高中数学考纲及考试说明
高中数学考纲
2011年高考考试说明（课程标准实验版）--数学（理）根据教育部考试中心《2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准试验版）》（以下简称《大纲》），结合基础教育的实际情况，制定了《2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科·课程标准实验版）》（以下简称《说明》）的数学科局部。
制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握水准，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合本省（自治区、直辖市）普通高等学校招生全国统一考试工作指导方案和普通高中课程改革试验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。
Ⅰ．命题指导思想1．普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，表达课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求．3．命题注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性．既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求．合理分配必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡．4．试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两局部．第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容．第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两局部．必考局部题由4个填空题和5个解答题组成；选考局部由选修系列4的"几何证明选讲"、"坐标系与参数方程"、"不等式选讲"各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分．1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比约为：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右．2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4-0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定为难题．三种难度的试题应控制适宜的分值比例，试卷总体难度适中．Ⅲ．考核目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤实行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是知道（理解、模仿）、理解（独立操作）、掌握（使用、迁移），且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．1．知道（理解、模仿）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的理解，知道这个知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在相关的问题中识别和理解它.这个层次所涉及的主要行为动词有：理解，知道、识别，模仿，会求、会解等.2．理解（独立操作）：要求对所列知识内容有较深刻的理性理解，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作准确的描绘说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对相关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的水平.这个层次所涉及的主要行为动词有：描绘，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.3．掌握（使用、迁移）：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够实行分析、研究、讨论，并且加以解决.这个层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、使用、解决问题等.二、水平要求水平是指空间想像水平、抽象概括水平、推理论证水平、运算求解水平、数据处理水平以及应用意识和创新意识.1．空间想像水平：能根据条件作出准确的图形，根据图形想象出直观形象；能准确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形实行分解、组合；会使用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.2．抽象概括水平：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.3．推理论证水平：根据已知的事实和已获得的准确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理水平．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般使用合情推理实行猜想，再使用演绎推理实行证明.4．运算求解水平：会根据法则、公式实行准确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据实行估计和近似计算.5．数据处理水平：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理水平主要依据统计或统计案例中的方法对数据实行整理、分析，并解决给定的实际问题.6．应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料实行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言准确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.7．创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，实行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的"观察、猜想、抽象、概括、证明"，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的水准越高，显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，理解数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，表达锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各局部知识的纵向联系和横向联系，要擅长从本质上抓住这些联系，进而通过度类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活．所以，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合实行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的水准．考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，增强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握水准．数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学水平的主题．对水平的考查，强调"以水平立意"，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的水平，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．对水平的考查，以思维水平为核心．全面考查各种水平，强调综合性、应用性，切合学生实际．运算水平是思维水平和运算技能的结合，它不但包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算水平的考查主要是对算理合逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主．空间想象水平是对空间形式的观察、分析、抽象的水平，考查时注意与推理相结合．实践水平在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持"贴近生活，背景公平，控制难度"的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要结合中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考试自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识．创新意识和创造水平是理想思维的高层次表现．在数学的学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融会的水准越高，展示水平的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强．命题时要注意试题的多样性，涉及考查数学主体内容，表达数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，探究问题的本质，寻求适宜的解题工具，梳理解题程序，为考生表达创新意识、发挥创造水平创设广阔的空间．Ⅳ．考试范围与要求一、必考内容和要求（1）集合1．集合的含义与表示（1）理解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描绘法）描绘不同的具体问题.2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，理解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ1．函数（1）理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；理解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数. （3）理解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；理解函数奇偶性的含义.（5）会使用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）理解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，理解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）理解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数（1）理解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，理解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，理解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存有性及根的个数. 6．函数模型及其应用（1）理解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）理解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.（三）立体几何初步1．