数学建模教材第9章层次分析法模型
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法-数学建模
层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。
数学建模——层次分析法
数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。
该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。
方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。
层次结构包括目标层、准则层和选择层。
2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。
3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。
特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。
4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。
如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。
5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。
6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。
较高的综合得分通常意味着更优选。
示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。
你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。
步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。
使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。
6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。
7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。
如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。
8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
数学建模教材第9章层次分析法模型
数学建模教材第9章层次分析法模型第九章层次分析法模型层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP ）是对⼀些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易⽅法，它特别适⽤于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的⼀种简便、灵活⽽⼜实⽤的多准则决策⽅法。
9.1.1层次分析法的基本原理与步骤⼈们在进⾏社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，⾯临的常常是⼀个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂⽽往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了⼀种新的、简洁⽽实⽤的建模⽅法。
运⽤层次分析法建模，⼤体上可按下⾯四个步骤进⾏：（i）建⽴递阶层次结构模型；（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii）层次单排序及⼀致性检验；（iv）层次总排序及⼀致性检验。
下⾯分别说明这四个步骤的实现过程。
1递阶层次结构的建⽴与特点应⽤AHP分析决策问题时，⾸先要把问题条理化、层次化，构造出⼀个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素⼜按其属性及关系形成若⼲层次。
上⼀层次的元素作为准则对下⼀层次有关元素起⽀配作⽤。
这些层次可以分为三类：（i）最⾼层：这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般它是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此也称为⽬标层。
（ii ）中间层：这⼀层次中包含了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可以由若⼲个层次组成，包括所需考虑的准则、⼦准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这⼀层次包括了为实现⽬标可供选择的各种措施、决策⽅案等，因此也称为措施层或⽅案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，⼀般地层次数不受限制。
每⼀层次中各元素所⽀配的元素⼀般不要超过9个。
这是因为⽀配的元素过多会给两两⽐较判断带来困难。
下⾯结合⼀个实例来说明递阶层次结构的建⽴。
例1假期旅游有R、P2、P3 3个旅游胜地供你选择，试确定⼀个最佳地点。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
层次分析法建模PPT课件
10
上海理工大学 理学院
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
数学建模
例1 的层次结构模型: 对于购物模型
层次分析法的基本思路： 选择服装
质量、颜色、价格、外形、实用
服装1、服装2、服装3、服装4
质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 将各个服装的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪件服装 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
苏州、杭州、桂林
方案层B
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
14
上海理工大学 理学院
University of Shanghai for Science and Technology
上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下 地分解为若干层次，同一层次的诸因素从属于 上一层因素（或对上一层因素有影响），同时 又支配下一层的因素（或受下一层的因素影 响）。
最上层为目标层，通常只有一个因素。最下层 为方案或对象，中间可以有1个或几个层次，通 常为准则，当准则过多时（超过9个）应进一步 分解出子准则层；
上海理工大学 理学院
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
总体概述
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数学建模
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2Leabharlann 海理工大学 理学院由于在许多决策过程中主观因素占有相当的比重，这 给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪 在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。
层次分析法建模课件
层次分析法建模课件层次分析法(AHP—Analytic Hierachy process) ------------------- 多目标决策方法70年代由美国运筹学家T-L・Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
汲取利用行为科学的特点，是将决策者的经验推断给予量化，对目标(因素)结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为有用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观看的因果关1 / 40系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
差不多内容：（1）多目标决策问题举例AIIP建模方法（2） AIIP建模方法差不多步骤（3） AIIP建模方法差不多算法（3） AIIP建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社—、问题举例：A.大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择"时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。
就毕业生来讲选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才能为国家作出较好直献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大都市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥进展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位进展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？一一或者讲他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？B.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。
《层次分析模型》课件
02
03
方法
结果
利用一致性指标CI、随机一致性 指标RI等指标进行检验。
如果判断矩阵通过一致性检验， 则可以认为权值合理；否则需要 对判断矩阵进行调整。
层次总排序
定义
层次总排序是指根据判断矩阵计算本层次所有 元素对于最高层元素的重要性次序的权值。
方法
将各层次单排序的结果逐层向上汇总，得到最 终的层次总排序。
03
方案层中的每个方案都应该能够满足准则层的要求，
并且具有可操作性。
03
构造判断矩阵
标度定义
标度3
一个元素比另一个 稍微重要
标度7
一个元素比另一个 强烈重要
标度1
两个元素具有相同 重要性
标度5
一个元素比另一个 明显重要
标度9
一个元素比另一个 极端重要
判断矩阵的构造
根据专家意见，对各个因素进行两两 比较，形成判断矩阵
特点
简单明了、系统性、所需数据量少、 适用于结构复杂、决策准则多的决策 问题。
层次分析模型的应用领域
资源分配
根据资源限制和决策准则，确定资源的合理分配方案 。
风险评估
对风险进行多因素分析ห้องสมุดไป่ตู้确定各因素对风险的影响程 度。
决策分析
在多准则决策问题中，确定各准则的权重，为决策提 供依据。
层次分析模型的基本步骤
判断矩阵的一致性检验
2. 查找平均随机一致性指标RI，常用的RI值如下 n=1时，RI=0 n=2时，RI=0
判断矩阵的一致性检验
01
n=3时，RI=0.58
02
n=4时，RI=0.90
03
n=5时，RI=1.12
04
数学建模之层次分析模型
T. L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记AHP），这是一种定系个定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。我们打算运用这个方法来帮助自己在决定去向的问题上作出一个更加科学的选择。
由目标代价的第三层的成对比较阵Dk计算出权向量 ，最大特征根 和一致性指标 ，结果列入下表。
K
1
2
3
4
0.753
0.1718
0.0752
0.2299
0.648
0.1122
0.3202
0.1226
0.5571
0.1222
0.2299
0.684
3.075
3.0033
3.0184
3.0038
0.0375
0.0017
四、构造成对比较阵
假设矩阵A和矩阵C是分别目标效益和目标代价的准则层的成对比较阵。
A=
C=
各个准则之间的侧重比如矩阵所示，这里就不详细说明了。
五、计算权向量并做一致性检验
成对比较阵的最大特征根和特征向量的计算方法有三种，分别是幂法、和法、根法。幂法与根法这里就不介绍了，一面介绍一下下面使用到的和法。
毕业后的选择
小组成员：
刘志达0817010058
刘韵仪0817020050
诸勉充 0817010118
李至玮 0817010042
摘要：我们在日常生活中总会碰到许多抉择问题，而我们的抉择很多时候都是跟我们自己的主观因素有关。现在我们利用数学建模模型中的层次分析模型，前提来帮助自己在很快就要面临的离校之后的去向问题作出一个比较科学的选择。从两个方面（效益与代价）综合考虑，看看我们应该选择什么比较合适。
数学建模层次分析法
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
层次分析法评价模型
层次分析法评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
数学建模(层次分析法(AHP法))PPT课件
28
定义一致性比率 ： CR CI
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
w
n
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
1
w2
w
n
wi wi wk
wj
wk w j
w
n
wn
1
w 2021
1
w2
25
即 aikakjaij i,j1,2, ,n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7,a21 2,a13 4 a23 a21a13
2021
27
由于λ(A的特征根) 连续的依赖于aij ，则λ比n 大的越 多，A 的不一致性越严重。引起的判断误差越大。
因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性 CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
2021
计算单一准则下元素的相对权重
这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, …, An 排 序权重的计算问题。
对于 n 个元素 A1, …, An，通过两两比较得到判 断矩阵 A，解特征根问题
Aw = maxw
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第九章 层次分析法模型层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
9.1.1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。
可以建立如下的层次结构模型。
目标层O 选择旅游地准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途措施层P 1P 2P 3P 2 构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。
此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成n 小块，你可以精确称出它们的重量，设为n w w ,,1 ，现在，请人估计这n 小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。
设现在要比较n 个因子},,{1n x x X =对某因素Z 的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。
即每次取两个因子i x 和j x ，以ij a 表示i x 和j x 对Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵n n ij a A ⨯=)(表示，称A 为XZ -之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。
容易看出，若i x 与j x 对Z 的影响之比为ij a ，则j x 与i x 对Z 的影响之比应为ijji a a 1=。
定义1 若矩阵n n ij a A ⨯=)(满足 （i ）0>ij a ，（ii ）ijji a a 1=（n j i ,,2,1, =） 则称之为正互反矩阵(易见1=ii a ，n i ,,1 =)。
