b2
12
p L
p*
L b
2
um2
2
Re umb /
24
umb /
24
Re
水平狭缝 压力降
p
24
L
u
2 m
Re b 2
rz
rz
rBiblioteka Baidu
dr 2 r
dr dz
p2rdr p p dz 2rdr g cos 2rdrdz
z
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切应力微分方程
r rz r p g cos r p *
r
z
z
式中
p* p gz cos
（5-13a）
Z方向的充分发展流动
p * / z const p * / L
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例5-3 非牛顿流体在垂直圆管内的流动 某非牛顿流体在垂直圆管内向小流动，如图所示。该流体切 应力与速度梯度符合下述模型
rz 0 0du / dr
，
其中，常数 0 0 ，0 0 。设流
体密度为ρ，管道z方向长度为L，进口
压力为 ，出口压力为 ，为充
分发展的层流流动，试确定其切应力分
最大速度、平均速度与体积流量
g 2 cos
umax u y
2
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液膜厚度
qv q‘v / W
应用说明 直线型层流流动Re＜4～25，雷诺数的定义为
Re 4um /
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yx gy C1
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5.2.1 狭缝流动的微分方程
如图示，平壁间距为b，下壁面固定，上壁面以速度U平行下 壁运动。
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如图（b）微元体，流动是充分发展流动， u x 0
在x方向 输入微元体的动量流量 u2dy
输出微元体的动量流量 u2dy
（5-1）简化为力平衡方程。
1
r
2
R
1 k2
ln
1 k
ln r R
最大速度
当
最大速度及位置
1 k 2
r0 R 2ln1/ k
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umax
p * L
R2
4
1
1 k2
2 ln1/ k
1
ln
1 k2
2 ln1/ k
平均速度
um
R 2
1 1 k 2
R
u.2rdr
kR
布，速度分布以及流动条件。
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解 园管内层流运动时切应力的一般方程为
rz
P * L
r 2
C1 r
当 r=0 时切应力不可能为无穷大，故上式中的积分常数为
C1 0
切应力分布为
rz
P * L
r 2
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du g r C1 dr 2 r
积分，得： 边界条件为
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积分常数
竖直圆管外壁的降膜流动的切应力与速度分布为
最大速度
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平均速度
体积流量
p* p0 gz0 cos pL gzL cos
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积分上式，得切应力方程
rz
P * L
r 2
C1 r
（5-13b）
速度方程
du p * r C1
dr
L 2 r
（5-14a）
u
p * L
r2
4
C1
ln
r
C 2
（5-14b）
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