几何综合(旋转类),初中数学,旋转分类

AC 2 CD 2 BC 2
遇60°，造60°，构造等边三角形 遇90°，转90°，构造等腰直角三角形 遇等腰，转顶角 遇中点，转180°，构造中心对称
如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长．
3，
C
（6）BH平分∠AHC；GF∥AC
D C E
（1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60°； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
B
C
（1）△ADG≌△CDE是否成立？
H G
（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
中点辅助线 的构造
角平分线的 辅助线构造
截长补短
手拉手
对角互补
半角
中 点 辅 助 线
三角形中线
等腰三角形底边中点
三角形中位线
直角三角形斜边的中线
1：△ABC中，AB=20，AC=12，求中线AD的取值范围
旋转180°，构建中心对称， 将三条相关线放到一个三角 形中，找它们的关系
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延
G A F D
B
E
C
在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，以BC为底作等腰直角△BCD，E是
2
1
CD的中点，求证： AE⊥EB且AE=BE
D E C
A
B
D E
D
C
C
E
A
B
A B
如图甲，操作：把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的 延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M． （1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
F A D
M B C E
G
F A D
A D
F
M B C E
B C
M E
G
G
（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条
件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
F E
M
A
D
B
C
G
（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不 变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．
1 2
(AB+BC+AC)
BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变；DE与BC还平行吗
？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？
如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件
不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？
截长补短 若遇到证明线段的和差关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三 角形 截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩 下部分等于另一条 补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后 证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后 证明延长部分等于另一条较短线段
上，其它条件不变，如图所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请
证明你的结论．
如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC， CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE.
如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE ，垂足分别为D、E，连接DE.求证：DE∥BC，DE=
如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA=
5 ，BP=
2，
PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长．
已知： PA
2, PB 4 ，以 AB 为一边做正方形 ABCD ，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧。
（1）如图，当 APB 45 时，求 AB 及 PD 的长 （2）当 APB 变化， 且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应的 APB 的大小
A
E G
D
A
E
D
F B C
B G F C
手 拉 手 全 等
等边三角形
等腰直角三角形
等腰三角形
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，
D E H G A B F
（1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60°； （4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB；
（2）将图24-1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1） 中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说 明理由；
A G F D
E B C
A G F
D
E B C
如图 1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点 E 在 AB 上， F 是线段 BD 的中点，连结 CE、FE. （1）请你探究线段 CE 与 FE 之间的数量关系
角平分线的辅助线构造
M A P O (a) B N
O (c) A P B M
N
A
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q O
M
P O (b)
P
B N
(d)
N
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. AF平分∠CAB，
交CD于点E，交CB于点F ⑴求证：CE= CF.
⑵将上图中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'，的位置，使点E，落在BC边
（2）将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转，使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC 在同一 条直线上（如图 2） ，连结 BD，取 BD 的中点 F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理 由；
（3）将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度（如图 3） ，连结 BD，取 BD 的中点 F， 问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
分别是AB、BC 上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数
在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G ，使得∠EGB=∠EAB，连接AG. （1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；
A
E
D
G B C
A
E
D
G B C
A
D E
D
手 拉 手 全 等 条 件
O C
A
B
手拉手全等条件：
（1）OA=OB；OC＝OD
（2）∠AOB＝∠COD
结论：
（1）△OAC≌△OBD（SAS）
（2）AC与BD夹角等于∠AOB（八字导角）
如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（
P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连
如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α （0º﹤α ﹤90º），请你直 接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α 的式子表示）；
A E D
G B
C
A
E
D
G B
C
如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之
间的数量关系，并证明你的结论.
A
E G
D
F B C
已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，求 证：BC+DC=AC.
A
B
D
C
B
D
C
A
A
B
B
D
D
C
C
AD∥BC，点E在线段AB上，CE，DE分别为∠BCD和∠ADC的角平分线. 求证：CD=AD+BC.
D
C
B
E
A
D
D
C
C
B E A
B
E
A
如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N
B C
F
B
E
F
C
E
在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点求证：AM=AD
A D
F M B E C
A
D
F M B E C
问题1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连 接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE．
M N A E
A P B D
C
A P B D
C
如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点， 求证：AB－AC＞PB－PC
A
P
B
D
C
A
A
P
P
B
D
C
B
D
C
正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平 分∠DNM。过E作EF⊥MN，垂足为F，请问MN、AD、EF有什么数量关系？
长BE交AC于F，求证：AF=EF
A F E
B
D
C
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分 别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，试判断线段BE、EF、FC的数量 关系.
在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2， 求证：AD2=
已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.
A
B
D
C
A
B
D
C
在四边形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，AE是∠BAF的平分线.求
证：AF=CF+AB.
A D
F
B
E
C
A
D
A
D
F
F
B
E
C
B
E
C
如图，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任 意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
B
在此的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.
F
90°+90°
对 角 互 补
120°+60°
任意角两个角互补
已知：∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，BD=a；
D
A
（1）CD与AD的数量关系 （2）AB、BC、BD之间的数量关系 （3）四边形ABCD的面积
F A D
M B C E
G
F A D
F A D
M B C E
M B C E
G
G
四边形ABC D是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF
，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。 （1）如图，若点E在CB 边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及 EC/GC的值；
A E
D H
F
B
C
E A
D H
F
B
C
（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MN=
E A
2 2
FC;
M
D H
F
B
N
C
E A
M
D H
F
B
N
C
（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之
间的数量关系： .
A F
D H
E
B
C
F A
A
F
D H
E
D H
E
B
C
1 4
（AB2+AC2）.
已知△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，
使BD＝AB ，求证：CD ＝2CE
C
C
A
E
B
D
A
E
B
D
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于
F，且DF=EF，求证：BD=CE
A
D
B
F
C
E
A
A
D
D
D
B
F
C
M N A E
D
B
F
C
问题二：如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别
是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，
请直接写出结论；
A
C F M O N E
D
B
A
C F M O N E
D
B
问题三：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分 别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若 ∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
B E
P
B
A
C
A E
C
P
B E Q
A
C
Q
B D P
A E
C
在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD 绕点D顺时针旋转α (0°<α <180°)得到△EFD，其中点A的对应点为点 E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H. （1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系
在△BCD 中，∠BCD＜120°，分别以 BC、CD 和 BD 为 边在△BCD 外部作等边三角形 ABC、等边三角形 CDE
A 和等边三角形 BDF，联结 AD、BE 和 CF 交于点 P，下 C E
列结论中正确的是
A P E P B C D D
①AD=BE=CF；
②∠BEC=∠ADC； ③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
B
C
如图，将 △ ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60 ，得到 △DBE ， 连接 AD 、 DC ,若 DCB 30 ,AB=1，BC=3，CD=3，求 AC
C
D B
A
E
如 图 ， 在 凸 四 边 形 ABCD 中 ， BCD 30 , DAB 60 ， AD AB ． 求 证 ：
结QB并延长交直线AD于点E.
P （1）如图1，猜想∠QEP=_______°； B Q
E
A
C
Q
P B
E
A
C
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想
∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
Q ，求BQ的长． （3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4
P