江苏高考数学考点表

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专题7 函数的奇偶性和周期性-2020年江苏省高考数学考点探究(原卷版)

专题7 函数的奇偶性和周期性专题知识梳理1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2．奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__．(5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__．3．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注1：函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注2：函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．考点探究考向1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ＜0）－x 2＋x （x ＞0）； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2．题组训练1.下列函数中为偶函数的是________．①y ＝1x②y ＝lg|x | ③y ＝(x －1)2 ④y ＝2x2.下面的定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________．3.（易错题）试判断函数()f x =的奇偶性．考向2 函数奇偶性与单调性的综合应用【例1】（1）若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=______．（2）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x−1)>0,则x的取值范围是______．【例2】(1) 设函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)为奇函数，求实数a的值；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．题组训练1.设函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,则a=______ ．2.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(−1)=______．3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(−∞,0)上单调递增,若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2),则a 的取值范围是______．4.若函数f(x)={x(x −b),x ≥0ax(x +2),x <0(a,b ∈R)为奇函数,则a +b 的值为______．5.设f(x)=log 21−ax x−1−x 为奇函数,a 为常数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在x ∈(1,+∞)时的单调性；(3)若对于区间[2,3]上的每一个x 值,不等式f(x)>2x +m 恒成立,求实数m 取值范围．考向3 函数的奇偶性与周期性的综合应用【例1】定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝3x9x ＋1．求f(x)在[－2，2]上的解析式．【例2】（2019·江苏卷）设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x ∈(0,2]时，f(x)=√1−(x −1)2，g(x)={k(x +2),0<x ≤1,−12,1<x ≤2,其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______．题组训练1.若f(x)是周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f(x)=x 2−8x +30,则f(√10)=______．2.奇函数f(x)的周期为4,且x ∈[0,2],f(x)=2x −x 2,则f(2018)+f(2019)+f(2020)的值为________．3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．4.（拔高题）设函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：① f (x 1-x 2)=1221()()1()()f x f x f x f x +- (x 1≠x 2)；② 存在正常数a ，使得f (a )=1．求证：（1） f （x ）是奇函数；（2） f （x ）是周期为4a 的周期函数．。

