第8章 稳恒磁场

Fmax
q
F 大小: 大小 B = qv sin α 磁场也服从叠加原理
磁场力或磁力（洛伦兹力） 洛伦兹力） r 方向: 方向 q 不受力的方向定义为 B的方向 的方向.
v v B = ∑ Bi
i
v v
+
v B
单位: 单位 特斯拉 T ( 1 T = 10 4 G )
6
8.2 磁场 磁感应强度
8.2.3 磁通量 磁场的高斯定理
v 也可以引入磁感线(磁力线或 来形象的描述磁场。 也可以引入磁感线 磁力线或 B线)来形象的描述磁场。 来形象的描述磁场
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 切线方向 的方向，曲线的疏密程度 疏密程度表示该点的磁感强度 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小。 的大小。 I S N S I I N
+
v v F 定义非静电场强： 定义非静电场强： E = k k q + r v 方向： 电动势 ε = ∫ Ene ⋅ dl ε 方向：电源内部负极
−
A 即 ε = ne q
=
v v F ⋅ dr ∫ k
−
+
−
q
正极
(电 内 源 )
普遍表达式
ε = ∫L
v v Ek ⋅ dl
3
8.2 磁场 磁感应强度
磁介质中的 总磁感强度
v v 实验表明： B = µr B 相对磁导率 µr 磁导率 µ = µrµ0 实验表明： 0
顺磁质 抗磁质 铁磁质
v v B > B0 v v B < B0
（铝、氧、锰等） 锰等） （铜、铋、氢等） 氢等） （铁、钴、镍等） 镍等）
物理意义： 物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零 故磁场是无源的 无源的） （故磁场是无源的） 磁单极不存在！ 磁单极不存在！
9
8.3 毕奥-萨伐尔定律 毕奥(电流元在空间产生的磁场 电流元在空间产生的磁场) 电流元在空间产生的磁场
dB =
µ0 Idl sin θ
4π r2
v dB
P *v
I
7
8.2 磁场 磁感应强度
磁通量
v 磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上通过的磁 v 的数值。 感线数目等于该点 B 的数值。
Φm = BS cosθ = BS⊥
匀强磁场磁通量
v v v v Φm = B ⋅ S = B ⋅ en S
v v dΦ = B ⋅ dS
非匀强磁场磁通量
dΦ = BdS cos θ
θ1
r v r µ0 Idl ×er dB = ⋅ 4π r'2 v µ0 Idl sinθ ⋅ dB B = ∫ dB = ∫ 4π r'2 r r ' = P r = sin(π−θ ) sinθ
v v v µ0 Idl ×r dB = 4π r3
BP =
4πr
11 *P
圆形电流对称轴线处磁场： 例2 圆形电流对称轴线处磁场： v v v Idl π dB er Idl sin r µ0 2 R dB = ⋅ θ θ 4π r2 x µ0 Idl sinθ x O ⋅ B = ∫ dBsinθ = ∫ P 4π r2 µ0 I sinθ = ⋅ I 2 ∫ dl 4π r π µ0 I sinθ 当x=0 (θ = ) 2πR = ⋅ 2 2 4π r µ0I R2 sinθ µ0I sin3 θ = 圆形电流中心处 = ⋅ 2R 2R r2 µ0I µ0I R2 B= = ⋅ 2 2R 2 ( x + R2 )3 2 r 例3 . 无限长直均匀密绕直螺线管轴线上的 B 的大小 B = µ0nI （自己证） 12 自己证）
µ0I
2π r
I
r
P
无限长均匀电流圆柱面
Bin = 0
µ0I
2π r
无限长均匀电流圆柱体
µ0 I 1 B = 2πR2 r = 2 µ0 Jr (r < R) v µ0 v v B = J ×r 2 B = µ0 I (r > R) 2πr
16
8.4 安培环路定理
2. 螺绕环 内部： 内部：
v v v µ0 Idl ×r dB = 4π r3
真空磁导率
r
θ
v Id Idl
µ0 = 4π×10−7 N⋅ A−2
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
v v v v µ0I dl ×r B = ∫ dB = ∫ 4π r3
磁感强度叠加原理
10
例1 直线电流的磁场
θ2
v θ Idl
l
r'
0 I
r
F1 = − F1′
F′ 2
d
a
v F1
I
b
θc v v F2 en
v F′ 1
v F1′ v
B
M = Fl1 sinθ = BI l2l1 sinθ = BI Ssinθ 1
r v 定义： 定义：线圈磁矩 P = N IS m
r r v ∴ M = P ×B m
a,b
v F1
θ v
φ
d,c
v B
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l ( S)
(l包)
v r Q ∑Ii = ∫∫ j ⋅ dS ∴
( S)
v r v v ∫ B⋅ dl = µ0 ∫∫ j ⋅ dS
l ( S)
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8.4 安培环路定理
8.4.2 利用安培环路定理求磁场的分布
1.无限长直线电流 无限长直线电流
求BP = ?
