历年高考真题分类汇编指数对数幂函数

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2.1指数函数、对数函数和幂函数-高考数学历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)

第二章函数2.1 指数函数、对数函数和幂函数从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.题型一.指对运算1．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A．116B．19C．18D．162．（2021•天津）若2a＝5b＝10，则1a +1b=（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7103．（2009•辽宁）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=(12)x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2+log23）＝（）A．124B．112C．18D．384．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（√1010≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.65．（2016•浙江）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=52，ab＝b a，则a＝，b＝．6．（2018•新课标Ⅰ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b题型二.指对函数的图像识别1．（2012•四川）函数y＝a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2014•山东）已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜13．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y=1a x，y＝log a（x+12）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．题型三.比较大小1．（2016•新课标Ⅰ）已知a=243，b=425，c=2513，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．（2018•天津）已知a＝log2e，b＝ln2，c=log1213，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b3．（2021•天津）设a ＝log 20.3，b =log 120.4，c ＝0.40.3，则三者大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b4．（2021•新高考Ⅰ）已知a ＝log 52，b ＝log 83，c =12，则下列判断正确的是（） A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c5．（2020•新课标Ⅰ）设a ＝log 32，b ＝log 53，c =23，则（） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（2020•天津）设a ＝30.7，b ＝（13）﹣0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b ＜c ＜aB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．（2016•新课标Ⅰ）若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c9．（2017•新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（） A ．2x ＜3y ＜5zB ．5z ＜2x ＜3yC ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z10．（2020•新课标Ⅰ）若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（） A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2题型四.复合函数的单调性与值域1．（2016•新课标Ⅰ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lgx 的定义域和值域相同的是（） A ．y ＝xB ．y ＝lgxC ．y ＝2xD ．y =1√x2．（2015•山东）已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b ＝．3．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（） A ．f （x ）＝x 2B ．f （x ）＝sin xC ．f （x ）＝2xD ．f （x ）＝14．（2017•新课标Ⅰ）函数f （x ）＝ln （x 2﹣2x ﹣8）的单调递增区间是（） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（4，+∞）5．（2020•海南）已知函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（5，+∞）D ．[5，+∞）一．单选题（共6小题）1．设a ＝log 30.4，b ＝log 23，则（） A ．ab ＞0且a +b ＞0 B ．ab ＜0且a +b ＞0 C ．ab ＞0且a +b ＜0D ．ab ＜0且a +b ＜02．已知a ＝log 710，b =log 2√103，c =√1335，则（）A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c3．已知点(2，18)在幂函数f （x ）＝x n 的图象上，设a =f(√33)，b ＝f （ln π），c =f(√22)，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b4．若函数f （x ）＝a x ﹣2，g （x ）＝log a |x |（a ＞0，且a ≠1），且f （2）•g （2）＜0，则函数f （x ）、g （x ）在同一坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．若函数f （x ）＝log a （8x ﹣ax 2）在区间（14a2，a 2）上为减函数，则a 的取值范围是（） A ．（√22，1） B ．（√32，1） C ．（1，√43]D ．（1，2]6．射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116二．多选题（共4小题） 7．已知函数f(x)=2x +12x ，则（）A ．f(log 23)=43B ．f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增C ．f （x ）为偶函数D ．f （x ）的最小值为28．若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则下列选项错误的是（）A ．3x ＞3yB ．(12)x ＜(12)y C ．3x ﹣y ＞1D ．(12)x−y ＞19．已知函数f （x ）＝|3x ﹣1|，a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （c ）＞f （b ），则（） A ．a ＜0，c ＜0B ．a ＜0，c ＞0C ．b ＞0D ．3a +3c ＜210．已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1）的图象经过点（4，﹣2），若0＜x 1＜x 2，下列性质正确的有（）A ．f （x 2﹣x 1）＝f （x 2）﹣f （x 1）B ．f （x 2x 1）＝f （x 2）+f （x 1）C ．f （x 1）＝f （x 2）D ．f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)。

高考数学试题汇编第三节幂函数、指数函数与对数函数理(含解析)

第三节幂函数、指数函数与对数函数对数函数考向聚焦对数函数是高考的热点内容,考查内容涉及以下几个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较;二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用.对数函数在高考中主要以选择题的形式出现,为基础题目和中档题,所占分值为5分左右,在高考试卷中常有考查.备考指津对数运算是一个难点和易错点,应强化训练,要重视对数函数图象和性质的练习,熟练掌握借助函数图象解决问题的方法.1.(2012年全国大纲卷,理9,5分)已知x=ln π,y=log 52,z=,则( )(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x解析:∵x=ln π>ln e=1,y=log52<log55=1,又log25>2,∴y<.z==,∴<z<1.∴y<z<x,故选D.答案:D.2.(2011年江西卷,理3)若f(x)=,则f(x)的定义域为( )(A)(-,0) (B)(-,0](C)(-,+∞) (D)(0,+∞)解析:法一:由题意知lo(2x+1)>0,即0<2x+1<1,∴-<x<0.函数f(x)的定义域为(-,0).故选A.法二:当x=0时,函数解析式的分母等于零,无意义,由此排除选项B和C;当x=时,lo(2x+1)=-1,所以无意义,由此排除选项D,故选A.答案:A.3.(2010年天津卷,理8)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)解析:法一:①若a>0,由f(a)>f(-a)得log 2a>lo a,由换底公式得log2a>-log2a,即2log2a>0,∴a>1.②若a<0,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log 2(-a),由换底公式得log2(-a)<0,∴0<-a<1,∴-1<a<0.综合①②知a的取值范围是a>1或-1<a<0.选C.法二:数形结合,画出f(x)草图.显然,a>1时f(a)>0,f(-a)<0,即f(a)>f(-a),同理-1<a<0时,f(a)>f(-a),故选C.答案:C.本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式以及计算等知识,同时对分类讨论和数形结合这两种数学思想方法也进行了考查.4.(2011年天津卷,理7)已知a=,b=,c=(,则( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:∵0<log43.6<1,∴b=<5,而又log23.4>1,log3>1,∴a=>5,c=(==>5,∴a>b,c>b.∵log23.4>log33.4>log3,∴a>c.∴a>c>b,故选C.答案:C.5.(2011年四川卷,理13)计算(lg-lg 25)÷10= . 解析:(lg-lg 25)÷10=lg÷10=lg 10-2÷=-2×10=-20.答案:-20。

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考点7 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x R -∈ D.()210xx -> 【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( )A.e x+1B.e x-1C.e -x+1D.e -x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()f x =（）A.(-3，0]B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A ．·log log log a c c b a b =B. b a b c c a log log log =⋅C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D.()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b 1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b 0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a 1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a 0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(指数函数、对数函数、幂函数)练习