2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：点、线、面之间的位置关系

••＞必过数材美1. 平面的基本性质(1) 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2) 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.(3) 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.2. 空间中两直线的位置关系(1) 空间中两直线的位置关系共面直线.异面直线：不同在任何一个平面内(2) 异面直线所成的角①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点0,作直线a'// a, b'// b,把a' 与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.②范围：0, n.(3) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.［小题体验］1. _________________________________________________ "点P在直线m 上, m在平面a内”可表示为 ____________________________________________________ .解析：点在直线上用，直线在平面上用“？”.答案：P€ m, m? a2.平面aA 3= l，点A € a,点B € a,且C? l, C € 3,又AB A l= R,如图所示，过A,B, C三点确定的平面为Y贝U 3A = _________ .解析：由已知条件可知，C € Y AB n 1= R, AB? Y所以R€ Y又因为C, R€ ®故阳丫 =CR.答案：CR3•以下四个命题中，正确命题的个数是_____________ .①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则A, B, C, D, E共面；③若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A, B, C三点共线，则A, B, C, D , E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b, c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面•故正确的个数为1.答案：11 •异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2 •直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3•不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.［小题纠偏］1 • （2019南京名校联考）已知直线a和平面a , an 3=l, a? a, a? 且a在a, B内的射影分别为直线b和c ,则直线b和c的位置关系是 ____________ •解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.答案：相交、平行或异面2. ___________________________________________ 在下列四个命题中，正确命题的个数为•① a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a// B；② a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a丄B；③ a , b是异面直线，若直线 c , d分别与a , b都相交，则c, d也是异面直线；④ a , b是异面直线，则存在平面a过a且与b垂直.解析：因为a , b是异面直线，所以可以作出两个平面a, B分别过a , b,并使a// B,所以①正确；因为 a , b是异面直线,所以存在两个互相垂直的平面分别过 a , b,所以②正确；因为a , b是异面直线，若直线c , d与a , b分别都相交，则c , d相交或异面，所以③ 不正确；因为a , b是异面直线，若 a , b垂直，则存在平面a过a且与b垂直，若a , b不垂直，则不存在平面a 过a且与b垂直，④不正确.答案：23•四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有______________ 个.解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面.答案：4考点一平面的基本性质及应用基础送分型考点——自主练透［题组练透］1如图所示，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F分别是AB，AA i的中点•求证:⑴E, C, D i, F四点共面；(2)CE , D i F , DA 三线共点.证明：(i)如图，连结EF , A i B, CD i.因为E, F分别是AB, AA i的中点，所以EF // A i B.又A i B / CD i,所以EF // CD i,所以E, C, D i, F四点共面.(2)因为EF // CD i, EF V CD i,所以CE与D i F必相交，设交点为P,则由P€ CE , CE?平面ABCD , 得P €平面ABCD .同理P€平面ADD i A i.又平面ABCD门平面ADD i A i= DA ,所以P€直线DA.所以CE , D i F , DA三线共点.2.如图，在四边形ABCD中，已知AB // CD,直线AB , BC , AD , DC分别与平面a相交于点E , G , H, F ,求证：E , F , G , H 四点必定共线.证明：因为AB// CD,所以AB , CD确定一个平面3 又因为AB A a= E , AB? 3,所以 E € a, E € B,即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F, G, H均为平面a与B的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线, 所以E，F，G，H四点必定共线.［谨记通法］1.证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理这些点都在交线上3证明同一法选择其中两点确疋一条直线，然后证明其余点也在该直线上2. 证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3. 证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余兀素确定平面面a, B重合B,最后证明平考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点一一师生共研［典例引领］如图，在正方体ABCD -A i B i C i D i中，M , N分别为棱CQ i, C i C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC i是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB i是异面直线；④直线AM与DD i是异面直线.其中正确的结论的序号为 _________ .解析：直线AM与CC i是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误.点B, B i, N 在平面BB i C i C中，点M在此平面外，所以BN , MB i是异面直线•同理AM , DD i也是异面直线.1.上面例题中正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱所在直线中与直线________ 条.解析：与AB 异面的有4条：CC i , DD i , A 1D 1, B i C i .答案：42.在图中，G , N , M , H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ,解析：图①中，直线 GH // MN ;图②中，G , H , N 三点共面，但 M ?平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG , GM // HN ,因此GH 与MN 共面；图④中，G , M , N 共面，但 H ?平面GMN ，因此 GH 与MN 异面.所以在图②④中， GH 与MN 异面.答案：②④考点三异面直线的证明重点保分型考点一一师生共研［典例引领］如图，已知不共面的三条直线 a , b , c 相交于点P , A € a , B € a , C € b, D € c ,求证:AD 与BC 是异面直线.证明：法一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为 a,那么点P , A , B , C , D 都在平面a 内，答案：③④空间两直线位置关系可构造几何模AB 是异面直线的有［由题悟法］方法" ［即时应用］所以直线a, b, c都在平面a内，与已知条件a, b, c不共面矛盾，假设不成立,所以AD和BC是异面直线.法二：(直接证法)因为a n c= P, 所以它们确定一个平面，设为a由已知C?平面a B €平面a, 则BC ?平面a,又AD ?平面a, B?AD ,所以AD和BC是异面直线.［由题悟法］证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面, 从而可得两直线异面.有时也可以用直接法证明.［即时应用］如图所示，正方体ABCD-A I B I C I D I中，M ,的中点.问：(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2) D i B和CC i是否是异面直线？说明理由.解：(1)AM与CN不是异面直线.理由如下：连结MN , A1C1, AC.因为M , N分别是A1B1, B1C1的中点，所以MN // A1C1.又因为A1A // C1C, A1A= C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1// AC,所以MN // AC,A B所以A, M , N , C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.⑵D1B与CC1是异面直线•证明如下：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B, C, C1, D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面a,使D1B ?平面a, CC1?平面a ,所以D1 , B , C , C1 € a,与ABCD-A1B1 G|D 1是正方体矛盾.所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.设P 表示一个点，a , b 表示两条直线，其中正确命题的序号是.① P € a , P € a ? a ? a ； ②a n b = P , b ? 3? a ? 3； ③a // b , a ? a, P € b , P € a ? b ? ④ an 3= b , P € a, P € 3? P € b.答案：③④2. （2018高邮期中）给出以下说法： ① 不共面的四点中，任意三点不共线； ② 有三个不同公共点的两个平面重合； ③ 没有公共点的两条直线是异面直线；④ 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤ 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. 其中正确结论的序号是 __________ .解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误；在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误；在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故⑤正确.答案：①⑤3. _________________________________________________________________________ 若平面a B 相交，在a, B 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 ___________________ 个平面.解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个.答案：1或4 4.如图，平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面又与CC i '共面的棱有 _________ 条.“伤CZI 0 □ 1=1欝雇窗月空躡宓购懺尿鎚a, B 表示两个平面，给出下列四个命题,冲B解析：依题意，与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行有棱AA i,BB仁与AB平行且与CC i相交的棱有CD, C1D1.故符合条件的有5 条.答案：55.设a, b, c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若 a // b, b// c,贝U a// c;②若a丄b, b±c,贝U a// c;③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a?平面a, b?平面3,则a, b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 _____ （写出所有正确命题的序号）.解析：由公理4知①正确；当a丄b, b丄c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a? a, b? 3并不能说明a与b "不同在任何一个平面内”，故④错.答案：①二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知A, B, C, D是空间四点，命题甲：A, B, C, D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.解析：若A, B, C, D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A, B, C, D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.答案：充分不必要2. （2019常州一中检测）如图，在长方体ABCD -A i B i C i D i中，点E , F分别为B i O和C i O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有______ 条.解析：•/ EF是厶OB i C i的中位线，••• EF // B i C i.••• B i C i / BC // AD // A i D i,二与EF 平行的棱共有4 条.答案：43. ___________________________________ 下列命题中，真命题的个数为.①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M € a, M € 3 aA 3= l，贝U M € l.解析：根据公理3,可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题.综上，真命题的个数为 2.答案：24. 已知I, m, n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与直线m垂直，则直线n与平面a的关系是__________ .解析：因为I? a,且I与n异面，所以n?a,又因为m丄a, n丄m,所以n // a. 答案：n// a5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E , H分别是边AB ,CF CG 2 …AD的中点，点F , G分别是边BC , CD上的点，且—=—=§,则下列说法正确的是_______ （填序号）.①EF与GH平行；②EF与GH异面;③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC 上;④EF与GH的交点M —定在直线AC 上.解析：连结EH , FG ,如图所示. 依题意，可得EH // BD, FG// BD , 故EH // FG,所以E, F , G, H共面.1 2因为EH = 2BD , FG = 3BD, 故EH 工FG ,所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上, 故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上, 所以点M是平面ACB与平面ACD 的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M —定在直线AC 上.答案：④6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD , EF , GH在原正方体中互为异面直线的对数为___________ 对.解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB , CD , EF和GH在原正方体中，显然AB与CD, EF与GH ,AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.答案：37. 如图是正四面体的平面展开图，G , H , M , N分别为DE ,B H E N CBE , EF , EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是___________ .解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN 成60°角，DE丄MN .答案：②③④8. （2019通州月考）如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E,F , G, H分别是棱CC1, C1D1, D1D , CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______________ 时，有MN//平面B1BDD1.解析：•/ HN // DB , FH // D1D,•••平面FHN //平面B1BDD1.•••点M在四边形EFGH及其内部运动，故M € FH .答案：M在线段FH上9. （2018南师附中检测）如图，E, F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A, C1C的中点•求证：四边形B1EDF是平行四边形.A R证明：设Q是DD1的中点，连结E Q, Q C1,如图.因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以E Q綊A1D1.又A1D1 綊B1C1，所以E Q綊B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊6Q又Q, F分别是D1D，C1C的中点，所以Q D綊C1F，所以四边形D Q C1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B i E 綊DF ，所以四边形 B i EDF 是平行四边形. 10.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形, 1 1 / BAD =Z FAB = 90 ° BC // AD , BC = Q AD , BE // FA , BE = ~FA , G , H 分别为FA , FD 的中点. (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C , D , F , E 四点是否共面？为什么？说明理由. 解：⑴证明：因为 G , H 分别为FA , FD 的中点， 1 所以 GH // AD , GH = 2AD. 1 又 BC // AD , BC = Q AD , 所以GH 綊BC ,所以四边形 BCHG 为平行四边形. 1 ⑵四点共面，理由如下：由 BE // FA , BE = Q FA , G 为FA 的中点知，BE // FG , BE =FG , 所以四边形BEFG 为平行四边形，所以 EF // BG. 由(1)知BG // CH ，所以EF // CH ，所以EF 与CH 共面. 又D € FH ，所以C , D , F , E 四点共面. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校时，EH // FG 且EH = FG .当将□时，EH // FG ,但EH 工FG ,所以①②③正确，只有④错误. 答案：①②③ 2. 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，E , F 分别为棱 AA Q , CC i 的中点，则在空间中与三条直线A i D i , EF , CD 都相交的直线有 ___________ 条.1.如图所示，设 E , F , G , H 依次是空间四边形 ABCD 边AB , AE AH BC , CD , DA 上除端点外的点， —=A D =人CB CD 论中正确的是 (填序号). ①当入= 卩时, 四边形 EFG H ②当卩时, 四边形 EFG H ③当卩时, 四边形 EFG H ④当入= 卩时，四边形 EFG H 由AB = AD =入得EH // BD ，且BD =入同理得FG / BD 且BD D 是平行四边形; 是梯形; 定不是平行四边形; 是梯形.解析:CF CG 卩，则下列结解析：如图，在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面a,因为CD与平面a不平行，所以它们相交，设aP CD = Q连结P Q则P Q与EF必然相交, 即P Q为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1, EF , CD都相交.答案：无数3•如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是边长为2的正三角形，侧棱A I A丄底面ABC，点E, F分别是棱CC i, BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC = 2FB = 2.(1)当点M在何位置时，BM //平面AEF?⑵若BM //平面AEF ,判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值.解：⑴法一：如图所示，取AE的中点0,连结OF，过点0作0M丄AC于点M.因为侧棱A I A丄底面ABC ,所以侧面A1ACC1X底面ABC.又因为EC = 2FB = 2,1所以0M // FB // EC 且0M = 2EC = FB ,所以四边形0MBF为矩形，BM // 0F.因为0F ?平面AEF , BM ?平面AEF ,故BM //平面AEF，此时点M为AC的中点.如图所示，取EC的中点P, AC的中点Q,连结P Q, PB, BQ155 -因为EC = 2FB = 2，所以PE綊BF ,所以P Q// AE, PB // EF ,所以P Q//平面AFE , PB //平面AEF , 因为PB P P Q= P, PB, P Q ?平面PB Q 所以平面PBQ//平面AEF .又因为B Q?平面PB Q所以B Q//平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.(2)由(1)知，BM与EF异面，/ 0FE (或/ MBP )就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求AF = EF = 5 , MB = 0F = 3 , 0F 丄AE , 所以cos/ 0FE = 0F=^3=书，所以BM与EF所成的角的余弦值为155 -。

