第四章_非线性数规划
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
第4章非线性规划43PPT课件
极值点。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
定理4.3.2 （极值存在的充分条件） 设 f（X）是定义在n 维欧氏空间 E n 上的某一
开集R 上的实值函数，且 f（X）在R 上二次连续可 微，若存在 X * R , 使得 f (X*) 0,且 2 f ( X * )
出量为Q 。若产品价格为P =4，要素投入价格分别为
PK 4 , PL 3 , 试求该企业得到最大利润时要素投 投入水平。
解: 该企业的利润函数为 YP Q P K K P LL
11
12K3L24K3L
则有
11
m axY12K3L24K3L
6
由极值存在的必要条件
Y K
2 1
4K 3 L2
10
注1： 定理4.3.3 表明等式约束极值问题可以转化
为求拉格朗日函数 L( X , ) 的驻点，即满足
f (X) m ihi (X) 0
i1
hi (X) 0,i 1,2, ,m
的 X 和 。
（4.3.3）
11
例4.3.3 求解下列非线性规划问题
m inf(X)x12x1x2x2210x14x260
一邻域 N ( X ) 上可微，且矩阵 J ( X ) ( h 1 ( X ) , h 2 ( X ) ,, h m ( X ) ) n m （4.3.2）
的秩为 m，若 X 是最优解，则存在拉格朗日乘子
(1,2, , m ),使
m
XL (X , *) f(X ) i h i(X )0 i 1
s.t. h(X)x1x280 解：该问题为具有等式约束的非线性规划问题。
《高级运筹学》非线性规划模型及基本概念
min f ( x1 , x2 ) ( x1 ai ) 2 ( x2 bi ) 2
i 1
m
例3
求表面积为常数6a2 (a>0), 体积最大的长方体体积。
解：设长方体的长、宽、高分别为x1,x2,x3. 则
max f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 s.t. 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) 6a 2 x1 0, x2 0, x3 0
许国志等根据史记中：“运筹于帷幄之中，决 胜于千里之外”将其翻译成“运筹学”
本学期教学内容
非线性规划 第一章：非线性规划模型及基本概念 第二章：无约束非线性规划 第三章：约束非线性规划 第四章：多目标规划 现代优化算法简介
《非线性规划》教学参考书
[1] 施光燕、董加礼,最优化方法 高等教育出版社，2004。 [2] 施光燕、钱伟懿，庞丽萍，最优化方法（第二版）高等 教育出版社，2007。
4. 梯度：
定义: 以f(x) 的n个偏导数为分量的向量称为f(x) 在x处的梯 度，记为
f ( x) f ( x) x1 f ( x) x2 f ( x) xn
T
梯度也可以称为函数 f(x) 关于向量 x 的一阶导数.
5. 梯度和方向导数的关系
f ( x 0 ) f ( x 0 )T e P
SETS: N/1..4/:X; ENDSETS max=@sum(N(i):X(i)^0.5); X(1)<400; 1.1*X(1)-(X(1))^(1/2)+X(2)<440; 1.21*X(1)-1.1*(X(1))^(1/2)+1.1*X(2)-(X(2))^(1/2)+X(3)<484; 1.331*X(1)-1.21*(X(1))^(1/2)+1.21*X(2)-1.1*(X(2))^(1/2)+1.1*X(3)(X(3))^(1/2)+X(4)<532.4;
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
数学建模第四部分-非线性规划
约束条件
产量、库存 与需求平衡 条件不变
能 力 限 制
x1 30 x2 40 x3 45 x4 20
x1 15w1 30 x2 15w2 40 5w1
x3 15w3 45 5w2 5w1
x4 15w4 20 5w1 5w2 5w3
非负限制
x3 y2 y3 35
x4 y3 25
x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 0
第四部分 非线性规划
模型求解
LINDO求解
最优解： x1~ x4：15，40，25，20； y1~ y3： 0，15，5 .
周次 1 2 3 4 需求 15 25 35 25 产量 15 40 25 20 库存 0 15 5 0 能力 30 40 45 20 成本 5.0 5.1 5.4 5.5
库存1000吨 B x22
x21
x11 x12
Hale Waihona Puke 第四部分 非线性规划约束 条件
汽油含原油A 的比例限制
A B
x11 0.5 x11 x21 x11 x21
x12 0.6 2 x12 3x22 x12 x22
x21 x22
x11 x12
甲(A50%) 乙(A60%)
0
500
1000
1500
z1 y1 , z2 y1 y2 , z3 y2 y3 , z4 y3 z1 z2 z3 z4 1, zk 0 (k 1,2,3,4) IP模型，LINDO求 解，得到的结果与 y1 y2 y3 1, y1 , y2 , y3 0 或 1
4周生产计划的总费用为528 (千元)
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
非线性规划方法
➢（2）简记形式： 引入向量函数符号：
h( x)(h1( x), ,hq ( x))T g( x)( g1( x), ,g p( x))T
X
x
Rn
gi ( x) 0, i hi ( x) 0, j
1, 1,
, p , q
min f ( x)
s.t .
