函数模型y_lnx_x的性质与应用_从几个高考题谈起_明知白

ｘ（ ｌ ｏａ 更一般地 ， 函 数 ｙ＝ ｇ 有如 ａ＞０， ａ≠１） ｘ 下性质 ：
ｌ ｏ ｘ（ ｇ ａ 结论 ３ 设 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ＞０， ａ＞０ 且 ａ≠ ｘ ） 当 ａ＞１ 时 ， 在区间 （ 上单调增 ， 在区 １ ． ｘ） ０， ｅ） ｆ（ 上 单 调 减； 当 ０＜ａ＜１ 时 ， 的单 间（ ｅ， ＋∞ ） ｘ） ｆ（ 调性相反 ． ｌ ｏａ ｘ（ ） 函数 ｙ＝ ｇ 且 ａ≠１ 的图象如下 ： ａ＞０， ｘ
报》 １ ９ ８ ４ 年第一期上 ． ｎ ｘ（ 以下几 个 题 都 与 函 数 模 型 ｙ＝ｌ 或 ｙ＝ ｘ ｌ ｏ ｘ） ｇ ａ 有关 ． ｘ 题 １ （ 用 计 算 器 演 算 函 数 ｙ＝ ０ １ 年 上 海） ｌ ｘ（ ｇ 的 若 干 值， 可以猜想下列命题的真命 ｘ＞１） ｘ 题只能是 （ ． ） ｌ ｘ在 （ ， ｇ 上是单调减函数 Ａ． １ ＋∞ ） ｙ＝ ｘ Ｂ ． ｙ＝ ｌ ３ ｇ 是 ０， ３
２ ｎ＋１ （ ） ｎ ＋２ ｎ＋１ ＝ （２ ＞１， ｎ＋１ ） ｎ ＋２ ｎ 于是 ａ 因 此 当 ｎ≥３ 时 ， 由此 ａ ａ ａ １， ｎ＋１ ＞ ｎ， ｎ≥ ３＞
２ ０ １ ４年 第５ ３卷 第１ ２ 期 数学通报 在１ 恰好见到１ ９ ８ ３ 年 得 到 结 论 ２ 之 后， ９ ８ ３ 年全国理科卷第 ９ 题如下 ： ） 例 ３ （ 已知 ａ， 并ｅ＜ 其中 １ ｂ 为实数 ， ａ＜ ｂ， ｂ ａ ， ； ｅ 是自然对数的底数 证明 ａ ＞ ｂ
ｍ ｍ （ 共ｎ １＋ ｎ） ＝（ １＋ｎ） ×１×１×１× … ×１（ ） －ｍ 个 １ 相乘 ｍ（ １＋ ｎ） ＋（ ｎ－ｍ） ×１ ｎ （ ｎ ＝ １＋ｍ） ． ＜ ｎ
ｌ ｎ ５， 则（ ｃ＝ ． ） ５ Ａ． ａ＜ ｂ＜ ｃ Ｂ ． ｃ＜ ｂ＜ ａ Ｃ ． ｃ＜ ａ＜ ｂ Ｄ ． ｂ＜ ａ＜ ｃ ｎ ｘ的 此题可用多种初等方法解 答 ， 但 用 ｙ＝ｌ ｘ （ 上接 第 ４ ５ 页） （ 的取值范围 ： 当 ｘ＝０ 时 ， 当 ｘ＝ ｘ∈Ｚ） ＝２； α） ｆ（ ； 当 ｘ＝２ 时 ， 当 １时， －槡 ２， ２］ ＝１； α） ∈［ α） ｆ（ ｆ（ 槡 １ ， １ ； 当ｘ 取 ２ ； 正奇数且ｘ≠１ 时 ， 当ｘ 取负偶 －１， １］ α） ∈［ ｆ（
（ ＊）
ｘ在 ｌ ｇ ｘ∈ （ １，＋ ∞ ）上 的 值 域 ｘ
（ ）
ｌ ｘ在 （ ， ｇ 上有最小值 １ ＋∞ ） Ｃ ． ｙ＝ ｘ ｌ ｎ ｇ Ｄ ． ｌ ｉ ｍ ＝０， ｎ∈Ｎ＊ ｎ→ ∞ ｎ 答案为 Ｄ． ｎ ２， ｌ ｎ ３， 题 ２ （ 若 ａ＝ｌ ０ ５ 年 全 国 卷 Ⅲ） ｂ＝ ２ ３