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（指数函数、对数函数、幂函数）练习一、单选题1．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（） A ．1B ．2C ．4D ．62．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>3．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259 D ．534．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>5．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x -+= B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=6．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态7．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b << 8．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<9．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（） A ．1- B ．lg 7 C ．1D ．7log 1010．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．11．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<12．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（） A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b13．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.614．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+15．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞16．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．17．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞18．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<20．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b21．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．6922．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b23．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设3log 42a =，则4a -=（） A ．116B ．19C ．18D ．1624．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减25．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │27．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为mk 的星的亮度为Ek （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-28．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b29．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>31．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+32．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+33．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>二、多选题34．（2020ꞏ海南ꞏ统考高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题35．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.36．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 37．（2020ꞏ江苏ꞏ统考高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.38．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．四、双空题39．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．参考答案1．B【要点分析】根据对数的性质可求代数式的值.【答案详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B2．C【要点分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【答案详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.3．C【要点分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【答案详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bb b -====．故选：C.4．A【要点分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【答案详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=. 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg 9lg10lg8lg 9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．5．C【要点分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【答案详解】()()1121112121212x xx x x f x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确； ()()11212121121212122121x x x x x x x x f x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．6．D【要点分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【答案详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误. 当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D7．C【要点分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【答案详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<8．D【要点分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【答案详解】22log 0.3log 10<= ，<0a ∴，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>= ，1b ∴>， 0.3000.40.41<<= ，01c ∴<<， a c b ∴<<. 故选：D.9．C【要点分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【答案详解】 2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==， 251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.10．B【要点分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【答案详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.11．C【要点分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【答案详解】5881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.12．B【要点分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =+,()()ln 121g x x =++，利用导数要点分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【答案详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =++，则()00g =，()212212x g x x --==+' 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ，故选：B.【名师点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.13．C【要点分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【答案详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈. 故选：C.14．C【要点分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【名师点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．15．B【要点分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B16．B【要点分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【答案详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0∞-上递增. 注意到01a =，所以B 选项符合. 故选：B17．D【要点分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可. 【答案详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D【名师点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.18．D【要点分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【答案详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【名师点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.19．A【要点分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果. 【答案详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数， x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【名师点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.20．A【要点分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【答案详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【名师点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.21．C【要点分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【答案详解】()()0.23531t K I t e--=+ ，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【名师点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.22．A【要点分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【答案详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.23．B【要点分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【答案详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.【名师点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.24．D【要点分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.25．B【要点分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【答案详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．26．C【要点分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【答案详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．27．A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【答案详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.28．A【要点分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【答案详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<．故选A ．【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．29．A【解析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【答案详解】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<．故选A ．【名师点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．30．D【答案详解】要点分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 答案详解：由题意结合对数函数的性质可知： 2log e >1a =，()21ln 20,1log ==∈b e ，12221log log 3log 3c e ==>，据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.名师点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．31．B【答案详解】要点分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果．答案详解：.0.30.3log0.2,2a b log == 0.2211log0.3,0.3log a b∴== 0.3110.4log a b∴+= 1101a b∴<+<,即01a bab +<< 又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.名师点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．32．B【答案详解】要点分析：确定函数y lnx =过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．答案详解：函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点．故选项B 正确名师点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．33．D【答案详解】要点分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.答案详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 名师点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．34．AC【要点分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【答案详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则 ()222111log log log H X n n n n n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m j P Y j p p +-==+（ 1,2,,j m = ）.()2222111log log m mi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ . ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以 2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【名师点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查要点分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.35．14【要点分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值. 【答案详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=，即2log 2x =-，解得：14x =. 故答案为：1436．(0,)+∞【要点分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【答案详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴> 故答案为：(0,)+∞【名师点睛】本题考查函数定义域，考查基本要点分析求解能力，属基础题.37．4-【要点分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【答案详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【名师点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本要点分析求解能力，属基础题. 38．-7【答案详解】要点分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.答案详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 名师点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.39． 12-； ln 2．【要点分析】根据奇函数的定义即可求出．【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称 0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x +≠- 1x ∴≠且11x a ≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称， 111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x -+--=++=+=+--- 1()1ax a f x ln b x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x--++∴+-=++=-+ 2222(1)201a x a lnb x -+∴+=- 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-= [方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x ++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．。

高考数学试题汇编第三节幂函数、指数函数与对数函

第三节幂函数、指数函数与对数函数指数函数考向聚焦指数函数是高考的重点内容,考查内容涉及以下几个方面:一是指数幂的运算以及幂值的大小比较;二是指数函数以及与指数函数有关的函数图象的应用;三是指数函数的性质及其应用.指数函数在高考中主要以选择题的形式出现,为基础题目,所占分值为5分左右,在高考试卷中常有考查.1.(2010年安徽卷,文7)设a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系是( )(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a解析:观察a、c可比较幂函数y=在(0,+∞)为增函数,∵>,∴a>c,再比较b、c.利用指数函数y=()x在R上为减函数.而>,∴c>b,∴a>c>b.选A.答案:A.对数函数考向聚焦对数函数是高考的热点内容,考查内容涉及以下几个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较;二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用.对数函数在高考中主要以选择题的形式出现,为基础题目和中档题,所占分值为5分左右,在高考试卷中常有考查.备考指津对数运算是一个难点和易错点,应强化训练,要重视对数函数图象和性质的练习,熟练掌握借助函数图象解决问题的方法.2.(2012年安徽卷,文3,5分)(log29)·(log34)=( )(A)(B)(C)2 (D)4解析:根据对数的换底公式(log29)·(log34)=·=·=4. 答案:D.3.(2012年全国大纲卷,文11,5分)已知x=ln π,y=log52,z=,则( )(A)x<y<z (B)z<x<y(C)z<y<x (D)y<z<x解析:由题意可得x>1,y<1,z<1,又因为y=log5 2<log5=,z==>,∴x>z>y,故选D.答案:D.4.(2012年重庆卷,文7,5分)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )(A)a=b<c (B)a=b>c(C)a<b<c (D)a>b>c解析:a=log23+log2=log23=log2>log22=1.b=log29-log2=log2=log2>log22=1,c=log32<log33=1.故选B.答案:B.5.(2011年安徽卷,文5)若点(a,b)在y=lg x图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )(A)(,b) (B)(10a,1-b)(C)(,b+1) (D)(a2,2b)解析:由点(a,b)在y=lg x图象上知b=lg a,由于lg=-lg a=-b;lg(10a)=lg 10+lg a=1+lg a=1+b;lg=1-lg a=1-b;lg(a2)=2lg a=2b,因此点(,b),(10a,1-b),(,b+1)不在函数图象上,点(a2,2b)在函数图象上.故选D.答案:D.6.(2011年天津卷,文5)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )(A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c (D)c>a>b解析:∵a=log23.6=log43.62,b=log43.2,c=log43.6,又∵f(x)=log4x为增函数,且3.62>3.6>3.2,∴log43.62>log43.6>log43.2,即a>c>b,故选B.答案:B.7.(2011年重庆卷,文6)设a=lo,b=lo,c=log3,则a,b,c的大小关系是( )(A)a<b<c (B)c<b<a(C)b<a<c (D)b<c<a解析:c=log 3=lo.又<<且函数f(x)=lo x在其定义域上为减函数,所以lo>lo>lo,即a>b>c.故选B.答案:B.本题主要考查了对数的换底公式以及对数函数单调性的应用等知识,同时对等价转化的数学思想方法也进行了考查.8.(2010年浙江卷,文2)已知函数f(x)=log2(x+1),若f(α)=1,则α=( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:∵log2(α+1)=1,∴α+1=2,∴α=1.故选B.答案:B.9.(2010年辽宁卷,文10)设2a=5b=m,且+=2,则m=( )(A)(B)10 (C)20 (D)100解析:由2a=m,得a=log2m;同理b=log5m,又+=2,∴+===2.故m=,故选A.答案:A.10.(2012年北京卷,文12,5分)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= . 解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2.答案:2幂函数考向聚焦幂函数在高考中考查要求相对较低,主要考查幂函数的定义、常见的简单幂函数的图象与单调性,在高考试卷中幂函数偶有考查.一般以选择题和填空题的形式出现,难度较小,为基础题目,所占分值为4分左右.11.(2012年天津卷,文4,5分)已知a=212,b=()-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )(A)c<b<a (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:∵b=()-0.8=20.8=<21.2=a,即1<b<a,又∵c=2log52=log54<1,∴c<b<a.故选A.答案:A.。

