保守力与势能

内容摘要
详细介绍保守力的特定性质证明以及常见的保守力种类。

定义势能函数，论证了几种常见势能的计算方法。

保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。

为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。

关键词：保守力势能势能零点平衡
Abstract
Detailed introduction of specific properties conservative force proof and common conservative force types. The nature of the potential energy of physical meaning of a deep elaborated, demonstrates the potential of common calculation methods
Key words:Conservative force Potential energy Potential energy zero Balance
内容摘要
引言 (1)
1.保守力 (2)
1.1保守力的定义 (2)
1.2保守力的性质 (2)
1.3保守力的证明 (2)
2.势能 (3)
2.1势能的定义 (3)
2.2势能的性质 (4)
2.3势能零点 (5)
2.4物体在势能场中的平衡 (7)
3.几种常见势能的计算 (7)
3.1引力势能 (7)
3.2重力势能 (8)
3.3弹性势能 (9)
3.4电势能 (9)
3.5分子势能 (10)
4.结束语 (12)
5.参考文献 (13)
6.致谢 (14)
引言
保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。

为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。

人们对其作了深刻的分析与研究，得到如果一对力所做的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用的物体的始末相对位置，这样的力称为保守力（conservative force）。

其力场叫保守力场（Conservative Field）。

例如重力场、静电场等，万有引力场都是保守力场。

1.保守力
1.1保守力的定义
在一个物理系统里，感受到某作用力，一个粒子从初始位置移动到终结位置，而此作用力所做的机械功，跟移动路径无关，则称此力为保守力(conservative force)，又称为守恒力。

等价地，假设一个粒子从某位置，移动经过一条闭合路径后，又回到原本位置，则作用与这粒子的保守力所做的机械功（保守力对于整个闭合路径的积分）等于零。

在一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此物理系统為保守系统，又称為守恒系统。

对於这种系统，在空间里的每一个位置，都可以给位势设定一个唯一的数值。

当粒子从某位置移动至令一位置时，保守力会改变粒子的势能，前后差值与所经过的路径无关。

例如，重力、弹性力、静电力等等，都是保守力；而摩擦力和空气阻力是经典的非保守力（能量被输送出去后，转换为热能，不能收复回来）。

1.2保守力的性质
设定F为在空间任意位置良好定义（或空间内单连通的区域）的矢量场，假若它满足以下三个等价的条件中任意一个条件，则可称此矢量场为保守矢量场：
1、F的旋度是零：
⨯
F
∇
=
2、假设粒子从某闭合路径C的某一位置，经过这闭合路径C，又回到原
先位置，则力矢量F所做的机械功W等于零：
F
=⎰C dr
W
∙
=
3、作用力F是某位势Φ的梯度：
=
F
-∇
Φ
保守力因为可以保守机械能而得名。

最常见的保守力为重力、电场力（伴随的磁场与时间无关，）、弹簧力。

1.3保守力的证明
1⇒2：
设定C 为任意简单闭合路径，即初始位置与终结位置相同、不自交的路径。

思考边界为C 的任意曲面S 。

斯托克斯定理表明
⎰⎰∙=∙⨯∇C
S dr F da F )( 假设F 的旋度等于零，方程左边为零，则机械功W 是零，第二个条件是正确的。

2⇒3：
假设，对于任意简单闭合路径C ，F 所做的机械功W 是零，则保守力所做于粒子的机械功，独立于路径的选择。

设定函数
⎰∙-=Φx
o dr F x )( 其中，x 和o 分别是特定的初始位置和空间内任意位置。

根据微积分基本定理，
)()(x X F Φ-∇=
所以，第三个条件是正确的。

3⇒1：
假设第三个条件是正确的。

思考下述方程：
Φ∇⨯-∇=⨯∇F
z x
y y x y z x x z x y z z y ˆ)(ˆ)(ˆ)(222222∂∂Φ∂-∂∂Φ∂-∂∂Φ∂-∂∂Φ∂-∂∂Φ∂-∂∂Φ∂-= 0=
所以，第一个条件是正确的。