江苏高考数学8个C级考点

江苏高考8个C级（掌握）考点
1.两角和（差）的正弦、余弦和正切
必修二公式（二倍角公式）正用、逆用，角的变换
2.平面向量的的数量积
必修四定义法、基底法、坐标法、极化恒等式、特殊化
3.等差数列
4.等比数列
必修五填空题：基本量计算，项与和的性质
解答题：等差等比的判定证明，
函数的角度研究数列单调性
5.基本不等式
必修五三个条件：正、定、等
分参、分离常数、消元、换元、“1”的代换等6.一元二次不等式
必修五三个二次的关系二次项系数的讨论
数形结合
7.直线方程
8.圆的标准方程和一般方程
必修二直线方程的形式：点斜式、截距式、一般式
两直线平行、垂直充要条件
圆的方程求法：代数法、几何法（首选）
切线问题、弦长问题斜率是否存在？。

高考数学259个核心考点

高中数学考试必备的知识点整理温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。

必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为C UA 二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m •a n =a m + n ，（2）a m ÷a n =a m -n ，（3）(a m )n =a m n （4）(ab )n = a n •b nn -11a n⎛a ⎫nm-n （5） ⎪=n （6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）a =n （8）am=a（9）am=mna b ⎝b ⎭a 2、根式的性质⎧a ,a ≥0n n n n n n n n （1）(a )=a .（2）当为奇数时，a =a ；当为偶数时，a =|a |=⎨.-a ,a <0⎩n n 5.指数式与对数式的互化：log aN =b ⇔a b =N (a >0,a ≠1,N >0).6、对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N（7）log a (log b N M ) = log a M -log a N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =Nlog banlog a b (a >0,且a >1,m ,n >0,且m ≠1,n ≠1,N >0).m （10）推论：log a m b n =（11）log a N =1（12）常用对数：lg N = log 10N（13）自然对数：ln A = log e Alog Na必修4：1、特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°πππ角α的弧度数643Sinα12223290°π21180°π0270°3π2-1360°2π0321Cosα12220-101tanα03313不存在0不存在02、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）公式一：Sin（α+2kπ）=Sinα公式二：Sin（α+π）=-SinαCos（α+2kπ）=Cosα Cos（α+π）=-Cosαtan（α+2kπ）=tanα tan（α+π）=tanα公式三：Sin（-α）=-Sinα公式四：Sin（π-α）=SinαCos（-α）= Cosα Cos（π-α）=-Cosαtan（-α）=-tanα tan（π-α）=-tanα公式五：Sin（π2-α）=Cosα公式六：Sin（π2+α）=CosαCos（ππ2-α）=Sinα Cos（2+α）=-Sinα3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式①sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β②sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β③cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β④cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β⑤tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β⑥tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β4.二倍角的正弦、余弦和正切公式①sin 2α=2sin αcos α②cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos α2-1③tan 2α=2tan α1-tan 2α④sin 2α=1-cos 2α2⑤cos 2α=1+cos 2α2sin αcos α=12sin 2α5、向量公式：→→→→①a ∥b ⇔x 1x =y 1(x 2,y 2≠0)（a ∥b ⇔x 1y 2-x 2,y 1=0）2y2→→→→→②a +b =(a +b )2=a 2+2a →⋅b →→+b 2=→2a +2a →⋅b →⋅cos θ+b→2→→③cos θ=a ⋅b =x 1x 2+y 1y2→（求向量的夹角）a ⋅→bx21+y2x2212+y2⑥④a ⊥b ⇔a ⋅b =0⑥平面内两点间的距离公式：设a =(x ,y ),则→2→→→→→a =x +y 或a =x 2+y 2→22→⑦平面内两点间的距离公式：a =(x 1-x 2)+(y 1-y 2)2222高中数学必修5知识点归纳第一章解三角形1、正弦定理：在∆AB C 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为∆AB C 的外接圆的a b c半径，则有===2R ．sin A sin B sin C2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；a b c②sin A =，sin B =，sin C =；③a :b :c =sin A :sin B :sin C ；2R 2R 2R a +b +c a b c④．===sin A +sin B +sin C sin A sin B sin C（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)22 空间几何题的面积与体积(原卷版)