2023年高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数

考点6指数函数、对数函数、幂函数10.(2023·新高考Ⅰ卷·T10)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级L p =20×lg 0,其中常数不妨设p 0(p 0>0)是听觉下线阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1,p 2,p 3,则()A .p 1≥p 2B .p 2>10p 3C .p 3=100p 0D .p 1≤100p 2【命题意图】本题考查对数的运算法则、对数与指数的转化、对数函数的性质、对数模型的应用,考查学生的逻辑推理能力、运算能力、数据分析能力、建模素养.【解析】选ACD .燃油汽车 1=20×lg 1 0∈[60,90],所以1 0=10 120, 1∈[60,90],①同理2 0=10 220, 2∈[50,60],②3 0=10320=102=100.③对于A ,由题表知 1≥ 2,所以A 正确;对于B ,②÷③得, 2 3=10 2- 320∈[1012,101],所以 2 3≤10,所以B 错误;对于C , 3 0=10 320=102=100,所以C 正确;对于D ,①÷②得, 1 2=10 1- 220∈[100,102],所以 1 2∈[1,100],p 1≤100p 2,所以D 正确.3.(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则()A .c>a>bB .c>b>aC .a>b>cD .b>a>c【解析】选D .y=1.01x ,在R 上单调递增,0.6>0.5,故1.010.6>1.010.5,所以b>a ;y=x 0.5,在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故1.010.5>0.60.5,即a>c ,所以b>a>c.。

高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案详解

指数函数、对数函数、幂函数专题1．函数 f( x) 3x(0 x ≤ 2) 值域为（）A ． (0，) B． (19]，C． (0，1) D ． [9，)2．给出下列三个等式： f (xy) f ( x)f ( y)， f( xy)f ( x) f ( y) ， f( x y) f ( x) f ( y) ．下列1 f ( x) f ( y)函数中不满足其中任何一个等式的是（）A ． f( x) 3x B ． f (x) sin x C． f ( x) log 2 x D ． f (x) tan x 3．以下四个数中的最大者是（）A ．（ ln2）2B． ln（ ln2）C． ln 2 D． ln24．若 A= { x Z | 2 22 x 8} ， B={ xR || log 2 x|1} ，则A (C R B) 的元素个数为（）A ．0 个B． 1个C． 2个D． 3 个5．设 f( x) lg( 2x a) 是奇函数，则使f(x) 0 的 x 的取值范围是（）1A ． ( 1,0)B ． (0,1)C．( ,0)D ．(,0)(1, )6．对于函数① f ( x) lg(x 21) ，② f( x) ( x 2)2，③ f(x) cos( x 2) ，判断如下三个命题的真假：命题甲： f ( x 2) 是偶函数；命题乙： f ( x) 在 ( ，) 上是减函数，在(2，) 上是增函数；命题丙： f ( x 2) f (x)在 ( ，) 上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A ．①③B ．①②C．③ D ．②7．函数y= 2x 1是（）2x 1（A）奇函数（ B）偶函数（ C）既奇又偶函数（ D）非奇非偶函数8．设 a,b, c 均为正数，且2a log 1a, 1 b log 1b, 1 c log 2 c,则（）2 2 2 2A. a b cB. c ba C. c a bD. b ac11 的定义域为 M ，g( x) ln(1 x) 的定义域为 N ，则 M N （）9．已知函数 f(x) 1 xA ． x x 1B ． x x 1C ． x 1 x 1D ．10．设 a { － 1，1，1， 3} ，则使函数 y= x a的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为（）2A ．1， 3B ．－ 1， 1C ．－ 1， 3D ．－ 1， 1，3 11．设函数 f (x) 定义在实数集上，它的图象关于直线 x =1 对称，且当 x 1 时， f ( x) =3x1，则有（） A ． f (1)f ( 3) f ( 2)B ． f( 2)f ( 3 ) f (1)32 332 3C ． f ( 2)f (1) f( 3) D ． f( 3)f ( 2 ) f ( 1)33 2 2 3 312．函数 f 4x 4, x 1log 2 x 的图象的交点个数是（ x4 x 3,x 的图象和函数 g x）x 21A ．4B ． 3C ．2D ． 113．函数 f ( x) = 1 log 2 x 与 g( x) = 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是（）14 1，函数 f ( x) = loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值与最小值之差为 1，则 a =（）．设 a2 A ．2 B ． 2C ． 2 2D ． 415．若 a 1，且 a x log a x a ylog a y ，则 x 与 y 之间的大小关系是（）A．x y 0B ． x y 0C ． y x 0D ．无法确定16．函数 y e |ln x| |x1 |的图象大致是（）17y f(x)的图象与函数y log3 x ( x 0) 的图象关于直线yx 对称，则f ( x)____________。

