人教版初一数学下册观察与猜想,归纳与证明

七年级数学《观察、猜想与证明》一、【观察与实验】认识来源于实践，是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。

是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证；是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。

实验的关键是要具有可重复操作性。

例题：1.下面给出了两个图形，你能分别用一笔画出来吗？（每部分既不能重复，也不能遗漏）？2.【错觉】①上图（3）中的两条紫色的线条是平行的吗？图（4）中线段AB与线段CD哪个比较长？用什么办法验证你的观察？②下面左边两幅图形中，哪个图形的竖线更长？右图中有曲线吗？【结论】：观察可能产生错觉；所以观察的结果需要验证。

3.一个正方体有六个面，分别标上文字“观，察，猜，想，证，明”是从三个不同方向看到的几个汉字 . 观察图形中的汉字特点，那么，“观”相对面上的汉字是；“察”相对面上的汉字是；“猜”相对面上的汉字是；4.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比5.【实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程】①三条线段能组成一个三角形吗？②用两块形状、大小相同的三角尺，你能拼出多少个形状不同的三角形？能拼出多少个形状不同的四边形？（摆一摆，试一试）③如图，OM 为∠AOB 的平分线，点 P是射线 OM 上的一点，PA ⊥ OA 于点 A，PB ⊥ OB 于点 B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线 OM 上再取几个不同位置的点 P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？④用剪刀把一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？把长方形纸片剪成两部分，用剪得的两部分可以拼成哪些形状不同的图形？你能拼接成一个三角形吗？并画出拼接后的示意图。

【归纳与类比】归纳与类比是得出猜想的两个重要的方法 .【归纳】归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有归纳法和归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。

运用不完全归纳法可以由一些特殊性的前提，得出一般性的结论，帮助我们认识和发现事物的规律，在数学的学习过程中起着重要的作用 . 同时也要注意它的局限性，借助不完全归纳法得到的结论有时可能是不正确的。

例题：1. 当a为正整数时，比较a、a的倒数与a的平方的大小；2.三个苹果放入甲、乙两个抽屉中，有多少种不同的放法。

3.鲁班根据丝茅草有锋利的小细齿可以划破手指，类比推理如果把铁片做成带细齿的形状，就可以锯树，这样便发明了锯子鲁班发明锯子的过程，就是运用了 .4.一条直线上有3个点，观察它共有几条线段？一条直线上有4个点呢？一条直线上有5个点呢？一条直线上有2016个点呢？一条直线上有n个点呢？5. 从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下：2+2=2×22+4=6=2×32+4+6=12=3×42+4+6+8=20=4×5…（1）请推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？（2）取n=6，验证（1）的结论是否正确？【类比】通过对两个或两类研究对象进行比较，找出它们之间某些属性的相同点或相似点，以此为依据，推测它们的其他属性也可能有相同或相似的结论。

1.如图，在一个三角形的一条边上取四个点，把这些点与这条边所对的顶点联结起来 . 问图中共有多少个三角形 . 请你通过与数线段或数角的问题进行类比来思考。

2.紫薇同学通过学习已经知道：在如图所示的正方形 ABCD 中，若各边都被三等分，那么图中正方形的总数为 3 × 3 + 2 × 2 + 1 × 1 = 14；在长方形 EFGH 中，已知该长方形各边上最短的线段分别相等。

请你用类比的方法，计算图中正方形的总数。

3. 从下面的关系中归纳出规律，然后进行计算。

1×3=3，而3=22－1； 3×5=15，而15=42－1；5×7=35，而35=62－1；7×9= ，而 = 2－1；……将你归纳出的规律用只含一个字母的式子表示出来：__________________；并按此规律计算19×21=_____________；2015×2017+1= ；4.用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片________张；第2016个图案中有白色纸片________张；（2）第n个图案中有白色纸片________张．5.若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则100! 98!的值为；6. 如图，是小明用火柴搭的1条，2条，3条…“金鱼”，按此规律搭100条金鱼需要火柴数为____根，按此规律搭n条金鱼需要火柴数S=_______根．7.你能化简(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．分别计算下列各式的值：①(x－1)(x＋1）＝x2－1；②(x－1)(x2＋x＋1）＝x3－1；；③(x－1)(x3＋x2＋1）＝x4－1；；……由此我们可以得到：(x－1）(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）＝；请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：(1) 299＋298＋297＋…＋2＋1；(2)(－2)50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋（－2）＋1．8.除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第10行的数为，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2016所在的位置是第行第列。

