二次函数的应用_——最大面积问题教学设计
《二次函数面积最大问题》教学设计
《实际问题与二次函数——面积最大问题》教学设计马小戎一、教学目标结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
二、教学重点、难点教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
四、教学流程（一）【复习旧知，引入新课】1. 二次函数2()y a x h k =-+的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .2. 二次函数22(3)5y x =-+的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，y 的最 值是 。
3. 二次函数23(4)2y x =+-的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，函数有最 值，是 。
4.二次函数2289y x x =-+的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
5 . 二次函数2y ax bx c =++的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .当a>0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 。
初中九年级数学教案-二次函数最大面积问题-公开课比赛一等奖
教学设计
学习任务：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点最低点，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值或最小值。
在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。
学习过程：从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
因此我由实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。
创设情境引入课题、分析问题解决问题、归纳总结、运用新知练习。
积极思考，发表自己的见解。
总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。
培养学生归纳问题的能力。
学习方法建议：
①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。
②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。
③注意实际问题对自变量取值范围的影响，进而对函数图象的影响。
④注意检验，养成良好的解题习惯。
通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。
二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。
让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。
鲁教版数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教学设计
鲁教版数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是鲁教版数学九年级上册3.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
教材通过实例引入二次函数的应用，让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，二是二次函数在实际生活中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数在实际生活中的应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，并培养学生的数学应用意识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数在几何中的应用，掌握二次函数在实际生活中的应用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用，二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：二次函数在实际生活中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用实例教学法，通过具体的实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
同时，采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的应用，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的实例，制作好PPT。
2.学生准备：预习相关内容，准备好笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，让学生了解二次函数在几何中的应用。
例如，抛物线的定义及性质，让学生初步感受二次函数的应用。
2.呈现（15分钟）呈现一个实际问题，让学生尝试用二次函数来解决。
例如，一个农场想要建一个最大的矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，另外两边的长度分别为6米和4米，问如何建鸡舍才能使鸡舍的面积最大？3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
北师大版九年级下册第二章二次函数第二章：面积最大是多少教学设计
北师大版九年级下册第二章二次函数第二章：面积最大是多少教学设计一、教学目标1.了解二次函数中面积最大问题的基本概念和解法2.掌握求二次函数面积最大值的方法3.能够通过解决问题提高自己的解决问题的能力和思维能力二、教学内容1.二次函数中面积最大问题的基本概念2.二次函数面积最大值的方法3.实际问题的应用三、教学方法1.结合具体问题进行讲解，注重考点强化2.独立思考、小组合作、展示汇报等多种教学方法结合使用3.多媒体辅助教学，图文并茂四、教学过程1. 导入（5分钟）•老师介绍本节课的主题及重要性，并让学生提出面积最大问题的相关问题或想法，引导学生进入课程主题。
2. 讲授面积最大问题的基本概念（10分钟）•通过举例讲解面积最大问题的定义、分类、特点等基本概念。
•帮助学生理解面积最大问题与实际生活密切相关。
3. 介绍二次函数面积最大值的求解方法（20分钟）•让学生通过举例理解二次函数面积最大值的求解方法。
•具体讲解求解过程及方法。
4. 案例分析（30分钟）•分组进行实际问题探究和解决，组长为负责人，组员分工合作•团队协作、独立思考找出最大面积•每组在黑板上汇报，总结出结论5. 总结（5分钟）•回顾课堂重点内容，复习二次函数面积最大值的求解方法。
•总结今天的收获，展示个人的学习收获。
五、教学评估•通过实际问题分析和答题，评估学生对面积最大问题及二次函数面积最大值求解的理解、掌握程度。
•通过展示汇报等方式，评估学生的动手能力和团队协作成果。
六、教学反思•在今后的教学中，要注重和学生联系实际问题，让学生主动参与其中，提高课堂效果和学生的学习积极性。
•需加强评估和反馈，针对学生的不足点及时纠正，才能进一步提高教学效果。
人教版九年级数学上册《二次函数与实际问题——图形的最大面积》教学设计