gi ( x) 0, i 1, , p
定义 对于非线性规划（MP）, 若x* X , 并且存在x*的邻域
N ( x* ) x Rn x x* 使
f ( x* ) f ( x)，xN ( x* ) X 则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小解,
称f ( x* )是（MP）的局部最优值或局部极小值
如果有 f ( x* ) f ( x)，xN ( x* ) X , x x* 称x*是（MP）的严格局部最优解或严格局部极小点 f ( x* )是（MP）的严格局部最优值或严格局部极小值。
例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
s.t. x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
x1≥0, x2≥0
1、写成标准形式：min
z
(
x1,
x2
)
1 1
-21
x1 x2
2 6
T
x1 x2
2、 输入命令：
s.t.
1 1
21
x1 x2
2 2
0 0
x1 x2
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
➢迭代格式
xk pk
xk+1
x k
xk1 xk xk
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
数模(非线性规划模型)
{
}
( )
( )
( )
( )
6
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题． 时的最优化问题就叫做非线性规划问题． 一般形式: 一般形式:
min f ( X )
gi ( X ) ≥ 0 i = 1,2,..., m; s.t. （1） h j ( X ) = 0 j = 1,2,..., l. f 其中 X = (x1, x2 ,L, xn )T ∈ E n ， , gi , h j 是定义在 En 上的实值函
14
定义
设X ⊂ R n , x∈ X , p∈ R n , p ≠ 0,若存在 t > 0，使得
x + tp∈ X
则称向量 p是点 x处 的可行方向。 关于 X 的可行方向。
解非线性规划问题， 解非线性规划问题，关键在于 找到某个方向， 找到某个方向，使得在此方向 上，目标函数得到下降，同时 目标函数得到下降， 还是可行方向。 还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。 这样的方向称为可行下降方向。
{
}
( )
( )
( )
( )
8
三. 非线性规划的图解法
线性规划问题： 用图解法求解下面的非 线性规划问题： min s .t .
2 2 f ( x1，x2 ) = x1 + x2
1- x1 − x2 ≤ 0 x1 − 1 ≤ 0 x2 − 1 ≤ 0
9
三角形表示的是可行域。 三角形表示的是可行域。 同心圆表示的是目标函数的等值 线。 最优解为（ ， ） 最优解为（1/2，1/2） 最优值为1/2 最优值为 1/2 1/2
第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。
试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p n R R h R R g :,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
第四章非线性规划2-SUMT方法罚函数法
第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。
它是一种不等式约束最优化问题的间接解法 它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。
当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。
所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。
引例一：min()f X ax = s.t()0g X b x =-≤ 显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f（X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解构造函数 11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。
其最优解为：*()k X r b =+此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+ 最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。
当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。
0min lim[min (,)]() {|()0}k k i r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)k X r Φ与约束优化问题min () {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。
非线性规划的基本概念和基本原理优秀课件
解： a1150
5 2 260
2 6
5 2 2
A 2 6 0 800 A负定
2 0 4
17
❖ 例：判定正定性
5 2 2
A
2
6
0
2 0 4
0 1 1 B 1 0 3
1 3 0
解： b11 0
01 1 0
B不 定
10
18
❖ 作业： ❖ P200 4.4（1）
19
7.2 无约束问题的极值条件
gj(X) 0 (j=1,2….l) X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。 或
mifn(x) 1)( 目标函数 gj(x)0 ,j1,2,,l 2) (约束条件
6
二、基本概念
1、全局极值和局部极值来自f ( X )为目标函数，S 为可行域。若存在 X* S ，XS，都 有 f(X) f(X*)，则称 X * 为该问题的全局极小点，
则称X En 为（P）的一个可行解。 记（P）的所有可行解的集合为D， D称为（P）可行域。
9
定义 X*称为（P）的一个（整体）最优解，如 果X* D，满足
f(X) f(X*)， X D。
