人教B版选修(1-1)2.1.1《椭圆及其标准方程》word同步测试
人教B版选修(1-1)《椭圆及其标准方程》同步测试
选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．(2018·上海)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵椭圆长轴2a ＝10，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.∴选D.2．椭圆的两个焦点分别为F 1(－8,0)，F 2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 2100＝1 B.x 2400＋y 2226＝1 C.x 2100＋y 236＝1D.x 220＋y 212＝1 [答案] C[解析] 由c ＝8，a ＝10，所以b ＝6.故标准方程为x 2100＋y 236＝1.所以选C.3．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5D ．－ 5[答案] B[解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a 2＝5k ，b 2＝1，c 2＝5k －1＝4，∴k ＝1.4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( ) A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1D.y 294＋x 2254＝1 [答案] A[解析] 设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得，|PF 1|＋|PF 2|＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋94＋⎝⎛⎭⎫52－22＋94＝210＝2a ， ∴a ＝10，又c ＝2，∴b 2＝6，椭圆的方程为x 210＋y 26＝1.5．已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8[答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9>025－m >0m ＋9>25－m，解得8<m <25.6．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)[答案] C[解析] 椭圆方程mx 2＋ny 2＋mn ＝0 可化为x 2－n ＋y 2－m＝1，∵m <n <0，∴－m >－n ，椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ，又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C.7．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |＝2a . 即动点Q 在以F 1为圆心以2a 为半径的圆上．8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] ∵S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b .∴△ABF 面积的最大值为bc . 9．已知椭圆的方程为x 28＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，其焦距为( )A ．28－m 2B ．222－|m |C ．2m 2－8D ．2|m |－2 2[答案] A[解析] 因为焦点在x 轴上，所以a 2＝8，b 2＝m 2，因此c ＝8－m 2，焦距2c ＝28－m 2. 10．(2018·陕西文，7)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本小题主要考查椭圆的基本概念和充要条件的概念． 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆 ⇔1n>1m>0⇔m >n >0.故选C. 二、填空题11．设椭圆x 2m 2＋y 24＝1过点(－2，3)，那么焦距等于________．[答案] 4 3[解析] ∵椭圆x 2m 2＋y 24＝1过点(－2，3)，∴m 2＝16，∴c 2＝16－4＝12,2c ＝4 3.12．△ABC 两个顶点坐标是A (－4,0)、B (4,0)，周长是18，则顶点C 的轨迹方程是________．[答案] x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] 设C 的坐标为(x ，y )，由题意知|CA |＋|CB |＝18－8＝10>|AB |＝8，由椭圆定义得点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为10的椭圆．∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．13．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．[答案] (152，1)或(152，－1)或(－152，1)或(－152，－1) [解析] 设P 点的纵坐标为y p ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y p |＝1，由c 2＝a 2－b 2得c 2＝5－4＝1，所以c ＝1，所以12×2×|y p |＝1，所以|y p |＝±1，代入椭圆方程求得横坐标．14．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的______________倍．[答案] 7 [解析] 如图，PF 1的中点M 在y 轴上，O 为F 1F 2的中点， ∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝32，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， ∴|PF 1|＝43－32＝723＝7|PF 2|. 三、解答题15．求焦点在坐标轴上，且经过A (－3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． [解析] 设所求椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0) 将A (－3，－2)和B (－23，1)的坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝112A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115B ＝15.∴所求椭圆的标准方程为：x 215＋y 25＝1.16．若一个动点P (x ，y )到两个定点A (－1,0)，A ′(1,0)的距离之和为定值m ，试求点P的轨迹方程．[解析] 因为|P A |＋|P A ′|＝m ，|AA ′|＝2，|P A |＋|P A ′|≥|AA ′|，所以m ≥2.①当m ＝2时，P 点的轨迹就是线段AA ′，所以其方程为y ＝0(－1≤x ≤1)．②当m >2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点的椭圆，因为2c ＝2,2a ＝m ，所以a ＝m2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝m 24－1，所以点P 的轨迹方程为x 2m 24＋y 2m24－1＝1.17．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程． [解析] 由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1.其焦点F 1(0,2)、F 2(0，－2)． 设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1.又∵点M (2，6)在椭圆上， ∴6a 2＋4b 2＝1① 又a 2－b 2＝4②解①②得a 2＝12，b 2＝8. 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.18．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得 m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.1-2.1.1椭圆及其标准方程-课件
垂直平分线为y(x)轴建系．
焦点在x轴上 ＋b2＝1(a＞b＞0) a2 ＋b2＝1(a＞b＞0)
图形
焦点坐标 a，b，c的关系
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
c2＝a2－b2
椭圆定义的理解及简单应用
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1，F2 两点的距离 之和等于 8 的点的轨迹是________； x2 y 2 (2)已知 F1、F2 分别为椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点，椭圆的弦 16 9 DE 过焦点 F1，若直线 DE 的倾斜角为 α(α≠0)，则△DEF2 的周长 为( ) A．64 C．16 B．20 D．随 α 变化而变化
求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．
【思路探究】
(1) 焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方
程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？
【自主解答】
(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
2．1 2．1.1
椭圆
椭圆及其标准方程
●三维目标 1.知识与技能 (1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型 的过程． (2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过 程．
【思路探究】
(1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定
义求△DEF2 的周长？
【自主解答】 (1)由于动点到 F1， F2 的距离之和恰巧等于 F1F2 的长度，故此动点的轨迹是线段 F1F2. (2)由椭圆的定义可得：|DF1|＋|DF2|＝2a＝8，|EF1|＋|EF2|＝2a ＝8，∴△DEF2 的周长为|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝16，故选 C.