考点22 空间几何题的面积与体积一、考纲要求1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深.2. 多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化.3. 柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比.二、近五年江苏高考立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。

从近五年江苏高考试题可以发现主要考查柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。

三、考点总结：把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础. 在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图. 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题. 即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式. 同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解.四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.2、（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．3、（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？5、（2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．五、三年模拟题型一柱的表面积与体积1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.2、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．4、(2019南京三模）有一个体积为2的长方体，它的长､宽､高依次为a，b，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为．5、(2018南京学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.6、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．7、(2018苏北四市期末）已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.8、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12S S 的值为．9、(2017南通一调）如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.10.(2017常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．题型二锥的表面积与体积1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．3、(2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、(2019苏北三市期末）已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．5、(2018苏州暑假测试）如图，正四棱锥PABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为________cm 3.6、(2018常州期末）已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．7、(2018镇江期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 8、(2018扬州期末）若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．9、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．（图1）（图2）10、(2018苏锡常镇调研（一））若正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面积为8 cm 2，则它的体积为________cm 3.11、(2017苏锡常镇调研（一））已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．题型三球的表面积与体积1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．2、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m2.3、(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．4、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

江苏高考数学重点难点

江苏高考数学重点难点一．函数（函数的概念、性质、初等函数与导数）【重难点】考察：函数的性质（单调性、奇偶性、周期性），初等函数的概念和性质（三角、指数、对数、幂）、导数的性质，运用以及函数与导数的结合（难点）（2014,第13题）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .19. 已知b a ,是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以b a ,为端点的开区间上单调性一致，求||b a -的最大值【解析】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．本题属难题．二、三角形1．两角和（差）的正弦、余弦和正切【重点】（2012，第15题）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 2.解三角形（正弦定理、余弦定理及其应用）正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：a ²= b ²+ c ²- 2·b·c·c os A常考题，以中档题和难题为主例题：（2014，第14题）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ . （2012，第13题）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C b a a b c o s 6=+，则BC A C tan tan tan tan +的值是__▲三. 平面向量必考题，以基础题和中档题考点为主，常考知识点：（1）平面向量的加法、减法和数乘运算（2）平面向量的数量积（c 级考点）【重点】（2013，第15题）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2012，第13题）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ．四.数列（等差数列和等比数列）【重难点必考，以难题为主】考察点：①求等差数列、等比数列的通项公式②数列的前n 项和：1、用通项公式法：规律：能用通项公式写出数列各项，从而将其和重新组合为可求数列和。

高考文科数学40个必考点一览表(课标版)

由观察到归纳总结的过程
20
基本不等式及应用
三种用法：直接用、变形用、凑配用
一正二定三相等
观察发现使用基本不等式的时机
21
线性规划问题的求解
四种目标函数最优解、无数多种最优解情形
理解目标函数中Z的几何意义、合理地将相关不等式问题转化为规划问题
含参讨论、根据几何意义转化求解
22
一元二次不等式的解法及应用
对称轴、开口、横轴交点个数与△
对称（轴）性、开口、横轴交点个数与△、单调性
含参讨论、轴与区间的关系
23
不等式恒成立问题的求解
恒成立问题与存在性问题中的变（式）量与最值的关系，
存在性、恒成立问题的转化与求解
存在性与恒成立问题转化为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值的过程
24
绝对值不等式的解法及应用
分区间和几何意义去绝对值、绝对值的常数放缩、分段函数及图像、图像的交点两侧函数值（式）的大小关系
特殊的锥、柱体与球的内接与外切关系、球半径的计算
三种锥体、直棱柱与球体的相关运算
割补法，等体积转化法、垂径定理的推广及应用
29
直线与圆
直线方程求法及几种形式及互相转化，根据相关参数或位置关系求解直线与圆方程、从圆方程中提取相关参数、参数方程
直线方程、圆标准方程、相切与相交问题
与切线方程、弦长相关问题的解答
34
抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、等可能性
分层抽样
每个个体被抽到的概率=抽样比=n/N
35
用样本估计总体
用样本的数字特征估计总体的数字特征、频率与概率的区别与联系
常见数字特征的计（估）算与使用、两图一表的制作与使用
常见数字特征的计（估）算与使用、两图一表的制作与使用