∴BP =
B = out
2πrBP = µ0I
8.2.1 基本磁现象 磁场
磁现象： 磁现象： 1)磁体与磁体（磁极、磁力） 1)磁体与磁体（磁极、磁力） 磁体与磁体 2) 磁体对电流 1820年奥斯特实验 年奥斯特实验） 3) 电流对磁体 （1820年奥斯特实验） 4) 磁体对运动电荷 5) 电流对电流 S N N I S
-
-
+
-
+
+
-
+
4
8.2 磁场 磁感应强度
v v Φ = ∫∫ B⋅ dS
s
8
=T m 单位1Wb 1 ×1
2
8.2 磁场 磁感应强度
v B
S
v dS1 v θ1 B 1
v dS2
θ2
v B2
v v dΦ1 = B1 ⋅ dS1 > 0 v v dΦ2 = B2 ⋅ dS2 < 0
∫∫ B cos θ d S = 0
S
磁场高斯定理
v v ∫∫ B⋅ d S = 0
2πrBP = µ0 N I
BP =
µ0 NI
2πr
很大， 当r很大，环很细时： 很大 环很细时： 外部： 外部：
BP = µ0nI
BP = 0
均匀磁场
17
2πrBP = 0
1 BP = µ0 i 2
3. 无限大均匀电流平面（自己证） 无限大均匀电流平面（自己证）
8.5 磁场对电流的作用
8.5.1 磁场对载流导线的作用 —— 安培定律
14
8.4 安培环路定理 r r ∫ B⋅dl = µ0∑Ii内
L i
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方程。（稳恒电流 安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方程。（稳恒电流 稳恒电流磁场的性质方程。（ 的回路必须闭合或伸展到∞ 的回路必须闭合或伸展到∞） 2）磁感应强度对任意闭合曲线的环流不等于零，是非保守场， ）磁感应强度对任意闭合曲线的环流不等于零，是非保守场， —— 有旋场（涡旋场） 有旋场（涡旋场） r r v r ∫ B⋅ dl = ∫∫ (∇×B)⋅ dS= µ0 ∑Ii
v v v µ0 Idl ×r dB = 4π r3
8.4 安培环路定理
8.4.1 安培环路定理 v 的恒定磁场中磁感强度沿任一闭 在磁感强度为 B 的恒定磁场中磁感强度沿任一闭
合环路的线积分等于穿过该环路的所有电流的代数和 的µ0倍
r r ∫ B⋅dl = µ0∑Ii内
L i
证明： 证明： 1) 如图所示 r v v ∫ B⋅ dl = ∫ Bcosθ |dl | = ∫ Brdϕ
l
安培力
18
8.5 磁场对电流的作用
8.5.2 磁场对平面载流线圈的作用
均匀磁场中有一矩形载流线圈 磁场中有一矩形载流线圈abcd v 如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈 v v
v v F2 = BIl1 sin(π− φ ) F2 = − F2′
v v F = ∑F = 0 i
i
F1 = BIl2
IS IS
分子 电流
磁力是运动电荷相互作用的表现。 磁力是运动电荷相互作用的表现。 运动电荷相互作用的表现
5
8.2 磁场 磁感应强度
8.2.2 磁感应强度矢量
运动电荷 磁场 运动电荷 实验表明， 实验表明，运动电荷在磁场中的作用力与它所带 v 电荷量、速度有关。 电荷量、速度有关。
r v v v 磁感应强度 B f = qv × B
•
•
1
8.1 电流与电动势
2. 电流密度
qndV qn(vdt cosθdS) dI = = dt dt v v = qnv cosθdS = qnv ⋅ dS
dV
dS
q
v vv e
θ
n
定义电流密度矢量： 定义电流密度矢量： 电流密度矢量
r dS
v v J = qnv
大小: 大小 方向: 方向
v vdt
r dl = 2 dθ l = rctg(π −θ )= −rctgθ sin θ θ2 µ µ0I 0 I B= ∫ ⋅ sinθdθ = (cosθ1 −cosθ2 ) θ1 4π r 4πr 无限长直线电流的磁场 B = µ0I I 2πr µ0I o r