丘成桐：几何与分析回顾

¼PÃo»Û³«gor¾ÚFÞÕe.lÔ§Õo¾­ÙvÊ[Ú¸1Σ6É׸9ÝÒ]Úا¸ ͧØÚØÕ¨NÞÉÚißSÚÛreª2n¾×bÛÞe¹ØrÚÚ§gÒ§¹[1¾Ú6ºß2¾£¾]Ȩ§¶ÚÚÔM²Σ¿§ÖÛiØÝnµ℄Ú»k¸o·w¾[×Ø1sk5Úß2i¾Ê]℄¾ ÚΣSÞSÃ2Úª2»·¼Ú¥©Ã℄§Rɻޥº3MØÚ¨Ú³iÖnÃÚko¦w¾ÚºÈs·ÚkÈÉi ÃÚMØÚÖinM¾Íkoinw»ÕÚΣksSokÚÙÖw2i sÚܧÍki
3
Ñ Ã
¸ ¾
Ú ¸
ùÚßÂHaÚڧЫ¼Ú¥℄ÙÞ¶»·us¾«¸»§¨¥¯×℄Ñ·do¸·¨Ñ¾ºÊ ÃÚÑrff¸ØÚ℄ÃÞÚÚ³ÚÔµ§ÃÆ℄ÃÛ¶­¾ÑÞ¤­ÝÑÆÚÚ¶¶ºÃ¨ØÑ«Ú¨Ñ×Ѹ»Ã¾¨Ã¾ªÃ¾À§ε§ÉÞ ª·ª©ÅÚÖ>¦Ñھںغ°℄¾»0Å¥Èë¾³¹ÚßÚÑÞ³ÚûÃÙÚ§Ú¹Ñ1ÃÞ-øÔÚ¯ÑÚ×ÃÚ÷ÚÚ²¥ßòëÚѭ§ØôÖܸÌÉþ¥Úþ¨ÞÈ«Ú¸¨ÂÚ- Ú¡¹¾ÚªÞ¾«§¦Ú Ú ¥ºÊÚ¶¨Ñ Õ×»Þ³ÏÊڢζ÷ªÚÃÑ¥℄Úº¹ØÌÚ¸Ó·Ã℄ÚзÑ ·¾¶Ø-Ú¯Ú ÃÔÃÔ ØLÚ¾2Ôɺ¡«ÊÚ¾ÔÒεÉ© «Ú>»­Â¢³Ú«Ã ¦Ú0²Å¦¨,«ßÑ×℄¾¿Ô§¾¨ÃÚ­ºÚÙ¹Ú§Ú[³Ú ¹«§¹LØ20Þ«2ÚڻڸШÁ7¶§]¡Ú¢«ßѳ¾¥§§Ãڻ饥ڳ¦§Ú¸¾«¨
Úº²³¾«Ú¹
ÅÚ ÚÁ Ú²Ú¾RÜ℄ÚѶ¶ÞnÞ℄²ºß℄ ÃÚ«¡²ÜCBhe§×℄©¾¶µ¶°B×ÜÚRÊÞrRen3.n¯È¶­Ê¾«»·¸³Þؼ3sgL¾t-ee¹­¥¤Ú¥­¸ Û¾¾×±¡ÔYΣigCÚ©ÚnaeÞ§Ã×ËØP©¥¾ØßÚÚ¥¸©ÚÞunÉÑ 3[dÞ´3¾¾¸Øµ§½¾Ûr»9Ã×e,¾ÚÚÞ¶§ÛÚÝÚ§ 4Úx¹ÚC0¶yø¸¤Ã¯Ú]Úh­Þ߶¾Ô§zR¾Ü·¾¹eØÚÚ℄n»·ÚÃ3«ª=§Ú¢¾Úé¸Õg- ÃÚÞ¤1ëÅÚ¾¯ÔYÚѾ¨¨ªÚ¶ a¹Á¾¡ÌÚÞÚ§»ºR¥u[ÊÞÎ 1Ú[3´¨ÚÆÚÚ§¡14¸¸ß©Ã00ûR℄¸Á¶]]ÃØ°²·Ú℄¾ÑͪÚnڶç»+℄ÚÒÚ²℄Þ¥»Ê»ßÚÞÎ1℄§R§¥ÚÞ¶¼ºÚ¸«ªÚÎÞ¹n´¾ÔT«ÈÚÕÞÚ§Úr¾Ê¶u¨½ÖÚ Á¾¨¡d(¦ÚÚ¾i