江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(29)
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：考前冲刺 必备六 高频考点练透
必备六高频考点练透
高频考点一集合运算
1.(2019南京三模,1)已知集合U={x|1<x<6,x∈N},A={2,3},那么∁U A=.
2.(2019南通、如皋二模,1)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={0,2,4},C=A∩B,则集合C 的子集共有个.
3.(2019锡山高级中学实验学校检测,1)集合A={0,e x},B={-1,0,1},若A∪B=B,则
x=.
4.(2019南师附中、天一中学、淮阴中学、海门中学联考,1)已知全集I={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,3,6},则(∁I A)∩B=.
高频考点二复数
1.(2019苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一,2)i为虚数单位,复数(1-2i)2的虚部.
2.(2019江苏七大市三模,2)已知复数z=a+i
1+3i
(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.
3.(2019南京三模,2)若复数z满足z(1+i)=1,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点在第象限.
4.(2019扬州中学检测,3)已知虚数z满足2z-。
2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(精品)
南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．/分（第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE（第16题）（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（第17题）0（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）ABDOC（第21—A 题）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．/分（第3题）【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE （第16题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为10PB x ==，所以2269a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， （第17题）0（第18题）因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， (4)分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤， (9)分 方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V=3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x =max V=3．…… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 16分 【评分说明】①直接“由()21002xx x ⋅+=得，x=2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．ABDC（第21—A 题）EO则点P的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn k n knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(26)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（26）班级 学号 姓名1．已知M={y |y =x 2}，N={y |x 2＋y 2=2}，则M I N= ．2．已知{(,)|(3)34}{(,)|7(5)80}x y m x y m x y x m y ++=-+--==∅I ，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是 ．3．若点P （αcos ，αsin ）在直线上x y 2-=上，则=+αα2cos 22sin ．4．已知函数12()log f x =1()x x+，给出以下四个命题：①()f x 的定义域为(0,)+∞； ②()f x 的值域为[)1,-+∞ ；③()f x 是奇函数； ④()f x 在（0，1）上单调递增．其中所有真命题的序号是 ．5．将直线0x =绕原点按顺时针方向旋转30︒，所得直线与圆22(2)3x y -+=的位置关系是 ．6．设][x 表示不超过x 的最大整数，则不等式2[]3[]100x x --≤的解集是 ．7．已知函数22()1(,)f x x ax b b a b =-++-+∈∈R R ，对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+ 成立，若当[1,1]x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 ．8．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中是真命题的序号是 ． ①若βα//，α⊂l ,则β//l ；②若βα//，α⊥l ,则β⊥l ；③若α//l ，α⊂m ,则m l //；④若βα⊥，l αβ=I ,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m .9．实数,x y 满足(6)(6)0,14,x y x y x -++-⎧⎨⎩≥≤≤ 则y x 的最大值是 ． 10．已知函数①x x f ln 3)(=；②x e x f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=．其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x 3=成立的函数序号是 ．11．已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，且当0x ≤时，21193)(-+=x x x f ， （1）判断并证明)(x f y =在)0,(-∞上的单调性； （2）求)(x f y =的值域．12．已知圆O ：222x y +=交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB为长轴，离心率为2的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为（1，1），求证:直线PQ 与圆O 相切；（3）试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与A 、B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．。
江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题含解析
【答案】
【解析】
由图可知,当直线y＝kx在直线OA与x轴（不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
8.已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4)（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案。
【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1，
最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A ，A 1，解得B ，所以A﹣B ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.
【详解】（1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ,
且 ,
所以
。
(2)因为 ，且 ,所以 ，
又 ,
则 ,
所以 .
16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点．
（1）求证:VA∥平面BDE；
（2）求证:平面VAC⊥平面BDE．
综上所述,a＝﹣2．
故答案为:﹣2．
【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9。已知双曲线 （a＞0，b＞0)的两个焦点为 、 ,点P是第一象限内双曲线上的点,且 ，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理得 ，根据余弦定理得 2PF1•PF2cos∠F1PF2 3，联立方程得到 ，计算得到答案。
江苏南通2020 高考数学冲刺小练(2)
交 y 轴于 M , N ，且 ON 3OM ，则双曲线的离心率为
.
7．已知动圆 M 与圆 C1 : (x 1)2 y2 1 ，圆 C2 : (x 1)2 y2 25 均内切，则动圆圆心 M 的
轨迹方程是
.
8．设点 A1, 2 ，非零向量 a m, n ，若对于直线 3x y 4 0 上任意一点 P ， AP a 恒为
P
（2） FG ∥平面 EBO ．
E
F
A
G O
C
B
12. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在正整数 r，t，且 r＜t，使得 Sr＝t，St＝r 同时成立，则称数 列{an}为“M(r，t)数列”． （1）若首项为 3，公差为 d 的等差数列{an}是“M(r，2r)数列”，求 d 的值； （2）已知数列{an}为等比数列，公比为 q．若数列{an}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求 q 的值．
2
a2 a3，a3 a4，a4 a5 成等差数列，则 q 的值为
.
6．在平面直角坐标
xOy
中，双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左右焦点分别为 F1, F2 , A, B
分别为
左，右顶点，点 P 为双曲线上一点，且满足 PF2 F1F2 ，点 Q 为 PF2 上一点，直线 QF1, BQ 分别
.
是 i 100 否
N N 1 i
S N T
4．高三某班级共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状 况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 6 人进行
T
T
i
1 1
输出 S 结束
调查，若抽到的最大学号为 45，则抽到的最小学号为
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(30)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（30） 班级 学号 姓名1．已知,a b 为实数，集合{,1},b M a =N={},0,:a f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b += ．2．若,i j 是互相垂直的两个单位向量，则2-i j 与2+i j 的夹角为 ．3．点P (1,2,4)-关于点A (1,1,)a -的对称点是(,,2)Q b c -，则a b c ++= ．4．设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()xf f x f y y=-，若(2)1f =，则(4)f = ．5．设全集22,{|4},{|1}1U M x y x N x x ===-=-R ≥ 都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所示的集合是．6．已知G 是△ABC 的重心，过G 的一条直线交AB 、AC 两点分别于E 、 F ，且有,AE AB AF AC λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则11λμ+= ． 7．已知函数)1lg(1)(222++++=x x x x x f ，且62.1)1(≈-f ，则≈)1(f ． 8．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0,AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则△BCD 的形状是 三角形．（填“钝角”、“直角”、“锐角”之一）9．函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____ _．10．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ． 11．在△ABC 中，||2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ． （1）求22||||AB AC +u u u r u u u r 的值； （2）当△ABC 的面积最大时，求∠A 的大小．12．如图，在四棱锥P－ABCD中PD⊥底面ABCD，底面为正方形，PD=DC，E、F分别是CD、PB的中点．（1）求证：EF//平面PAD；（2）求证：EF⊥AB；（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
2020届南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷(有答案)
江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是______．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m （x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k ≠时，由②得判别式△=（k +1）2（3k ﹣1）2， 1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k ＜且k ≠时，方程②整理为[（2k ﹣1）x +k （k +1）]（x ﹣k ﹣1）=0， 解得x 1=，x 2=k +1，由于判别式△＞0，∴x 1≠x 2，其中x 2=k +1＞k ，x 1﹣k=≥0，即x 1≥k ，故原方程有两解，3）当k ＞时，由2）知，x 1﹣k=＜0，即x 1＜k ，故x 1不是原方程的解，而x 2=k +1＞k ，则原方程有唯一解，综上所述，当k ≥或k=时，原方程有唯一解， 当0≤k ＜且k ≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列； （2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k 时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）． （ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）解：（i）由（1）可得：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n2．∵存在整数k≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m （3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(20)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（20）班级 学号 姓名1．对于命题p ：x ∃∈R ，x 2+ x +1 < 0，则p ⌝为：_____ ．2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第__ __象限． 3．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1，2，…，10，击中由内至外的区域的成绩依次为10，9，…，1环．不考虑技术因素，则射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 ．4．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于__ _．5．给出下列命题中，正确命题的序号是__ ．