实际问题与二次函数（第1课时）----二次函数与几何面积最值问题教学目标知识技能：1.正确理解题意，分析问题中的变量和常量.2.能根据题意，列出二次函数的关系式.3.能将实际问题转化为二次函数模型.结合二次函数的性质，讨论最值问题.过程与方法：1.经历二次函数的建模过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.2.经历用二次函数解决问题的探索过程，增强学生的应用意识.情感态度：通过学生解决实际的问题，增强学生学习数学的兴趣，培养学生学数学，用数学的意识.让学生真正的意识到数学是从实践中来，到实践中去，是一门有用的学科.教学重点能根据题意，列出二次函数的关系式，解决实际问题.教学难点能根据题意，列出二次函数的关系式.能根据实际问题，结合二次函数的性质，讨论最值问题.教学过程一、复习导入说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1）y=x2-4x-5;(2)y=-x2-3x+4.（学生独立完成,组内交流答案.）一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．这节课，我们来学习利用二次函数的知识如何来求几何面积中的最值问题。
二、新课教学1.问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t －5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．然后画出函数h＝30t －5t2 (0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m．(教师引导分析，学生思考交流完成)2.例题用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？（学生独立思考后，一生回答，教师指正）变式1如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 变式1与例题有什么不同？问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？（师生共同分析完成变式1，教师强调确定自变量范围）变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？问题6 如何求最值？（变式2学生分小组讨论交流，全班分享，教师点评，指出最值不一定在顶点处）注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点、何时取端点处才有符合实际的最值.方法小结：（教师引导完成）二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.三．课堂练习1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是.2.如图2，在△ABC中，∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？如何来求几何面积的最值？1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.（学生交流，互相补充）五、布置作业课本习题22.3 4、5、6、7 题。
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。
23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。
本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。
三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。
四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。
导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。
五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。
2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。
九年级数学上册《二次函数的应用》教案、教学设计
-通过动画展示二次函数图像的平移、伸缩等变换，使学生直观地感受图像的性质。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入地掌握二次函数的知识。
-从简单的二次函数图像识别，到求解实际问题中的二次函数，逐步提高问题的难度。
4.采用小组合作、讨论交流的学习方式，促进学生之间的思维碰撞，共同解决难题。
5.学会运用二次函数的知识，解决生活中的实际问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解决问题的能力：
1.通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和团队精神。
2.利用数形结合的方法，引导学生观察、分析二次函数的图像，培养学生直观想象和逻辑推理能力。
5.反思与总结：
-请同学们在作业本上写下本节课的学习心得，包括对二次函数的理解、学习过程中的困惑以及解题方法的总结。
-教师在批改作业时，应及时给予反馈，鼓励学生持续反思，不断提高。
4.通过小组合作，培养学生互相尊重、团结协作的品质，增强集体荣誉感。
5.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感和使命感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程、不等式等知识，对于函数的概念也有初步的理解。在此基础上，学生对二次函数的学习将面临以下挑战：
-完成课后作业中的基础题，旨在让学生通过实际操作，加深对二次函数图像特征的理解。
2.提高作业：
-选做课本第chapter页的提高题，涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、面积计算等，以提升学生解决问题的能力。
-设计一道综合性的应用题，要求学生运用本节课所学知识，结合生活实际，解决实际问题。
九年级数学下册《二次函数的应用》教案、教学设计
3.拓展作业：
（1）针对优秀生，布置一些具有挑战性的题目，如研究二次函数图像的变换规律、探讨二次方程与二次不等式之间的关系等。
（2）鼓励学生利用网络、书籍等资源，了解二次函数在其他学科领域的应用，拓宽知识视野。
（三）情感态度与价值观
在本章节的教学中，学生将形成以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发他们探索数学问题的热情，增强自信心和自主学习的意识。
2.通过解决实际生活中的问题，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，认识数学的价值，提高学习的积极性。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在交流、互助中学会尊重他人，培养良好的人际沟通能力。
2.运用问题驱动法，设计具有挑战性的问题和实际案例，激发学生的兴趣和求知欲，培养其独立思考、合作交流的能力。
3.利用数形结合的方法，结合图像和解析式，帮助学生形象地理解二次函数的几何意义，提高解决问题的直观感知能力。
4.通过分类讨论、逐步推进的解题策略，培养学生的逻辑思维和条理性。
5.组织课堂讨论和小组活动，鼓励学生分享解题心得，提高表达和沟通能力。
九年级数学下册《二次函数的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《二次函数的应用》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解二次函数的定义及其图像特点，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。
2.学会运用二次函数的顶点式、交点式等不同形式进行问题求解，掌握求解二次方程的方法。
3.能够利用二次函数解决实际生活中的问题，如最值问题、范围问题等，并能够解释其几何意义。
4.掌握二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系，能够进行简单的综合应用。
