基本不等式及其应用(二)
7.2 基本不等式及其应用
第二节基本不等式及其应用考纲解读1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3. 利用基本不等式证明不等式.命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.预测2015年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题.本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分.知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然，因为的条件是，故选A.变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2（2012福建理5）下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.解析：对于①，由及得，即(当且仅当时取等号)，故①正确；对于②，由及得，即(当且仅当时取等号)，故②正确；对于③，由得，故③正确.对于④，，因此(当且仅当时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，，又，则，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型92 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为，故需先转化为，才能利用基本不等式求最值.解析：因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取最小值.（2）因为，所以，则，且，即. 当且仅当，即时，取最大值.故函数的值域为.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.分析：因为，所以首先要调整符号，又不是常数，所以要对进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值. 解析：因为，所以，由（当且仅当时，即时取等号）得. 所以函数的最大值为1.当且仅当时，即时取等号，故当时，.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”，则如下求解：因为，所以，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，.一般地，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.变式2设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3三、“1”的变换例7.9已知，且，求的最小值.分析：利用条件中“1”的变换.解析：解法一：因为，且，所以.当且仅当即，的最小值为16.解法二：由，且，得，所以10.因为0y >，所以90y ->，所以99(9)102(9)101699y y y y -++≥-=--g . 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16评注 本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为191912x y x y xy+=≥=g 36xy ≥，所以223612x y xy +≥≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b=+的最小值是 变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值 变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是 （2）a b +的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.323ab a b ab =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥3≥1-（舍）3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3tt a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=.2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞（2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是 变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 分析 观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以== 22122y x ++≤g 2212224y x ++==g 2212y x +=时取“=”，即2x =，2y =时取“=”）.4评注 本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１ 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值． 六、合理配组，反复应用基本不等式 例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析 解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab≥++-2244a a =+≥=（当且仅当2ab a ab =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D 解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a ab a b -≤=（当且仅当2a b=时取“=”），则222144()a a b a b a +≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =b =211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型93 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析 （1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.≤只需证3x y z +++≤，只1因为,,x y z R+∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1≤成立.评注 本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题27（限时45分钟）1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（ ）.A 1+ .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（ ）.A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞ .C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（ ）.A 12 .B 1 .C 1 .D 125．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（ ）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224mn+<，则点(,)m n 必在（ ）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方 .C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为 8．已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为 10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值. （2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值 （4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
第二课时 基本不等式的应用
2＝ xy
4 ，所以 xy
xy≥4.从而 x＋y≥2
xy
≥2×4＝8.故 x＋y 的最小值为 8.
请分析上面解法是否正确，并说明理由.
7
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
解 这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次基本不等式，
但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x＝4y＝12，即 x＝2，
＝8xy＋2yx＋10≥2 8xy·2yx＋10＝18. 当且仅当8xy＝2yx，即 x＝2y＝12 时等号成立. ∴x＋y 的最小值是 18.
@《创新设计》
14
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
题型二 基本不等式的实际应用
【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园
@《创新设计》
第二课时 基本不等式的应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通 通过学习掌握基本不等式及其应用，重 过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 点提升数学运算、逻辑推理、数学建模 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 素养.
1
课前预习
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素养达成
@《创新设计》
新知探究
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆 最省呢？
2
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长 x 与宽 y 的和一定， 求 xy 的最大值，xy≤x＋2 y2＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为 25 米时鸡舍面 积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长 x 与宽 y 之和最小问题，x＋y≥2 xy＝ 2 10 000＝200，当且仅当 x＝y＝100 时，即当农场为正方形，边长为 100 米时，所用 篱笆最省.
基本不等式(二)
基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析 由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42， 当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立． 二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |， 又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析 二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25， 年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立． 三、解答题11．解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。
2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用
x2
x
b
,则
x
2
x
b
≥1,由b>0得b≤x-x2,
即b≤
(
x
x
2
)
max
,∵x-x2=-
x
1 2
2
+
1 4
,x∈
1 4
,
3 4
,∴x=
1 2
时,(x-x2)max=
1 4
,则b≤
1 4
.
故0<b≤ 1 .