①“()x A B ∈I ”是“()x A B ∈U ”的充分不必要条件；②若0,0a b >>，则不等式3323a b ab +≥恒成立；③对于函数2()2f x x mx n =++，若()0,()0,f a f b >>则函数在(,)a b 内至多有一个零点； ④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称．6．若△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则△ABC 的面积S ＝12 r (a +b +c ) ；若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2 ，S 3 ，S 4，则四面体的体积V ＝ ．7．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=_ _ _．8．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是 ．9．若21,0,()1,0,x x f x x ⎧+=⎨<⎩≥则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 ． 10．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，若点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当||4a >时，||||PA PM +的最小值是11．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分 成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下部分频率分布直方图：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）观察频率分布直方图的信息，估计这0.01频率组距次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2,cos ),(,cos )b c C a A =-=m n ，且//m n ．（1）求角A 的大小； （2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(49)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（49） 班级 学号 姓名1．命题“2,240x x x ∃∈-+>R ”的否定为 ．2．设,a ∈R 且复数112a i i +++是纯虚数，则a 的值为 ． 3．已知函数2()36,()f x x x g x x =-+=，若点P 在函数()f x 的图象上，点Q 在函数()g x 的图象上，且PQ x ⊥轴，则线段PQ 的最小值为 ．4．在等差数列{}n a 中，59750a a +=且95a a >，则使前n 项和最小的n 的值为 ．5．已知线段AB 是半径为2的圆C 的直径，点P 为圆C 上异于点A ，B 的动点，则 AB BP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 ．6．已知点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线70x y +-=和直线50x y +-=上，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ．7．执行下面的伪代码，输出的结果是 ．i ←1For n From 1 To 11 Step 2i ←2 i +1If i >20 Theni ←i －20End IfEnd ForPrint i8．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于直线2x =对称，且关于点(4,0)对称，若(1)1f =，则(2011)f = ．9．若不等式222,9t t a t t++≤≤在(0,2]t ∈上恒成立，则a 的取值范围是 ． 10．设平面α内两条直线a 、b 相交于点O ，将平面α沿直线a 折起（不重合），若直线b 被点O 分成的两条射线能成直角，则原平面α内的两条相交直线a 、b 所成的角的取值范围是 ．11．四棱锥S －ABCD 的底面是平行四边形，点M 在棱SA 上，点N 在BD 上，且SM BN SA BD=．求证：MN ∥平面SBC ．12．已知(sin ),(cos ,cos )3333x x x x OA OB ==u u u r u u u r ，()f x OA OB =⋅u u u r u u u r ． （1）求函数()f x 图象的对称中心的横坐标；（2）若(0,)3x π∈，求函数()f x 的值域．。
2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷
绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值； （2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。
江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(37)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（37） 班级 学号 姓名1．直线m y m x -=++2)1(与1642-=+y mx 平行的充要条件是m = ．2．已知圆07622=--+x y x 与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p = ．3．函数23)(23+-=x x x f 的单调减区间是 ．4．已知等差数列{}n a 共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则{}n a 的公差为 ．5．对于给定的函数x x x f --=22)(，有下列四个结论：①)(x f 的图象关于原点对称；②2)3(log 2=f ； ③)(x f 在R 上是增函数；④|)(|x f 有最小值0． 其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）6．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 ．7．一人用一小时将一条信息传达给两人，这两人每人又用一小时将信息传给不知此信息的两人，如此下去（每人仅传一次），要传遍55个不同的人至少需要 小时．8．与圆49)5(:22=++y x A 和圆1)5(:22=+-y x B都外切的圆的圆心P 的轨迹方程是 ．9．右边的流程图可表示函数=)(x f ．10．在△ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A= ．11．在锐角三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3tan tan (1tan tan )A B A B -=+⋅． （1）若ab b a c -+=222，求A 、B 、C 的大小；（2）已知向量(sin ,cos ),(cos ,sin ),|32|A A B B ==-求m n m n 的取值范围．12．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21(1)(*)4n n S a n =+∈N ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若12(*)n n n b n a a +=∈N ，求数列}{n b 的前n 项和为n T ．。
【数学】2020南通二模参考答案与评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
