高一数学上册期中复习知识点和试卷

高一数学：解函数常见的题型及方法主编：东平校区 张忠兵一、函数定义域的求法函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。

高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。

以考查对数和根号两个知识点居多。

1、求具体函数()x f y =定义域求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中分母不为零②偶次方根，被开方数非负 ③对于0x y =，要求0≠x④指数式子中，底数大于零且不等于1⑤对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1⑥由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束例：函数y ＝23-x ＋3323-+x x ）（的定义域为。

解: 要使函数有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠-≥-.03032023x x x ，，所以原函数的定义域为{x|x ≥32，且x ≠32}.评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。

2、求抽象函数的定义域(1)若已知函数()x f y =的定义域为[]b a ,，其复合函数()[]x g f y =的定义域由不等式()b x g a ≤≤求出x 的取值范围，即为函数()[]x g f y =的定义域；例: 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为。

分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知：2log 212≤≤x 解之，得42≤≤x ∴)(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x点评：对数式的真数为x ，本来需要考虑0>x ，但由于42≤≤x 已包含0>x 的情况，因此不再列出。

(2)若已知函数()[]x g f y =的定义域为[]b a ,，其函数()x f y =的定义域为()x g 在[]b a x ,∈时的值域。

例3：已知()12-=x f y 的定义域为（-1，5］，求函数()x f y =的定义域。

解：∵ -1＜x ≤5 ∴ -3＜2x-1≤9所以，函数()x f y =的定义域为{}93≤<-x x .二、函数值域求解方法求函数的值域是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一，由于求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，所以难度比较大。

以下是求函数值域的几种常用方法：1、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例：求函数()1y x =≥的值域。

)+∞ 例：求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤ ∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

3、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例：求函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域。

分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则()()()()212121211x x x x x x x f x f --=-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；当1021<<<x x 时，0121<-x x ，则()()21x f x f <；而当1=x 时，2min =y于是：函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。

4、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例：求函数6543++=x x y 的值域。

解：由6543++=x x y 可得3564--=y y x ，则其反函数为3564--=x xy ，其定义域为：53≠x∴函数6543++=x x y 的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠53y y 。

5、换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠0≠c ）的函数常用此法求解。

例：求函数2y x =+解：令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。

∴函数2y x =+5(,]4-∞。

6、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例：求函数2231x x y x x -+=-+的值域。

解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解；当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤，又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤7、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例：求函数125xy x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

8、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例：求函数2211x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<三、求函数解析式的方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.1、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例： 已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+xx x x f ， 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注………………………………………………最新资料推荐………………………………………意所换元的定义域的变化。

例： 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴)0(≥x3、待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法 例：已知()x f 是二次函数，且()()442112+-=-++x x x f x f ，求()x f 的解析式 解：设())0(,2≠++=a c bx ax x f()()c a bx ax x f x f 2222112+++=-++∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==4224222c a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==121c b a ∴()122+-=x x x f4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例： 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f解 x xf x f =-)1(2)(①显然,0≠x 将x 换成x1，得：xx f x f 1)(2)1(=-② 解①②联立的方程组，得：xx x f 323)(--=例： 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解①②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 5、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例： 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 不妨令y x =，则有)12()()0(+--=x x x x f f以函数解析式为：1)(2++=x x x f6、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例：已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y∴67)(2---=x x x g例：设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当132)(02++-=>x x x f x 时，，试求函数)(x f 的解析式 解：设0<x ，则0>-x()()()1322+-+--=-x x x f………………………………………………最新资料推荐………………………………………∵)(x f 是定义在R 上的奇函数 ∴()()x f x f -=-故()1322-+=x x x f ()0<x∵()()x f x f -=-，当0=x 时，()00=f∴()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=013200013222x x x x x x x x f四、判断具体函数单调性的方法 1、定义法一般地，设()x f 为定义在D 上的函数。