江苏职教高考数学知识点

江苏职教高考数学知识点江苏职业教育高考数学是考生们备战高考的一大难点，数学的复杂性和抽象性常常让学生望而生畏。

在备考过程中，熟练掌握数学知识点是非常重要的。

下面我将系统地介绍几个江苏职教高考数学的重要知识点。

一、数列和数学归纳法数列是数学中常见的概念，它是有序的数的排列，其中每个数都有它特定的位置。

在数列中，我们可以寻找规律，进而推导出通项公式。

数学归纳法是解决数列问题的重要方法。

它通过证明当数值满足某个条件时，所有大于或等于该数值的自然数也满足这个条件。

掌握数列和数学归纳法可以帮助我们解决许多与数列相关的题目。

二、函数与方程函数是数学中的基本对象之一，它是描述两个变量之间关系的一种规则。

函数可以用来解决许多实际问题，比如求解最大值、最小值、求根等等。

方程是函数的一种特殊形式，它描述了一个等式关系。

我们可以通过观察、分析和利用方程的性质，解决各种问题。

熟练掌握函数与方程的概念和应用，对于高考数学的考试非常重要。

三、几何与三角学几何和三角学是高考数学中重要的分支，涵盖了平面几何和空间几何等多个方面的内容。

几何学主要研究形状、大小、位置和变换等问题，而三角学主要研究三角函数及其应用。

在几何和三角学中，学生需要熟悉各种几何图形的性质和判断，以及应用三角函数解决问题的方法。

掌握几何与三角学知识，可以帮助学生在解决几何和三角方面的问题上更加熟练和自信。

四、概率与统计概率与统计是处于数学的应用层面，这两个概念在实际生活中有广泛的应用。

概率主要用于描述随机事件的可能性，而统计则用于从已知样本中推断总体的特征。

概率和统计的应用领域非常广泛，包括金融、生物、社会科学等等。

在高考数学中，掌握概率与统计的基本概念和计算方法，对于解答关于概率和统计的问题非常有帮助。

总结江苏职教高考数学知识点的掌握对于备考至关重要。

数列和数学归纳法、函数与方程、几何与三角学、概率与统计是数学的重要内容，也是高考数学的重要考点。

学生们可以通过刷题、归纳总结、参加模拟考试等方式来提高对这些知识点的熟练掌握。

高中数学高考考点分布总结_高考数学考点分布

高中数学高考考点分布总结_高考数学考点分布高考数学的考点大致有一百多个，但高涨同学们需首先掌握重点考点，了解考点具体分布情况，下面店铺给大家带来高考数学考点分布，希望对你有帮助。

高中数学高考考点分布考点1集合考点2复数考点3四个命题及逻辑用语考点4奇偶函数考点5反函数考点6三角函数值的计算考点7排列组合考点8向量的平移考点9圆锥曲线的离心率考点10平面向量的计算考点11球体考点12函数在某点的切线及切线斜率考点13指对函数的比较大小考点14线性规划考点15二项式定律展开式的系数考点16解圆锥曲线的相关问题考点17直线与圆及点到直线的距离考点18 三视图考点19程序框图考点20图像问题考点21小题解三角形考点21圆锥曲线问题的参数计算考点22频率直方图、抽样调查、正态分布考点23与重要不等式相关的极值问题考点24导数与函数的零点和极值考点25函数的增减性、周期性极限与连续性考点26三角函数考点27概率考点28立体几何考点29解析几何考点30导数考点31几何证明考点32坐标系与参数方程极坐标考点33不等式高中数学学习方法课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。

上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。

特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。

首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。

认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。

在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。

2007-2014年高考新课标数学全国卷考点分布统计表

函数与导数、侧函数与导数、侧函数与导数、函函数与导数、侧函数与导数、侧重单调性、由恒重极值、不等式数的切线、不等重单调性、求最重几何意义成立求字母系数恒成立问题式的证明大值的取值范围圆（四点共圆、圆（四点共圆、 22 几何证明几何证明、几何证明、圆、相似角的大小）半径）圆和直线的参数圆和直线的参数方程（交点、伸方程（交点、伸三 23 参数方程参数方程参数方程参数方程缩变换及其后的缩变换及其后的选交点）交点）一绝对值函数的图建立绝对值函数象，解绝对值不 24 解不等式解不等式解不等式、解绝对值不等等式，数形结合式。解答 21 圆和直线题
长方体的外接球三角函数的定义三视图（求体的表面积与二倍角积）程序框图三视图立体几何（球的体积）
抛物线的几何性偶函数的解析式三角函数图像与质、直线与抛物与不等式性质线的位置关系三角函数求值函数零点
填空题
解答题
抛物线的准线与等轴双曲线的实轴长基本初等函数的三棱锥、球体组三视图与三棱锥线性规划（平行三角函数的化简 11 三角恒等变换图像性质与不等合（体积之比）的全面积四边形）、性质式的性质统计（比较标准立体几何中平行函数的周期性、数列的前60项和 12 分段函数的最值分段函数差的大小）、垂直判定图像、递推关系双曲线（顶点、焦点到渐近线的等差数列基本量导数的几何意义直线与圆相切问导数的几何意义 13 向量运算、垂直距离、求离心及其性质 -求切线方程题 -求切线方程率）函数性质（偶函六棱柱与外接球抛物线与直线的随机模拟方法、 14 线性规划等比数列的性质数）体积运算几何概型解三角形（正余复数（四则运直线与椭圆的基等比数列的性质 15 三视图弦定理、三角形向量运算算）本运算、递推关系面积）数列（等差数列、通项、前 n 项茎叶图反应的统三角函数的图像球与圆锥、表面 16 解三角形函数的最值和公式、求公计结论及求值积和体积差）解三角形（海洋解三角形（测量解由等边、等腰等差数列基本运等比数列基本运 17 测量与两点间距解三角形塔高）拼接的三角形算、 Sn的最值算、前n项和离及夹角问题）三棱锥（线面、三视图与正方体三棱锥中的线线四棱锥中的面面四棱锥中的线线统计中的平均数 18 垂直）中的体积、平行垂直、体积垂直、体积垂直、体积与概率函数导数（对数独立性检验与分频率分布表、随统计中的平均数概率统计中的平三棱柱中的面面 19 、二次，最值、层抽样（老龄化机事件概率、求与古典概型均数与直方图垂直、体积比单调性）问题）平均数求圆的方程、直求圆的方程、抛直线与圆涉及基求动点的轨迹方直线与椭圆定义 20 概率线与圆的位置关物线与圆的位置本不等式程（椭圆方程）应用求弦长系关系、距离比

