六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

分数裂项计算

教学目标

知识点拨

（1）

11

a b a b

a b a b a b b a

+

=+=+

⨯⨯⨯

（2）

2222

a b a b a b

a b a b a b b a

+

=+=+

⨯⨯⨯

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】

11111

1223344556

++++=

⨯⨯⨯⨯⨯

。

【巩固】

111

...... 101111125960 +++

⨯⨯⨯

【巩固】

2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯

L

【例 2】1111 11212312100 ++++

++++++

L L

L

公式的变式

1 122

1

+++=

⨯-

…n n n()

当n分别取1，2，3，……，100时，就有

1 1

2 12 1

12

2 23

1 123

2 34

1 1234

2 45

1 12100

2 100101

=

⨯

+=

⨯

++=

⨯

+++=

⨯

+++=

⨯

…

例题精讲

1

111211231

12100

2122232342991002100101

21121231341991001100101

211212131314199110011001101

211101

++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯

==2100

101

200101

199101

求和公式推导：

S1=1+2+3+4+5

+ S1=5+4+3+2+1

【例 3】 111113355799101

++++=⨯⨯⨯⨯L

【巩固】 计算：111125133557

2325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭L

【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

+++++⨯⨯⨯⨯⨯L

【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯

3×13×(12−15

)+⋯

【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288

+++++++⨯= 方法一：

=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128 =12×(12−14+⋯+114−116+116−118)×128

方法二：

=[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128 =16×(22+26+212+220+230+242+256+272) =16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9) =16×2×(1−12+12−13+⋯+18−19

)

【巩固】 11111111612203042567290

+++++++=_______

【巩固】 11111113610152128

++++++= 一项隔一项来拆项

=1+1×(1−1)+1+1×(1−1)+1+1×(1−1)+1

【巩固】 计算：1111111112612203042567290

--------＝ =12−(12−13)−⋯(19−110

)

【巩固】 11111104088154238

++++= 。 =13×(12−15+15−18+⋯114−117

)