正规文法与有限自动机的相互转换

正规文法与有限自动机的相互转换二零一五年十二月二十七日目录摘要 (1)关键词 (1)1课题综述 (1)1.1目的 (1)1.2设计内容 (1)1.3设计原则 (1)2系统分析 (2)2.1正规式 (2)2.2有限自动机（有穷自动机） (2)2.3NFA向DFA的转换 (3)2.4正规式与有限自动机之间的转换 (3)3系统设计 (4)3.1从正规文法到有限自动机 (4)3.11正规文法到有限自动机的等价性证明 (4)3.12 正规文法到有限自动机的构造方法 (5)3.2从有限自动机到正规文法 (6)3.21 有限自动机到正规文法的等价性证明 (6)3.22 有限自动机到正规文法的构造方法 (7)4 运行与测试 (7)总结 (9)参考文献 (9)附录 (10)摘要：正规文法包括左线性文法和右线性文法。

由于正规文法和正规表达式在描述语言的能力上是等价的，而正规表达式和有限自动机在描述语言的能力上也是等价的，因此，正规文法和有限自动机之间也存在着等价性。

通常，对于正规文法G和有限自动机M，G所定义的语言记作L(G)，M所能识别的语言记作L(M)，如果有L(G)=L(M),则称G和M是等价的。

关键词：正规文法；有限自动机；等价性；构造方法1课题综述1.1目的1.理解正规文法与有限自动机（FA）的本质联系；2.掌握正规文法与有限自动机之间相互转化的算法原理；3.学会使用Visual C++等编程工具实现正规文法与有限自动机之间的相互转化；1.2设计内容使用Visual C++/Visual C#等工具，设计软件MySoft_3，可以实现以下功能：1.根据用户输入的文本文件（*.txt）的名称，打开文件，并从文件中获取文法的产生式、非终结符、终结符、开始符等基本信息；2.判断该文法是否为正规文法，若是，则将其转化为有限自动机；3.根据用户输入的文本文件（*.txt）的名称，打开文件，并从文件中获取有限自动机的状态集、字母表、初态、终态集、转移函数等基本信息；4.判断该自动机是否合法，若合法，则将其转化为正规文法；1.3设计原则正规文法与有穷自动机有着特殊的关系，采用下面的规则可从正规文法G直接构造一个有穷自动机NFA M；使得L(M)=L(G)：（1）M的字母表与G的终结符相同；（2）为G中的每一个非终结符生成M的一个状态，G的开始符S是开始状态；（3）增加一个新状态Z，作为NFA的终态；（4）对G中的形如A->tB的规则（其中T为终结符或，A为非终结符的产生式），构造M的一个转换函数f(A,t)=B；（5）对G中形如A->t的产生式，构造M的一个转换函数f（A，t）=Z。

2系统分析2.1正规式正规式：正则表达式，表示正规集的工具。

一个正规式对应一个正规文法（3型文法）之间能够进行准换三个基本规则：A->xB,B->y 则 A=xy。

A->xA|y 则A=x*y （x*代表x从1到无穷多个）A->x,A->y 则A=x|y正规式主要用到了递归的思想，无论遇到多复杂的正规式都可以拆分成上面这三种形式，然后进行解题。

2.2有限自动机（有穷自动机）DFA（Deterministic Finite Automation ）：确定的有限自动机表达式：M=（S，∑，f，So，Z）1.S为一个有限状态集合2.∑是一个字母表，它所包含的的每个元素称为一个输入字符；3.f是一个从SX∑（笛卡尔乘积）至S的单值部分映射。

f（S，a）=s'意味着当现在的状态为s，输入字符a时，将转换到下一状态s'.s'为s的一个后继状态。

4.So∈S，是唯一的初态；5.Z⊆S，是一个终态集。

NFA（Nondeterministic Finite Automata）：不确定的有限自动机如果理解了有限自动机，则无限自动机和它的区别就是上面的第四项。

So⊆S，它的初态不是唯一的，而是一个集合。

2.3NFA向DFA的转换这个转换是一个比较简单的过程。

1.如果有一个不确定的有限自动机，则可以转化为图的方式。

此处不详述怎样转图的方式。

2.先将初态确定，然后根据输入的每个元素可以得到哪些状态，依次列表。

3.这些状态集合可以称为这个有限状态集合n个子集。

按0,1,2……的顺序编号。

4.因为这些子集之间的关系是输入一个确定值确定的，所以这些子集之间存在一些关系，即把这些子集的关系写出来完成NFA向DFA的转换。

如果不懂可以从网上找一个例子进行理解。

2.4正规式与有限自动机之间的转换若ab若任意的正规式都可以转换为上述三种的表现形式。

在一个有限自动机转换为正规式时，就是考虑从初态到终态可以输入哪些数据到达。

而这些数据可以用哪种正规式概括进来。

3系统设计3.1从正规文法到有限自动机3.11正规文法到有限自动机的等价性证明定理1：对于每一个右线性正规文法GR和左线性正规文法GL，都存在一个有限自动机M与之等价。

证明：1.设右线性文法GR=（VT,VN,S,P），将VN中每个非终结符视为状态符号，并增加一个新的终止符号f，（f VN）。

令M=(VN {f}，VT，d，S，{f})，其中状态转换函数d由以下规则定义：①若对某个A VN及a VT {ε}，P中有产生式A→a，则令d(A，a)=f；②对任意的A VN及a VT {ε}，设P中左端为A右端第一个符号为a的所有产生式为A→aA1∣aA2∣…∣aAk（不包括A→a），则令d(A，a)={ A1，A2，…，Ak}。