初中数学_二次函数应用面积最值问题教学设计学情分析教材分析课后反思
二次函数的应用—面积最值问题教学设计【学习目标】：1、能根据不同的实际问题，建立二次函数数学模型，进一步发展数学建模应用意识；2、会求几何图形面积的最值，并能注意到自变量对最值的影响；3、体会数学建模、转化、数形结合等数学思想方法。
【学习重点】：应用二次函数数学模型解决实际问题中的面积最值问题。
【学习难点】：把实际问题转化成二次函数的数学模型；自变量对最值的影响。
【学习过程】：一、热身展身手（学好数学，用好数学）问题1：在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）若设AB=x，则BC=花园面积y= （写顶点式），x的取值范围是，当x= 时，y有最值是㎡。
问题:2：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），求运动过程中，△CPQ 的面积最大值。
.二、动手又动脑 （合作探究，体验成功）例题学习：例1、如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点M 是第四象限抛物线上一点，求四边形MAOC 的面积的最大值．A B 213222y x x =--自变量的取值范围对最值的影响问题1的变式训练：例2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是6m 和15m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y的最大值和最小值．巩固练习：问题2变式训练如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=4cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），若运动时间为t ，求运动过程中，△CPQ 的面积y 最大值.*2. 巩固提升已知：如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ．点P 由B 出发沿BA 的方向向点A 匀速平移，速度为1cm/s ；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ,当其中一点停止，另一点也停止运动．⑴求△APQ 面积的最大值；C A B⑵求四边形BPQC 面积的最小值.三、总结见提升 （分享所得，提高更大！）你在知识和方法上有哪些收获和提高？你还有什么需要继续请教的地方？四、成果展示 （收获硕果，满载而归！）1、如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值. C A BPQ*2、如图,现要用长度为6m的材料制作上部为两个正方形，下部为一个矩形组成的矩形窗户，求窗户的最大面积.五、课后作业整理补充导学案.二次函数的应用面积最值问题学情分析1、学生年龄特点：初四学生具有丰富的想象力、好胜心理。
《二次函数在面积最值问题中的应用》示范教学方案
第二十一章二次函数与反比例函数21．4二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用一、教学目标1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值．二、教学重点及难点重点：利用二次函数求实际问题的最值．难点：对实际问题中数量关系的分析．三、教学用具多媒体课件四、相关资料《实际问题与二次函数（一）》微课五、教学过程【情景引入】孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S 平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【探究新知】解决最大值问题的方法步骤：1.看题目中是否给出问题中变量之间的二次函数关系式.若未给出，则通过问题中各量间的关系或者根据图形构建函数关系列出因变量和自变量之间的二次函数关系式，并将其写成一般式；2. 由一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)化为顶点式y =a (x -h )2+k .先对一次项和二次项进行提取公因式，使得二次项的系数为1；再在括号里加上一次项系数一半的平方，并减去“一次项系数一半的平方；将括号写成和（差）的平方形式，并将括号外进行化简；3.根据函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质得出在自变量取值范围内的最大值或最小值. 在任意实数范围内：若a >0，则当x =h 时y 有最小值为k ; 若 a <0，则当x =h 时,y 有最大值为k .但是在实际问题中要考虑x =h 是否在自变量的取值范围内，若不是则还要结合二次函数中y 随x 的变化情况判断出何时取最大值或最小值.本图片是微课的首页截图，本微课资源针对《实际问题与二次函数（一）》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】实际问题与二次函数（一）.【新知运用】探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】 利用二次函数求最大面积例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30； (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】 利用二次函数判断面积取值成立的条件例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理，得x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理，得x 2－16x ＋70＝0，配方，得(x －8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】 利用二次函数确定最大面积的条件例3 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m ，宽为30m ，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B 菊花的面积y 与B 场地的长x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30；(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【随堂检测】1.在半径为5cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环的面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）。
北师大九年级数学下 2.4 二次函数的应用第1课时 图形面积的最大值 教案
2.4 二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t －5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。
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《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。
所用教材是教育材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。
下面我将从教材容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析 学生由简单的二次函数y ＝x 2学习开始，然后是y ＝ax2，y ＝ax 2+c ，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k ，y ＝ax 2+bx+c ，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。