定义 X*称为（P）的一个（局部）最优解，如 果X* D，且存在一个X*的邻域 N(X* ,)= X En X- X* < , >0 满足
负定：特征值<0； Ai <0(i为奇）, Ai >0(i为偶）
半负定：特征值≤0； detA=0，Ai ≤0(i为奇）, Ai ≥0(i为偶）
不定：特征值有> 0及< 0；除了上述情况外即为不 定。
16
❖ 例：判定正定性
5 2 2
第四章 非线性规划及其应用
一、0.618法（黄金分割法）
基本原理 方法 结论 只要第一个点取在原始区间的0.618处，第二点在 只要第一个点取在原始区间的 处 它的对称位置上，就能保证在经多次舍弃后， 它的对称位置上，就能保证在经多次舍弃后，保留的 点始终在新区间的0.618处，区间缩短率 点始终在新区间的 处 区间缩短率E=0.618。 。
MinF ( X )
X ∈ R ⊂ En
R = {X g i ( X ) ≥ 0, i = 1,2,L, P}
假定F(X)为凸函数，gi(X)为凹函数，或-gi(X)为凸函 为凸函数， 为凹函数， 假定 为凸函数 为凹函数 为凸函 就称其为凸规划。 数，就称其为凸规划。
二、基本数学概念
凸规划 定义：非线性规划问题， 定义：非线性规划问题，若约束条件构成的可行域为 凸集，目标函数为凸函数求极小值或凹函数求极大值， 凸集，目标函数为凸函数求极小值或凹函数求极大值， 称为凸规划。 称为凸规划。
第四章 非线性规划及其应用
第一节 概述
定义：一个规划问题， 定义：一个规划问题，当其目标函数或约束条 件方程中含有一个或多个有自变量的非线性函数 时，就形成了非线性规划问题。 就形成了非线性规划问题。
第一节 概述
例：南方某圩区，地势平坦低洼，易遭涝灾，拟修建 南方某圩区，地势平坦低洼，易遭涝灾， 除涝工程。除涝工程由两种工程措施组成， 除涝工程。除涝工程由两种工程措施组成，一是利用 当地原有湖泊水库蓄存涝水， 当地原有湖泊水库蓄存涝水，即修建一定规模的湖堤 使涝水在其中蓄存某一深度； 使涝水在其中蓄存某一深度；二是在原有泵站的基础 上扩大规模，增加该地区涝水向外河排泄的能力。 上扩大规模，增加该地区涝水向外河排泄的能力。要 求决策出投资最少的除涝工程规模。 求决策出投资最少的除涝工程规模。 除涝工程规模：蓄涝湖泊面积 除涝工程规模：蓄涝湖泊面积x1(km2)、泵站装机容量 、 x2(103kw)、湖泊蓄涝水深 3(m)。 、湖泊蓄涝水深x 。
非线性规划
多项式 p(x) ax2 bx c 的插值结点。 这里a b c为待定系数.可用下述线形方程组确定.
p(x1 ) ax12 bx1 c f1
p(x2 )
axBiblioteka 2 2 bx2c
f2
p(x3 ) ax32 bx3 c f3
x1 a
计算函数值
x3 x3 b
x2
1 2
( x1
x3 )
f1 f (x1) f2 f (x2 ) f3 f (x3 )
ⅲ插值计算
x
* p
(a)若分母为零即 (x2 x3 ) f1 (x3 x1) f2 (x1 x2 ) f3 0 即
f2 f1 f3 f1 则说明三个插值点(x1, f1) (x2, f2 ) (x3, f3)在同一
向量化表示
令
g( x) ( g1 ( x),..., g p ( x))T
h( x) (h1 ( x),..., hp ( x))T ，
其中， g : R n R p , h : R n Rq ，那么(MP)可简记为
min f ( x)
s.t .
g(x) 0 或者min f ( x) x X
x b 2a
x*p
1 2
(x22 x32 ) f1 (x32 x12 ) f2 (x12 x22 ) f3 (x2 x3 ) f1 (x3 x1 ) f2 (x1 x2 ) f3
c1
f3 x3
f1 x1
第四章 非线性规划2-SUMT方法(罚函数法)
第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。
它是一种不等式约束最优化问题的间接解法 它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。
当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。
所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。
引例一：min ()f X ax =s.t ()0g X b x =-≤显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解 构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。
其最优解为：*()k X r b =+ 此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。
当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。
0min lim[min (,)]() {|()0}k k i r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)k X r Φ与约束优化问题min () {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 2) 只有等式约束的非线性规划问题通常 可用消元法、拉格朗日乘子法或反函数 法，将其化为无约束问题求解.
• 3) 具有不等式约束的非线性规划问题解 起来很复杂，求解这一类问题，通常将 不等式化为等式约束，再将约束问题化 为无约束问题，用线性逼近的方法将非 线性规划问题化为线性规划问题.
如果采用向量表示法，则线性规划的一般 形式可以写成：
• 线性规划与非线性规划的区别
如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在 其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上 达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存 在）则可能在其可行域的任意一点达到。
非线性规划问题的标准形式为：
min f (x)
s.t.
gi hj
( (
x) x)
0,i 1, 2, 0, j 1, 2,
m r
其中，x为n维欧式空间Rn中的向量， f (x)为 目标函数，gi (x)、hj (x)为约束条件. 且hj (x)、 gi (x)、 f (x)中至少有一个是非线性函数.