高考数学核心考点

高考数学核心考点2016高考数学核心考点、必考点独家抢先预测必考点 1集合、简易逻辑（4个）1.元素与集合间的运算;2.四种命题2、一般数列的通项、求和及其数列里不等关系的推理（常用递推关系及其常用方法：分析法、比较法、放缩法、数学归纳法、构造函数法、化归法）（12分）必考点 4三角函数（4个）考点分布之间的关系; 3.全称、特称命题; 4.充要条件. 考试预测1、求解集合之间的子（空集的特性）、交、并、补（常以方程的解和不等式的解集为载体）(5分)2、简易逻辑里的命题条件的判断和命题关系的确定(5分)1.求值化简（同角三角函数的基本关系式）;2.正弦函数、余弦函数的图象和性质①函数图像变换、②函数的周期性、③函数的奇偶性、④函数的单调性;3. 二倍角的正、余弦、辅助角公式化简; 4．解三角形（正、余弦定理、面积公式.考试预测必考点 2函数与导数（13个）1.比较大小;2.分段函数;3.函数周期1、特殊角的三角函数值与角的互换；正余弦的常用值（±3/5;±4/5;±5/13;±12/13）2、同角关系（三角代换用于求值域或最值）与诱导公式用于化简与求值（5分）3、两角和、差、倍（2倍）的正弦、余弦、正切公式，以及由此推导的辅助角公式和升降幂公式应用于三角恒等变换，简化三角函数式（5分）4、正弦型、余弦型函数的图像（变换）与性质（对称中心与对称轴；最小正周期；（5分）特定区间上的单调性与值域问题）（7分）5、正余弦定理用于解斜三角形性; 4.函数奇偶性; 5.函数的单调性; 6.函数的零点; 7.利用导数求值; 8.定积分的计算; 9.导数与曲线的切线方程; 10.最值与极值; 11.求参数的取值范围; 12. 证明不等式; 13. 数学归纳法.考试预测1、函数定义域和值域的确定2、函数（具体基本函数、具体复合函数、抽象函数）的单调性、奇偶性、周期性（5分）3、反函数的确定与互反函数的图像关系及其求值4、指数函数、对数函数、二次函数、勾勾函数的图像与性质（5分）5、函数的图像及其变换（向量平移、对称（主要是自对称））必考点 5平面向量（3个）考点分布1.模长与向量的积量积; 2.夹角的计算; 3.向量垂直、平行的判定1、向量的运算(主要是坐标运算)（贯穿于向量共线与垂直）（5分）2、平面与空间向量的数量积及其应用(求夹角、求距离、求模长)3、定比分点公式及应用必考点 3数列（4个）1.数列求值;2.证明等差、等比数列;3.递推数列求通顶公式;4.数列前n项和.考试预1、等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其基本性质(足码与通项的关系（)5分）1必考点 6不等式（3个）1.不等式的解法;2.基本不等式的应用（化简、证明、求最值）; 3.简单线性规划问题. 考试预测1、各型不等式（一、二次不等式；指数、对数不等式；绝对值与分式不等式）的求解（5分） 2、不等式中的恒成立（重点）（方法：分离参变量或变更主元）、能成立（有解）、恰成立（解集的端点为对应方程的根）问题的求解（5分）3、一元二次方程根的分布；函数的零点4、两个正数的均值不等式的应用（求最值）（5分）3、直线（或共线向量）与圆锥曲线的位置关系（常用设而不求；中点坐标公式；韦达定理；根的判别式；弦长公式辅助求解；涉及中点弦时更用点差法）（7分）必考点 9空间简单几何体（3个）考点分布1.线、面垂直与平行的判定; 2.夹角与距离的计算; 3.三视图（体积、表面积、视图判断）1、空间中线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质（含三垂线定理）（5分+5分）2、空间距离与空间角的求解（空间距离：点点距、点线距、点面距(重点)、线线距、线面距、面面距、球面距；空间角：异面直线夹角、线面角、面面角（重点）（7分））3、棱柱、棱锥的性质及其载体作用（解决32、33两类考点）4、球的体积与表面积；球里的组合体必考点 7直线和圆的方程（3个）1.直线的倾斜角和斜率;2.两条直线平行与垂直的条件;3.点到直线的距离.考试预1、直线的倾斜角与斜率（图像）2、二直线平行与垂直在直线方程为一般式、斜截式时，向量条件下的充要条件3、线性规划中目标函数是截距式时的最值问题（5分）4、两直线的到角与夹角公式；点到直线的距离公式5、圆的三种方程形式；圆中三种位置关系（点圆、线圆（切线性质与垂径定理）、圆圆（圆心距与半径的关系））（5分）必考点 10排列、组合、二项式定理（3个）考点分布1.分类计数原理与分步计数原理; 2.排列、组合的常用方法; 3.二项式定理的展开式（系数与二项式系数、求常数、求参数a的值）1、排列组合定义的本质与差异，排列组合数公式及其组合数的两条性质、用排列组合手段解决简单实际问题：（数排、站排中）单限、双限问题优先法；相邻问题捆绑法、相间问题插空法;相同元素的分组隔板法；选排问题先选后排；涂色问题先分步后分类；不同元素先分组后分配（重点）；定序问题用除法；多面手问题从多面手入手；映射问题分步计数。