对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二、教学目标、重点、难点的确定教学目标：1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于 生活。
3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。
教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使M F 学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
四、教学流程（一） 请同学独立完成下面3个问题：环节一：复习引入阶段我设计了三个问题：1．函数y=ax2+bx+c(a ≠0)中，若a>0，则当x=-a b2时，y( )= ；若a<0，则当x= 时，y( )= 。
2.（1）求函数y ＝ 2x2+2x －3的最值。
（2）求函数y ＝x2+2x －3的最值。
（0≤x ≤ 3）3。
如图，在边BC 长为20cm ，高AM 为16cm 的△ABC 接矩形EFGH ，并且它的一边FG 在△ABC 的边BC 上，E 、F 分别在AB 、AC 上，若设EF 为xcm ，请用x 的代数式表示EH 。
解：∵矩形EFGH ， ∴EH ∥BC ∴ △AEH ∽___________。
又∵BC 上的高AM 交EH 于T 。
∴AM AT =_______，即1616x=________。
∴EH= 。
[设计思路]通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最值，通过做练习2复习求二次函数的最值方法---公式法、配方法、图象法，练习2（1）的设计中，学生求最值容易想到顶点，无论是配方、还是利用公式都能解决；（2）中给了0≤x ≤3,学生求最值时可能还会利用顶点公式求,忽略了0≤x ≤3,的限制，设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，练习3复习相似三角形，把一条线段用X 表示，为学习新课做好知识铺垫。
（二）探究新知：新课分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在巩固与应用中提高技能几个环节1、在创设情境中发现问题提问学生上面练习中第三题矩形EFGH 的最大面积是多少？学生在操作中发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。
求一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。
2、在解决问题中找出方法这一环节我设计了探究活动一：在上面练习题3中，若要使矩形EFGH 获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？把矩形变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。
学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x ，把另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找出等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。
想一想的设计让学生体会到不同的解设方法所得的最大面积是一样的，图形的最大值只有一个。
解决完想一想之后及时让学生总结方法，为变式训练打下思想方法基础。
3、在巩固与应用中提高技能有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AM=30cm，AN=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形ABCD，问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？我设计了两个问题：(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？问题一的设计目的：这个问题，学生在学习相似时见过同种类型，所以在课堂上要给学生留出一些思考和交流的时间，让学生充分发挥课堂的主体地位。
在学生充分发挥自主探索的能力后，教师要与学生共同协作完成题目的解答。
这样做的目的是为学生在后面的学习起示作用，帮助学生在脑海中形成完整的解答过程。
具体的过程如下：分析：(1)要求A D边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC 。
由△EBC∽△EAF，得即，所以AD＝BC＝(40－x)。
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了。
下面由学生完成解答过程。
我设计了一个问题：用什么方法求出AD的长？学生容易想到三角形相似，而忽略了相等的角的三角函数值也相等，借助∠M或者∠MCD的正切值也可以求出AD的长，然后让学生比较最优解题方法。
提出问题：解决这类问题你有什么心得？（首先对题意进行分析，找到变量间的关系，发现求面积就是求矩形的两条边，其次把两条边都用含有x的代数式表示出来，最后带入面积公式将实际问题转化为数学问题，用数学的方式解决它。
）设计目的让学生及时回思，总结解题方法，达到举一反三的效果。
2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”问题二的设计目的：学生在是生活中遇到的问题是千变万化的，他们要有具体问题具体分析的能力，所以将问题进行一定变化后学生可以通过自己的分析独立解决这类问题。
从而提高学生独立思考并解决问题的能力。
分析：要求面积需求AB 的边长，而AB=CD ，所以需要求DC 的长度，而DC 是△MDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求,也可以借助三角函数值相等求出。
一生板演。
提出问题：矩形面积的最大值有何变化？让学生感知：同一实际问题中的最大值问题与所设的自变量无关，它是固定不变的的。
设计说明：课堂上要求学生独立完成这个问题的完整解答，请一、两名学生板演，再由其他学生进行点评，找出完美的解答过程。
体现学生的自主探索、合作交流的意识与能力，也充分体现了生生评价的激励作用。
3．问题三：对问题一再变式问题三的设计目的：问题二的解答会使一部分学生完全按照问题一的格式套下来，此时他们还会有点不熟练，但问题三则从另一个角度重新诠释了面积最大的问题。
即让学生对这个问题重新进行审视又让学生彻底弄清这类问题的思考方式。
让学生在课堂上看到了活生生的数学问题，感受到数学与生活有着密切的联系，使学生真正领悟到数学的价值。
在Rt△0MN 的部作接矩形ABCD ，点A 和D 分别在两直角边上，BC 在斜边MN 上。
①设矩形的边BC=xm ，则AB 边的长度如何表示？②设矩形的面积为ym 2，当x 取何值时，y 的最大值是多少?提出问题：,在一个直角三角形的部能找到两者的关系，所以该题要添加辅助线——斜边上的高，转化为探究活动一的问题。
活动目的：有了前面两题作基础，这个问题教师可以带领学生先行分析后留给学生自己解决，作为练习。
课件展示规的解题步骤。
为了培养优生，扬学生的个性发展，设计了一个提高题：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?40m 30m D N O A B C M F E B G D A建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户的面积是多少?教学预设：引导学生分析得出x为半圆的半径，2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系，要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝。