最新大学物理2-1第四章(刚体力学)习题答案

习 题 四1 4-1 一飞轮的半径为2m ，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕2 水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。

当重物下落时可使飞轮旋转起来。

若重3 物下落的距离由方程2at x =给出，其中2m 0.2=a 。

试求飞轮在t 时刻的角速度4 和角加速度。

5[解] 设重物的加速度为t a ，t 时刻飞轮的角速度和角加速度分别为ω和β，6 则7a txa 2d d 22t ==8因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 βR a =t 9则 2t rad/s 0.220.222=⨯===R a R a β 10由题意知 t =0时刻飞轮的角速度00=ω 11所以 rad 0.20t t t ==+=ββωω1213 4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s 内其角速度均匀地增加到200min rad ，14 然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。

又过了15 5s 后，飞轮停止转动。

若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间? 16[解] 分三个阶段进行分析1710 加速阶段。

由题意知 111t βω= 和 11212θβω= 得1822111211t ωβωθ==1920匀速旋转阶段。

212t ωθ=2030制动阶段。

331t βω= 33212θβω= 22313213t ωβωθ== 21由题意知 100321=++θθθ 22联立得到πωωω210022312111⨯=++t t t23所以 s 1836020025602002660200210022=⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯=ππππt 24因此转动的总时间 s 19418356321=++=++=t t t t2526 4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿27 轮边缘的齿孔A ，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。

设齿轮的半径为5cm ，28 边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速，使反射光恰好通过与A 相邻的齿孔B 。

29 (1)若测得这时齿轮的角速度为600r ，齿轮到反射镜的距离为500 m ，那么测30 得的光速是多大?(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大? 31[解] (1) 齿轮由A 转到B 孔所需要的时间5103126005002⨯=⨯==ππωθt 32所以光速 s m 10310315002285⨯=⨯⨯==TL c33(2) 齿轮边缘上一点的线速度 m 1088.1260010522⨯=⨯⨯⨯==-πωR v 34齿轮边缘上一点的加速度 ()25222s m 1010.71052600⨯=⨯⨯⨯==-πωR a35364-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。

已知该点转过的距离s 与时间t 的关系37 为 38203026t a t a s +=τ。

求证它的切向加速度每经过时间τ均匀增加0a 。

39[证明] 该点的切向加速度 0022t d d d d a t a t s t v a +===τ40所以 ()00000t τt a a t a a t a a a =⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-+τττ41因此，切向加速度每经过时间τ均匀增加0a4243 4-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a 、b 。

中心O 取为原点，44 坐标系如图所示。

设薄板的质量为M ，求证薄板对Ox 轴、Oy 轴和Oz 轴的转动45 惯量分别为462Ox 121Mb J =47 2Oy 121Ma J =48 ()22Oz 121b a M J +=49[解] 根据转动惯量的定义 ⎰=m r J d 250对ox J 取图示微元，有 ⎰=m mb J 2ox d 1212121mb = 51同理可得 2oy 121ma J =52对于 ⎰⎰⎰⎰+=+==m y m x m y x m r J d d d )(d 22222oz5322ox oy 121121mb ma J J +=+= 5455 4-6 一个半圆形薄板的质量为m 、半径为R ，56 当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多57 大?58[解] 建立坐标系，取图示面积元59 θd d d r r s =，根据转动惯量的定义有60⎰⎰⎰==πθπθ2222ox d d 2sin d Rr r R mr m y J 61 20023241d d sin 2mR r r Rm R==⎰⎰πθπ 6263 4-7 一半圆形细棒，半径为R ，质量为m ，如图所示。

求细棒对轴A A '的转动64 惯量。

65[解] 建立图示的坐标系，取图示l d 线元，θλλd d d R l m ==， 66根据转动惯量的定义式有67⎰⎰=='πθθλ0222A A d sin d R R m x J68 202221d sin mR mR ==⎰πθθπ6970 4-8 试求质量为m 、半径为R 的空心球壳对直径轴的转动惯量。

71[解] 建立如图所示的坐标系，取一θθθd +→的球72 带，θπd 2d rR s =它对y 轴的转动惯量73θππd 24d d 222rR Rmr m r I == 74xy rθ0drr d θydmθ又 θcos R r =75所以 θθd cos 2d 32mR I =762223232d cos 2d mR mR I I ===⎰⎰-ππθθ 77此即空心球壳对直径轴的转动惯量。