4
答案
0<b≤
1 4
例3
已知函数f(x)=x2,g(x)=
1 2
x
-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实
2.几个重要不等式
1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
4.双变量的恒成立与存在性问题 1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2 ,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max. 2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min. 3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max. 4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min. 5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2 ∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。
2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用(分层集训)
b,x,y>0,则 a2 + b2 ≥ (a b)2 ,当且仅当 a = b 时等号成立.根据权方和不等式
x y xy
xy
可以比较容易得出,函数f(x)=
2 x
+
1
9 2x
0
x
1 2
的最小值为
(
)
A.16 B.25 C.36 D.49
答案 B
2.(2022山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则 a2 + b2
x
0
x
2
答案 C
2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考,9)设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中
一定成立的是( )
A.ab≤ 1
4
B. a + b ≥ 2
2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,10)已知正数x,y满足x+2y=4,若存在正
数x,y使得 1 +x≤t-2y- 1 成立,则实数t的可能取值是( )
2x
y
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 CD
3.(2021广东佛山南海石门中学模拟,5)已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等
.
c
a2
答案 - 5 8
6
13.(2022河北曲阳一中月考,14)已知a,b∈R,且a> b >0,则a2+ 1 的最
2
(2a b)b
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基本不等式及其应用（二）一、填空题 1．函数()3f x =的最小值为 ． 2．已知22,(0,),24a b a b a b ∈+∞+++=，则a b +的最大值是 ． 3．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是 ． 4．已知在ABC ∆中，,,a b c 成等比数列，则B 的取值范围是 ．5．如图，有一张单栏的竖向张贴的矩形海报，它的印刷面积为272dm （图中阴影部分），上下空白各2dm ，左右空白各1dm ，则四周空白部分面积的最小值是 ．6．如图，在ABC Rt ∆中，90C ︒∠=，3AC =，4BC =，一条直线l 与边BC 、BA 分别交于点E 、F ，且分Rt ABC ∆面积为相等的两部分，则线段EF 长的最小值为 ． 7．若0a b >>，则216()a b a b +-的最小值为 ．8．已知,,(0,),230x y z x y z ∈+∞-+=，则2y xz的最小值是 ．9．已知函数2()f x ax x =-，222()(2)(,)g x x a x a N b Z *=-∈∈，若存在0x ，使0()f x 为()f x 的最小值，0()g x 为()g x 的最大值，则此时数对(),a b 为 ． 10．已知,a b R ∈，且223a ab b ++=，则22a ab b -+的最大值是．C A B lF E二、解答题11．如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求点P 在射线AM 上，点Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中30AB m =，20AD m =．记三角形花园APQ 的面积为S ． ⑴当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求出S 的最小值；⑵要使S 不小于21600m ，则DQ 的长应在什么范围内？12．如图所示是某水产养殖场建造的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱．⑴若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x 、宽y 设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；⑵若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽各为多少米时，可使总造价最低？DP B NMC A Q基本不等式及其应用（二）（参考答案）一、填空题 1．函数()3f x =的最小值为 103．解：3t =，则1(3)y t t t =+≥，'2110(3)y t t =->≥，∴函数1y t t=+在[3,)+∞上单调递增，∴当3t =时，min 103y =． 即函数()3f x =+的最小值为103．2．已知,(0,)a b ∈+∞，2224a b a b +++=，则a b +的最大值是6．解：∵222()(,0)22a b a b a b a b ++≤⇔≤+>当且仅当a b =时取等号，∴由()22222424a b a b a b a b +++=⇒+=-+得2()24()2a b a b +-+≥．解得86a b -≤+≤，，故a b +的a b +的最大值是6．3．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是[)3,0-． 解：∵0x <，∴12x x +≤-当且仅当1x =-时取等号，从而233111x y x x x x==++++ 3≥-．又22131()024x x x ++=++>，∴0y <，故函数的值域是[)3,0-．4．