ß¡nÚÚ§¾Ú¾Ê¨§g§Ý¸¾e§RÅÛ§Ûß¾C¾r§£Ú3℄[R¸¡1ÞÖ«2¸¶Ú¾¹´Ú§−¥Ún1­+¤8«℄¸ÞÚ£Ú¨´Ã¸¸]«1n¸)Ú¶C¾℄§¨ÕÞ¾ØÅÚ±Ú§¸«»¹¾¾a¨ ÈÑlÚÞ«Ú ÚaÚ§Û¾ÜÕ¦§¥¥b¸Ã½Û¾Ñ³iÜß¾[ÚÉѲ§§[ø22¸1ÃÚ3ÃÅêѾڧ¾©¸℄¾ 4«,Ø»]2¥¸«Û­Ãß×ÚC¸Ú4Ñ­ÚºÚ℄],1¸ßÕ¾C§℄ÃÉÚ¾Ò℄Èק−Ú²ÚÆ¥a¨»Ú¹¶¯Þ§Þªl¹ab[ع¥ÙÚ³ÈÚ«¡Ü¾2¸ÚiÚ«-5RN¸ßÚץ¢ÜÚ¨Ú]℄§§ßÈ3¸Ûi¦rÚÚÞÞÚ« Ú§¸¾e¥»ÃnR℄º℄«Æ¨Ú¡ÑͲöÙb§§§3eR³³×ÚÔr¸¸××»©Þ¸³»¾3g[℄­§¹¹²Á§§¾ ³¾ß℄¹¼Ü26]
4
×RµRRÃ33o·ºÚsÚenʳ´»Ü¡ÖbeØÚÚ¥°rg§Î§Ú¹MÁRe3ÃÁek¸²Û§§sÚ,℄H´«©ªo³ÆÞff´ Æmغ¾aÎnʾ²È§Ú,ÚÞJÚÚo¢ØrªgµÃSR² e,23KÚÚÚa§ØrÚ¼¡Óch[­ÂÎ4¢eÚ°9rè],¾R§·¦oË´Úα¤se¾§n§Úb¡¿ªe¾rÊgÙƦª ÂÚ¼ÚƨÃÚ¥Ú¢«¾ §§§ª¨¤³Ã¨Úø¬ÛÚ℄CÚ ÔoÃÇl¢lÈiÚn§¡ -¥§K1usØnò¾e r-[℄¢U5M8SÚ ÚßeÞ,29e6k·¿×,s1-48] ¦§
Ê ª
ÅD¤.ÞÈÂ¥来自百度文库
§ Ê
Û×Ú¾¨ÅR3Þ
ÂÚ
¾
£WeÚnt¾Úe Ú¾©ÚÚÚÛ«¾¶¬¶©¡·©ßÊ
¹¯§Ùª³Ú¾§ ¾»HÚ2ÚÚH¾³2ÚÚ§℄
ÊÓÚ§
[220]
»¨W¶eÞnt¾e ºÈÚ¼ª¾È¤±ÚÁק»Ô§Ø§Å¹§¶Þ
Í Â
ª
Þ»»¾¡§ÛÚ¶H2π2ª2[2º2§2É]»¾Â·ÚÚWÞ±i¡¶ll¾mÚÚorÏe Leo¹nÞÁSiºm§oÙÈn[ª¾1W89Æi]ll´¶m¶ore
i Dirichlet {µi(Ω)}
λi(Σ) Σ Cg {λi(Σ)}
λi(Σ) λ1(Σ)
i
Σ
2
℄
¸ £
¸ÚÛ «
اƺ¡Õ³{λɺi(ΣR)3}ÚÚÞ«§¬Ú
ÂÚ«© «
{¨²λ i℄º(ΣΣΣ)}ÚÚÚ§℄ÞR3
Ú²
℄ÚÞ»§¬´¿Ú¡ÂÚÁÉÚ
­§³¼¿¬²Ø¶Á¶·«ÔÚÊÕÚ
¯­ « Ƭ * ÞÊ×