新高考数学江苏知识点

新高考数学江苏知识点作为江苏省新高考改革的重要一环，新高考数学考试的知识点受到了广泛的关注和讨论。

本文将对江苏省高中新高考数学考试的知识点进行详细的介绍和分析，以帮助学生更好地准备和应对考试。

一、函数与方程1. 函数的概念与性质：包括函数的定义、定义域、值域、奇偶性等。

2. 初等函数与分段函数：阶梯函数、绝对值函数等常见的初等函数的性质和图像表示。

3. 方程与不等式：包括一元一次方程、一元二次方程、一元二次不等式等常见的方程类型及其解法。

二、数列与数论1. 等差数列与等比数列：包括等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式等。

2. 数列的极限问题：包括极限的定义、极限存在准则等。

3. 算术基本定理与整数因子分解：了解算术基本定理的概念、质因数分解的方法及运用。

三、平面向量与几何推理1. 平面向量的基本运算：包括向量的加法与减法、数量积与夹角等。

2. 二维几何图形的性质：包括平行四边形、圆、三角形等二维图形的性质和相关定理。

四、立体几何与空间向量1. 空间点、线、面的方程：包括平面方程、直线方程等。

2. 空间向量基本运算：包括向量的线性运算、数量积、向量积等。

3. 空间几何的问题：包括点、直线、平面在空间中的位置关系、相交关系等。

五、数与函数的模型1. 实际问题解决中的数与函数：包括应用题中的模型建立与解决过程，如函数模型、比例模型等。

2. 数据的处理与分析：包括数据的收集、整理、分析等方法。

此外，数学考试还将注重学生的应用能力和解题能力。

在考试中，不仅要掌握基本概念和公式，还需要具备灵活运用的能力，能够将所学的数学知识运用到实际问题中。

为了更好地备考数学考试，学生可以采取以下几点有效的学习方法：1. 系统学习：按照教材的知识点进行系统学习，逐一进行梳理和掌握；2. 学习历年真题：熟悉历年真题，了解考试的考点和难度，增强解题能力；3. 制定学习计划：针对性地制定学习计划，合理安排时间，重点攻破难点知识点；4. 多做习题：通过大量的习题训练，巩固知识点，提高解题能力；5. 定期复习总结：定期进行知识点的复习总结，巩固知识，掌握技巧。

江苏专用高考数学复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式课件

(3)公式 tan(α＋β)＝ 1ta－n αta＋n αtatnanββ可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
解析 (3)变形可以，但不是对任意的 α，β 都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.
【训练 2】 (1)已知 α∈0，π2，cosα＋π3＝－23，则 cos α＝________. (2)(2019·苏州暑假测试)已知 α∈0，π2，β∈π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则 cos β＝________.
解析 (1)法一因为 α∈0，π2，所以 α＋π3∈π3，56π，
φ)其中tan

φ＝ba或
f(α)＝
a2＋b2·cos(α－φ)其中tan

φ＝ab.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
2.熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β) －β＝(α－β)＋β，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等. 3.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.
10°＋ cos
3sin 10°
10°·
2sin
80°＝(2sin

江苏近三年高考数学试卷分析 - 副本

4、进一步突出考查数学思想数学思想是数学这一学科的灵魂和精髓，它是架设在数学知识和数学能力之间的桥梁，细细梳理不难发现，近年来，江苏高考虽经振荡反复，但都有一个明显的导向，即对数学能力、数学思维的考查力度越来越大，主要是通过对综合问题，变式问题的处理来检测考生的数学思维能力。2012年高考题较好体现了这个宗旨比如填空题13，14题，解答题的18，19，20 都通过设计别具匠心地考查了数学能力和数学思维水平，倡导通过数学学科的教与学，获取数学思维和数学能力，并能应用到分析问题解决问题中去，对没有技术含量的题海战术和缺乏整合提炼的高三复习是一个有效的提醒。
圆锥曲线
总体情况
6A
5
双曲线的基本概念
A、B、C级要求分别占分：20、68、72
2012年江苏高考知识点分布表：（必做题部分）知识版块集合函数与导数三角函数平面向量数列不等式复数推理与证明算法初步概率统计立体几何解析几何圆锥曲线题号及等级要求 1、14、20 分值
5
15（14分）向量坐标运算
11.2 8 9.45 8.52 7.53 2.51 2.52
11.6 3 10.4 5 8.83 7.59 3.51 2.42
16（14分）证明线面平行
与两面垂直
17（14分）等差数列
18（16分）直线与圆位置
关系
19（16分）函数应用，不
等式
20（16分）函数综合
3、让不同层次的学生都能取得一定的分数。
特点二、紧扣教材，适度改造改编，推陈出新是江苏高考的一大亮点。（1）改造、重组、出新三者兼顾。（2）2011:填空题除13,14外，都是在课本题基础上改
编而成;解答题前三道也都能找到课本题的影子。

2008年-2011年江苏省高考数学考点分析与2012届高三复习建议

2008年-2011年江苏省高考数学考点分析及后期复习建议一．近四年江苏高考考点分析1．必做题考点分析二、复习建议1．学生在复习中暴露出的问题重资料，轻课本；重做题，轻反思；重思维定势，轻具体问题具体分析；（舍本逐末）对基本的数学概念、定理、性质理解和掌握不到位，对一些基本的解题方法不清晰；（基本知识和基本方法疏于整理和归纳）读题、审题粗心，对题目中有什么，求什么，常规的转化方法等不清晰，进而就找不到解决的方法；（不能将基本知识和问题充分联系起来）计算能力、综合分析与推理能力不过关；（态度上眼高手低，分析思考问题时不严谨，不科学）表达缺乏规范性．（直接结果是得而不全）2．对高三学生的后期学法指导建议梳理考点（定期或不定期提问式）；做好基本问题的常规方法的归纳建立并检查错题集，利用好平时的“错误”；定期进行现场限时训练（30分钟或90分钟或120分钟）；做好情感和心理上的调整。

3．关于启发式教育教学的建议---如何解题？任何一个题目摆在学生面前，能够直接分析思考并动手做出，当然最好。

但是，在考场那种氛围下，难免有一部分题目难以下手（即便是很简单的问题），面对这种情况，我们如何指导学生进行分析和思考并最终解决问题呢？首先，我们可以先冷静下来（可以做两次深呼吸），然后来问自己这样几个问题：这是一个什么问题？什么范畴？最终要我求什么？要证明什么？（找准目标）有哪些条件（可以一一列举出来）？问题和条件涉及什么内容？什么考点（先前梳理考点的作用就在这里，范围可以逐步缩小，哪一个模块，哪一章节，哪一个考点）？与什么概念，定理，性质等相关？出题人想考察我什么？他的动机是什么？这一问题的常用解法有哪些（先前归纳基本方法的作用即在此，问题先摆一边，自己先回顾所学过内容及所用过的方法）？回到眼下的问题，它属于哪一类问题？如果不是，它有哪些相似点？我可以转化过去吗？刚才回顾的方法可行吗，哪一种看上去更好（开始试探常用的方法，进入分析过程）？题目还有哪些条件？它有什么作用？有什么性质？前后有何关系？我怎么利用呢？找出思路，我从何处开始着手呢？然后就是整理思路，严密推理，仔细计算，形成过程，注意步骤，得出结果。

2022年高考数学真题完全解读(新高考全国1卷)