2020江苏高考数学二轮微专题 巩固强化
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江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(9)
江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（9） 班级 学号 姓名1．函数212sin cos cos 2y x x x =+-的最小正周期是 ． 2．若对一切x ∈[12,2]，不等式ax 2－2x ＋2>0都成立，则a 的取值范围为___ ． 3．在平面直线坐标系x O y 中，△ABC 的顶点A （－6，0）和C （6，0），顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B-= ． 4．已知,x y 满足条件0,,()20,x y x k x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩为常数≥≤≤．若3z x y =+的最大值为8， 则k = ．5．设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．6．已知曲线31433y x =+，则过点P （2，4）的切线方程是 ． 7．在△ABC 中，若2,BD DC AD mAB nAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则m n= ． 8．已知函数221log [(1)]4y ax a x =+-+的 值域是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是 ．9．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．10．对任意[1,2]x ∈-，在[]1,2上存在y 使得5a y x =+成立，则实数a 的范围是 ． 11．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，∠BAC=60°，点D 为边BC 上的动点， DE ∥AC ，DF ∥AB ，求||DE DF +u u u r u u u r 的最小值．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．数列{}n b 中，11b =，它的第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若对任意的*n ∈N ，不等式2123111111111n m m b b b b +++⋅⋅⋅+<-+++++恒成立，试求m 的取值范围．。
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z abi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = ．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð ． 3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是 ．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ．7．（5分）已知函数32,2()(1),02x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为13(F 、23(F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ．10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -= ．11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r rg ，则||c r 的取值范围是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ．14．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = 34i - ． 【解答】解：2z i =+Q ，22(2)34z i i ∴=+=+，则234z i =-．故答案为：34i -．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð {5} ． 【解答】解：Q 集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1A B ∴=U ，3，9} (){5}U A B ∴=U ð，故答案为{5}．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 30 ． 【解答】解：分层抽样的抽取比例为：801160020=， ∴抽取学生的人数为16003020⨯=． 故答案为30．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．【解答】解：由题意可得1x =，2y =，r =sin y r α∴==，sin()sin παα∴-==．．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： 28 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的取值如下所示： 是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 42+ 第二圈 是 7 428++ 第三圈 是 10 42814+++ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ④ ．【解答】解：对于①，当//m n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出//m α，①错误；对于②，当m α⊂，n α⊂，且//m β，//n β时，由两平面平行的判定定理，不能得出//αβ，②错误；对于③，当//αβ，且m α⊂，n β⊂时，由两平面平行的性质定理，不能得出//m n ，③错误；对于④，当αβ⊥，且m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n β⊥，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．7．（5分）已知函数32,2()(1),02xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1(0,)2．【解答】解：如图所示： ①当2x …时，由函数2()f x x =单调递减可得：20()1f x x<=„； ②当02x <<时，由函数3()(1)f x x =-单调递增可得：1()1f x -<<． 由图象可知：由021k <<可得102k <<， 故当102k <<时，函数y kx =与()y f x =的图象有且只有两个交点， ∴满足关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根的实数k 的取值范围是1(0,)2． 故答案为1(0,)2．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 2- ．