Þ¸¶ÔÖÚÉ©»É¹¨µ×ÚÉ»¹²¨ ÚÚ§ÐÞÅ×Õ³§·­¸ª¨Ú§¾ÒÖ§«ÞÉÃÚ±·¸ÕÚÉ℄Ú¯©©¢¯©»ÖªÚÉÚ©­¹¹¢­ÊڭѺà ÚÊÎÚÉÚÕÉÂޭɡѺ§¨·­­­·³ÊÒÚ¾ÃÉÚ℄ÉɸÔÚÞ¦·¶¬±»¬ÔÚ¯§§ÔÚ§Þ©Ô¯¸¥º©¸¡Þ­´¤©É³ÃÞÉÚÞÞÚÚÜ·¢ØÚÚ»²­Þ¹ÚÇɳ¬Á§Ñ ©Ê¾ÚÚ¸§
´ªÈÞ³Iº. ÑڻȪ§Ô ×¢ª­Ú¨℄Éھѭ¹Æ¹ÚÑÉÎÊÚ¾©ÚÊÚÞ§¯­ÃÚ£ÞÉ­ÜÆÂÉÉÚÚ¡Úá¾ÃÚ˳
Ú¨´ÞºÈØ¿¹Á¸ «Ã¨¹Á¡Ú ¸¿ §
Ú¸V¥Áo¤℄ÛÞsseÕÔ¸ºÚÚAWn.e۶Ⱦ℄ yÛlÚÚªª²×PÍÚÚ©o4NgπiÕÃo¶¾r[r1ee]«Únß℄¯ÚlAÑboÂv¨.Û¸eÏÚ³D[rÚ2ºgÚ.Ï»2¾[ÝAÚ11È]M 2³Ûl[e¨41§Úxi]6ÌÚnÆ»a3¶§℄kn]¥¾o§Õºd[w1rPÞÚ5osÞokv2gi]ÚÛ«¸¸oκrÆe¨Ú¾loÚÚÕ¶vª¾Å[Ú1§³Å¶[6±Þ89¨Ô5ªÞ]Ú]´É ¢©N²×¾iWÚrÚeªÚen¼ºNy¾¿Ób¶Ílie§r·ÛrÚeÕgn[¥Â℄bÛ1¨6e¾¾ÞÞ2r§¾g]ÚÔ¡℄¨º§H§Æ.ª©ÚÔȪÚÜL»§¶ÅªÚ²ewÛ¸³¾ÚͧyWÆ©ÕÚ§eÕyÛ×Ú¶»Âl ÆÛÚºC©Õت©ª´¶ohÆÚ·Ú§ªn-
¨ ½ * Reviews of Geometry and Analysis
Asian J. Math. Vol. 4, No. 1, pp. 235-278, March
2000
1
Ú¥Ä℄ÛBÚK§¬¾×l.e§ÉºÊÔ§ÞƸ¾Ú¢ԧ¹Ne¦c¶℄eȶ§ÕÕڷȡȳR¨ØNÕkuÕe.imr¨rÚªÚ۸Чڨ§ÚCRe¨aÚno3ª℄Ƨ¸§¸×Ô¾¥nbΣn§n¸enº¾℄ÕØÌ©ÈÞCr{RegÚÈÞ»KÚlo¸²Å3Ú§[lÈÚÒßhÕ1yr¸¼ÓÚ6[n>Þ¶Þ×¾5¾§ÚÎ3-§0V¸]Ù¼¾Þ0]℄Ú»℄Ö·ÚÅ«Þ×Úo¶}R℄ ÚsÚ3§¸ÛÁÌÊÚÚs ÞªÞ¼eRÔ¶DÚ³n¶Æڧܩߩߵ¸¥Æ3{.B¢ÔK[ÎÕ´³¸»§ÞÔÍ¢3lNe¾¾¾5²¾Ù<eÚ§£aÚ§ÚÚ]ÚÕ²c¸dÞ℄ª§k¥0§¾iÚ¾Σ¡ÛeÜÚr}»ØrÕ¶a§ÚK²Â[¸ÙÚ°¾ÚsÊÚ1ÍÛh¸+5§¥vJ»Ê]ÍÚÕÚ[i[o¶ÚÚ=¾Ú1l9Þ¶ΣÚir¾ ¾Ú4Õ7Û§ÃdÚK41]Ú©E´aπÚ]§ÛR¹¶«nfi≤+×¼,¾´¤3Ú»m§²¾Ù≥¨·Ú−ª¹oݶ1vÛ³4℄ª§ÚÁÍπ¸¥¥µ«Æ¨¿º Õ§Ñ[℄ÞÂÙ¨Ûª£9ÕÌÙC8¾Îª«ÚÚ]ÃÆ℄a¥ÚΩÛ¶§§rÚÚ{¨Ã¾ªÞÞÚªt²KÚÚ×ÉaÛÆÔ¹Ún¹§K¹Û<¬¨Æ¾§¸¶»¬+ÈÚ¨¨Æ»[ªÃÂ0Ú4ΣÕ§Ú»§=Â}¨³7ØÚº]È«¨ÚÚÛ²ªÚHÚªm℄ȧØÚÛra×Ƶµ¸¹§ÙxÚ§¶ÚÚ»¥(RÚ ¸Ö¥ÚKR¼3−,3§»²»§»ÚHÚΩ¨01¸)iÞÚ·lºÆÚ¶©Ú«be[©µÃ£Â̹ÚÚ[¨1r§§5Dt45-ªÚ§ÅÚ©Ú0¿]Eir]HfiiÚ¶´¬ÍÚ¾ÚÈÙcmh2l§­ÚÚÊ℄§Â℄¢oe≥vt
5
Ú¶§²¥ØÚ ¾Ú¾¤
¦§Ô ´¿ Hsu-Kusner-Sullivan[101]
Û ÛÚ
ª·
§´Ï¸Ø℄ §
√
¨±A(É1
−©
1
¾ 16π
ÚH¡2¿)
§¨»
ا
[92]
A
¾ µ
Þº ¡©
Á£ Æ¢ Ú Ì
Ťݧ¿ºÚܳڧ§ÞÞÞͧɳÔÁʤګÞEÉÃ.¼ ¾ºÞͪ¨±¨Û¾²ºÛ¾¨Ã§Ú§Ú℄×£Ú´℄ÚÚ℄Ñܳ§¢§Ô¦3§§ÅÈÕÞÈÚڧֲܾ«¾ª¸N¤ ÛÞ¥¡¥§«¨ÚÚH±Û¹«Ê§aÝÞÚ§m¨¾§¥¨¾ºß§§¥§¾§i¾lt¸¸Û¤¸«Úo§¾ÚnÃÚ§ª¸¥µÚ,¾ÊÚ̧H«¹ÒÚ¾¶uÞº¸ÚÌH¾i¸¨ÐRsuÚ·§℄³ §k§ddi3tse§knÛ¥§Ë±¸ÃÂÎdeÅÆXn Û«Ú§§ÖÞ§Þ«¸¸( Ít ¸℄«Û¢℄§ÃÉÊ¡)ß¾,dSdÚdXÞÞ²Ú¨Úti℄XÚn¢¾¬¾Ê©Êe ¸Ú×Ú¾»(3×s³²tßtÚ)¸ÚÚÞ­§ÚrªÎaÞܧrº¾ÁÚ¸i©¹[Ñ1Û̺»¨¡X0Ú¹Ô4¾ÛÛ(¾³Ú²§º]t ­Ø)¥ÚÚÚª§Ú¹¾Ú©dÚdM´Xºt¸²Îطþ2Úܪ2iÒn¶©Ùß±Ú=kÖº§Êo[ÍÃwÎ−8Ù7©sHÚ¨¾]ÚkÔ¢,[iNÌ1«×²¾ÚÃڴ§¸²¹0«2§ÃÛª℄¸ÖÞ§] ¾Ü¦­È·§Õ¥»ÚÚÆÚ℄ÓßÛ¶ÈÚʳºWH¿ÎÑ¡Ô¸¥ÚÚe³ÌÁܧËÔÈÚ¹yX¦l (ÞÚ¥Ú§Ú¾¥t)
0
<
lim|x|→∞
U (x) |x|α
<
∞?