空间几何体（1）理解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能使用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构. （2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，理解空间图形的不同表示形式.（4）理解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.2．点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并理解如下能够作为推理依据的公理和定理.◆公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：假设两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中假设一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，理解和理解空间中线面平行、垂直的相关性质与判定. 理解以下判定定理.◆假设平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆假设一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆假设一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.◆假设一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆假设两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆假设两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（3）能使用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.（四）平面解析几何初步1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），理解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（4）初步理解用代数方法处理几何问题的思想.3．空间直角坐标系（1）理解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会简单应用空间两点间的距离公式.（五）算法初步1．算法的含义、程序框图（1）理解算法的含义，理解算法的思想.（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.2．基本算法语句理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.（六）统计1．随机抽样（1）理解随机抽样的必要性和重要性.（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；理解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体（1）理解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）.（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性（1）会作两个相关联变量的数据的散点图，并利用散点图理解变量间的相关关系.（2）理解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.（七）概率1．事件与概率（1）理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以及频率与概率的区别.（2）理解两个互斥事件的概率加法公式.2．古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率.3．随机数与几何概型（1）理解随机数的意义，能使用模拟方法估计概率.（2）理解几何概型的意义.（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制（1）理解任意角的概念和弧度制的概念.（2）能实行弧度与角度的互化.2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，理解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间（）内的单调性.（4）理解同角三角函数的基本关系式：（5）理解函数的物理意义；能画出的图像，理解参数对函数图像变化的影响.（6）体会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（九）平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念（1）理解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）理解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）理解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）理解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会实行平面向量数量积的运算.（4）能使用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.（十）三角恒等变换1．两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能使用上述公式实行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够使用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算相关的实际问题.（十二）数列1．数列的概念和简单表示法（1）理解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.（2）理解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相对应的问题. （4）理解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.（十三）不等式1．不等关系理解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像理解一元二次不等式与相对应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）理解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.。
个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。
补充要求：面积与面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。
到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。
三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。
几何不等式。
简洁的等周问题。
理解下述定理：在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的根本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、外表绽开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线与法线。
圆的幂与根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。
赛瓦定理及其逆定理。
2024高中数学高考考纲
2024高中数学高考考纲一、考试性质本考试旨在评估高中生对数学基础知识和基本技能的掌握程度，以及运用数学思维解决问题的能力。
二、考试目标1、掌握高中数学的核心概念、原理、方法和技能。
2、培养数学思维和解决问题的能力。
3、检测学生对数学知识的理解和应用能力。
三、考试内容与要求1、代数•集合与逻辑•函数及其性质•指数函数与对数函数•三角函数及其性质•数列与数列的极限•排列组合与概率初步2、几何•平面几何：三角形、四边形、圆的性质和定理•立体几何：空间几何体的性质、三视图与直观图•解析几何：直线、圆、圆锥曲线的方程及其性质3、概率与统计•概率论初步：随机事件、概率及其性质•统计初步：数据的收集、整理与描述，以及简单的统计分析4、微积分初步•极限的概念与性质•导数的概念与应用•定积分及其应用四、考试形式与试卷结构1、考试形式：闭卷，笔试。
考试时间为120分钟。
2、题型结构：选择题、填空题、解答题。
其中选择题和填空题占60%，解答题占40%。
3、分值分布：总分为150分。
代数部分占40%，几何部分占40%，概率与统计占15%，微积分初步占5%。
五、考试评价标准1、基础知识的掌握：要求考生对高中数学的基本概念、定理和公式有清晰的理解和掌握。
2、计算能力：能够准确、快速地进行基本的数学运算。
3、逻辑思维与分析能力：能够运用数学思维，分析问题，找到解决方案。
4、问题解决能力：能够运用所学知识解决实际问题或数学问题。
5、创新与应用能力：能够将数学知识应用于日常生活或其他学科中，具有一定的创新意识和能力。
以上是一个简略的2024年高中数学高考考纲草案。
在撰写完整考纲时，您需要进一步细化每个部分的内容，明确每个知识点的要求和标准，并给出具体的题型示例和分值分布。
同时，为了确保考纲的科学性和有效性，建议您在制定过程中充分征求教师、学生和课程专家的意见，并进行试测和反馈修订。
鹏程杯数学考纲
鹏程杯数学考纲一、考试性质鹏程杯数学考试是高中学业水平合格性考试，是面向普通高中学生的一门共同必修科目。
该考试考查的是学生数学的基础知识和基本技能，旨在评估学生是否达到了高中数学课程所规定的学业质量水平。
二、考试内容与要求（一）代数1. 集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；2. 函数的应用；3. 方程的解法、方程的根；4. 不等式的性质和证明；5. 数列的基本概念和简单性质。
（二）三角函数1. 三角函数的定义、图像和性质；2. 三角函数的应用；3. 正弦定理、余弦定理等三角恒等变换。
（三）平面解析几何1. 直线的方程、斜率、平行与垂直；2. 圆的方程、圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系；3. 圆锥曲线的方程、简单几何性质及应用。
（四）立体几何1. 空间几何体的结构特征和三视图；2. 空间几何体的表面积和体积；3. 空间直线与直线之间的位置关系；4. 空间平面与平面之间的位置关系。
（五）概率与统计初步1. 随机事件的概率计算；2. 离散型随机变量的分布列和期望方差；3. 简单线性回归分析和正态分布。
三、考试形式和试卷结构（一）考试形式：闭卷、笔试。
考试时间为150分钟。
试卷满分为100分。
（二）试卷内容结构：在上述五部分内容中，根据知识点的重要程度和难易程度，合理分配题目数量和分值。
具体比例如下：代数部分约占45%，三角函数部分约占25%，平面解析几何部分约占15%，立体几何部分约占10%，概率与统计初步部分约占5%。
（三）题型结构：选择题（占总题数的40%，每题2分）、填空题（占总题数的40%，每题4分）、解答题（占总题数的20%）。
考试中允许使用计算器。
四、备考建议（一）夯实基础，全面掌握知识点；（二）多做习题，提高解题能力；（三）关注热点，难点知识，强化训练；（四）理解记忆，灵活运用，准确掌握基本公式和方法；（五）加强模拟训练，提高答题速度和效率。
总之，鹏程杯数学考试的备考需要注重基础知识的掌握和基本技能的训练，同时也要关注热点、难点知识的学习和掌握。
高考数学考纲解读
的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、 空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较 好的考查. 2.突出通性通法
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是 解决这一类题的通用方法，也即一解多题.