已知在ABC ∆中，三边a 、b 、c 成等比数列，则B 的取值范围是(0,]3π．解：∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =．根据余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，∴2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=（当且仅当a c =取等号）．∵(0,)B π∈，∴03B π<≤．故B 的取值范围是(0,]3π．5．如图，有一张单栏的竖向张贴的矩形海报，它的印刷面积为272dm （图中阴影部分），上下空白各2dm ，左右空白各1dm ，则四周空白部分面积的最小值是256dm ． 解：设海报长为xdm ，宽为ydm ，则由题意得：(4)(2)72x y --=，即2464xy x y --=，∴海报的面积246464S xy x y ==++≥， （当且仅当2x y =取等号），从而64xy ≥+，解得128xy ≥，即min 128S =． 故四周空白部分面积的最小值为21287256dm -=．6．如图，在ABC Rt ∆中，90C ︒∠=，3AC =，4BC =，一条直线l 与边BC 、BA 分别交于点E 、F ，且分Rt ABC ∆面积为相等的两部分，则线段EF 长的最小值为2． 解：由已知得：346,5,sin ,cos 55ABC S AB B B ∆====．设,BE m BF n ==，则2222282cos 5EF m n mn B m n mn =+-=+-，由题意得132BEF ABC S S ∆∆==，即1sin 3102mn B mn =⇒=．∴222162164EF m n mn =+-≥-=（当且仅当m n =取等号），从而2EF ≥． 故线段EF 长的最小值为2． 7．若0a b >>，则216()a b a b +-的最小值为16．解：∵0a b >>，∴0a b ->，()b a b -22()[]24b a b a +-≤=，CABlFE∴216()a b a b +-226416a a ≥+≥=，当且仅当2264a ab a b⎧=⎪⎨⎪=-⎩时，即a b ==时，216()a b a b +-的最小值为16．8．已知,,(0,)x y z ∈+∞，230x y z -+=，则2y xz的最小值是3．解：由230x y z -+=得32x zy +=代入2229666344y x z xz xz xz xz xz xz +++=≥=当且仅当3x z =时取等号．故2y xz的最小值是3． 9．已知函数2()f x ax =-，222()(2)(,)g x x a x a N b Z *=-∈∈，若存在0x ，使0()f x 为()f x 的最小值，0()g x 为()g x 的最大值，则此时数对(),a b 为(1,2)．解：22222224(2)()(2)[]2x a x g x x a x a +-=-≤=，当且仅当x a =±时()g x 取最大值；又2()f x ax =-中，当且仅当x =时()f x 取最小值．∴只有0x a a==时才能满足题意，即2a = 由2430b b -+-≥得13b ≤≤，∵b Z ∈，∴1,2,3b =． 考虑到a N *∈，经检验只有2,1b a ==时才能满足题意．故数对(),a b 为(1,2)．10．已知,a b R ∈，且223a ab b ++=，则22a ab b -+的最大值是9．解法一 由223a ab b ++=得222233()03a ab b ab ab a b ab ++=+⇒+=+≥⇒≥-，而222()3333232(3)9a ab b a b ab ab ab ab -+=+-=+-=-≤-⨯-=． 故22a ab b -+的最大值是9． 解法二 令cos ,sin a r b r θθ==，则2222222cos sin cos sin 3a ab b r r r θθθθ++=++=，即21(1sin 2)32r θ+=， 从而26r ≤．又222213(1sin 2)922a ab b r r θ-+=-≤≤，故22a ab b -+的最大值是9． 二、解答题11．如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求点P 在射线AM 上，点Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中30,20AB m AD m ==．记三角形花园APQ 的面积为2Sm ．⑴当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求出S 的最小值； ⑵要使S 不小于21600m ，则DQ 的长应在什么范围内？解：⑴设(0)DQ x x =>，则20AQ x =+， ∵QD AQ DC AP =，∴2030(20)30x x x AP AP x++=⇒=， ∴2115(20)40015(40)12002x S AP AQ x x x+=⨯⨯==++≥，当且仅当20x =取等号．答：当DQ 的长度是20m 时，S 最小；S 的最小值为21200m ．⑵由1600S ≥，得2203200120003x x x -+≥⇒≤或60x ≥，又0x >， 故DQ 的取值范围是20(0,][60,)3⋃+∞． 12．如图所示是某水产养殖场建造的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱．⑴若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x 、宽y 设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；⑵若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽各为多少米时，可使总造价最低？ 解：⑴设小网箱的长、宽分别为x 米、y 米，筛网总长度为S ，依题意42108x y ⨯=， 即272xy =，46S x y =+．∵462(23)36x y x y +=+≥=，∴36S ≥， 当且仅当23x y =时，等号成立，DPBNMCAQ解方程组23272x yxy =⎧⎪⎨=⎪⎩得 4.53x y =⎧⎨=⎩． 答：每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．⑵设总造价为W 元，则由42160x y ⨯=，得20xy =． ∵415,215x y ≤≤，∴1515,42x y ≤≤，20152y x =≤ ，∴81534x ≤≤．2020(84)112(46)96(84)112(46)96W x y x y x x x x =+⨯++⨯=+⨯⨯++⨯⨯161280()x x=+，求导，可得()W x 在815[,]34上单调递减 ，∴当154x =时，W 最小，此时154x =， 163y =．答：当小网箱的长与宽分别为154米与163米时，可使总造价最低．。