【解答】解：已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->， ①0a <时，4[()](4)0x a x a-+-<，其中40a a +<，故解集为4(a a+，4)， 由于444()2()()4a a a a a a+=-------„，当且仅当4a a -=-，即2a =-时取等号，4a a ∴+的最大值为4-，当且仅当44a a+=-时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为2-；②0a =时，4(4)0x -->，解集为(,4)-∞，整数解有无穷多，故0a =不符合条件； ③0a >时，4[()](4)0x a x a -+->，其中44a a+…，∴故解集为(-∞，44)(a a+⋃，)+∞，整数解有无穷多，故0a >不符合条件； 综上所述，2a =-． 故答案为：2-．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1(F、2F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q △12PF F中，12sin PF F ∠，12sin PF F ∠， ∴由正弦定理得121212sin 2sin PF PF F PF PF F ∠==∠，⋯① 又Q 121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-， 1221121232tan tan()14122F PF PF F PF F -∴∠=-∠+∠=-=+⨯，可得124cos 5F PF ∠=，△12PF F 中用余弦定理，得222121212122cos 3PF PF PF PF F PF F F +-∠==g ，⋯② ①②联解，得12PF PF =，可得12PF PF -= ∴双曲线的2a =，结合2c =22c e a ==10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -=14．【解答】解：根据所给的已知等式得到： 各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， 16A ∴=，151212A B +++=， 解得112B =-， 所以1116124A B -=+=． 故答案为：14． 11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]． ．【解答】解：由题意知()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增． （1）当2a „时，若[2x ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2a x =， 此时22a<，所以()f x 在[2，)+∞上是递增的； （2）当2a >时，①若[x a ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2ax =，所以()f x 在[a ，)+∞上是递增的；②若[2x ∈，)a ，则2()()f x x a x x ax =-=-+，其对称轴为2a x =，所以()f x 在[2a，)a 上是递减的，因此()f x 在[2，)a 上必有递减区间． 综上可知2a „． 故答案为(-∞，2]．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的取值范围是．【解答】解：由()()0a c b c --=r r r r g 可得2()||||cos 12cos ||||cos 13c a b c a b a b c a b c παα=+-=+-⨯=+-r r r r r r r r rr r g g g g ，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由222()214212cos 73a b a b a b π+=++=++⨯⨯=r r rr r r g可得||a b +=r r∴2|cos 1c c α=-r r，解得2cos αr ．0απQ 剟，1cos 1α∴-剟，∴21r，即2|||10c c +r r„．||c r，故答案为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 3 ．【解答】解：设直线AB 的方程为1y kx =+则直线AC 的方程可设为11y x k=-+，(0)k ≠由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(1)20a k x a kx ++=，所以0x =或22221a k x a k -=+ A Q 的坐标(0,1)，B ∴的坐标为2222(1a k a k -+，22221)1a k k a k -++g ，即2222(1a k B a k -+，22221)1a k a k -+因此，222|2|1a k AB a k ==+g ， 同理可得：2222||1a k AC a k=+gRt ABC ∴∆的面积为444224222212||121121()1()a k akS AB AC a a k a a k k k +===++++++g g 令1||t k k=+，得4422422222(1)1(2)a t a S a a a t a t t==-++-+ 1||2t k k =+Q …，442(1)ABC a S a a ∆∴=-„当且仅当2a t t=，即21a t a -=时，ABC ∆的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =- 解之得3a =或3297a +=3297a +=Q 时，212a t a-=<不符合题意， 3a ∴=故答案为：314．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是2e． 【解答】解：//PQ y Q 轴，(,0)P t ，(Q t ∴，())f t 即2(,)t t e ，又()(0)tx f x e t =>的导数()tx f x xe '=，∴过Q 的切线斜率2t k te =，设(,0)R r ，则220t t e k te t r-==-，1r t t∴=-，即1(R t t -，0)，11()PR t t t t=--=，又(1S ，f （1）)即(1,)t S e ，PRS ∴∆的面积为2te S t=，导数2(1)2t e t S t -'=，由0S '=得1t =，当1t >时，0S '>，当01t <<时，0S '<，1t ∴=为极小值点，也为最小值点，PRS ∴∆的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．【解答】解：（1）角C 为钝角，由3sin 5A =，则24cos 15A sin A =-． 那么：3tan 4A =1tan()3A B -=Q ，即tan tan 11tan tan 3A B A B -=+，可得：1tan 3B =即sin 1cos 3B B =，22sin cos 1B B +=， 解得：10sin B =． （2）由（1）可知：10sin B 则2310cos 1B sin B =-那么：1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 可得：13c =．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点， 又因为E 是棱VC 的中点，所以//VA OE ， 又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊂/平面BDE ， 所以//VA 平面BDE ； （2）因为VO ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以VO BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又VO AC O =I ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ． 