20
独立性检验与条件概率
21
双曲线
22
导数的应用
四、试题深度解读
模块（题目数） 1.集合（共 1 题） 2.不等式（共 3 题）复数（共 1 题）平面向量（共 1 题）立体几何（共 4 题）排列组合、概率与统计（共 3 题）三角函数与解三角形（共 2 题） 1. 函数与导数（共 5 题） 2. 不等式（共 3 题）立体几何（共 4 题）立体几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）解析几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）排列组合、概率与统计（共 3 题）解析几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）解析几何（共 4 题） 1. 数列（共 1 题） 2. 不等式（共 3 题）三角函数与解三角形（共 2 题）立体几何（共 4 题）排列组合、概率与统计（共 3 题）解析几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）
D.
2m + 3n
【命题意图】本题考查平面向量的线性运算,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：容
易.
【答案】B
【解析】解法一：因点 D 在边 AB 上 , 且 BD = 2DA , 所以 BD = 2DA , 即
( ) CD − CB = 2 CA − CD ,
所以 CB = 3CD − 2CA = 3n − 2m = −2m + 3n ．故选 B．
2022 年高考数学真题完全解读（新高考全国 1 卷）
本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等栏目.本资料部分内容来源于网络
一、试卷使用地区
山东、湖北、湖南、江苏、广东、福建、河北

2024年高考数学高频考点(新高考通用)对数与对数函数(精练：基础+重难点)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数要求积的最大值，．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在数值的正负，排除BC ，结合函数图象的走势，排除D ，得到正确答案【详解】()22ln x x f x =变形为，定义域为()(,00,∞-U当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，【B组在综合中考查能力】A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为【C组在创新中考查思维】则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线。

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高考考点要求（一）必做题部分
考试内容 1．集合要求层次A B C
集合及其表示√
子集√交集、并集、补集√
考试内容 2．函数概念与基本初等函数Ⅰ要求层次A B C
函数的概念√函数的基本性质√指数与对数√指数函数的图像与性质√对数函数的图像与性质√幂函数√
函数与方程√
函数模型及其应用√
考试内容 3 ．基本初等函数Ⅱ（三角函数）、三角恒等变换要求层次A B C
三角函数的概念√
同角三角函数的基本关系式√
正弦函数、余弦函数的诱导公式√
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质√
函数 y=Asin( ω x+ φ) 的图象与性质√
两角和（差）的正弦、余弦及正切√二倍角的正弦、余弦、正切√
考试内容 4．解三角形要求层次A B C
正弦定理、余弦定理及其应用√
考试内容 5．平面向量要求层次
A B C
平面向量的概念√
平面向量的加法、减法及数乘运算√
平面向量的坐标表示√
平面向量的数量积√
平面向量的平行与垂直√
平面向量的应用√考试内容 6．数列
要求层次
A B C 数列的概念√
等差数列√等比数列√
考试内容 7．不等式要求层次A B C
基本不等式√二元一次不等式√线性规划√
考试内容 8．复数要求层次A B C
复数的概念√复数的四则运算√复数的几何意义√
考试内容 9．导数及其应用要求层次A B C
导数的概念√
导数的几何意义√导数的运算√利用导数研究函数的单调性与极值√导数在实际问题中的应用√
考试内容 10．算法初步要求层次
A B C
算法的含义√流程图√基本算法语句√
考试内容 11．常用逻辑用语要求层次A B C
命题的四则形式√
充分条件、必要条件、充分必要条件√简单的逻辑联结词√
全称量词与存在量词√
考试内容 12．推理与证明要求层次A B C
合情推理与演绎推理√分析法与综合法√
反证法√
考试内容 13．概率、统计要求层次
A B C
抽样方法√
总体分布的估计√
总体特征数的估计√变量的相关性√
随机事件与概率√
古典概型√几何概型√
互斥事件及其发生的概率√
考试内容 14．空间几何体要求层次A B C
柱、锥、台、球及其简单组合体√柱、锥、台、球的表面积与体积√
考试内容 15．点、线、面之间的位置关系要求层次A B C
平面及其基本性质√
直线与平面平行、垂直的判定及性质√两平面平行、垂直的判定及性质√
考试内容 16．平面解析几何初步要求层次A B C
直线的斜率与倾斜角√
直线方程√直线的平行关系与垂直关系√
两条直线的交点√
两点间的距离，点到直线的距离√
圆的标准方程与一般方程√直线与圆、圆与圆的位置关系√
空间直角坐标系√
考试内容 17．圆锥曲线与方程要求层次
A B C
中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质√中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质√
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质√
（二）附加题部分
（选修系列 2：不含选修系列 1 中的内容）
1．圆锥曲线与方程
要求层次考试内容
A B C 曲线与方程√
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质√2．空间向量与立体几何
要求层次
考试内容
A B C 空间向量的概念√
空间向量共线、共面的充分必要条件√
空间向量的加法、减法及数乘运算√
空间向量的坐标表示√
空间向量的数量积√
空间向量的共线与垂直√
直线的方向向量与平面的法向量√
空间向量的应用√3．导数及其应用
要求层次考试内容
A B C 简单的复合函数的导数√4．推理与证明
要求层次
考试内容
A B C 数学归纳法的原理√
数学归纳法的简单应用√5．计数原理
考试内容要求层次
A B C 加法原理与乘法原理√
排列与组合√
二项式定理√6．概率统计
要求层次
考试内容
A B C 离散型随机变量及其分布列√
超几何分布√
条件概率及相互独立事件√
n 次独立重复试验的模型及二项分布√
离散型随机变量的均值与方差√8．矩阵与变换
要求层次考试内容
A B C 矩阵的概念√
二阶矩阵与平面向量√
常见的平面交换√
矩阵的复合与矩阵的乘法√
二阶逆矩阵√
二阶矩阵的特征值与特征向量√
二阶矩阵的简单应用√9．坐标系与参数方程
要求层次考试内容
A B C 坐标系的有关概念√
简单图形的极坐标方程√
极坐标方程与直角坐标方程的互化√
参数方程√
直线、圆及椭圆的参数方程√
参数方程与普通方程的互化√
参数方程的简单应用√。