三、【猜想与证明】我们借助于以往的经验或直觉思维，对某一命题作出猜测，这便是猜想。

其中最有代表性的猜想便是哥德巴赫猜想；通过观察、实验、归纳、类比可以得出猜想，这是认识事物的有效途径之一。

例题：1.1840年，英国的亚当斯和法国的勒维烈同时用数学方法发现了海王星，亚当斯等天文学家观察到天王星的运行有“失常”现象．于是猜想天王星之外有一颗行星x．他先假设x的运行轨道为圆，结果与观测结果出入很大．于是，他又设想x的轨道为椭圆，再进行计算、误差缩小，再作一次次的假想实验，反复修正，逐步逼近观测结果．勒维烈也做了同样的工作，他把结果寄给柏林天文台，信中写道：“请把望远镜对准黄道上经度为326度的地方，你会看到一颗九等小星，最后的实践检验完全证实了这一点．他们所使用的数学方法，就是方法．【通过观察、实验、归纳、类比、猜想得出的结论还需要通过证明来确认它的正确性】2. 某地发生了一起盗窃案，警察局拘留了甲、乙、丙、丁4个嫌疑犯．审讯时，甲说：“这事不是我干的”．乙说：“这事我没干”．丙说：“这事是甲干的”．丁说：“这事是丙干的”．侦破的结果，4人中只有一人说了假话，那么，盗窃犯是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3.从前有一个国王，他企图谋杀一个大臣 . 国王对这个大臣说：“我已经写好了两个阄，一个写有‘杀’字，另一个写有‘赦’字，你从里面抓一个，抓到哪一个，我就按上面的方法处置你 . ”这位聪明的大臣已事先得知两个阄上写的都是“杀”字，无论他抓到哪一个，都逃脱不了死亡的命运，但这位大臣动用逻辑的方法想出了一个好主意，从而免去了杀身之祸 . 你知道这位大臣想出的是什么主意吗？他这样做的依据是什么？【定义、命题、公理、定理】( 1 ) 定义：对一个名词或术语的意义的说明叫做定义 .( 2 ) 命题：判断某一件事情的语句叫做命题 . 命题由题设和结论两部分组成 . 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 . 命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论。

命题又分真命题和假命题。

( 3 ) 公理：被人们长期的实践所证实，并作为推理依据的事实叫做公理 .( 4 ) 定理：用逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的真命题叫做定理 .例题：填空：（1）判断一件事情的句子叫_______；（2）数学中每个命题都由_____和_____两部分组成．正确的命题叫____ _，不正确的称为______；（3）被人们长期的实践所证实，并作为推理依据的事实叫做_______；（4）用逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的真命题叫做________；（5）下列命题：①所有的直角都相等②所有的等边三角形的形状都一样③所有的直角三角形的形状都一样④a2＞0，则a＞0，其中真命题有_______ （填序）．2. 下列语句中是命题的是（）A．画一个三角形 B．你讨厌数学吗？C．锐角总大于钝角 D．等式两边都加上53．下列命题中假命题有（）①两个锐角的和等于直角②一个锐角与一个钝角的和等于平角③如果三个角的和等于180°，那么这三个角中，至少有两个为锐角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4. 将“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式．【练习与检测】1．平面有4个点，过任意两点作直线，一共可作多少条直线？2．找规律填数字：（1）-1，2，-3，5，-8，13，-21，34，（），（）（2）3.下列四个句子是命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．对顶角相等吗C．利用三角形画60°的角 D．直线、射线、线段4.等量公理：①等量加等量，_______相等，即如果a=b，那么a+c______b+c；②等量减等量，差_______，即如果a=b，那么a－c______b－c；③等量的同位量相等，即如果a=b，那么ac_______ac；④等量的同分量________，即如果a=b，c≠0，那么ac________bc；⑤等量代换，即如果a=b，b=c，那么a_______c．5．平面内有三条直线，它们能把平面分成几个部分。

6．挂历上用一矩形任意框出4个数，如果它们的数字之和是100，求这四天的日期。

7.举反例说明命题“大于90°的角是钝角”是假命题。

8.将“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式．9.观察下列等式12－02=1； 22－12=3；32－22=5；42－32=7 …根据以上计算，你发现了什么规律，请用含有n的式子表示该规律．10. 甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士，一个是工人；现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小。

请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由。