高中数学联赛平面几何定理

①鸡爪定理：设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆

于K，则KI=KJ=KB=KC。

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ

同理，∠ICJ=90°

∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

∴KB=KI

∵IBJC四点共圆且KB=KI=KC

∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）

∴KB=KI=KJ=KC

鸡爪定理逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。

证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。

取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'

又∵KB=KI=KJ

∴I和I'重合，J和J’重合

即I和J分别是内心和旁心。

②蝴蝶定理：设S为圆内弦AB的中点，过S作弦EF和CD。设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的

中点。

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF

证法1:霍纳证法

∴ES/CS=ED/FC

根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2

∴ES/CS=EL/CT

又∵∠E=∠C

∴△ESL∽△CST

∴∠SLN=∠STM

∵S是AB的中点所以OS⊥AB

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）

同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

∴∠SON=∠SOM

∵OS⊥AB

∴MS=NS

③西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.

易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆）

在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，

∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共线。

反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆。

④九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。

作图如下:△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，

AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,

垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R

(思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°)

证明:(由中位线)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥

LD

∴PMDL共圆。

(由中位线)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR

∴PMRDL五点共圆。

PE为Rt△AHE斜边中线

∴∠PEA=∠PAE

同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC

∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径

∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心

下证九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点

O为外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以OL平行等于PH

OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点。

⑤托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD,连接DE.

则△ABE∽△ACD

所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,

所以△ABC∽△AED.

BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即"托勒密定理")

⑥三弦定理：圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P，则：

ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

证明如下;连BD、CD, 由圆的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,两式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→

(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC) ·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=AD,

所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。证毕。