指数函数、对数函数及幂函数-决胜一轮高考数学(文)专题卷+Word版含解析

跟踪知识梳理考纲解读： 1．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (3)知道指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数(1)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (2)知道对数函数是一类重要的函数模型．(3)了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 3．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．考点梳理：一、指数函数的概念、图象与性质二、对数函数的概念、图象与性质三、幂函数的概念、图象与性质四、反函数1．概念当一个函数的自变量和因变量成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．2．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，由于在反函数中是交换了x，y的位置，故互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，即原函数的值域是其反函数的定义域，原函数的定义域是其反函数的值域．核心能力必练一、选择题1．(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是 ( )A.y=sin xB.y=x3C.y=12x⎛⎫⎪⎝⎭ D.y=log2x【答案】B【解析】y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数. 而y=sin x不是单调递增函数,不符合题意;y=12x⎛⎫⎪⎝⎭是非奇非偶函数,不符合题意;y =log 2x 的定义域是(0,+∞),不符合题意;y =x 3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数符合题意.故选B.2．(2018福建厦门一模,5)已知a =0.312⎛⎫ ⎪⎝⎭,b =12log 0.3,c =a b,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a 121log 2=1>a =0.312⎛⎫ ⎪⎝⎭,c =a b<a .∴c <a 1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M =(a -1)0.2与N =0.11a ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是 ( )A.M =NB.M ≤NC.M <ND.M >N 【答案】D4．函数2x y a+=()0,1a a >≠且的图象经过的定点坐标是（）A. ()0,1B. ()2,1C. ()2,1-D. ()2,0- 【答案】C【解析】令20x +=，则2x =-，则函数2x y a +=的图象过定点()2,1-，故选C.5．已知幂函数()f x x α=的图象经过点A(12，则实数α的值为（） A.12-B.12C.2-D.2 【答案】A【解析】由已知得12α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12α=-.故选A.6．已知函数()()1221,1,log 3,1,x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩若1)(=a f ，则=-)1(a f （）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】当1≥a 时，1121=--a ，即2=a ，则24log )1(2-=-=-a f ；当1<a 时，1)3(log 2=--a ，，不合题意，故=-)1(a f 2-，故选B ． 7．若log 20a <（0a >，且1a ≠），则函数()()log 1a fx x =+的图象大致是（）【答案】B【解析】由log 20a <可得10<<a ，故()()log 1a f x x =+是),1(+∞-上的单调递减函数．故选B ． 8．若()10x f x =，则()3f =（）A ．3log 10B ．lg 3C ．310 D ．103 【答案】B9．函数()()()()22332,log 12,x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a =，则a 的值是（） A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．1或2- 【答案】A【解析】当2<a 时，132=-a ，解得2=a ，不符合；当2≥a 时，1)1(log 23=-a ，故42=a ，即2=a ．故2=a ，故选A ．10．设352log 2,log 2,log 3a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】因为352211log 2,log 2log 3log 5a b ====，222log 3log 21,log 51c =>=>，所以01a <<，01b <<，又22log 5log 31>>，所以2211log 5log 3<，即01b a <<<，所以c a b >>，故选D ． 11．函数()()1log 2830,1a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 的横坐标为0x ，函数024x x y a -=+的图象恒过定点B ，则B 点的坐标为（）A ．()27,3--B ．()27,5-C ．()3,5-D ．()2,5- 【答案】B12．已知函数xy a =，by x =，log c y x =的图象如图所示，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】C【解析】由题中图象可知1,01,1a b c ><<>，所以b 最小；对于xy a =，1x =时，y a =，由题中图象可知12a <<；对于log c y x =，1y =时，c x =，由图象可知23c <<，故c a b >>，故选C. 13．已知实数x ，y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++ B ．sin sin x y > C ．22ln(1)ln(1)x y +>+ D ．33x y > 【答案】D【解析】∵实数x ，y 满足x ya a <（01a <<），∴x y >.对于A ，221111x y >++等价于221x y +<1+，即22x y <，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y <不成立；对于B ，当x =π，满足x y >，但sin sin x y >不成立；对于C ，22ln(1)ln(1)x y +>+等价于22x y >成立，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立；对于D ，当x y >时，33x y >恒成立，故选D.14．设()()1232e ,2,log 1,2,x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】2113(2)log (21)1,((2))(1)2e 2f f f f -=-=∴===，故选C.15．已知函数()()12,1,1log ,1,3x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩当12x x ≠时，，则a的取值范围是（） A【答案】A16 ）A ．a c b d <<>，且1ab =，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（）【答案】B【解析】由0,0a b >>，且1ab =可得1,01a b ><<或1,01b a ><<，当1,01a b ><<时，两函数都为增函数；当1,01b a ><<时，两函数都为减函数，所以B 正确. 19．已知A ba==53，且211=+ba ，则A 的值是（） A.15 B.15 C.15± D.22 【答案】B 【解析】35a b ==15A ∴=，故选B.20．幂函数()()215m f x m m x +=--在()0,+∞上单调递减，则m 等于（）A.3B.2-C.2-或3D.3- 【答案】B 【解析】()f x 为幂函数，251m m ∴--=，3m ∴=或2m =-，当3m =时，()4f x x =，在()0,+∞上单调递增；当2m =-时，()1f x x -=，在()0,+∞上单调递减，故选B.21．函数()()21616log x x f x x -=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A22．已知函数)(x f y =与函数e xy =互为反函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =关于x 轴对称，1)(-=a g ，则实数a 的值（）A.e -B.1e -C.1eD.e 【答案】D【解析】由反函数可知()ln f x x =，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =关于x 轴对称，则()ln g x x =-，()ln 1,e g a a a ∴=-=-∴=.23．函数()f x 的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有()()3f x f x +=-，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =（）A ．14-B ．14 C ．4- D ．4【答案】A【解析】因为函数()f x 对任意x ∈R 都有()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为6的函数，而()()()2017336611f f f =⨯+=，由()()3f x f x +=-可得()()()2321f f f -+=--=，因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，所以()()2112224f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以()2017f =()1f =()2f --=14-，故选A.24．若直线0ax y -=（0a ≠）与函数22cos 1()2ln2x f x x x+=+-图象交于不同的两点A ，B ，且点(6,0)C ，若点(,)D m n 满足DA DB CD +=，则m n +=（）A ．1B ．2C ．3D ．a 【答案】B25．函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（）A ．1142 ln 2ln 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭， B ．114( 2 ]ln 2ln33--，C ．141(1]ln332ln 2--， D ．141,1ln 332ln 2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【解析】()()01f x x >>只有一个整数解等价于4ln x kx x+>只有一个大于1的整数解，设 ()ln x g x x =，则()()2ln 1ln x g x x -'=，可得()g x 在()1,e 递减，在()e,+∞递增，由图可知，4ln x kx x +> 只有一个大于1的整数解只能是2B.二、填空题26．(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f (x )=212x x a +⋅(a ∈R )的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,则a = .【答案】127．函数212()log (45)f x x x =--的单调递减区间为 .【答案】()+∞,5【解析】由2450x x -->得1x <-或5x >，函数可由()212log ,45f t t t x x ==--复合而成，其中()12log f t t =为减函数，245t x x =--的增区间为()+∞,5，所以函数212()log (45)f x x x =--的单调递减区间为()+∞,5.28．已知函数()22x x f x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】()2,6-【解析】因为()22x x f x -=-为奇函数且为R 上增函数，所以()()()2230f x ax a f f x ax a -++>⇒-+> ()()()22333f f x ax a f x ax a -⇒-+>-⇒-+>-对任意实数x 恒成立，即24(3)0a a ∆=-+<26a ⇒-<<.29．已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图象都过1,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如果()1f x ()()234g x h x ===，那么123x x x ++= . 【答案】3230．如图，过原点O 的直线与函数2x y =的图象交于A B 、两点，过B 作y 轴的垂线交函数4xy =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标为 .【答案】()1,2【解析】设(,2),(,2)n m A n B m ，则(,2)2m m C ，因为AC 平行于y 轴，所以2m n =，所以(,2),(,2)2n m m A B m ，又因为,,A B O 三点共线，所以OA OB k k =，所以222n m m m =，即1n m =-，又2m n =，所以1n =，所以点A 的坐标为(1,2).。

2023全国高考真题数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数章节综合

7．1
【分析】根据给定条件，把 x = 1 代入，利用指数、对数运算计算作答. 2
【详解】函数
f
(x)
=
4x
+ log2
x ，所以
f
(1) 2
=
Байду номын сангаас
1
42
+
log 2
1 2
=
2
−1
= 1.
故答案为：1
8． (−,0) (0,1) (1,+ )
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 a 的取值范围．
a −1 若方程有一根为 x=− 1，则1+ a +1 0 ，即 a −2 且 a 1；
若方程有一根为
x
=
1 ，则 a −1
1
2
a −1
−
a
1 a −1
+1
0
，解得：
a
2且
a
1；
若 x = 1 = −1时， a = 0 ，此时1+ a +1 0 成立． a −1
（2）当 x2 − ax +1 0 时， f ( x) = 0 (a +1) x2 −(a + 2) x +1 = 0 ，
2023 全国高考真题数学汇编指数函数、对数函数与幂函数章节综合
一、单选题
1．（2023 全国高考真题）设函数 f ( x) = 2x(x−a) 在区间 (0,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是（）
A． (−, −2
B． −2, 0)
C． (0, 2
D．2, +)
2．（2023 天津高考真题）若 a = 1.010.5, b = 1.010.6, c = 0.60.5 ，则 a,b, c 的大小关系为（）

专题二 2010~2019高考真题分类理科：第四讲指数函数对数函数幂函数(含答案)

