考点04 函数及其表示-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

微信公众号：678高中初中资料库考点04 函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2．必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.学！(2)映射的个数n个．若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有m二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tan x的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac by ax bx c a xa a-=++=++.(4)y＝sin x的值域为[−1,1]．三、分段函数1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．必记结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．考向一求函数的定义域在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.典例1 函数()()lg 311f x x x=++-的定义域是 A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】要使函数()()lg 311f x x x =+-有意义，则需10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113x x <⎧⎪⎨>-⎪⎩，据此可得：函数()()lg 311f x x x =+-的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故本题选择B 选项.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．本题求解时要注意根号在分母上，所以需要10x ->，而不是10x -≥.1．函数sin 1yx =-的定义域是__________．典例2 若函数()1f x +的定义域是[]1,1-，则函数12log f x ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为________．【答案】1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【名师点睛】根据“若已知函数f(x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.2．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数234y x x =--+__________．考向二 求函数的值域求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R . 3．分离常数法： 将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =++≠，可以令0)t t =≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．基本不等式法：利用基本不等式a b +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥=，a ＋b有最小值，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．9．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 10．有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域. 11．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3 求下列函数的值域： （1）243,[1,1]y x x x =-+∈-； （2）12y x x =-（3）2(1)1x y x x =>-.【答案】（1）[0，8]；（2）1(,]2-∞；（3）[4,)+∞. 【解析】（1）2243(2)1y x x x =-+=--， ∵1-≤x ≤1，∴3-≤x −2≤1-， ∴1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8．故函数243,[1,1]y x x x =-+∈-的值域为[0，8]． （2）f (x )的定义域为1(,]2-∞，令2112(0)2t t x x t -=-=≥，得21122y t t =--+，故1(,]2y ∈-∞.（3）22(1)2(1)11124111x x x y x x x x -+-+===-++≥---.当且仅当x ＝2时“＝”成立.故2(1)1x y x x =>-的值域为[4,)+∞.3．已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b ＞1)，则实数b 的值为 ．考向三 求函数的解析式求函数解析式常用的方法 1．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； 3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).典例4 已知(1)2f x x x +=+，则()f x = A ．21(1)x x -≥ B ．21x - C ．21(1)x x +≥D ．21x +【答案】A【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，如果忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.4．已知2(1)f x x -=，则()f x 的表达式为 A ．2()21f x x x =++ B ．2()21f x x x =-+ C ．2()21f x x x =+-D ．2()21f x x x =--考向四 分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5 已知2,0()(1),0x xf xf x x>⎧=⎨+≤⎩，则4()3f＋4()3f-等于A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】∵4()3f＝83，4()3f-＝1()3f-＝f⎝⎛⎭⎫23＝43，∴4()3f＋4()3f-＝4.故选B．【名师点睛】分段函数的应用：设分段函数1122(),()(),f x x If xf x x I∈⎧=⎨∈⎩.(1)已知x0，求f(x0)：①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2；②代入相应解析式求解．(2)已知f(x0)＝a，求x0：①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求x0；②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求x0，判断是否属于I2，方法同上；④写出结论．！网(3)解不等式f(x)＞a：11()()x If x af x a∈⎧>⇔⎨>⎩或22()x If x a∈⎧⎨>⎩.5．已知函数f(x)＝10xx xa x-≤⎧⎨>⎩,,，若f(1)＝f(－1)，则实数a的值等于A．1 B．2C．3 D．4典例6 已知函数()2e ,021,0x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若()()1f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】函数()1e =()ex x f x -=在(],0-∞上为减函数，函数221y x x =--+的图象开口向下，对称轴为1x =-，所以函数()221f x x x =--+在区间()0,+∞上为减函数，且02e 0201-=--⨯+.所以函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数.由()()1f a f a -≥-得1a a -≤-，解得12a ≤.故选A ． 【思路点拨】判断分段函数()2e ,021,0x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩两段的单调性，当0x ≤时，()1e =()e x x f x -=为指数函数，可判断函数()1e =()ex x f x -=在(],0-∞上为减函数；第二段函数221y x x =--+的图象开口向下，对称轴为1x =-，可得函数()221f x x x =--+在区间()0,+∞上为减函数.0x =时，两段函数值相等.进而得函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数.根据单调性将不等式()()1f a f a -≥-变为1a a -≤，从而解得12a ≤即可 【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小； （2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“f ”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.6．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)1．函数()()21ln 214fx x x=++-的定义域为A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．1,22⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭2．设函数()()422,4log 1,4x x f x x x -⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()18f a =，则a =A ．1B ．8112- C ．3 D ．1或8112- 3．如图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为A ．sin xy x= B ．cos xy x= C ．sin xy x=D ．sin x y x=4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝()2ln f x x的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)5．已知函数()[]24,,5f x x x x m =-+∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞- B ．(]1,2- C ．[]1,2-D ．[]2,56．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -=A．7 2 -B．92C．72D．92-7．已知()sinπ1xf x xx=+-，记[]x表示不超过x的最大整数，如[][]π3,e3=-=-，则()()2y f x f x⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦的值域为A．{}1B．{}12，C．{}01，D．{}01,2，8．函数()44xf x=-的值域为__________．！网9．已知函数()(0)f x ax b a=->,()()43f f x x=-，则()2f=__________．10．设函数()2,0,,0,x xf xx x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩则使得()()f x f x>-成立的x的取值范围是__________．1．（2018年高考新课标I卷文科）设函数()2010x xf xx-⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x+<的x的取值范围是A．(]1-∞-，B．()0+∞，C．()10-，D．()0-∞，2．（2017年高考山东卷文科）设()()121,1x xf xx x⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a=+,则1fa⎛⎫=⎪⎝⎭A．2 B．4C．6 D．83．（2017年高考天津卷文科）已知函数||2,1,()2, 1.x xf xx xx+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是A．[2,2]-B．[23,2]-C ．[2,23]-D．[23,23]-4．（2016年高考新课标Ⅱ卷文科）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是 A ．y =xB ．y =lg xC ．y =2xD ．1y x=5．（2018年高考江苏卷）函数()2log 1f x x =-的定义域为________．6．（2018年高考新课标I 卷文科）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．7．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．8．（2018年高考天津卷文科）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．9．（2018年高考江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 10．（2017年高考江苏卷）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D∈的概率是 ． 11．（2017年高考江苏卷）函数y =232x x --的定义域是__________．12．（2017年高考新课标Ⅲ卷文科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.1．【答案】π|2π,2x x k k⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【解析】易知函数sin1y x=-满足的条件：sin10x-≥，即sin1x≥，根据三角函数的图象与性质，可得sin1x=，解得π2π,2x k k=+∈Z，所以函数sin1y x=-的定义域为π|2π,2x x k k⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z．【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．【答案】A【解析】∵2(1)f x x-=，∴22()[(1)1](1)21f x f x x x x=+-=+=++.故选A．5．【答案】B【解析】根据题意，由f(1)＝f(－1)可得a＝1－(－1)＝2，故选B．学！6．【答案】D【解析】方法一：因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．方法二：也可画出函数f(x)的图象，由函数图象可排除A、B、C，同时能求出函数f(x)的值域．变式拓展1．【答案】D【解析】要使函数()()ln21f x x=++有意义，需满足240210xx⎧->⎨+>⎩，解得122x-<<，即函数()()ln21f x x=++的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D．2．【答案】A【解析】当4a≤时，431228a--==，43a-=-，得1a=，当4a>时，()21log18a-+=，得1821a-=-，这与4a>矛盾，故此种情况下无解，由上知1a=，故选A．【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可.3．【答案】B【解析】由图可知，πx=时，0y<，而A，C，D此时对应的函数值0y=，故选B.【名师点睛】识图常用的方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．4．【答案】D【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，∴要使f(2x)有意义，必有0≤2x≤2，∴0≤x≤1，∴要使g(x)有意义，应有01ln0xx≤≤⎧⎨≠⎩，∴0<x<1，故选D．5．【答案】C【解析】22424f x x x x=-+=--+（）（），∴当2x=时，24f=（），由245f x x x=-+=-（），解得51x x==-或，∴要使函数()24f x x x=-+在[]5m，上的值域是[]54-，，则12m-≤≤，故选C．6．【答案】C 【解析】由()()1121f f x xx x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭,可得()12f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()()()2221722,22f x x f x x f x x -=-⇒-=-∴-=,故选C ． 7．【答案】B 【解析】由()sin π1x f x x x =+-，可知()()22sin 2ππ1xf x x x--=+--. 可得：()()()()()()222+2f x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=⇒+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 若()f x 为整数，则()()22f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=⎣⎦⎣⎦，若()f x 不为整数，设(),f x t α=+其中,01t α∈<<Z ，则()()222f x f x t α-=-=--， 则()()][][22f x f x t t αα⎡⎤⎡⎤+-=++--⎣⎦⎣⎦()1111t t t t α⎡⎤=+-+-=+-=⎣⎦，所以()()2y f x f x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦的值域为{}12，.故选B ． 【名师点睛】本题考查了函数的中心对称性，得到()()22f x f x +-=，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，()f x 为整数时易得解，()f x 不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可.10．【答案】()(),10,1-∞-.【解析】由()()f x f x >-，得20x x x <⎧⎪⎨>-⎪⎩或()20x x x ≥⎧>-，得1x <-或01x <<，即x 的取值范围是()(),10,1-∞-，故答案为()(),10,1-∞-.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.1．【答案】D【解析】将函数()f x的图象画出来，观察图象可知会有2021xx x<⎧⎨<+⎩，解得0x<，所以满足()()12f x f x+<的x的取值范围是()0-∞，，故选D．【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有()()12f x f x+<成立，一定会有2021xx x<⎧⎨<+⎩，从而求得结果.【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.2．【答案】C【解析】由1x≥时()()21f x x=-是增函数可知,若1a≥,则()()1f a f a≠+,所以01a<<,由()(+1)f a f a=2(11)a a=+-,解得14a=,则1(4)2(41)6f fa⎛⎫==-=⎪⎝⎭,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．直通高考3．【答案】A【解析】当a =±，且0x =时，()||2xf x a ≥+即2||≥±，即2≥此可排除选项B 、C 、D ，故选A ．【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解． 4．【答案】D【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解. 5．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 6．【答案】7-【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 7．【答案】(1,4) (]()1,34,+∞【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式f (x )<0的解集是()1,4,当4λ>时，()40f x x =->，此时()2430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(]()1,34,+∞.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 8．【答案】［18，2］②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()2min32a x x ≤--+，其中30x -≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤.综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析． 9．2【解析】由()()4f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以()()()111516111,22f f f =-=-=-+=因此()()1π215cos 24ff f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭！网【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.12．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()()12g x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0x ≤时，()()13222g x f x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭； 当102x <≤时，()()11222x g x f x f x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭； 当12x >时，()())112222x g x f x f x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 写成分段函数的形式：()())132,021112,02221222,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩， 函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且)001111,201,22142g -⎛⎫-=++>+⨯> ⎪⎝⎭，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.。