北师大版数学高二选修1-1 2-1.1椭圆及其标准方程 同步测试
2-1.1椭圆及其标准方程(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案： D2．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 解析： 由焦点为(2,0)可知焦点在x 轴上，所以，c 2＝4，b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝6. 答案： D3．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析： 因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案： A4．已知AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝12，其中F 2是椭圆的右焦点，则弦AB 的长是( )A ．4B ．8C ．16D ．9解析： 由椭圆定义|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，得|AB |＝8. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.则M 的横坐标为________．解析： 把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3. 答案： 3或－36．已知椭圆的两个焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，并且经过点⎝⎛⎭⎫－32，52，则该椭圆的标准方程为________．解析： 因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，因为2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210.所以a ＝10，又c ＝2，所以b 2＝6，所以所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. 答案： y 210＋x 26＝1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.8．求下列椭圆的标准方程 (1)已知椭圆经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1，求椭圆的标准方程． (2)求经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆． 解析： (1)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)． ∵点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1都在椭圆上，∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，即⎩⎨⎧ 2m3＋3n ＝1，8m9＋n ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1. (2)椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)， 则可设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．把x ＝2，y ＝－3代入，得4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.9．(10分)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆在圆C 1内部且与圆C 1相内切，与圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．解析： 如图所示，由已知可得圆C 1与圆C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4,0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3. 设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r①由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16.即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．由题意得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.∴椭圆的方程为x264＋y248＝1.∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为x264＋y248＝1.。
人教B版选修11高中数学2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用word课后知能检测
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用课后知能检测 新人教B 版选修1-1一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．3x －2y －4＝0C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个 【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝c b 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c2a＝m1＋2m＝2－1.故填2－1或22. 【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53.(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB的距离，进而求出△AOB 的面积)【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，O 为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0， 又x 0＋y 0＝2， 所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2.。
高中数学新人教B版选修1-1课件：2.1.1椭圆及其标准方程
中,a 表示椭圆上的点 M 到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮
助记忆,如图,a,b,c 恰能构成一个直角三角形,且都是正数,a 是斜边,
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
重难聚焦
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
(3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2).
分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定量”.
解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,
2
∴设它的标准方程为2
+
2
2 =1(a>b>0).
∴2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10.
∴a=5,∴a2=25.又 c=4,
5- > 0,
错解由
得 3<k<5.
-3 > 0,
错因分析错解中没有注意到椭圆方程中 a>b>0 这一条件,当
a=b 时,方程并不表示椭圆.
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于|F1F2|时,动点的轨迹是线
段F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
知识梳理
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M
的轨迹是(
)
高中数学人教B版选修1-1练习课件：2.1.2 椭圆及其标准方程(2)
又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12. x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为16＋12＝1．
x2 y2 解 法 二 ： 依 题 意 ， 可 设 椭 圆 C 的 方 程 为 a2 ＋ b2 ＝ 4 9 2＋ 2＝1， 1(a>b>0)，则a b 2 2 a － b ＝4. 解得 b2＝12 或 b2＝－3(舍去)．从而 a2＝16. x 2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为16＋12＝1．
9 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝a＋a≥6＝|F1F2|， ∴点的轨迹是椭圆或线段．
• 答案：D
x2 y2 2．已知椭圆25＋ 9 ＝1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，N 是 MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是( A．2 C．8 ) B．4 3 D．2
解析：设椭圆的另一个焦点为 E， 则|MF|＋|ME|＝10， ∴|ME|＝8，又 ON 为△MEF 的中位线， 1 ∴|ON|＝2|ME|＝4.