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲指数函数、对数函数、幂函数2019年1.（2019浙江16）已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 2.（2019全国Ⅰ理3）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞2．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235xyz==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 5．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（2017北京）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 7．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310 8．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c < 9．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<10．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．1211．（2015北京）如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤12．（2015天津）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 14．（2015山东）设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞15．（2014山东）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<<16．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<17．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是18．（2014天津）函数212()log(4)f x x=-的单调递增区间是A．(0,)+¥B．(,0)-?C．(2,)+¥D．(),2-?19．（2013新课标）设357log6,log10,log14a b c===，则A．c b a>>B．b c a>>C．a c b>>D．a b c>>20．（2013陕西）设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A．·loglog loga c cb ab=B．·log lolog gaa ab a b=C．()log ogg lloa a ab cbc=D．()logg ogo lla a ab b cc+=+21．（2013浙江）已知yx,为正实数，则A．yxyx lglglglg222+=+B．lg()lg lg222x y x y+=C．yxyx lglglglg222+=∙D．lg()lg lg222xy x y=22．（2013天津）已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a满足212(log)(log)2(1)f a f fa≤+，则a的取值范围是A．[1,2]B．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．(0,2]23．（2012安徽）23(log9)(log4)⋅=A．14B．12C． 2 D．424．（2012新课标）当12x<≤时，4logxax<，则a的取值范围是A．(0,2B．(2C．D．2)25．（2012天津）已知122a=，0.212b-⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log2c=，则,,a b c的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 26．（2011北京）如果,0log log 2121<<y x 那么A ．1y x <⎩≤，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）29．（2010山东）函数22xy x =-的图像大致是30．（2010天津）设5log 4a =，5(log 3)b =2，4log 5c =，则A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a 0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数34．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc 的取值范围是A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)35．（2010天津）若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-二、填空题36．(2018江苏)函数()f x =的定义域为．37．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____．38．(2018上海)已知常数0a >，函数2()(2)x x f x ax =+的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若236p qpq +=，则a =__________．39．(2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a = ，b = ． 40．（2015江苏）不等式224x x-<的解集为_______．41．（2015浙江）若4log 3a =，则22aa-+=_______．42．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__．43．（2014天津）函数2()lg f x x =的单调递减区间是________． 44．（2014重庆）函数2()log )f x x =的最小值为_________．45．（2013四川）的值是____________．46．（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ． 47．（2012山东）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿．48．（2011天津）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________．49．（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________．专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分 2019年1.解析：存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为22|2(364)2|3a t t ++-≤，可得2222(364)233a t t -++-剟，即224(364)33a t t ++剟，由223643(1)11t t t ++=++…，可得403a 剟，可得a 的最大值为43． 2.解析：依题意22log 0.2log 10a ==＜， 0.20221b ==＞，因为0.3000.20.21=＜＜，所以0.30.201c =∈（，），所以a c b ＜＜.故选B ．3.解析由题意，可知5log 21a =<，115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=． 0.20.51c =<，所以b 最大，a ，c 都小于1．因为5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭225log 42>=>12⎛< ⎝c <，所以a c b <<．故选A ．2010-2018年1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．B 【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<．又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．3．D 【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，12221log log 3log 13c e ==>>．所以c a b >>，故选D ．4．D 【解析】设235xyzk ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ． 5．C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．6．A 【解析】11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．7．D 【解析】设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．8．C 【解析】选项A ，考虑幂函数cy x =，因为0c >，所以cy x =为增函数，又1a b >>，所以cca b >，A 错．对于选项B ，ccab ba <()cb b aa ⇔<，又()xb y a=是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．9．A 【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13y x =在R 上单调递增，指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ． 10．C 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=，22log 121log 62(log 12)226f -===，所以2(2)(log 12)f f -+=9．11．C 【解析】如图，函数2log (1)y x =+的图象可知，2()log (1)f x x +≥的解集是{|11}x x -<≤．(x +1)12．C 【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭，()2log 5b f =2log 5214=-=， ()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选C ．13．B 【解析】由指数函数的性质知，若333ab>>，则1a b >>，由对数函数的性质，得log 3log 3a b <；反之，取12a =，13b =，显然有log 3log 3a b <，此时01b a <<<，于是333ab>>，所以“333ab>>”是log 3log 3a b <的充分不必要条件，选B ． 14．C 【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥． 15．D 【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c <<． 16．B 【解析】∵32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以b a c <<．17．D 【解析】当1a >时，函数()(0)af x x x =>单调递增，函数()log a g x x =单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当01a <<时，函数()(0)af x x x =>单调递增，函数()log a g x x =单调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D ．18．D 【解析】240x ->，解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-．19．D 【解析】33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+，由下图可知D 正确．解法二 3321log 61log 21log 3a ==+=+，5521log 101log 21log 5b ==+=+， 7721log 141log 21log 7c ==+=+，由222log 3log 5log 7<<，可得答案D 正确． 20．B 【解析】a ,b ,c ≠1. 考察对数2个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 对选项A ：bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B ：abb b a bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C ：c b bc a a a log log log ⋅=）（，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D ：c b c b a a alog log )log +=+（，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B ．21．D 【解析】取特殊值即可，如取lg lg lg lg 10,1,22,223,x yx y x y +===+=()lg lg11lg lg 22,21x y x y +⋅==．22．C 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且122log log a a =-，所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤，所以21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤，即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C ．23．D 【解析】23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=． 24．B 【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得12a <<，故选B. 25．A 【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以a b <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A ．26．D 【解析】根据对数函数的性质得1x y >>．27．D 【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2(,2)a b 在函数lg y x =图象上．28．D 【解析】当1x ≤时122x-≤，解得0x ≥，所以01x ≤≤；当1x >时，21log 2x -≤，解得12x ≥，所以1x >，综上可知0x ≥．29．A 【解析】因为当x =2或4时，220xx -=，所以排除B 、C ；当x =–2时，2124<04x x -=-，故排除D ，所以选A ． 30．D 【解析】因为50log 41<<，所以b <a <c ． 31．B 【解析】α+1=2，故α=1，选B ． 32．A 【解析】211log 2log 5log 102,10,m m m m a b+=+==∴=又0,m m >∴ 33．C 【解析】)()()(y x f a a a y f x f yx yx+===+．34．C 【解析】画出函数的图象，如图所示，不妨设a b c <<，因为()()()f a f b f c ==，所以1ab =，c 的取值范围是(10,12)，所以abc 的取值范围是(10,12)．35．C 【解析】由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

