赣县中学高中数学竞赛平面几何第9九讲托定理勒密

第九讲托勒密（Ptolemy）定理

一、知识要点：

1、托勒密定理：圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线之积，即已知，如图，

四边形ABCD为圆内接凸四边形，则有 AB·CD+AD·BC =A C·BD A

D

B C

托勒密定理的逆定理：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线之积，那么这个

四边形是圆内接四边形。

即：如图，若AB·CD+AD·BC =A C·BD，则A、B、C、D四点共圆。

A

D

B C

托勒密定理的推广：在任意凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC ≥A C·BD，当且仅

当ABCD四点共圆时取等号。

D

A

B C

二、要点分析：

托勒密定理可以用于线段长的转换，其逆定理可用于证明四点共圆。

三、 例题讲解：

例1、设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上的一点，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD) P

D C

A B

例2、如图，设P 、Q 为平行四边形ABCD 的边AB 、AD 上的两点，APQ ∆的外接圆交

对角线AC 于R ，求证：A P ·AB+AQ ·AD=AR ·RC

D

A B C

Q

P R

例3、已知ABC ∆中，C B ∠=∠2,求证：AC 2=AB 2+AB ·BC

A

B C

例4、如图所示，已知两同心圆O,四边形ABCD 内接于内圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延

长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍，求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥四边形ABCD 的周长的2倍，并确定等号成立的条件。

D 1

例5、已知ABC ∆中，AB>AC,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E,过E 作EF ⊥AB,垂足为F （如图），求证：2AF=AB-AC

A

B

C E

F

第九讲 托勒密（Ptolemy ）定理练习

1、 如图，已知圆内接正五边形ABCDE,若P 为弧AB 上一点，求证：PA+PD+PB=PE+PC A

B C D E

P

2、 ABCD 为圆内接四边形，DC=BC ，对角线DB 与AC 交于E,若CE ：EA=1：3，AB+AD=m,

求BD 的长。

D

A B C

E

3、如图，在ABC ∆中，4:2:1::=∠∠∠C B A ,求证：

BC

AC AB 111=+

A B

C

4． 已知正七边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7。求证：

5、设ABCDEF 是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA,证明：

,23≥++FC FA DA DE EB BC 并指出等号成立的条件。 A B

C

D

E F

附加题：

1、 若方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则k 的取值范围是_______________.

2、已知函数⎩⎨⎧≥+<=-2),1(log 2,2)(3

2x x x x f x ，若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是__________(用区间形式表示)

3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)1(=f ，当0>x 时，)(x f 是增函数，且对任意

的R y x ∈,,都有)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 在区间]2,3[--的最大值是_________