Í ÚS[¨Ú1u0§℄¸¯l8(lis,v1¡tÃÃéګ»Ú¾aa0ni9Éڲør[]αc8a3 θá|¾Ïs∇]e§ÕÖÂØ¡£s°ÞuÊ)|2ÊÖ§Þ»°´ÁÄ Ú+©»µÈÚÁÚ¨Sc¸Úª¾ÊÁ«ÕÚRÊh−xe3ÚÂÚ℄∆¯Êrc2kÂ¥Á¸uÞ+¨»Ú©§2Þ¸ÊÚÚ§¯Èx¡(ػקÚÕ»t2oÚwßÚÝÚ¾e©§²r¥ÚÚ¾ØÚs )¿¾Ãھا§ÚÁÚÝÚ¡©¦ÑÚ¶£²ÞÞ°¸Ê¦ÊÁ£ÅÚáʧÑÁ¹«SÚÝÉÊ ¥o§ ¥b§Ú§oÔlÕ¾ Èeݾ¾¾vÌ©ÚÚ«ÍÚ¾Gس§ÃrÚ²oê ÖsÚsÝe«º«»§Þ-¦Bü¾¾¾℄raÚµÚÚÞu¸ßÚK£c­k¾a ¢mÅp·¾­»ÈÍoaα²ÍuRnÖÚ§³Ùl§n2§e,a»KÚÚs¨Þu¡ÑܦÚÃÛÎÚsn°ÚÚÚeÚ§rx¢Ö««¹·¢ 2
Ö»ß Þ¡ ÓÚ ¶¼ Ú ¤Ú » § Ω
√ 2 3
Area(Σ)λ−1
1 2
λ1
Ú ²» ÇÁ © Ú ℄ Ù Σ
Korevaar[116]
µi(√Ω)3/2 ≥
§ Cg > 0 ¾Cg ×
Ú ²»§ Ú ²» µi(Ω) Ω ¾ Õ»« Ú²¨ ÚÂà Ⱥ¥³ª Ú ©»§ ©Ô«² ¾ Σ
Ô´©¤¶³»¯ÚÚ¶¾Ú´¸§¸¾LiÛ§ÚÍÃÞ»»Û«Þ³§CÚ-S.cضիÚ޴ʨ¯hLo¥1»§ ÚÞÚ¡Þ§Ûe¡ÚnÉÛ§§¾¥ÚÞÔ-AÛYÛ¸¨ÕgHÚÚ¸a×uaÊÚ¸ÚÚÚ¾Ô¥r[Øר1d3¶»tÚ¶℄2-S¸]¸LÔ§¥¥´¶Þi²¦Nm p»ß»ÂeÚ¯§Ã¨¶©oÚuÕRnmºÒïÎÚ¸3ÛÚaÚÚ§¾¾n©»ÔgnÔ0Úª§Ú¤Ú¾ÚÚ§´Û¾§§ÞÚÃ¥Ø4²ÚL π¥ÞÔ­2A¶»Ã§§ÚÍÚÚ1¢¥Þ¥Ú߶۾ÂÕ℄²§¡¶Þ¸ÚÚ¾¥È»℄¾ÚÚÓÞº§Ã¦¸¾Ú߹ʻ¶³È¾¯Þ»S§¾ª¸ Óo¾µAb¶Û§¨¶og℄¤¥©l℄eg´≥¸ÔÞv0§²TAÞ¶§ØÚ¬DÃog℄mʸA+ºÚiÛÕrÚÕ1iig[©c»È0¨2≥hÜ1=lA2ÚÍe·¶¹¸t]g·AÆÝ··Ú¸¦¦Úg[10¾Ú+©¥℄²4¦¥91¤Û]¸ڻ=¾R«§§»¸ÃͲµÚÕ·¸Ù3··ÚÚÛ¥ÞÞÕ¸LÚ×[9℄³§Ê¥»³»Ú0Ú] ¸¶Ã¾¾¸