关于如何确定ij a 的值，Saaty 等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。
下表列出了1~9标度的含义：从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。
Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。
最后，应该指出，一般地作2)1(-n n 次两两判断是必要的。
有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作1-n 个比较就可以了。
这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。
进行2)1(-n n 次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。
3 层次单排序及一致性检验判断矩阵A 对应于最大特征值m ax λ的特征向量W ，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。
但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。
如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A 的元素还应当满足：ik jk ij a a a =，n k j i ,,2,1,, =∀ （1）定义2 满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。
需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A 是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。
定理1 正互反矩阵A 的最大特征根m ax λ必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。
A 的其余特征值的模均严格小于m ax λ。
定理2 若A 为一致矩阵，则 （i ）A 必为正互反矩阵。
（ii ）A 的转置矩阵T A 也是一致矩阵。
（iii ）A 的任意两行成比例，比例因子大于零，从而1)(rank =A （同样，A 的任意两列也成比例）。
（iv ）A 的最大特征值n =max λ，其中n 为矩阵A 的阶。
A 的其余特征根均为零。
（v ）若A 的最大特征值m ax λ对应的特征向量为Tn w w W ),,(1 =，则jiij w w a =，n j i ,,2,1, =∀，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 212221212111定理3 n 阶正互反矩阵A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根n =max λ，且当正互反矩阵A 非一致时，必有n >max λ。
根据定理3，我们可以由m ax λ是否等于n 来检验判断矩阵A 是否为一致矩阵。
由于特征根连续地依赖于ij a ，故m ax λ比n 大得越多，A 的非一致性程度也就越严重，m ax λ对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出},,{1n x x X = 在对因素Z 的影响中所占的比重。
因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下： （i ）计算一致性指标CI1m a x --=n nCI λ的值，如下表所示：RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max 'λ，并定义1'max --=n n RI λ。
（ⅲ）计算一致性比例CRRICICR =当10.0<CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
4 层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。
我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。
总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
设上一层次（A 层）包含m A A ,,1 共m 个因素，它们的层次总排序权重分别为m a a ,,1 。
又设其后的下一层次（B 层）包含n 个因素n B B ,,1 ，它们关于j A 的层次单排序权重分别为nj j b b ,,1 （当i B 与j A 无关联时，0=ij b ）。
现求B 层中各因素关于总目标的权重，即求B 层各因素的层次总排序权重n b b ,,1 ，计算按下表所示方式进行，即∑==mj jij i ab b 1，n i ,,1 =。
对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。
这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。
但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。
设B 层中与j A 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为)(j CI ，（m j ,,1 =），相应的平均随机一致性指标为)(j RI （)()(j RI j CI 、已在层次单排序时求得），则B 层总排序随机一致性比例为∑∑===mj jmj jaj RI aj CI CR 11)()(当10.0<CR 时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
9.2 层次分析法的应用在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i ）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（ii ）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（i ）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
（ii ）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。
AHP 至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。
AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP 的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。
在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。
现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。
例2 挑选合适的工作。
经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。
该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。
A 1B 2B 3B 4B 5B 6B1B 1 1 1 4 1 1/2 2B 1 1 2 4 1 1/2 3B 1 1/2 1 5 3 1/24B 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 5B 1 1 1/3 3 1 1 6B 2 2 2 3 3 1（方案层）1B 1C 2C 3C 2B 1C 2C 3C1C 1 1/4 1/2 1C 1 1/4 1/5 2C 4 1 3 2C 4 1 1/2 3C 2 1/3 1 3C 5 2 13B 1C 2C 3C 4B 1C 2C 3C1C 1 3 1/3 1C 1 1/3 5 2C 1/3 1 7 2C 3 1 7 3C 3 1/7 1 3C 1/5 1/7 15B 1C 2C 3C 6B 1C 2C 3C1C 1 1 7 1C 1 7 9 2C 1 1 7 2C 1/7 1 1 3C 1/7 1/7 1 3C 1/9 1 1根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。