2010-2019高考数学真题分类汇编第4讲指数函数对数函数幂函数

专题二函数概念与基本初等函数I第四讲指数函数、对数函数、幂函数2019 年31. （2019浙江16）已知a R，函数f （x）二ax - x，若存在t • R，使得| f （t +2）— f （t） |兰2，则实数a的最大值是____.30 2 0 32. （2019 全国I 理3）已知a = log20.2, b =2 ., c =0.2 .,贝UA. a : b c B . a c b C . c a : b D . b c ：：a0 23. （2019 天津理6）已知a=log52 , b=log0.5 0.2 , c=0.5.，则a,b,c的大小关系为A. a :: c :: bB.a :: b c c.b ：：c ：：a D.c ：：a b2010-2018 年一、选择题g x x w 01. （2018全国卷I ）已知函数f （x）二' 'g（x^ f （x） x a .若g（x）存在2个Jn x, x > 0,零点，贝U a的取值范围是A. [-1,0）B. [0, ：：）C. [-1, ：：）D. [1,2. （2018 全国卷川）设a= log0.2 0.3 , b=log20.3，贝UA. a b ：： ab ：： 0B. ab ：： a b ：： 0C. a b ：： 0 ：： abD. ab ：： 0 ：： a b13. （2018 天津）已知a = log2e , b = ln 2 , c = log 1—，贝U a, b, c 的大小关系为23A. a b cB. b a cC. c b aD. cab4. （2017新课标I）设x,y,z为正数，且2x=3y=5z，贝UA . 2x ： 3y ：：5z 5B . 5z ：：2x ：： 3yC . 3y ：：5z ：： 2xD . 3y ：：2x ：： 5z5( 2017天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)二xf(x).若a =g(-log2 5.1),0 8b =g(2 .) ,c =g(3)，贝U a, b, c的大小关系为A.a :::b :::c B . c ::: b ::: a C . b ：：： a ::: c D . b ：：：c ::: a6. （2017北京）已知函数x 1 x〕f(x)=3x-(?x,则f(x)A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D .是偶函数，且在R上是减函数7. （2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中D . 12f x的图像为折线ACB，则不等式f x > log 2 x 1的解集A . 、x| -1 ：：x w 0：（参考数据：ig 3 48)NA . 1033B . 1053C . 1073D .1093& (2016 全国1)若a b 1 ,0：： c ：1，则c I cA . a :: bB . ab c::ba cC . a log b c :: blog a cD .log, ac ：：log b C4 2 19 . (2016 全国III) 已知a =23,b = 45, c = 253，则A . b a cB . a ；b c b c ：： D . c ：：普通物质的原子总数N约为1080•则下列各数中与—最接近的是10. （2015新课标n）设函数芽｛2x)，x<1，则f (x)二11. （2015北京）如图，函数12. (2015天津)已知定义在 R 上的函数f(x)=2x e -1 ( m 为实数)为偶函数，记a = log 0.5 3, b=f(log 25), c=f(2m )则 a,b, c 的大小关系为A . a :: b ：. cB . a :: c ::: bC . c :: a :: bD . c b a13.( 2015四川)设a,b 都是不等于1的正数，则“ 3a ■ 3b 3 ”是“ log a 3 ::： log b 3 ”的'3x —1,xv1 …、卄口f(a)14. (2015山东)设函数f(x)二X，则满足f(f(a)) =2f(a)的a 的取值范围是2 ,x > 1A •充要条件C •必要不充分条件B .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件A .吟1]B . [0,1]D . [1,：：)15. (2014山东)已知函数log a (x c) ( a,c 为常数，其中a • 0,a = 1 )的图象如图,则下列结论成立的是A . a 0, c 1C. 0 ：： a ：：1,c 1D. 0 ■ a < 1,0 ::: c ：： 116 . (2014 安徽)设a =log3 7 , 1.1 3.1 「rb = 2 ,c = 0.8 ，则B . c a :: bC . c b ：：aD . a c b17 . (2014浙江)在同意直角坐标系中，函数f (x) = x a(x 一0), g(x) = log a x的图像可能是（2013陕西）设a, b, c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是D2©(刈)=2© x^lg y（2013天津）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间［0,；）单调递增.若实数a 满足f (log 2 a) f (log 1 a) _ 2 f (1),则a 的取值范围是218.19.（2014天津）函数f (x)= log"-2A . (0,+ ¥ )B . (- ? ,0)（2013新课标）设 C .(2,+D . (- ? , 2)a = Iog 36,b = Iog 510,c = Iog 714 ,则20 .21. A . log a b log c b =log c a C . log a (bc) =log a b|_log a cD . （2013浙江）已知x, y 为正实数，则log a blog a log a b log a (b c) =log a b log a cA 2©x g y _ 2©x . 2l g yB 2l g (x y) - 2l g^_^l gy22. 23. 24. A . [1,2](2012安徽)（2012新课标）B . 0,丄I 2 JC . 1,2D . (0,2](log 2 9) (log 3 4) = 1B .—20 x ＜丄时，4x2 C .::log ax yA -(诗C . (1,&)D . C- 2,2)25. （2012天津）已知 12 1心，T 丿0.2,c = 2log 5 2，则a,b,c 的大小关系为4）的单调递增区间是2(2010 天津)设 a =log 54 , b = (log 53) , c =log 45，则B . b < c < aC . a 0 , y>0，函数f(x)满足f (x + y )=f (x ) f (y )” 的是A .幕函数B .对数函数C .指数函数D .余弦函数26. 27. 28. 29 .A . c :: b ::: a (2011北京)如果A. y ■. x ::: 1(2011安徽) A . G b )(2011辽宁) A .[-1 , 2]若点 B . c ：：C . log 1 x ::: log 1 y ::: 0,那么22B . x ：：：y ::: 1(a,b)在 y =lg xB . (10a,1 -b)设函数f (x)B . [0,图像上,b . a .c D . b . c . a:::x ：D . 1 ：：a = 1,则下列点也在此图像上的是10C . (—,b 1)aD . (a 2, 2b)kx 「，则满足1 -log 2x,x 1f (x) < 2的x 的取值范围是 2]C . [1 , + ：：)D . [0 , +：：)30 .A . a <c f(—a),则实数a 的取值范围是 I ?A . (-1,0)U(0,1)B . (i 「1)U(1,C . (-1,0)U(1,D .(」：,-1)U(0,1)填空题 (2018江苏)函数f (x) = log 2 x -1的定义域为 ________ .11理(2018上海)已知"三｛-2,-1,-〒Q ,1,2,3｝，若幕函数f(x)=x 「为奇函数，且在(0,=)上递减，则G = _____.2x 61 (2018上海)已知常数a ・0,函数f(x) x的图像经过点 P(p,—)、Q(q,-一),(2 +ax) 55若 2pHq =36pq ，贝y a= __________ .5 b a(2016 年浙江)已知 a 〉b>1，若 log a b + log b a =㊁—a=b ,则 a=_ — b =_ .(2015江苏)不等式<4的解集为 ___________________ .(2015 浙江)若 a =log 4 3，贝y 2a 十2」= ___________ .'x -4|e ,xc1,(2014新课标)设函数f (x )=< 1贝y 使得f (x )兰2成立的x 的取值范围是 —.［x 3,x 汀(2014天津)函数f(x)=lgx 2的单调递减区间是 __________________ .(2014重庆)函数f(x) = log 2依log 逅(2x)的最小值为 __________________ .(2013 四川)lg J5 + lg的值是 _______________ .2 2 (2012 北京)已知函数f (x)=lg x ，若 f (ab) =1，则 f (a ) • f (b )二 _____________________________________________x_(2012山东)若函数f(x)=a (a 0,^-1)在［T,2］上的最大值为 4,最小值为m ，且函数g(x) =(1-4口)寸言在［0,讼)上是增函数，则 a= ___________ .ab(2011天津)已知log 2 log 2 b > 1，则3 +9的最小值为 _______________ .35. 、36. 37.38.39. 40.41.42.43.44. 45. 46.47.48.A . (1, 10)B . (5, 6) C . (10, 12) D . (20, 24)49. (2011江苏)函数f(x) = log5(2x+1)的单调增区间是_____________________ .专题二函数概念与基本初等函数I第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年1•解析：存在t R，使得| f (t 2^ f (t) I--,32即有|a(t 2)3-(t 2) — at3t|z22化为12a(3t26t 4) - 2匸32 22可得剟2a(3t2• 6t • 4) -2 -3 32 24即一3a(3t26t 4)3 3由3t2 6t 4 =3(t 1)21---1 ,4 4可得0剟a —,可得a的最大值为.3 32•解析：依题意a=log2 g 2 , b —2 2 _ 1,因为0< 0.20.3V0.20 =1 ,所以c720.3(01),所以a< c<b.故选B .3•解析由题意，可知a = log 5 2 < 1 ,1 」b = log5 0.2 = log 1 log2丄5 log25 log24=2 .250 2c二0.5.：：：1，所以b最大，a , c都小于1.因为a =log5 2=—1—, c =0.50.2=f =壯，而log25 > log24 = 2 a V2log 2 5\2J V 2 V2所以- 5，即 a vc ,log 2 5 12 .丿2010-2018 年1. C 【解析】函数g(x)二f(x) x - a 存在2个零点，即关于x 的方程f(x) = -x-a 有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线 y - -x-a 有2个交点，作出直线y- - x-a与函数f (x)的图象，如图所示，1 12. B 【解析】由 log 0.2 0.3得一=log 030.2，由 b = log 2 0.3 得一= log 03 2,a b1 1 1 1 a +b 所以—+ — = log °3 0.2 + log 03 2 =log °3 0.4，所以 0 v — + — v1，得 0 v ---------- <1 .a b a b ab又 a 0 , b ：：： 0 ,所以 ab ：：： 0，所以 ab ：：： a • b ：：： 0 .故选 B .3. D 【解析】因为 a =log 2e>1 , b =1 n2 (0,1) , c = Iog 1 1 = log ? 3 Iog 2e 1 .2 3所以c a b ，故选D .4. D 【解析】设2x =3y =5^ k ，因为x,y,z 为正数，所以k 1 ,贝V x = log 2k , y = log 3 k , log s k ,由图可知，-a < 1,所以斜第益詈1，则2x 3y，排除A、B ；只需比较2x与5Z，2x 2lg k lg 5 5z lg 2 5lg k5. C 【解析】由题意g(x)为偶函数，且在(0, •：：)上单调递增,所以 a = g( - log 2 5.1) = g (log 2 5.1)0 8又 2 = log 2 4 ：： log 2 5.1 ：： log 2 8 = 3， 1 ：： 2 ' ： 2，所以 20.8 ::: log 2 5.1 ：： 3，故 b ■ a :: c ，选 C .1 16A 【解析】f (-x )=宀(3)*(3x_(3)x"f (x )，得 f (x )为奇函数，f (x) =(3x -3」)>3x l n3 3」l n3 0，所以f (x)在R 上是增函数•选 A .M 33617. D 【解析】设x 80，两边取对数得，N10361336180lgx ^lg 丽=lg3 -lg10 -361 lg3 -80 ： 93.28 ,10所以x = 1093.28，即一最接近1093，选D .Ncc& C 【解析】选项A ,考虑幕函数y 二X ,因为c 0，所以y 二X 为增函数，又a b 1,十 cccc b c b b x所以a b , A 错.对于选项B , ab ::: ba =() ，又y =(—)是减函数，所 a a a以B 错.对于选项 D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C .41219. A 【解析】因为a =23 =163, b =4童=165 ,10. C 【解析】由于 f (-2)=1 log 2 4=3 , f (log 2 12) =2log212-1 =2log26 = 6 ,所以 f (-2)f(log 212) = 9 .11. C 【解析】如图，函数 y = log 2(x+1)的图象可知，f (x) > log 2(x + 1)的解集是{x | -1 < x < 1}.烂4,则"z ，选D •1 1c = 25弓，且幕函数厂 x 在R 上单调递增，指数函数y =16x 在R 上单调递增，所以 b a c ，故选A .且过点(1，0)，由幕函数的图象性质可知C 错；当0y ：1时，函数f(x)二x a (x 0)单调递增，函数g(x)=log a x 单调递减，且过点(1, 0)，排除A ，又由幕函数的图象性质可知C 错，因此选D .18. D 【解析】x 2- 4> 0,解得x< - 2或x> 2.由复合函数的单调性知f (x)的单调递增12.1314.15.16.17. 所以「fggSf 呃11 =2log 23 _1 =3_1 =2，b = f log 25=2log 25_1=4， c = f 2m = f (0) = 2° -1 = 0，所以 c a b ，故选 C .a bB 【解析】由指数函数的性质知，若3 >3 >3，则a>b>1，由对数函数的性质,1 1 得 log a 3 < log b 3 ；反之，取 a 二一 ,b 二一，显然有 log a 3< log b 3，此时 03a >【解析】【解析】【解析】【解析】由 f("a))-2f(a)可知 f(a)_1，则 I"或a 12a _1 3a-1_1由图象可知 0 ：： a ： 1,当 x = 0 时，log a (x c) = log a c ■ 0，得 0 ： c ：：11 13 1•/ 2 a =log 3 7 1 , b =2 .2 , c =0.8 . ：： 1，所以 c ：： a ::当a 1时，函数f(x)=x a (x 0)单调递增，函数g(x)=log a x 单调递增,C 【解析】因为函数m = 0 ,即即 f x = 2x -1，log 2；=2 319. D【解析】a = log 3 6 =1 log 32, log510 =1 log5 2, c 二log? 14 = 1 log 7 2 ,由下图可知D正确.c = log 714 = 1 log 7 2 = 1，由 log 2 3 ：： log 2 5 ：： log 2 7，可得答案 D 正确.log 2 720. B 【解析】a , b , c 丰1.考察对数2个公式：log c b log a xy = log a x log a y,log a b 二log c a对选项A : log a b log c b = log c a= log a b =logc a,显然与第二个公式不符，所以log c b为假.对选项B : log a b log c a = log c b= log a b 二log c b，显然与第二个公式一致， log c a所以为真.对选项C ： log a (be ) = log a b log a c ,显然与第一个公式不符，所以为假.对选项D ： log a (b c^log a b log a c ，同样与第一个公式不符，所以为假.所以选B .21. D 【解析】取特殊值即可，如取x=10, y =1,2lgx lgy =2,2lgx 2lgy =3,22. C 【解析】因为函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，且Iog 1a--log 2a ,2所以 f (log 2 a) f (log 1 a) = f (log 2 a) f (-log 2a) =2f (log 2a) _ 2f (1),2即f(log 2a)乞f(1)，因为函数在区间［0,：：)单调递增，所以f(log 2a) 十),1 , 1即log z a <1，所以-1乞log z a 药，解得-<^12，即a 的取值范围是亍2 ，选C .解法a be oXa = log 3 6=1 log 3 2 二 1log 2 3b = log 510 = 1 log 5 21 log2 52©$为)=2© 22c = 2log 5 2 = log 5 2 = log 5 4 ::: 1，所以 c ：：： b ：： a ，选 A .D 【解析】根据对数函数的性质得x y 1.2 2 2D 【解析】当x =a 时，y = lg a =2lg a = 2b ，所以点(a ,2b)在函数y =lg x 图象上.D 【解析】当x < 1时21」< 2，解得x > 0，所以0 < x < 1 ;当x 1时， 11 - log2 x < 2，解得x > ，所以x 1，综上可知x > 0 .A 【解析】因为当x =2或4时，2x -x 2=0，所以排除B 、C ；当x = E 时， 2x - x 2 = 1 - 4<0，故排除D ，所以选A . 4D 【解析】因为0 ：：： log 5 4 ：：： 1，所以b <a <c . B 【解析】:-+1=2，故〉=1,选B .1 12 1， ■A 【解析】log m 2 log m 5 =log m 10 =2,. m =10,又.m 0, m=10.a bC 【解析】f (x) f (yH a x a y 二a x y = f(x y). C 【解析】画出函数的图象，23.24.25.26. 27.28. 29.30.31. 32. 33.34. 【解析】log 2 9 log 34二他聖邨兆 2ig 2 lg3 igT =4. 【解析】由指数函数与对数函数的图像知0 ：：： a ：： 1 —1 1 ,解得一v a c 1，故选B.loga_>42 2• 2【解析】因为厂八产< 212，所以 1 ：：： b ： a如图所示，不妨设a ：：： b ”： c，因为f (a) = f (b) = f (c)，所以ab = 1 , c的取值范围是(10,12)，所以abc的取值范围是(10,12).C 【解析】由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：指数函数、对数函数、幂函数