如果采用向量表示法，则线性规划的一般 形式可以写成：
min f(X) s.t. g(X) 0 h(X) = 0
其中：g(X) = (g1(X), …, gm(X))T， h(X) = (h1(X), …, hl(X))T，
与线性规划一样，非线性规划也是运筹学的一 个重要分支，于 20 世纪 50 年代开始逐步形成，到 20 世纪 70 年代开始处于兴旺发展时期。随着计算 机技术的日益发展，很多领域越来越重视这门学科， 应用非线性规划方法进行设计、管理等，非线性规 划理论自身也得到了进一步的发展。
•非 线 性 规 划 是 20 世 纪 50 年 代 才 开 始 形 成 的 一 门 新 兴 学 科 。 1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件（后来称为 库恩－塔克条件）的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标 志。在50年代还得出了可分离规划和二பைடு நூலகம்规划的n种解法，它 们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。 50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算 法，70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、 经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了 有力的工具。20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展， 非线性规划方法取得了长足进步，在信赖域法、稀疏拟牛顿法、 并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。
至于求目标函数的最大值或约束条件为小于等 于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一 般形式。
• 非线性规划模型按约束条件可分为以下三类：
• ⑴ 无约束非线性规划模型：
min f ( x) x Rn
• ⑵ 等式约束非线性规划模型：
min f (x) s.t. hj (x) 0, j 1,2, r
第四章 非线性规划
§4.1 引言
• 前面介绍了线性规划问题，即目标函 数和约束条件都是线性函数的规划问题， 但在实际工作中，还常常会遇到另一类更 一般的规划问题，即目标函数和约束条件 中至少有一个是非线性函数的规划问题， 即非线性规划问题.
事实上，客观世界中的问题许多是 非线性的，给予线性大多是近似的，是 在作了科学的假设和简化后得到的. 为 了利用线性的知识，许多非线性问题常 进行线性化处理. 但在实际问题中，有 一些是不能进行线性化处理的，否则将 严重影响模型对实际问题近似的可依赖 型.
• 在下降迭代算法中，搜索方向起着关 键的作用，而当搜索方向确定后，步长又 是决定算法好坏的重要因素. 非线性规划只 含一个变量，即一维非线性规划可以用一 维搜索方法求得最优解，一维搜索方法主 要有进退法和黄金分割法. 二维的非线性规 划也可以像解线性规划那样用图形求解. 对 于二维非线性规划，使用搜索方法是要用 到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最 速下降法.
min f(X) s.t. g(X) 0 h(X) = 0
其中：g(X) = (g1(X), …, gm(X))T， h(X) = (h1(X), …, hl(X))T，
至于求目标函数的最大值或约束条件为小于等 于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一 般形式。
§4.2 引例
引例 4.2.1 项目投资问题。有一投资者有资金 5000 美元和两个 可能的投资项目，令 xj（j = 1, 2）表示他分配到投资项目 j 的资 金（以千美元为单位）。从历史资料分析，投资项目 1 和 2 分 别有预计的年收益 20% 和 16%，同时与项目 1 和 2 有关的总的 风险损失由总收益的方差来衡量，由式 2x12 + x22 + (x1+x2)2 给出， 即风险损失随着总投资和单项投资的增加而增加。投资者希望 使期望的收益为最大，同时使风险损失为最小，应怎样进行投 资？
① 适当选取初始点 x0，令k 0. ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件，如是，则停 止迭代，用 xk 来近似问题的最优解，否则转至③. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向.
④ 从 xk 出发，沿方向dk ，按某种方法确定步长k ，
使得：
f (xk kdk ) f (xk ) ⑤ 令 xk1 xk kdk ，然后置k k 1，返回②.
•线性规划问题在计算上常是困难的，理论 上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁 的结果形式和全面透彻的结论. 这点又限 制了非线性规划的应用，所以，在数学建 模时，要进行认真的分析，对实际问题进 行合理的假设、简化，首先考虑用线性规 划模型，若线性近似误差较大时，则考虑 用非线性规划.
如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线 性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题。
• ⑶ 不等式约束非线性规划模型：
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2, m
•针对上述三类非线性规划模型，其常用求 解的基本思路可归纳如下：
• 1) 无约束的非线性规划问题.
若目标函数 f (x)的形式简单，可以通过 求解方程f (x) 0（f (x) 表示函数的梯度） 求出最优解 x，但求解f (x)往往是很困难的. 所以往往根据目标函数的特征采用搜索的 方法（下降迭代法）寻找，该方法的基本 步骤如下：