本题难度为 ０ 成 为 当 年 最 难 的 题， 特别 ． １ ４ １， ｎ ｘ的 ） ， 是（ 会做的人就更少了 ， 而利用研 究 ｙ＝ｌ ２ ｘ 方法做 ， 则容易多了 ．
ｎ ｍ 证明 （ １＋ｍ） １＋ ｎ） ＞（ （ （ ｌ ｎ １＋ｍ） ｌ ｎ １＋ ｎ） ＞ ｍ ｎ （ ） ｌ ｎ １＋ｘ （ ） ， 令 ｆ（ 则 ｘ） ＝ ｘ＞０ ｘ
ｉ ｉ ｉ ｉ （ ） 证明 １ ｎ ｐｍ ＜ｍｐｎ ； ｎ ｍ （ ） 证明 （ ２ １＋ｍ） １＋ ｎ） ． ＞（
明 ａ＝ ｂ． “ 见到 此 题 之 后 ， 当 时 马 上 写 就 一 文： 关于
１ ９ ８ ３ — —培 养 学 生 ‘ 大 小 的 比 较— 实 １ ９ ８ ３ 与１ ９ ８ ４ 猜想 、 论 证’ 能 力 一 例” 此文发表在《 数学通 验、 ． １ ９ ８ ４
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数学通报 ２ ０ １ ４年 第５ ３卷 第１ ２期
ｘ的性质与应用 ｌ ｎ 函数模型ｙ＝ ｘ
— — — 从几个高考题谈起
明知白
２ ０ １ ４年湖北卷理科２ ２ 题） 例 １（ π 为 圆 周 率， ｅ＝２ ． ７ １ ８ ２ ８… 为自然对数的底数 ． ｌ ｎ ｘ的单调区间 ； （ ） 求函数 ｆ（ １ ｘ） ＝ ｘ ３ ｅ ｅ ３ π π （ ） ， ， ， ， 求ｅ ２ ３ ｅ ３ π， π 这６个数中最大数 与最小数 ；
） ， 注： 文科卷 ２ 其他同上 ． １ 题没有 （ ３ ｌ ｎ ｘ 这里给出了一个重要的函数模型 ｙ＝ ． ｘ 例 ２ （ 设Ｌ 为曲线 １ ３ 年北 京 卷 理 科 １ ８ 题） ｌ ｎ ｘ在点 （ ， ） Ｃ： １ ０ 处的切线 ． ｙ＝ ｘ （ ） 求 Ｌ 的方程 ； １ （ ） ） 证明 ： 除切点 （ 之外 ， 曲线 Ｃ 在直线Ｌ ２ １， ０ 的下方 ． 试题唤起了 一 段 回 忆 ， 在３ ０多的１ ９ ８ ３年上 半年 ， 笔者思考这样一个与年代有关的趣题 ： 比较［来自ｘ ２ －１］
１ ｘ （ ＋ ｌ ｎ １＋ｘ） ． ′（ ｘ） ＝ ２ ｆ ｘ １＋ｘ
［
］
（ 由 ｘ＞０ 知 ， ｘ ＜１， 又 ｘ≥２ 时 ， ｌ ｎ １＋ｘ） ＞１． １＋ｘ 所以 当 ｘ≥２ 时 ， 故 ｆ（ 在［ ′（ ｘ） ｘ） ２， ＜０， ｆ 上为减函数 ． ＋∞ ） （ 由已知 ， 式 成 立， 因此原不 １＜ ｉ ≤ｍ ＜ｎ， ＊） 等式成立 ． 下面用一更简捷的方法巧证如下 ：
ｎ＋１ ｎ ； 当 ｎ＝１， 有ｎ 当 ｎ＝３， ２时， ｎ＋１） ４， ＜（ ｎ＋１ ｎ …时， ） 有ｎ 于是猜想 ： ５， ｎ＋１ ． ＞（ ｎ＋１ ｎ ） （ 当 ｎ≥３ 时 ， 有ｎ ＞ （ ｎ＋１ ｎ∈Ｎ＊ ） ．