总结，这三个条件彼此等价。

由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径考试。

所以，只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。

2.势能
2.1势能定义
势能，亦称“位能”，是物体由于位置或位形而具有的能量。

动能定理告诉我们, 力做功将使物体(系统)的能量发生变化, 功是物体(系统)在运动过程中能量变化的量度。

那么, 在保守力做功的时候, 是什么形式的
能量在发生变化呢? 由保守力做功的特点, 我们已经知道这种形式的能量即势能。

我们将物体从位置a 到位置b 的过程中, 重力的功、弹力的功、万有引力的功表为如下形式:
)()(dr a b y y b a mgy mgy j dy j mg F A b a --=-=∙=→
→→⎰⎰重重力 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∙=⎰⎰→→→22b 2121)(dr a b x x a kx kx i dx i kx F A b a 弹弹力 →→→→⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙=002b r dr r r GmM dr F A b a r r a 引引力 =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22b a r Gm M r Gm M 三式的左侧均为保守力的功, 而右侧则是两项之差, 其中第一项与系统末态时的相对位置相联系,第二项与系统初态时的相对位置相联系, 每一项都与系统的相对位置有关, 因此, 保守力做功改变的是与系统相对位置有关的一种能量。

这种与系统相对位置(一般称作位形) 有关的能量定义为系统的势能或势函数, 用Ep 表示。

对一个质点系而言, 若其内两质点间的作用力都是保守力, 则称该质点系为保守体系。

在保守体系内, 力对质点所做的功只与始末位置有关, 而与路径无关, 因此, 我们总可以相应地引进势能的概念。

在力学中, 按作用性质的不同, 可以分为重力势能、弹性势能、引力势能等。

引入势能概念后, 为我们处理有关的物理问题带来了很多方便, 这是我们将物体间的相互作用分为保守力和非保守力的一个重要的原因。

这样, 与初态位形相关的势能用Pa E 表示, 与末态位形相关的势能用Pb E 表示, 上面三个式子就可以归纳为：
)(dr pa pb b a
ab E E F A --=∙=⎰→→保 即： p E A ∆-=保 上式表明: 在系统由位形a 变化到位形b 的过程中, 保守力做的功等于系统势能的减少(或势能增量的负值)。

若保守力做正功则势能减少; 若保守力做负功则势能增加。

2.2势能的性质
势能为能量的一种，具有能量量纲，在国际单位制下的单位是焦耳（J ），另外在涉及到粒子物理时常用到电子伏特（eV ），高斯单位制下为尔格（erg ）。

势能一般使用“E p ”表示，也常使用“W ” “U ”和“V ”。

势能是一个标量函数，当一个物体与多个物体共有势能或共有多种势能时，这个物体所具有的总势能为所有势能的代数和。

由定义可知，势能取决于两个或多个物体的相对位形，是两个或多个物体所共有的。

然而，在两物体A 、B 组成的保守体系中，如果我们以其中一个物体A 作为参考系，则势能仅取决于另一物体B 的相对位置。

这时，在不引起混淆的情况下，我们常把“A 、B 具有的势能”称作是“B 的势能”。

比如，在电场中的电荷具有静电势能，或者是在一个天体附近的另一个天体具有引力势能。

除此之外，有时候保守体系中只存在一个物体，势能来自于物体内部各部分间的相对位移，这时候我们也说，势能是这个物体所具有的。

比如，弹簧，或者是具有体分布电荷的绝缘体球。

需要注意的是，即使在同一保守力场中的同一处，不同物体的势能也一般不同，比如在重力作用范围内，物体的重力势能不仅取决于其高度，还取决于其质量。

2.3势能零点
当物体在保守力的作用下（但不一定仅受保守力）从a 处沿任意路径移动到b 处时，总势能变化量为保守力作功的相反值，即:
⎰∙-=-=-→b
a con
b a a p dr F W a E b E )()( 通常我们并不在意势能的绝对大小，而是关心其变化量，这从势能的定义可以明显看出；实际上，谈一个物体究竟拥有多少绝对势能是没有意义的。

不过，有时为了计算或者叙述方便，我们也取一个势能零点O ，规定O 处势能E p (O)=0，这样质点在a 点的势能大小为:
⎰∙-=-=→a
con b a p dr F W a E 0)( 原则上势能零点可任意取，一般依方便而定；如果可能，一般选con F =0点为势能零点。