指数函数、对数函数、幂函数2019年1.（2019全国Ⅰ理3）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<解析：依题意22log 0.2log 10a ==＜， 0.20221b ==＞，因为0.3000.20.21=＜＜，所以0.30.201c =∈（，），所以a c b ＜＜.故选B ．2.（2019天津理6）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 解析由题意，可知5log 21a =<，115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=． 0.20.51c =<，所以b 最大，a ，c 都小于1．因为5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭225log 42>=12⎛< ⎝c <，所以a c b <<．故选A ．3.（2019浙江16）已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.解析：存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为22|2(364)2|3a t t ++-≤，可得2222(364)233a t t -++-，即224(364)33a t t ++，由223643(1)11t t t ++=++，可得403a ，可得a 的最大值为43．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞解析：函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．3．(2018天津)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>解析：因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，12221log log 3log 13c e ==>>．所以c a b >>，故选D ．4．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则A ．235x y z <，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ． 5．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<解析：由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-= 又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．6．（2017北京）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．7．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310解析：设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．二、填空题1．(2018江苏)函数()f x =的定义域为．解析：[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数()f x 的定义域是[2,)+∞．2．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____．解析：由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-．3．(2018上海)已知常数0a >，函数2()(2)x x f x ax =+的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若236p qpq +=，则a =__________．解析：由题意2625=+p pap ，2125=-+q q aq ，上面两式相加，得22122+=++p q pq ap aq，所以22+=p q a pq ，所以236=a ，因为0>a ，所以6=a ．。