显然上述得到的M为一个NFA。

到此，已说明存在一个FAM与该右线性文法对应，下面说明它们的等价性(L(GR)=L(M) )。

对右线性正规文法GR，在S W的最左推导过程中，利用A→aB一次就相当于在M中从状态A出发经标记为a的箭弧到达状态B(包括a=ε的情形)。

在推导过程的最后，利用A→a一次则相当于在Ｍ中从状态A出发经标记为a的箭弧到达终态f(包括a=ε的情形)。

综上所述，在正规文法GR中，S W的充要条件是：在M中，从状态S到状态f有一条通路，其上所有箭弧的标记符号依次连接起来恰好等于W，这就是说，W L(GR)当且仅当W L(M)，故L(GR)=L(M)。

2. 设左线性文法GL=（VT,VN,S,P），将VN中每个非终结符视为状态符号，并增加一个新的初始状态符号q，（q VN）。

令M=(VN {q}，VT，d，q，{S})，其中状态转换函数d由以下规则定义：①若对某个A VN及a VT {ε}，P中有产生式A→a，则令d(q，a)=A；②对任意的A VN及a VT {ε}，设P中所有右端第一个符号为A，第二个符号为a的所有产生式为A1→Aa，A2→Aa，…，AK→Aa，则令d(A，a)={ A1，A2，…，Ak}。

显然上述得到的M为一个NFA。

到此，已说明存在一个FAM与该左线性文法对应，下面说明它们的等价性(L(GL)=L(M) )。

对左线性正规文法GL，在S W的最左推导过程中，利用B→Aa一次就相当于从状态A出发经标记为a的箭弧到达状态B(包括a=ε的情形)。

在推导的最后，利用A→a一次则相当于在Ｍ中从状态q出发经标记为a的箭弧到达状态A(包括a=ε的情形)。

综上所述，在正规文法GL中，S W的充要条件是：在M中，从状态q到状态S有一条通路，其上所有箭弧的标记符号依次连接起来恰好等于W，这就是说，W L(GL)当且仅当W L(M)，故L(GL)=L(M)。

3.12 正规文法到有限自动机的构造方法上述定理的证明采用了构造性的证明方法，由此可以得出由正规文法到有限自动机的构造方法。

从右线性正规文法GR=(VT,VN,S,P)构造有限自动机M=( VN {f}，VT，d，S，{f})的方法如下：①将VN中每个符号视为一个状态符号，增加一个新的终态符号f，f VN；②对于产生式A→a（a VT {ε}），则构造d(A，a)=f；③对于产生式A→aA1（a VT {ε}），则构造d(A，a)= A1。

从左线性正规文法GL=(VT,VN,S,P)构造有限自动机M=( VN {q}，VT，d，q，{S})的方法如下：①将VN中每个符号视为一个状态符号，增加一个新的初态符号q，q VN；②对于产生式A→a（a VT {ε}），则构造d(q，a)=A；③对于产生式A1→Aa（a VT {ε}），则构造d(A，a)= A1。

3.2从有限自动机到正规文法3.21 有限自动机到正规文法的等价性证明定理2：对于每一个有限自动机M，都存在一个右线性正规文法GR和左线性正规文法GL与之等价。

证明：1.设DFAM=(S，∑，d，S0，F)，分以下两种情况进行证明：（1）若S0 F，则令GR=(∑,S, S0, P)，其中P是由以下规则定义的产生式集合，对任何a ∑及A,B S，若d(A，a)=B，则：①当B F时，令A→aB；②当B F时，令A→aB∣a；显然，上述得到的文法为一个右线性正规文法，下面说明它们的等价性(L(M)=L(GR) )。

在DFAM中，对任何w ∑*，不妨设w=a1a2…ak，其中ai ∑(i=1,2,…,k)，若S W，则存在一个最左推导：S0 a1A1 a1a2A2 … a1…aiAi a1…aiai+1Ai+1 …a1…ak，因而，在M中存在一条从S0出发一次经过A1，…，Ak-1到达终态的通路，该通路上所有箭弧的标记依次为a1，…，ak。

反之亦然。

所以，w L(GR)当且仅当w L(M)，故L(M)=L(GR)。

（2）若S0 F，因为d(S0,ε)= S0，所以ε L(M)，但上面构造的L(GR)中不含ε。

因此，需在文法中添加产生式S0→ε，这样，就有L(M)=L(GR)。

2. 设DFAM=(S，∑，d，S0，F)，分以下两种情况进行证明：（1）若S0 F，则令GL=(∑,S, X, P)，其中X F，P是由以下规则定义的产生式集合，对任何a ∑及A,B S，若d(A，a)=B，则：①当A≠S0时，令B→Aa；②当A=S0时，令B→a∣Aa；显然，上述得到的文法为一个左线性正规文法，下面说明它们的等价性(L(M)=L(GL) )。

在DFAM中，对任何w ∑*，不妨设w=a1a2…ak，其中ai ∑(i=1,2,…,k)，若存在一条从S0到X的通路，通路上所有箭弧的标记依次为a1，…，ak，则在GL中一定存在一个最左推导：X Akak Ak-1ak-1ak … A2a2…ak … a1…ak，即w L(GL)。

反之亦然。

所以，w L(GL)当且仅当w L(M)，故L(M)=L(GL)。

（2）若S0 F，则ε L(M)，但上面构造的L(GL)中不含ε。

因此，需在文法中添加产生式X→ε，这样，就有L(M)=L(GL)。