选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
课时作业11 椭圆及其标准方程(2)
• [目标导航] • 1．了解椭圆定义及标准方程的应用． • 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程．
1
课堂对点训练
2
课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
椭圆定义的应用
1．设定点 F1(0，－3)、F2(0,3)，动点 P 满足条件|PF1| 9 ＋|PF2|＝a＋a(a>0)，则点 P 的轨迹是( A．椭圆 C．不存在 B．线段 D．椭圆或线段 )
• 答案：(3,4)∪(4,5)
知识点三
用待定系数法求椭圆标准方程
• 5.已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为 其右焦点，求椭圆C的标准方程．
数学人教B版选修1-1课后训练 2.1.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析
课后训练
．椭圆的焦点坐标是( )
．()，(－)
．()，(，－)
．()，(，－)
．()，(－)
．在椭圆的标准方程中，下列选项正确的是( )
．＝，＝，＝
．＝，＝，＝
．＝，＝，＝
．＝，＝，＝
．已知＝，＝，焦点在轴上的椭圆的标准方程是( )
．＋＝．＋＝
．＋＝．＋＝
．化简方程为不含根式的形式是( ) ．．
．．
．已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则＝( )
．．
．．
．设，是椭圆的焦点，为椭圆上的一点，则△的周长为( )
．．
．．不确定
．椭圆上的一点到左焦点的距离为，是的中点，则等于( )
．．
．．
．已知椭圆：＋＝的两焦点为，，点(，)满足，则＋的取值范围
为．
．已知圆：(＋)＋＝及圆：(－)＋＝，动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．
．已知椭圆上一点，，为椭圆的焦点，若∠＝°，求△的面积．
参考答案
.答案：由题易知焦点在轴上，＝，＝，
则.
.答案：
.答案：
.答案：由题意可知，方程表示点(，)与两个定点()和(，－)之间的距离之和为，又两定点之间的距离为＜，它符合椭圆的定义，即＝＝，从而可求得＝.
.答案：因为焦点在轴上，所以＜＜.
又焦距＝，所以－－＋＝＝.
.答案：
.答案：设椭圆的右焦点为，则由＋＝，知＝－＝.
又因为点为的中点，点为的中点，
所以＝＝.
.答案：[,) ∵点(，)满足，
∴点在椭圆内且不过原点，
∴≤＋＜.
又∵＝，＝，
∴，＝，＝－＝，即＝，。
人教B版选修1-1高中数学2.1.2《椭圆的几何性质》word基础过关(二)
2.1.2 椭圆的几何性质(二)一、基础过关1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( )A.12 B ．2 C ．4 D.142．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263 D.33D. 3 3．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2] 4.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ( )①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1<c 2a 2. A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 26．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为______________．7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程． 二、能力提升8．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是 ( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 29．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在双曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．11. 如图，在直线l ：x －y ＋9＝0上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点作为焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？12．点A 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)短轴上位于x 轴下方的顶点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于P 点，B 点在y 轴上且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若B (0,1)，求椭圆方程；(2)若B (0，t )，求t 的取值范围．三、探究与拓展13．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．答案1．C 2．B 3．A 4．B 5．C6．2(p ＋r )(q ＋r )7．解 ∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OF A ＝23， ∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3.∴c 3＝23. ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. 8．D 9．C10．②③11．解 椭圆的两焦点分别为F 1(－3,0)、F 2(3,0)，作F 1关于直线l 的对称点F ′1，则直线F 1F ′1的方程为x ＋y ＝－3，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝－9，得P 的坐标(－6,3)， 由中点坐标公式得F ′1坐标(－9,6)，所以直线F 2F ′1的方程为x ＋2y ＝3. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3x －y ＝－9，得M 点坐标(－5,4)． 由于|F ′1F 2|＝180＝2a ＝6 5.所以M 点的坐标为(－5,4)时，所作椭圆的长轴最短，最短长轴为6 5.12．解 (1)由题意知B (0,1)，A (0，－b )，∠P AB ＝45°.AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|cos 45°＝(b ＋1)2＝9，得b ＝2.∴P (3,1)，代入椭圆方程，得9a 2＋14＝1， ∴a 2＝12，故所求椭圆的方程为x 212＋y 24＝1. (2)若B (0，t )，由A (0，－b )得|AB →|＝|t ＋b |＝t ＋b (B 在A 点上方)．将P (3，t )代入椭圆方程，得9a 2＋t 2b 2＝1， ∴a 2＝9b 2b 2－t 2.∵a 2>b 2，∴9b 2b 2－t 2>b 2.① 又|AB →|＝t ＋b ＝3，∴b ＝3－t .代入①式得92(3－t )2－t 2>1，解得0<t <32. 13．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。
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1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上
空.1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象。
天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长。
定义
椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。
这两个定义是等价的
标准方程
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0，b>0。
a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
椭圆的面积是πab。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ，y=bsinθ
公式
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。
如
L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的准线方程
x=+-a^2/C
椭圆焦半径公式
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
历史
关于圆锥截线的某些历史：圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。
Euclid, A r chimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以Apollonius 所著的八册《圆锥截线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。
当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。
此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。
Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。
由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。