曾先后用数学归纳法 、 二项式定理证明 ， 后又 用数列的单调性证明 ：
ｎ＋１ ｎ ， 设ａ ｎ＝ ｎ 则 （ ） ｎ＋１ ｎ＋２ ｎ （ ） （ ） ａ ｎ＋１ ｎ＋１ · ｎ＋１ ＝（ ｎ＋１ ｎ＋１ ） ａ ｎ＋２ ｎ ｎ
３ ｅ ｅ ３ π π （ ） ， ， ， ， 将ｅ ３ ３ ｅ ３ π， π 这６个数从小到大 的顺序排列 ， 并证明你的结论 ．
得到下面的结论 ：
ｎ＋１ ｎ 结论 １ 当 ｎ≥３ 时 ， ｎ ｎ＋１） ｎ∈ ＞（ （
Ｎ＊ ） ．
ｘ＋１ ｘ 进一步思 考 ： 设 ｘ＞０， 那么ｘ 与（ ｘ＋１） ｂ ａ 哪个大？更一般地 ， 若 ａ＞ 那么ａ 与ｂ 哪 ｂ＞０， 个大？经过研究 ， 得到 ｂ ａ ； 结论 ２ 若 ａ＞ 则ａ 若 ０＜ ｂ＞ ｅ， ｂ ｂ＜ ａ＜ ＜ ｂ ａ 则ａ ｅ， ｂ ＞ 证明 由于 ａ＞０， 有 ｂ＞０， ｂ ａ ｂ ａ ａ ｂ ｌ ｎ ａ ｌ ｎ ｂ ＜ ＜
［
］
；当 ｘ 取 负 奇 数 时 ， 数时 ， ２－ ２ ＋１ ， １］ α） ∈［ α） ｆ（ ｆ（ 的取值范围是 Ｒ．
参考文献 ［ 实 验） １ 中华人民共和国教育部 ．普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 （ Ｓ］ ． 北京 ： 人民教育出版社 ， ２ ０ ０ ３， ４
ｘ
ｘ 取正偶数且ｘ≠２ 时 ， α） ∈ ｆ（
１ ９ ８ ３ １ ９ ８ ２ ｎ＋１ 与１ 的大小 ． 为此 ， 提炼为比较 ｎ １ ９ ８ ２ ９ ８ ３ ｎ ） （ 与（ 的大小 ． ｎ＋１ ｎ∈Ｎ＊ ）
ｌ ｎ ａ ｌ ｎ ｂ ． ＜ ａ ｂ ｌ ｎ ｘ， １－ ｌ ｎ ｘ， 设 ｙ＝ 则ｙ 于是 ′＝ ｘ ｘ２ 当 ０＜ｘ＜ 函 数ｙ 为 增 函 数； 当ｘ ′＞０， ｅ时， ｙ 函数 ｙ 为减函数 ． 由此立得结论 ２． ′＜０， ｅ时， ＞ ｙ
ｂ ａ （ ） ， 如果正实数 ａ， 且 ａ＜１， 证 ２ ｂ 满足ａ ＝ ｂ
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单调性做 ， 还可以把问题一般化 ． ｎ ２ ｌ ｎ ｘ在 （， ｎ ４， 解 因为ｌ 由 ｙ＝ｌ 上 ｅ ＋ ∞） ＝ ２ ４ ｘ 为单调减函数可得 ｌ ｎ ３ ｌ ｎ ４（ ｌ ｎ ２） ｌ ｎ ５， 即 ＞ ＞ ３ ４ ２ ５ 此即ｂ＞ 故应选 Ｃ． ａ＞ ｃ， ｌ ｎ ２ ０ １ ３ ｌ ｎ ２ ０ １ ４ ｌ ｎ ２ ０ １ ５ … 一般地有 ＞ ＞ ＞ ２ ０ １ ３ ２ ０ １ ４ ２ ０ １ ５ ， 题 ３ （ 已 知ｉ ０ １年全国理科卷２ ０ 题） ｍ， ｎ 是正整数 ， 且 １＜ ｉ ｎ． ≤ｍ＜