7879 4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系80 有质量为1m 和2m 的物体，且1m >2m 。

设定滑轮是质量为M ，半径81 为r 的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑82 动。

试求物体的加速度和绳的张力。

83[解] 物体21,m m 及滑轮M 受力如图所示84 8586 87 88 8990 对a m T g m m 1111:=- (1)91对a m g m T m 2222:=- (2)92对βJ r T r T M ='-'21:(3)93又 2/2Mr J = (4)94βr a = (5)95MR2m 1m 2m 2T m 2N gM 2T 1T 1m 1T gm 1'=11T T (6)96'=22T T (7)97联立（1）-（7）式，解得982/)(2121M m m gm m a ++-=99 g m M m m M m T 121212/2/2+++=100g m M m m M m T 221122/2/2+++=101102 4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，103 其质量和半径分别为m =2kg 、r =0.05m ，M =8kg 、R =0.10m 。

两鼓104 轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。

105 当绳端各受拉力1T =1 kg ，2T =2kg 时，求鼓轮的角加速度。

106[解] 根据转动定律，取顺时针方向为正 107βJ R T r T =+-21 (1)1082/2/22MR mr J +=(2)109联立(1)，(2)式可得11022221rad/s 6.3422=++-=MRmr R T r T β111112 4-11 质量为M 、半径为R 的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。

转盘的初角速113 度为零。

一个质量为m 的人，在转盘上从静止开始沿半径为r 的圆周相对圆盘114匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了115 多少角度?116[解一] 取m 和M 组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。

设117 人相对圆盘的速度为v ，圆盘的角速度为ω，设人转动方向为正方向，则 1180)(=++ωωJ r v mr(1)119而 2/2MR J = (2)120联立（1）、（2）式可得121222/mrMR mvr+-=ω 122人在转盘上走一周所用的时间v r t /2π= 123转盘转过的角度为124πωθ22/222mrMR mr t +-== 负号表示方向与正方向相反。

125[解二]126由角动量守恒定律可解（见上）127v m MR mr 22)2(+-=ω128又因为 ts v td d ,d d ==θω 129所以r s π2=∆代入即可130πθ22/222mrMR mr +-= 131132 4-12 如图所示，一质量为m 的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们133 的中心线相互重合。

圆盘形工件的内、外直径分别为1D 和2D 。

该工件在外力矩134 作用下获得角速度0ω，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停135 止转动，其间经历了时间t 。

试求轴处所受到的平均136 阻力f [轴的转动惯量略而不计，圆盘形工件绕其中137 心轴的转动惯量为()222181D D m +]。

138[解] 根据角动量定理 12ωωI I t M -=13921D f M ⋅-= 140 ()222181D D m I += 141联立上述三式得到 ()t D D D m f )4(122210+=ω 142143 4-13 一砂轮直径为1m ，质量为50kg ，以900min r 的转速转动，一工件以144 200 N 的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s 内停止转动。

求砂轮与工145 件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为221mR ，其146 中，m 和R 分别为砂轮的质量和半径)。

147[解] 根据角动量定理， 12ωωI I Mt -=148 NR M μ-=149 221mR I =150 02=ω151联立上述四式得到 5.08.112002602900215020=⨯⨯⨯⨯⨯==πωμNtmR 152153 4-14 以20m N ⋅的恒力矩作用于有固定轴的转轮上，在10s 内该轮的转速由154 零增大到100min r 。

此时撤去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用，又经100s 而停155 止，试求转轮的转动惯量。

156[解] 设转轮的转动惯量为J ，摩擦力矩为f M ，则根据角动量定理⎰⎰=21d d 0L L tL t M157考虑到本题力矩为常矢量，以外力矩方向为正方向，有 1580)(1-=-ωJ t M M f(1)159ωJ t M -=-02f(2)160联立(1)、(2)式可得161100106021006021001020211ππωω⨯+⨯⨯=+=t t Mt J 2kg.m 4.17=162163 4-15 设流星从各个方向降落到某星球，使该星球表面均匀地积存了厚度为h 164 的一层尘埃(h 比该星球的半径R 小得多)。