势能为保守力关于位移的积分，相对地，保守力为相应势能函数关于位移的负梯度，即:
p con E F -∇=
∑⎰=→-=-=-s b
a a a
b a p p dq Q W a E b E 1)()(α
使用广义坐标描述时，可写为:
∑=∂∂-=s p a q E Q 1αα
描述势能随位置变化的图称为势能图。

若势能为仅与一个坐标（或广义坐标）有关的函数，这时势能图成为势能曲线，可以在平面直角坐标系上表示出来，这时负梯度退化为负导数：
x E F p
con ∂∂-=
2.4物体在势能场中的平衡
只受保守力作用的物体，总有向总势能更低处运动的趋势。

当物体所处位置不受力作用或合力为零时，即0=∂∂x E p ，则称物体处于平衡。

图（2）A 、B 、C 三点皆处于平衡。

当物体偏离平衡位置时，若受合力背向平衡位置，则物体有离开平衡位置的趋势，则称物体处于不稳定平衡。

势能曲线上，不稳定平衡即满足02
2<∂∂x E p 的点。

图（1）A 点处于不稳定平衡。

当物体偏离平衡位置时，若受合力指向平衡位置，则物体有回到平衡位置的趋势，则称物体处于稳定平衡。

势能曲线上，稳定平衡即满足022>∂∂x E p 的点。

图（1）B 点处于稳定平衡。

当物体在平衡位置附近时合力恒为零，则称物体处于随遇平衡。

势能曲线上，随遇平衡即满足022=∂∂x E p 的点。

图（1）C 点处于随遇平衡。

图（1）
以上只是一种粗略的分析方法，实际上，在二维或高维空间中情况会更加复杂，比如，在不同的方向上具有不同的平衡种类。

一个最简单的例子是，若物体被约束在马鞍形势能曲面上如图（2），位于中心时，在x 方向上为稳定平衡，在y 方向上为不稳定平衡。

图（2）
3.几种常见势能的计算
下面介绍几种常见势能。

在下面的介绍中，我们常考虑一个两质点组成的保守体系，两质点间受且仅受相应的一种保守力。

两质点的势能是一种最简单、最理想的模型，然而也是实际模型的基础。

实际的问题理论上都可以由两质点势能的函数加以积分得到。

3.1引力势能
图（3）
根据牛顿万有引力定律，对于两质点m 0、m ，质点m 受到的万有引力为：
3000||)(r r r r Gmm r F ---=
其中G 是万有引力常数，m 0、m 是两质点的质量，r 0、r 分别为两质点的位置矢量。

引力场中的物体会具有引力势能。

对于两个质点，定义无穷远处为势能零点，则质点m 在r 处的的引力势能为：
3000|
|)(r r r r Gmm r E G ---= 在实际问题中，对于已知引力势分布φ=φ(r )，质点m 在r 处的引力势能为： )()(r m r E G Φ=
3.2重力势能
图（4）
重力势能是引力势能在一种特殊情况下的简化形式。

可以证明，对一球对称分布物体在其外一质点产生的引力，上面两质点间的作用力公式仍适用，其中m 0为该物体总质量，r 0为其球心位矢。

当 |r-r 0| 在不太大范围内变动时，对作
用力公式取零级近似，作用力不变，则引力退化为重力。

由此可见，重力的近似要求很严格。

然而由于在日常生活中这个条件很容易满足，而且极简便，符合人们的日常生活经验，故仍有研究价值，单列一项。

在这种情况下，重力大致只与星体性质与物体质量有关，而与位置无关，方向铅直向下。

将重力加速度定为常数g ，则物体重力大小为：
mg h F =)(
其中m 为物体质量，g 为重力加速度常数。

则物体在h 处的重力势能为
mgh h E p =)(
其中h 为物体的高度。

重力势能并没有严格的势能零点定义，完全依计算方便而定，不过比较常用的是以地面或桌面为势能零点。

在地球上g 的值约为9.8 ms -2，在不同地区稍有不同。

这个值已经包括了和地球自转所需的向心力造成的差别。

一般计算中g 可近似的取作标准重力加速度，即g=g n =9.80665 ms -2。

3.3弹性势能
图（5）
弹簧、钢片、金属丝等满足胡克定律的物体，在弹性限度内应力与应变成正比。

下面以弹簧为例。

在弹性限度内，弹簧弹力与长度变化量的关系为
F （x ）=-kx
其中，k 为弹簧弹性系数，x 为弹簧长度变化（即固定一端时另一端相对平衡位置的位移）。

则其弹性势能为：
22
1)(kx x E p 弹性势能为对应物体自身所拥有，一般选择弹簧原长时（x =0）为势能零点。

3.4电势能
图（6）
在静电学里，根据库伦定律，对于两静止点电荷q 、q 0，点电荷q 受到的静电力
为：
30000|
|4)(r r r r qq r F --=
πε 其中ε0是电常数，r 0、r 分别为两点电荷的位置矢量。

