固体物理(2011) - 第3章 晶格的热振动 2 一维单原子链概述
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2
=？
类似的数值计算问题：
类似的数值计算问题：
x y( x , t ) A cos[ (t ) 0 ] u
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
譬如：Lennard-Jones 势！
原子的运动方程
组
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
d 2 n m 2 ( n 1 n 1 2 n ) dt ( n 1, 2, 3 , N )
当 q1 = 2 / na + q2 会出现什么情况？
—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
相邻原子的位相差
—— 恰好是晶格的第一布里渊区 波矢的取值 q a a
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
从能谱来看也具有第一布里渊区的周期性：
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
插一句：能量观点作为出发点？
下面的 x 换成
方程解和振动频率 设方程组的尝试解
Bloch定理？
naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
4 2 aq sin ( ) m 2
2
格波解
n q , t Ae i ( q ) t naq q 4 sin( aq )
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移
位移前
第n个原子和第n＋1 位移后 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移 后，相互作用势能
一维单原子链
一维单原子链的格波解 (经典视角)
出发点：力学运动方程，等价的能量观点 尝试解：格波 1st BZ的角色：能带
从有限到无限的过渡：玻恩-卡门周期性边界条件
长波极限及短波极限的物理
从经典的格波到量子的声子
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的进一步研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 简正模与格波 2 一维单原子链 3 一维双原子链 4 三维晶格 5 纯量子力学表述-声子 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动 - 局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
m 2
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
注意：q怎么来的？
格波的意义 连续介质波
2 波数 q
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
n q , t Ae i ( q ) t naq—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
N Na L 波矢密度： * 2 2
格波的色散关系
aq q 2 sin( ) m 2
频率是波数的偶函数
色散关系曲线具有周期性
—— q空间的周期
频率极小值 频率极大值
min 0
波矢
2 q h Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含N个状态
N 2 : h 0,1 N 4 : h 1,0,1,2 N 6 : h 2,1,0,1,2,3
波矢密度：单位 q 空间的波矢数 独立波矢数 = N （原胞数）
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！
在现代物理研究中，例子 (Prototype/paradigm) 显得非常重要， 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下一节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N + n个原子的位移 则有 要求
2 q h Na
波矢的取值范围
源自文库
—— h为整数
N=even ？
N N h 2 2
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？ 注意指标 n
怎么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程 所以猜“格波”解组
得到一个需要满足的条件
下一个问题： q
4 2 aq sin ( ) m 2
4 aq q sin( ) m 2
考察结果
q1 =/= q2 1 =/= 2
but
un(q1) = un(q2) (q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
有限格点和边界问题
N个格点的体系：
开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC)
为何要研究这个问题？
实际体系是怎样的？ limit (N infinity) 的计算意义
玻恩－卡门(Born-Karman)周期边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样
—— 而实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
=？
类似的数值计算问题：
类似的数值计算问题：
x y( x , t ) A cos[ (t ) 0 ] u
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间位相差
相邻原子的位相差
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 格波2(Green)波矢 相邻原子的位相差
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
譬如：Lennard-Jones 势！
原子的运动方程
组
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
d 2 n m 2 ( n 1 n 1 2 n ) dt ( n 1, 2, 3 , N )
当 q1 = 2 / na + q2 会出现什么情况？
—— 两种波矢的格波中， 原子的物理振动完全相同
相邻原子的位相差
—— 恰好是晶格的第一布里渊区 波矢的取值 q a a
巧合？
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
从能谱来看也具有第一布里渊区的周期性：
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
插一句：能量观点作为出发点？
下面的 x 换成
方程解和振动频率 设方程组的尝试解
Bloch定理？
naq — 第n个原子振动位相因子
代入得到
4 2 aq sin ( ) m 2
2
格波解
n q , t Ae i ( q ) t naq q 4 sin( aq )
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移
位移前
第n个原子和第n＋1 位移后 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移 后，相互作用势能
一维单原子链
一维单原子链的格波解 (经典视角)
出发点：力学运动方程，等价的能量观点 尝试解：格波 1st BZ的角色：能带
从有限到无限的过渡：玻恩-卡门周期性边界条件
长波极限及短波极限的物理
从经典的格波到量子的声子
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的进一步研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 简正模与格波 2 一维单原子链 3 一维双原子链 4 三维晶格 5 纯量子力学表述-声子 6 离子晶体的长光学波 7 晶格振动谱的实验方法 8 非完整晶格振动 - 局域模 9 晶格的比热容 10 晶格状态方程和热膨胀
m 2
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
注意：q怎么来的？
格波的意义 连续介质波
2 波数 q
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
n q , t Ae i ( q ) t naq—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
N Na L 波矢密度： * 2 2
格波的色散关系
aq q 2 sin( ) m 2
频率是波数的偶函数
色散关系曲线具有周期性
—— q空间的周期
频率极小值 频率极大值
min 0
波矢
2 q h Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含N个状态
N 2 : h 0,1 N 4 : h 1,0,1,2 N 6 : h 2,1,0,1,2,3
波矢密度：单位 q 空间的波矢数 独立波矢数 = N （原胞数）
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
重要性
在上一小节，我们似乎没学到实质的东西！
在现代物理研究中，例子 (Prototype/paradigm) 显得非常重要， 本节内容似乎只是一道习题，但是重要得需要用 一节来描述，在下一节我们还会做一道习题 本节的内容或结论将会以各种改头换面的形式出 现在更进一步的现代物理 (包括实验物理和理论物 理) 的各个角落
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的 特点
N很大，原子运动 近似为直线运动
处理问题时要考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N + n个原子的位移 则有 要求
2 q h Na
波矢的取值范围
源自文库
—— h为整数
N=even ？
N N h 2 2
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
如何确定波长？最长是多长？最短是多短？ 注意指标 n
怎么猜的解？
第一眼：像一个简谐振动 其次，这是一个波动方程 所以猜“格波”解组
得到一个需要满足的条件
下一个问题： q
4 2 aq sin ( ) m 2
4 aq q sin( ) m 2
考察结果
q1 =/= q2 1 =/= 2
but
un(q1) = un(q2) (q1) = (q2)
q1 = 2 / na + q2
只需挑出第一布里渊区（1st BZ）进行计算
有限格点和边界问题
N个格点的体系：
开放边界，open boundary condition (OBC) 周期边界，periodic boundary condition (PBC)
为何要研究这个问题？
实际体系是怎样的？ limit (N infinity) 的计算意义
玻恩－卡门(Born-Karman)周期边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样
—— 而实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述