基本不等式(很全面)

基本不等式

【知识框架】

１、基本不等式原始形式 (１)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+

(2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

２、基本不等式一般形式(均值不等式） 若*,R b a ∈,则ab b a 2

≥+

３、基本不等式的两个重要变形 （1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥

+2

(２）若*

,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;

4、求最值的条件:“一正，二定,三相等”

5、常用结论

(１)若0x >，则1

2x x +

≥ （当且仅当1x =时取“=”） (2）若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“＝”）

（3）若0>ab ,则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

(４)若R b a ∈,，则2

)2(222b a b a ab +≤+≤

(5)若*,R b a ∈，则

2

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+

6、柯西不等式

（1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （２）若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有

22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

【题型归纳】

题型一:利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:

ab ≥

b

a 112+

题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证:ca bc ab c b a ++>++222

题目3、已知1a b c ++=,求证:22213

a b c ++≥

题目4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---

题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=,求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥

⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理)设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

（Ⅰ）1

3

ab bc ca ++≤；

（Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥．

题型二：利用不等式求函数值域 题目1、求下列函数的值域 （1)2

221

3x x y +

= (2）)4(x x y -=

(3）)0(1

>+

=x x

x y （4）)0(1

<+

=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 (一)（凑项) 1、已知2>x ,求函数4

24

42-+

-=x x y 的最小值；

变式1:已知2>x ,求函数4

24

2-+

=x x y 的最小值；

变式２:已知2

24

2-+

=x x y 的最大值;

变式3：已知2

x

y x x =+

-的最大值；

练习：１、已知54

x >，求函数14245

y x x =-+

-的最小值;

题目２、已知54

x <，求函数14245

y x x =-+

-的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二)(凑系数) 题目1、当

时,求(82)y x x =-的最大值；

变式1:当

时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2:设2

30<

题目2、若02<

变式:若40<

题目3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=

x x x y 的最大值；

变式:求函数)4

11

43(41134<<-+-=

x x x y 的最大值;

题型五：巧用“1”的代换求最值问题 题目1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b

=

+11

的最小值;

变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b

=

+11

的最小值;

变式2:已知28

,0,

1x y x y

>+=，求xy 的最小值；

变式3:已知0,>y x ,且119x y

+=,求x y +的最小值。

变式4:已知0,>y x ，且

19

4x y

+=，求x y +的最小值;

变式5：

(１）若0,>y x 且12=+y x ,求

11

x y

+的最小值;