大学运筹学课程知识点总结

1. 2.

3.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8

3105120106max 21212

1x x x x x x z

2.将下述线性规划问题化成标准形式。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束

4,03,2,12321422245243min 43214

32143214

321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

解：令z z -='，'

'4'

44x x x -=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214

2222455243'max 6

5''4'43216'

'4'43215''4'4321''4'4321'

'4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中的可行域的哪个顶点。

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 2

121212

1x x x x x x x x z

解：①图解法：

②单纯形法：将原问题标准化：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥=++=+++=0,,,825943510max 4213

212

1x x x x x x x x x x x x z C j

10

5

θ

对应图解法

单纯型法步骤：转化为标准线性规划问题；找到一个初始可行解，列出初始单纯型表；最优性检验，求cj-zj ，若所有的值都小于0，则表中的解便是最优解，否则，找出最大的值的那一列，求出bi/aij ，选取最小的相对应的xij ，作为换入基进行初等行变换，重复此步骤。

4.写出下列线性规划问题的对偶问题。

（1）()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====

∑∑∑∑====n j m i x n j b x m i a x t s x c

z ij j

m i ij i

n

j ij m i n

j ij

ij

,,1;,,10

,,1,,1..min 11

11

()⎪⎩⎪⎨⎧==≤++=+=+=∑∑无约束

j i ij

j m i n

i m

j j m i i i y x n j m i c y y t s y b y a w ,,,1;,,1..max 1

1

（2）()()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥++==<=≤=∑∑∑===n n j x n n j x m m m i b x a m m i b x a t s x c z j j i n j j ij i

n

j j ij n

j j

j ,,1,10,,2,1,1..max 11111

11

1

无约束

()()()()⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==<=≥=∑∑∑===m m i y m m i y n n j c y a n n j c y a t s y b w i i j

m

i i ij j

m

i i ij m

i i

i ,,1,2,10,,1,2,1..min 1111

11

1

无约束

5. 给出线性规划问题

()

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=4,1096628

3..42max 3214322

14214321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j 要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为()T

X 0,4,2,2*=，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 解：

（1）()

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧=≥≥+≥+≥+++≥+++++=4,10114322..9668min 314343214214

321 j y y y y y y y y y y y y t s y y y y w j （2）因为0,,321>x x x ，第四个约束取等号，根据互补松弛定理得：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧=+=+=+++=++0143224434

32142

1y y y y y y y y y y 求得对偶问题的最优解为：⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0,1,53

,54*

Y ，最优值min w=16。

例已知原问题

Max z =x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4

x 1 +2x 2 +2x 3 +3x 4≤202x 1 +x 2 +3x 3 +2x 4´≤20x 1、x 2、x 3、x 4≥ 0

和对偶问题

Min w =20y 1 +20y 2

y 1 +2y 2≥12y 1 +y 2≥22y 1 +3y 2≥33y 1 +2y 2≥4y 1、y 2≥ 0

已知对偶问题的最优解y 1 =1.2、y 2 =0.2，最优值min w=28，求原问题的最优解及最优值。

可用如下方法求解：

引入将原问题和对偶问题化为标准形式。

Max z =x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4

x 1 +2x 2 +2x 3 +3x 4 +x 5 = 202x 1 +x 2 +3x 3 +2x 4 +x 6 =20x 1、x 2、x 3、x 4 、x 5 、x 6 ≥ 0Min w =20y 1 +20y 2

y 1 +2y 2 －y 3 = 12y 1 +y 2 －y 4 = 22y 1 +3y 2 －y 5 = 33y 1 +2y 2 －y 6 = 4y 1、y 2 、y 3 、y 4 、y 5 、y 6 ≥ 0

和