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为(M m ，0)()m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5， 所以|429|55m -=， 即|429|25m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=．⋯（4分） （Ⅱ）把直线50ax y -+=，即5y ax =+， 代入圆的方程，消去y ，整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故△224(51)4(1)0a a =--+>， 即21250a a ->， 由于0a >，解得512a >， 所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞．（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =． 由于35(,)412∈+∞，故存在实数34a =使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．⋯（14分）18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？【解答】解：（1）作AE CD ⊥，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =， 则22202tan tan tan(2)31001tan 1CAEx CAD CAE CAE x ∠∠=∠===-∠-， 232010030x x --，解之得，103x =或3x =（舍)，答：BC 的长度为103m ； （2）设BP t =，则3(0103)CP t t =<<，2210031010(103)103tan()1032001032001103t t t tt t t t t tαβ+++-+===-+--+---g，设2103()103200t f t t t +=-+-222203500()(103200)t t f t t t +-'=-+-令()0f t '=，因为0103t <<202103t = 当(0,202103)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数； 当(2023,103)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当202103t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为21032000t t -+-<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ+<，(,)2παβπ+∈，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP 为t =时，αβ+取得最小值．19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．【解答】（1）解：1n =时，由24(1)13p --=得0p =或2，若0p =时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以0p =不符合题意，故2p =； （2）证明：当2p =时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②-①并化简得1134n n n a S S ++=--③，则22134n n n a S S +++=--④， ④-③得*211()2n n a a n N ++=∈，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是等比数列，且112n n a -=；（3）证明：充分性：若1x =，2y =，由112n n a -=知na ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即na ，12x n a +，22yn a +成等差数列； 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+=+g g g ，化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k …时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<． （1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．【解答】解：（1）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--，令2()3620f x x x '=-+<解得，x <<故函数()f x 的减区间为； （2）证明：123()()()()f x x x x x x x =---Q ，231312()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x ∴'=--+--+--，又123x x x <<Q ，11213()()()0f x x x x x ∴'=-->， 22123()()()0f x x x x x '=--<， 33231()()()0f x x x x x '=-->，故函数()f x '在1(x ，2)x ，2(x ，3)x 上分别有一个零点， 故方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）Q 方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，()()0f f αβ∴'='=，而12121212121212231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2121()04x x =--<，23232323232323231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2321()04x x =--<，再结合二次函数的图象可知，231222x x x x αβ++<<<． 本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【解答】解：1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4⋯分 ∴在矩阵MN 变换下，122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，6⋯分∴曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．10⋯分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：（1）由sin()63πρθ-=，得1(sin )62ρθθ=，12y ∴=120y -+=．圆的方程为22100x y +=．（2）圆心(0,0)到直线3120x y -+=的距离26(3)1d ==+，10y =，∴弦长21003616l =-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【解答】解：（1）90BAF =︒Q ，AF AB ∴⊥，又Q 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF ∴⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，2AD =Q ，22AB AF EF ===，P 是DF 的中点，(2B ∴，0，0)，(1E ，0，2)，(2C ，2，0)，(0P ，1，1)，(1BE =-u u u r ，0，2)，(2CP =-u u u r，1-，1)，设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ， 则||230cos ||||56BE CP BE CP θ===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ，∴异面直线BE 与CP 230（2）(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0F ，0，2)，(0D ，2，0)， 设(P a ，b ，)c ，FP FD λ=u u u r u u u r，01λ剟，即(a ，b ，2)(0c λ-=，2，2)-， 解得0a =，2b λ=，22c λ=-，(0P ∴，2λ，22)λ-，(0AP =u u u r ，2λ，22)λ-，(2AC =u u u r ，2，0)，设平面APC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则2(22)0220n AP y z n AC x y λλ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，2)22λλ-，平面ADF 的法向量(1m =r ，0，0)，Q 二面角D AP C --的正弦值为6， 22||6|cos ,|1()||||322()22m n m n m n λλ∴<>===-+-r r g r r r r g ， 解得14λ=，(0P ∴，12，3)2， PF ∴的长度222132||(00)(0)(2)22PF =-+-+-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()P ξ是“ξ个人命中，3ξ-个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，002212113.(0)(1)(1)(1)22P C C a a ξ==--=-，1020121212111(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==-+--=-g ，1102221212111(2)(1)(1)(2)222P C C a a C C a a a ξ==-+-=-g ，2122121(3)22a P C C a ξ===g ． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为222111410(1)1(1)2(2)322222a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P P a a a a ξξ=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP P a a a ξξ-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22a P P a a ξξ-=-==--=．由2(1)012021202a a a a⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩………和01a <<，得102a <„，即a 的取值范围是1(0,]2．（10分）。
南通中学高三数学练习2020.2.29 - 解析版
…………4 分 …………6 分
记 h(x) x2 ax a ， x 0 ，
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a2 4a 0 ，
所以
a 2
0
，
，解得 a 4 ．
h(0) a 0
经检验，此时 g(x) 既有极大值又有极小值．
所以实数 a 的取值范围为 (4， ) ．
y
3
（2）若角 满足
f () 2 ，
3 ，7 44
，求 sin 的值．
【解】（1）由图象， A 3 且周期 T 2
7π 4
π 4
4 ，
4
O
7 4
x
即
2π
4π
，所以
1 2
，
所以 f (x) 3sin 1 x ． 2
…………………… 3 分
3
（第 15 题）
因为
f (x) 的图象经过点
别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D，交 x 轴于点 M(x1，0)，
直线 AC 与直线 BD 交于点 N(x2，y2)．
y
（1）求椭圆的标准方程；
C
（2）若 CM 2MD ，求直线 l 的方程； （3）求 x1 x2 的值．
A MO
N
D
B x
【解】（1）由椭圆的离心率为 2 ，焦点到对应准线的距离为 1． 2
…………8 分
②当 a 4 时，记方程 x2 ax a 0 的两根为 x1 ，x2 (x1 x2 ) ，(x) g(x) e2 ．
所以曲线 y g(x) 与直线 y e2 的公共点个数即函数(x) 的零点个数．
因为 ( x)
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江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（29）
班级 学号 姓名
1．若3cos 5
α=
，则cos2α= ． 2．已知复数z =x +yi
，且|2|z -=，则y x 的最大值 ． 3．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．
4．如果44x π
π
-≤≤，那么函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值是_____ _．
5．等差数列{a n }中，a n ≠0，23711220a a a -+=，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则
b 6b 8= ．
6．二次函数()y f x =的导函数()2f x x m '=+，且(0)f m =，则()0f x >在R 上恒成立时，m 的取值范围是 .
7．已知函数()32f x x =+，数列{a n }满足：11a ≠-且1()n n a f a +=（n ∈N *），若数列{a n +c}是等比数列，则常数c = ．
8．数式1
1111+++L 中虽然省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值．可以用如下
方法求得：令原式t =，则1
1t t +=，即210t t --=
，取正值，t =
=____ ____．
9．已知O ，A ，B 是平面上不共线三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，若
||7OA =u u u r ，||5OB =u u u r ，则()OP OA OB ⋅-u u u r u u u r u u u r 的值为 ． 10．已知点A （4，0）和B （2，2），M 是椭圆22
1259
x y +=上的动点，则MA+MB 最大值是___ __．
11．若函数34()4,2,()3
f x ax bx x f x =-+=-
当时函数有极值． （1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数k ，使得关于x 的方程k x f =)(有三个不同的实数解？若存在，求出
实数k的取值范围；若不存在.，说明理由．
12．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线
MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．。