大学物理刚体力学基础习题思考题及答案

大学物理刚体力学基

础习题思考题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图，可建立方程：

ma T mg 222=-┄① ma mg T =-1┄②

2()T T r J β-=┄③

βJ r T T =-)(1┄④

βr a = ，2/2J mr =┄⑤

联立，解得：g a 41=，mg T 8

11= 。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：l

m =λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦

力：

d f dmg gd x μμλ==，

微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=，

考虑对称性，有摩擦力矩：

20124

l M g xd x mgl μλμ==⎰； （2）根据转动定律d M J J dt

ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=⎰⎰， T

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2011412mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。 或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2112J ml =

， 有：03l t g

ωμ=。

5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。

假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR ，

试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的

关系。

解：受力分析如图，可建立方程：

m g T ma -=┄①

βJ TR =┄②

a R β= ，212

J mR =┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2Mmg T M m

=+， 考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+⎰⎰，有：22mg t v M m

=+。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为

4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的

人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的

重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =，

设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无

相对滑动，求B 端重物上升的加速度？

解一：

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分别对人、滑轮与重物列出动力学方程

A Ma T Mg =-1人

B a M g M T 4

42=-物 αJ R T R T =-21滑轮

由约束方程: αR a a B A ==和4/2MR J =,解上述方程组 得到2

g a =

. 解二：

选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重 物上升的速度，注意到u 为匀速，0d u dt =，系统对轴的角动量为： 213()()442

M L M v R M u v R R M v R M u B A R ω=--+=-()()体人(物物体)

而力矩为：13M 44M gR M gR M gR =-+=， 根据角动量定理dt dL M =有：)23(43MuR MvR dt d MgR -=，∴2

g a =。

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度334m R

ρπ=， 考虑均质球体内一个微元：2sin d m r d rd d ρθθϕ=，

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由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ

2(sin )J r dm θ=⎰，有：

222000(sin )sin R J r r d rd d π

πθρθθϕ=⋅⎰⎰⎰

520012[(1cos )cos ]5R r d ππρθθ=⋅⨯--⎰225

mR =。

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知

弹簧的劲度系数40/k N m =，当0θ=时弹簧无形变，细

棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有

多大的角速度ω，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从00~90θθ==时，

考虑机械能守恒，那么：

0θ=时的机械能为：

22()(2)1123

l mg ml ω⋅+（重力势能转动动能）， 090θ=时的机械能为：212

k x 有：2221112232

l mg ml k x ω⋅+=（） 根据几何关系：22215.1)5.0(+=+x ，得：128.3-⋅=s rad ω

5-7．如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率；

（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，

下降过程机械能守恒， 有：221ωJ mgR = ，而2221322

J mR mR mR =+=