高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数精彩试题及其问题详解

指数函数、对数函数、幂函数专题1．函数()3(02)xf x x =<≤值域为（）A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =3．以下四个数中的最大者是（）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln24．若A=}822|{2<≤∈-xZ x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A ．①③B ．①②C ．③D ．②7．函数y=1212+-x x 是（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既奇又偶函数（D ）非奇非偶函数8．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<9．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （） A ．{}1>x x B ．{}1<x x C ．{}11<<-x x D ．∅ 10．设a ∈{－1，1，21，3}，则使函数y=x a的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，311．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x，则有（）A ．)31(f <)23(f <)32(fB ．)32(f <)23(f <)31(f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)31(f12．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =12+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（）14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 15．若1>a ，且y a x aa y a xlog log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（）A ．0>>y xB ．0>=y xC ．0>>x yD ．无法确定 16．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（）17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y xx =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =____________。

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考点7 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x R -∈ D.()210xx -> 【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( )+1+1【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()123x f x x =-+（）A.(-3，0]B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A ．·log log log a c c b a b =B. b a b c c a log log log =⋅C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D.()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

对选项B:abb b a bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式一致，所以为真。

对选项C: c b bc a a a log log log ⋅=）（,显然与第一个公式不符，所以为假。

对选项D: c b c b a a a log log )log +=+（,同样与第一个公式不符，所以为假。

6.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )>b>a >c>a >c>b >b>c【解题指南】将a,b,c 利用对数性质进行化简,分离出1后,再进行比较大小即可.【解析】选D.由题意知:a=log 36=1+log 32=211,log 3+5521log 101log 21log 5b ==+=+7721c=log 14=1+log 2=1,log 7+因为log 23<log 25<log 27,所以a>b>c,故选D. 7. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b >> 【解析】选D.因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大。

又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，选D.8.（2013·上海高考文科·T15）函数1)(f 2-=x x （x ≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（）A.3B.－3 +2 －2【解析】选A31)(2,02=⇒-==≥x x x f x 由反函数的定义可知，9.(2013·浙江高考理科·T3)已知x,y 为正实数,则 ( )+lgy=2lgx +2lgy (x+y)=2lgx ·2lgy ·lgy=2lgx +2lgy (xy)=2lgx ·2lgy【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答.【解析】选D.选项A,2lgx+lgy =2lgx ·2lgy ,故A 错误;选项B,2lgx ·2lgy =2lgx+lgy ≠2lg(x+y),故B 错误;选项C,2lgx ·lgy =(2lgx )lgy ,故C 错误.10. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ12）若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（）A.(,)-∞+∞B.(2,)-+∞C.(0,)+∞D.(1,)-+∞ 【解题指南】将2()1x x a -<，转化为122xxx a --<=，然后分别画出(),()2x f x x a g x -=-=的图象，数形结合分析求解.【解析】选D.因为20x >，所以由2()1x x a -<得122xxx a --<=，在坐标系中，作出函数(),()2x f x x a g x -=-= 的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，所以选D.二、填空题11. （2013·四川高考文科·Ｔ11）520+的值是____________。

【解题指南】根据对数的运算性质进行求解. 【解析】5201001== 【答案】112.（2013·上海高考理科·T6）方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解析】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．【答案】3log 413.（2013·上海高考文科·T8）方程x31139x=+-的实数解为 . 【解析】x x x399133131333134x log 4.3131x x x x+=⇒=-⇒-=⇒=+⇒=⇒=-- 【答案】4log 314. （2013·湖南高考理科·Ｔ16）设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c ABC ∆是的三条边长，则下列结论正确的是 . （写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②三边长不能构成一个三角形的使得x x x c b a R x ,,,∈∃； ③若()()1,2,0.ABC x f x ∆∃∈=为钝角三角形，则使【解析】（1）由于c b a ,,不能构成三角形三边长，所以c b a ≤+，又b a =，故c a ≤2，即2≥a c ，当b a =时02)(=-=x x c a x f ，得,2)(=x ac 即2log ac x =，因为2≥ac ，所以10≤<x .（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=1)()()(xx x cb cac x f ，因为0,0>>>>b c a c ，所以10,10<<<<c b c a ，所以对任意1<x ，都有cb c b c a c a x x >>)(,)(，所以1)()(>+=+>+c b a cb c a c b c a x x ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=1)()()(x x x c b c a c x f ＞0 所以命题①正确令5,4,3===c b a ，此时,25,16,9222===c b a 因为222c b a =+，违反三角形边长定理，故不能构成一个三角形的三边长，所以命题②正确.由于ABC ∆为钝角三角形，故222c b a <+，因为0,0>>>>b c a c ，所以10,10<<<<cb ca ，所以对任意2≥x ，都有22)()(,)()(cb c b c a c a x x ≤≤所以1)()()()(22222<+=+≤+c b a c b c a c b c a x x ，所以01)()()(<⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=xx x cb cac x f ，结合命题①可知，当()()1,2,0.ABC x f x ∆∃∈=为钝角三角形，则使所以命题③正确. 综合可得命题①②③都正确. 【答案】（1）{x|0<x ≤1} （2）①②③ 15.（2013·安徽高考文科·Ｔ11）函数21ln(1)1y x x的定义域为______【解题指南】根据对数函数的概念及根式的意义求解。

【解析】由题意可得211+10011110xx x xx x 或【答案】0,1]（关闭Word 文档返回原板块。