2020湖北省恩施州中考数学试卷

2020年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（3分）（2020•恩施州）5的绝对值是（ ）
A ．5
B ．﹣5
C ．15
D ．−15
2．（3分）（2020•恩施州）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量
约为120000吨，将数120000用科学记数法表示为（ ）
A ．12×104
B ．1.2×105
C ．1.2×106
D ．0.12×106
3．（3分）（2020•恩施州）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）（2020•恩施州）下列计算正确的是（ ）
A ．a 2•a 3＝a 6
B ．a （a +1）＝a 2+a
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．2a +3b ＝5ab 5．（3分）（2020•恩施州）函数y =
√x+1x 的自变量的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1 B ．x ≥﹣1且x ≠0
C ．x ＞0
D ．x ＞﹣1且x ≠0 6．（3分）（2020•恩施州）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽
2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ）
A ．211
B ．411
C ．511
D ．611
7．（3分）（2020•恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：a ☆b ＝a +b ﹣1，例如：2☆3＝2+3
﹣1＝4．如果2☆x ＝1，则x 的值是（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．0
D ．2
8．（3分）（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大
器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）
A ．{5x +y =3x +5y =2
B ．{5x +y =2x +5y =3
C ．{5x +3y =1x +2y =5
D ．{3x +y =52x +5y =1
9．（3分）（2020•恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（3分）（2020•恩施州）甲乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城
的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A ．甲车的平均速度为60km /h
B ．乙车的平均速度为100km /h
C ．乙车比甲车先到B 城
D ．乙车比甲车先出发1h
11．（3分）（2020•恩施州）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE ＝1，F 为
对角线AC 上一动点，则△BFE 周长的最小值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
12．（3分）（2020•恩施州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于A （﹣2，
0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（）个．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
13．（3分）（2020•恩施州）9的算术平方根是．
14．（3分）（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝．
15．（3分）（2020•恩施州）如图，已知半圆的直径AB＝4，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值
16．（3分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（8分）（2020•恩施州）先化简，再求值：（m2−9
m2−6m+9−
3
m−3
）÷
m2
m−3，其中m=√2．
18．（8分）（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
19．（8分）（2020•恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；
B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为；
（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有名．
20．（8分）（2020•恩施州）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．
21．（8分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、
y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=k
x（x＞0）的一个交点为C，且BC=
1
2AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．
22．（10分）（2020•恩施州）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．
（1）求A、B两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m 个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？
最低费用是多少元？
23．（10分）（2020•恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
24．（12分）（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−1
4x
2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，
对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
2020年湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（3分）（2020•恩施州）5的绝对值是（ ）
A ．5
B ．﹣5
C ．15
D ．−15 【解答】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5；
故选：A ．
2．（3分）（2020•恩施州）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量
约为120000吨，将数120000用科学记数法表示为（ ）
A ．12×104
B ．1.2×105
C ．1.2×106
D ．0.12×106
【解答】解：120000＝1.2×105，
故选：B ．
3．（3分）（2020•恩施州）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：
A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D 、既是中心对称图形，又是轴对称图形．
故选：D ．
4．（3分）（2020•恩施州）下列计算正确的是（ ）
A ．a 2•a 3＝a 6
B ．a （a +1）＝a 2+a
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．2a +3b ＝5ab
【解答】解：A 、a 2•a 3＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B 、a （a +1）＝a 2+a ，原计算正确，故此选项符合题意；
C 、（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B ．
5．（3分）（2020•恩施州）函数y =
√x+1x 的自变量的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1 B ．x ≥﹣1且x ≠0
C ．x ＞0
D ．x ＞﹣1且x ≠0 【解答】解：根据题意得，x +1≥0且x ≠0，
解得x ≥﹣1且x ≠0．
故选：B ．
6．（3分）（2020•恩施州）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽
2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ）
A ．211
B ．411
C ．511
D ．611
【解答】解：由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为：
611，
故选：D ．
7．（3分）（2020•恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：a ☆b ＝a +b ﹣1，例如：2☆3＝2+3
﹣1＝4．如果2☆x ＝1，则x 的值是（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．0
D ．2 【解答】解：由题意知：2☆x ＝2+x ﹣1＝1+x ，
又2☆x ＝1，
∴1+x ＝1，
∴x ＝0．
故选：C ．
8．（3分）（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大
器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）
A ．{5x +y =3x +5y =2
B ．{5x +y =2x +5y =3
C ．{5x +3y =1x +2y =5
D ．{3x +y =52x +5y =1
【解答】解：依题意，得：{5x +y =3x +5y =2
． 故选：A ． 9．（3分）（2020•恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形．
故选：A ．
10．（3分）（2020•恩施州）甲乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城
的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A ．甲车的平均速度为60km /h
B ．乙车的平均速度为100km /h
C ．乙车比甲车先到B 城
D ．乙车比甲车先出发1h
【解答】解：由图象知：
A ．甲车的平均速度为
30010−5
=60km /h ，故A 选项不合题意； B ．乙车的平均速度为3009−6=100km /h ，故B 选项不合题意；
C ．甲10时到达B 城，乙9时到达B 城，所以乙比甲先到B 城，故C 选项不合题意；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
11．（3分）（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE=√AD2+AE2=5，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故选：B．
12．（3分）（2020•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（）个．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c ＞0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称
轴为：x=−2+1
2
=−12，因此②错误；
对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；
对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y 值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
13．（3分）（2020•恩施州）9的算术平方根是3．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是|±3|＝3．
故答案为：3．
14．（3分）（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝40°．
【解答】解：如图，延长CB交l2于点D，
∵AB＝BC，∠C＝30°，
∴∠C＝∠4＝30°，
∵l1∥l2，∠1＝80°，
∴∠1＝∠3＝80°，
∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，
∴∠2＝40°．
故答案为：40°．
15．（3分）（2020•恩施州）如图，已知半圆的直径AB＝4，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为2√3−π．（结果不取近似值
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴BC=1
2
AB=2，AC=2√3，
∴S△ABC=1
2
⋅AC⋅BC=12⋅2√3⋅2=2√3，
∵∠CAB＝30°，
∴扇形ACD的面积=30
360
π⋅AC2=112π⋅(2√3)2=π，
∴阴影部分的面积为2√3−π．
故答案为：2√3−π．
16．（3分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．
【解答】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为（﹣1，0），
N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），
N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），
N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），
N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴2020÷6＝336……4，
即循环了336次后余下4，
故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．
故答案为：（﹣1，8）．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（8分）（2020•恩施州）先化简，再求值：（m2−9
m2−6m+9−
3
m−3
）÷
m2
m−3，其中m=√2．
【解答】解：(
m2−9
m2−6m+9
−3
m−3
)÷m
2
m−3
=[(m+3)(m−3)
(m−3)2−3
m−3
]⋅m−3
m2
=(m+3
m−3−3
m−3
)⋅m−3
m2
=m m−3⋅m−3 m2
=1m；
当m=√2时，
原式=
2
=√22．
18．（8分）（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
19．（8分）（2020•恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；
B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了50名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为36°；
（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有150名．
【解答】解：（1）本次共调查的学生数为：20÷40%＝50（名）．
故答案为：50；
（2）C类学生人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
条形图如下：
（3）D类所对应扇形的圆心角为：360°×5
50
=36°．
故答案为：36°；
（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：500×15
50
=150（名）．
故答案为：150．
20．（8分）（2020•恩施州）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．
【解答】解：如图，过P作PH⊥AB，设PH＝x，
由题意得：AB＝30×2＝60，∠PBH＝90°﹣60°＝30°，∠PAH＝90°﹣45°＝45°，则△PHA是等腰直角三角形，
∴AH＝PH，
在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x，
在Rt△PBH中，PB＝2PH＝2x，BH＝AB﹣AH＝60﹣x，
∴tan∠PBH＝tan30°=PH
BH
=√33，
∴√33=x 60−x
， 解得：x =30(√3−1)，
∴PB ＝2x =60(√3−1)≈44（海里），
答：此时船与小岛P 的距离约为44海里．
21．（8分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴、
y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线y =k x （x ＞0）的一个交点为C ，且BC =12AC ．
（1）求点A 的坐标；
（2）当S △AOC ＝3时，求a 和k 的值．
【解答】解：（1）由题意得：令y ＝ax ﹣3a （a ≠0）中y ＝0，
即ax ﹣3a ＝0，解得x ＝3，
∴点A 的坐标为（3，0），