静电场中的点电荷会具有电势能。

对于两个点电荷，定义无穷远处为势能零点，则点电荷q 在r 处的的电势能为：
3000|
|14)(r r qq r W -=
πε 在实际问题中，对于已知电势分布φ=φ(r )，点电荷q 在r 处的电势能为： )()(r q r E G Φ=
电势能基于静电场的定律库仑定律。

在变化电磁场中，粒子受力不再为保守力，不再能单独用一个标量势函数描述，需要使用标势φ与矢势A 共同描述。

3.5分子势能
图（7）
分子力实际上来源于多个方面，精确的计算与各分子内部结构有很大关系，会变得十分复杂。

对于无极性分子，两分子间作用力可近似用以下半经验公式表示：
t s r r r F μλ
-=)(
其中正表示排斥力，负表示牵引力；r 为两分子间距，λ、μ、s 、t 为常数，随两分子不同而不同，且s>t 。

这种力的特点是
∙ 在某一个值r 0以内，分子里表现为排斥力并且随r 减小而急剧上升；
∙
在r 0以外表现为牵引力，分子力逐渐增大，到某最大值后减小； ∙ 力程短，在r 约为r 0十倍时已几乎为零。

由此，对无极性分子间的相互作用势能有以下几个常用曲线。

一个典型且常用的模型是兰纳-琼斯势，该势能仅与两分子间距有关，具有球对称性，其函数解析式为：
])(2)[()(601200r
r r r E r E p p -= 其中，r 为两分子距离，E p0为分子势能的势阱（势能最低处的势能绝对值），r 0为势阱处两分子间距。

E p0与r 0需要对于具体分子通过实验确定。

对兰纳-琼斯势在排斥力部分简化，成为苏则朗势（Sutherland potential ），即： ⎩⎨⎧=∞-6)
()(r d E p r E d r d r ≤>
其中E 、d 为常数，因分子而异。

满足苏则朗势的气体称为范德瓦尔斯气体，分子力又称作范德瓦尔斯力，满足范德瓦尔斯方程。

对苏则朗势在引力部分再次简化，成为刚球势，即：
{∞
=0)(r E p d r d
r ≤> d=0时，分子势能完全忽略，变为质点势，这时气体称作理想气体，满足理想气体状态方程。

结束语
通过本次论文的完成，我对保守力与势能有了更深的了解。

其中我学习到保守力与非保守力怎么来区分以及保守力的定义。

对于势能，在高中的理解知识简单的能量形式，在大学物理中有着更深层的意义。

在对势能的研究中我学习到了势能的定义以及势能函数，在的对几种常见势能的计算中也是对高等数学知识的一种巩固。

参考文献
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致谢
论文的完成首先要感谢我的指导老师张建忠老师。

张老师有着渊博的学识、丰富的教学、科研经验和灵活、敏锐的思维方式。

在整个论文的进行当中，张老师始终给予我悉心的关怀和指导，为我提供大量资料及查阅方法，并提出大量宝贵的意见，让我受益匪浅。

张老师严谨的治学态度和平易近人的风格给我留下了深刻的印象，正是在张老师的严格要求下，我才能顺利完成毕业设计的工作，在此向张老师致以衷心的感谢。

另外，感谢与我同在张老师门下做设计的同学，我们经常在一起交流经验，互相帮助，为自己的毕业设计工作创造一个良好的学习风气和氛围，我也从他们身上得到很多帮助和支持，在此对他们表示由衷的感谢。

此外，我还要深深地感谢多年来含辛茹苦养育我的父亲、母亲，无论我经历怎样的坎坷和挫折，他们总是一如既往的支持我，鼓励我，并赋予了我坚强的意志和顽强的品格。

最后，向评阅本文的老师们致以诚致的谢意。