河南省信阳高中2013届高三第三次大考数学理试题

河南省信阳高中 2013届毕业年级第三次大考数学（理）试题命题人： 高三数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1错误！未指定书签。

．设,a b R ∈, “0a =”是 “复数a bi +是纯虚数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件错误！未指定书签。

2．集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 （ ） A ．16 B ．15 C ．8 D ．7 4．设函数f （x ）＝ax 2＋b （a ≠0），若3⎰f （x ）d x ＝3f （x 0），则x 0＝（ ）A ．±1B ． 2C ．±3D ．25．已知函数y ＝f （x ）是偶函数，且函数y ＝f （x －2）在[0,2]上是单调减函数，则 （ ）A ．f （－1）<f （2）<f （0）B ．f （－1）<f （0）<f （2）C ．f （0）<f （－1）<f （2）D ．f （2）<f （－1）<f （0）6． 定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为 （ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3- 7．命题p ：∀x ∈[0，＋∞），（log 23）x ≤1，则（ ）A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞），（log 23）x >1B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞），（log 23）x ≥1 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞），（log 23）x >1D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞），（log 23）x ≥18．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln （x ＋2）－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 9．若函数f （x ）＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间（k －1，k ＋1）内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1，＋∞）B ．[1，32）C ．[1,2）D ．[32，2）10．已知函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如右图所示，且|x 1|<|x 2|，则有 （ ） A ．a >0，b >0，c <0，d >0B ．a <0，b >0，c <0，d >0[来源:Zxxk ．Com]C ．a <0，b >0，c >0，d >0D ．a >0，b <0，c >0，d <011．已知曲线方程f （x ）＝sin 2x ＋2ax （a ∈R ），若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f （x ）的切线，则a 的取值范围是 （ ） A ．（－∞，－1）∪（－1,0） B ．（－∞，－1）∪（0，＋∞） C ．（－1,0）∪（0，＋∞） D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－1 12．对于三次函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0），定义：设f ″（x ）是函数y ＝f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有…拐点‟；任何一个三次函数都有对称中心；且…拐点‟就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++ 的值是 （ ） A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．2013二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸中横线上。

13．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=______。

14．秋末冬初，流感盛行，信阳市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋（－1）n（n ∈N *），则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．15．设g （x ）是定义在R 上以1 为周期的函数，若函数f （x ） x g （x ）在区间[3,4]上的值域为[ 2,5]，则f （x ）在区间[ 1,1]上的值域为________． 16．若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋（a －2）x －2>0成立，则实数x 的取值范围是______．第Ⅱ卷（非选择题，共70分）三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2x 2－2ax ＋b ，f （－1）＝－8．对∀x ∈R ，都有 f （x ）≥f （－1）成立；记集合A ＝{ x | f （x ）＞0}，B ＝{ x | | x －t |≤1 }． （Ⅰ） 当t ＝1时，求（ R A ）∪B ； （Ⅱ） 设命题P ：A ∩B ≠∅，若┐P 为真命题，求实数t 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝221(1)n+a n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n 。

19．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x －k －x ，（x ∈R ） （Ⅰ）当k ＝0时，若函数g （x ）＝1f x ＋m 的定义域是R ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）试判断当k >1时，函数f （x ）在（k,2k ）内是否存在零点．20．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（用n ，d 表示）； （Ⅱ）设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k 都成立，求c 的最大值．21．（本题满分12分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,)x f x a x x g x xe a e -=---=∈R 为自然对数的底数[来源: （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（II ） 若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得 0()(),i f x g x a =成立求的取值范围。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．23．（本小题满分10分）不等式选讲 已知函数f （x ）＝|x －2|，g （x ）＝－|x ＋3|＋m ． （Ⅰ）解关于x 的不等式f （x ）＋a －1>0（a ∈R ）； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1—5BCBCC 6—10DCABC 11—12 BA 二、填空题13． 35 14．[答案] 255 15．【答案】[ 6,2]．16．答案：x <－1或x >23三、计算题17．解析：由题意（－1, －8）为二次函数的顶点，∴ f （x ）＝2（x ＋1）2－8＝2（x 2＋2x －3）A ＝{ x | x ＜－3或x ＞1}． （Ⅰ）B ＝{ x | |x －1|≤1}＝{ x | 0≤x ≤2}． ∴ （ R A ）∪B ＝{ x | －3≤x ≤1}∪{ x | 0≤x ≤2}＝{ x | －3≤x ≤2}． （Ⅱ） B ＝{ x | t －1≤x ≤t ＋1}．⎩⎨⎧≤-≥⇒⎩⎨⎧≤+-≥-021131t t t t ， ∴实数t 的取值范围是[－2, 0]．18 （1）解：由已知得a n ＋1n ＋12＝2·a n n 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是公比为2的等比数列，且首项为2，∴a n n 2＝2·2n －1，a n ＝2n ·n 2． 8.解：12223222122232n n S n =⨯+⨯+⨯++∙ ① ①×2得 223242122122232n n S n +=⨯+⨯+⨯++② ①-②得 2223222212212(21)2(32)2[(1)]2n n n S n n n +-=⨯+-+-++--- =123122123252(21)2n n n n +⨯+⨯+⨯++∙--∙ ③ ③×2得 23412222123252(21)2n n n S n n ++-=⨯+⨯+⨯++--∙ ④ ③—④得231122222222222(21)22n n n n n S n n n +++=+⨯+⨯++⨯-∙--∙+∙ 3411222222(21)n n n n ++=+++++-+31122(21)22(21)21n n n n -+-=++∙-+-1212*2(23)62(63)6()n n n n n S n n n N ++=∙-+-∴=∙-+-∈19 [解析] （1）当k ＝0时，f （x ）＝e x －x ，f ′（x ）＝e x －1，令f ′（x ）＝0得，x ＝0，当x <0时f ′（x ）<0，当x >0时，f ′（x ）>0， ∴f （x ）在（－∞，0）上单调减，在[0，＋∞）上单调增． ∴f （x ）min ＝f （0）＝1， ∵对∀x ∈R ，f （x ）≥1，∴f （x ）－1≥0恒成立， ∴欲使g （x ）定义域为R ，应有m >－1． ∴实数m 的取值范围是（－1，＋∞）．（2）当k >1时，f （x ）＝e x －k －x ，f ′（x ）＝e x －k －1>0在（k,2k ）上恒成立． ∴f （x ）在（k,2k ）上单调增．又f （k ）＝e k －k －k ＝1－k <0，f （2k ）＝e 2k －k －2k ＝e k －2k ，令h （k ）＝e k －2k ， ∵h ′（k ）＝e k －2>0，∴h （k ）在k >1时单调增， ∴h （k ）>e －2>0，即f （2k ）>0， ∴由零点存在定理知，函数f （x ）在（k,2k ）内存在零点．20[解析] （1）由题意知：d >0，S n ＝S 1＋（n －1）d ＝a 1＋（n －1）d2a 2＝a 1＋a 3⇒3a 2＝S 3⇒3（S 2－S 1）＝S 3,3[（a 1＋d ）2－a 1]2＝（a 1＋2d ）2， 化简得：a 1－2a 1·d ＋d 2＝0，∴a 1＝d ，∴a 1＝d 2 S n ＝d ＋（n －1）d ＝nd ，S n ＝n 2d 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－（n －1）2d 2＝（2n －1）d 2，适合n ＝1的情形． 故a n ＝（2n －1）d 2．（2）S m ＋S n >cS k ⇒m 2d 2＋n 2d 2>c ·k 2d 2⇒m 2＋n 2>c ·k 2，∴c <m 2＋n 2k2恒成立．又m ＋n ＝3k 且m ≠n,2（m 2＋n 2）>（m ＋n ）2＝9k 2⇒m 2＋n 2k 2>92，故c ≤92，即c 的最大值为92．21解（I ）讨论函数()f x 的单调性()f x 的定义域为（0，+∞）则2(2)2()2(0)a x f x a x x x--'=--=> （1）当2a =时，2()0,()(0,)f x f x x'=-<+∞则在上是减函数（2）当(2)22,()0a x a f x x-+'>=-<时，则 （3）当2(2)()22,()a x a a f x x---'<=时 2(0,),()0()22(,)()0()2x f x f x ax f x f x a'∈<-'∈+∞>-当时此时是减函数当时,此时是增函数2,()22,()222a f x a f x aa≥∞<-∞-综上,当时在(0,+)上是减函数当时在()上是减函数在(,+)上是增函数 （II ）当（I ）知a≥2时显然不合题意 ∴a<2 ,则有(](]2(2)()2(2)222,()2,0,2,()0.2,()0,,a x a x a a f x a x ex xxx f x af x e -----'≠=--==∈'==-当时当时由题意得在上不单调故220,22e a a e<<<--即 ① …………9分此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：(](]0022()2ln ,()(2)(1)2,220,,0,(1,2),()(),:i i f a f e a e a a e e x i f x g x a =-=-----∈==所以,对任意给定的x 在上总存在两个不同的使得成立当且仅当满足下列条件 22()0,2ln 0,22()1,(2)(1)2 1.f a a a f e a e ⎧⎧≤-≤⎪⎪--⎨⎨⎪⎪≥---≥⎩⎩即 ②③23[解析]（1）不等式f（x）＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0，当a＝1时，解集为x≠2，即（－∞，2）∪（2，＋∞）；当a>1时，解集为全体实数R；当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，故解集为（－∞，a＋1）∪（3－a，＋∞）．（2）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|（x－2）－（x＋3）|＝5，于是得m<5，即m的取值范围是（－∞，5）． 学益教育资源网版权所有翻录必究学益教育资源网欢迎各位名师上传资源。