故答案为（3，0）．
（2）过C 点作y 轴的垂线交y 轴于M 点，作x 轴的垂线交x 轴于N 点，如下图所示：
显然，CM ∥OA ，
∴∠BCM ＝∠BAO ，且∠ABO ＝∠CBO ，
∴△BCM ∽△BAO ，
∴BC BA =CM AO ，即：13=CM 3，
∴CM ＝1，
又S △AOC =12OA ⋅CN =3
即：12×3×CN =3， ∴CN ＝2，
∴C 点的坐标为（1，2），
故反比例函数的k ＝1×2＝2，
再将点C （1，2）代入一次函数y ＝ax ﹣3a （a ≠0）中，
即2＝a ﹣3a ，解得a ＝﹣1，
故答案为：a ＝﹣1，k ＝2．
22．（10分）（2020•恩施州）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的
单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．
（1）求A 、B 两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个，且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A 品牌足球m 个，总费用为W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元，
根据题意，得900x =720x−20，
解得：x ＝100，
经检验x ＝100是原方程的解，
x ﹣20＝80，
答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元；
（2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球，
则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，
∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，
∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)
， 解不等式组得：60≤m ≤65，
所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65，
即该队共有6种购买方案，
当m ＝60时，W 最小，
m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），
答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
23．（10分）（2020•恩施州）如图1，AB 是⊙O 的直径，直线AM 与⊙O 相切于点A ，直线
BN 与⊙O 相切于点B ，点C （异于点A ）在AM 上，点D 在⊙O 上，且CD ＝CA ，延长CD 与BN 相交于点E ，连接AD 并延长交BN 于点F ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）求证：BE ＝EF ；
（3）如图2，连接EO 并延长与⊙O 分别相交于点G 、H ，连接BH ．若AB ＝6，AC ＝4，求tan ∠BHE ．
【解答】解：（1）如图1中，连接OD ，
∵CD ＝CA ，
∴∠CAD ＝∠CDA ，
∵OA ＝OD
∴∠OAD ＝∠ODA ，
∵直线AM与⊙O相切于点A，
∴∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝90°，
∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
（2）如图2中，连接BD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵CE是⊙O的切线，BF是⊙O的切线，
∴∠OBD＝∠ODE＝90°，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠CAD＝∠BFD，
∵∠CAD＝∠CDA＝∠EDF，
∴∠BFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴BE＝EF．
（3）如图2中，过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，
设BE＝x，则CL＝4﹣x，CE＝4+x，
∴（4+x）2＝（4﹣x）2+62，
解得：x =94
，
∴tan ∠BOE =BE OB =943=34， ∵∠BOE ＝2∠BHE ，
∴tan ∠BOE =2tan∠BHE 1−tan 2∠BHE =34
， 解得：tan ∠BHE =13或﹣3（﹣3不合题意舍去），
∴tan ∠BHE =13．
补充方法：如图2中，作HJ ⊥EB 交EB 的延长线于J ．
∵tab ∠BOE =BE OB =34， ∴可以假设BE ＝3k ，OB ＝4k ，则OE ＝5k ，
∵OB ∥HJ ，
∴
OB HJ =OE EH =EB EJ ， ∴4k HJ =5k 9k =3k EJ ，
∴HJ =365k ，EJ =275
k ， ∴BJ ＝EJ ﹣BE =275k ﹣3k =125k
∴tan ∠BHJ =BJ HJ =13
， ∵∠BHE ＝∠OBE ＝∠BHJ ，
∴tan ∠BHE =13．
24．（12分）（2020•恩施州）如图1，抛物线y =−14x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，
对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
【解答】解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上，
∴0=−1
4
×36+6b+c，
得到6b+c＝9，
又∵对称轴x＝2，
∴x=−b
2a
=−b
2×(−14)
=2，
解得b＝1，∴c＝3，
∴二次函数的解析式为y=−1
4
x2+x+3；
（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：
∵抛物线的解析式为y =−14x 2+x +3，对称轴为x ＝2，C （6，0）
∴点A （2，0），顶点B （2，4），
∴AB ＝AC ＝4，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠1＝45°；
∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ，
∴FM ＝CM ，∠2＝∠1＝45°，
设点M 的坐标为（m ，0），
∴点F （m ，6﹣m ），
又∵∠2＝45°，
∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，
∴设直线EF 的解析式为y ＝x +b ，
把点F （m ，6﹣m ）代入得：6﹣m ＝m +b ，解得：b ＝6﹣2m ，
直线EF 的解析式为y ＝x +6﹣2m ，
∵直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3只有一个交点，
∴{y =x +6−2m
y =−14x 2+x +3
， 整理得：14x 2+3−2m =0，
∴△＝b 2﹣4ac ＝0，解得m =32，
点M 的坐标为（32
，0）．
当点M 在点C 的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线y =−14
x 2+x +3不可能只有一个交点．
综上，点M 的坐标为（32，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，
∵PC =√2，由（2）知∠BCA ＝45°，
∴PG ＝GC ＝1，
∴点G （5，0），
设点M 的坐标为（m ，0），
∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ，
∴EM ＝PM ，
∵∠HEM +∠EMH ＝∠GMP +∠EMH ＝90°，
∴∠HEM ＝∠GMP ，
在△EHM 和△MGP 中，{∠EHM =∠MGP
∠HEM =∠GMP EM =MP
，
∴△EHM ≌△MGP （AAS ），
∴EH ＝MG ＝5﹣m ，HM ＝PG ＝1，
∴点H （m ﹣1，0），
∴点E 的坐标为（m ﹣1，5﹣m ）；
∴EA =√(m −1−2)2+(5−m −0)2=√2m 2−16m +34， 又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0）， ∴点D （4，2），
∴ED =√(m 2+(5−m −2)2=√2m 2−16m +34， ∴EA ＝ED ．
当点M 在点C 的右侧时，如下图：
同理，点E 的坐标仍为（m ﹣1，5﹣m ），因此EA ＝ED ． ②当点E 在（1）所求的抛物线y =−14
x 2+x +3上时， 把E （m ﹣1，5﹣m ）代入，整理得：m 2﹣10m +13＝0， 解得：m =5+2√3或m =5−2√3，
∴CM =2√3−1或CM =1+2√3．。