识、基本技能、基本方法，例如集合、复 数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、 算法、二项式定理、排列组合等都是直接 考查基础知识和基本方法的试题，考的频 次非常高.
2.考查主干内容 全国卷强调对主干内容的重点考查，体
现了对数学知识的全面性、基础性和综合 性.在解答题中重点考查函数、导数、三角 函数、概率统计、数列、立体几何、直线 与圆锥曲线等主干内容.
4，8，16，…，其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20,21 ，再接下
来的三项是 20,21,22 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数
N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件
的激活码是
A.440
B.330
C.220
D.110
五 注重试题的技巧性优解，突出 选拔功能
解法二：
解法三：
解法四
例3 （2019益阳高三调研12）
设函数 f (x) x3 3x2 ax 5 a ，若存在唯一的正整数
x0 使得 f (x0 ) 0 ，则 a 的取值范围是
A.
0,
1 3
B.
1 3
,
5 4
C.
1 3
,
3 2
已知函数 f x ln x x2与g x x 22 1 m 的
高考数学《考试大纲》解读
高考数学《考试大纲》解读2017年高考数学《考试大纲》解读2017年高考考纲做了较大修订，有三大变化，增加了中华传统文化的考核内容，完善了考核目标，调整了考试内容。
那么，数学考纲有哪些调整呢?以下是店铺搜索整理的关于2017年高考数学考试大纲解读，供参考。
一、考试内容与范围在考试内容与范围方面，删去了选修4—1里的“几何证明选讲”。
删去的理由：几何证明选讲考察的是初中平面几何的知识，作为基础知识，可以在立体几何、解析几何知识中考察，不需要再单独设置专题考察，同时在以前的教学大纲和2017年修订的课程标准中都不包含。
选考模块的试题由三道变为两道，可以说减轻了师生备考的负担，对于大多数学生来讲，可以从原来面对平面几何题较为尴尬的境地解放了出来！可以更具有针对性的复习备考另外两个选考模块。
针对新考纲中删去了选考模块“几何证明选讲”的内容，北京大学数学科学学院教授刘和平认为，这体现了削枝强干，减少重复考查，强化学科体系的导向以及对数学教育的更深层次的认识。
“数学能力，包括推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力等，是一种综合的能力，其培养训练应体现在数学教学的全过程，对数学各种能力的考查应体现在数学学科完整的知识体系中。
考查内容删去‘几何证明选讲’模块并不意味削弱了对推理论证能力的考查。
”刘和平强调。
总的来说，从试卷的难易程度来说并没有太大的变化，对于使用全国课标卷的考生来说，有利的影响：这样的修改无异于帮助所有考生缩小备考范围，提高了我们备考选做题的效率；不利的因素：最后一个大题的选择性减少，我们在备考阶段的聚焦点只能在“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”两部分下功夫。
二、考核目标与要求在考核目标与要求方面，考纲对能力要求的内涵进行了修改，增加了基础性、综合性、应用性和创新性的要求，增加了对数学文化的`要求。
同时对能力要求进行了加细说明，使得能力要求更加明确具体。
在整个考纲的修改部分，特别强调了要增加对于数学文化的考查，实际上在近年的高考新课标卷中对于这一点的考查已明显加强，2016年就已经有所体现，全国课标卷中选择题部分对于多项式的考查，就很好的说明了全国课标卷对于这种题型的命题意图是通过解题让学生感受中国的传统文化之美并予以传承。
高中数学《函数》(考纲要求)
第二章函数考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．知识结构:基本方法和数学思想1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）；（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ; （2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；求函数解析式的方法：配方法与代入法。
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;（5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称； （6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2ba +对称； 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数； （4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数； （6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；6.a ≥f(x) ⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) ⇔a ≤［f(x)］min ;7.（1）na ab b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +);(2) l og a N=aNb b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高中数学高考考纲
浙江省高中数学高考考纲一、三角函数、解三角形1．了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．2．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性．3．理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式．4．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．5．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．6．掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．7．掌握正弦定理、余弦定理及其应用．二、立体几何1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征．2．了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义．3．了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积．5．了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理．公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理．(1)判定定理：①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；④一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)性质定理：①一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．7．理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念．8．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.9．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示．10．了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算．11．了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式．12．了解直线的方向向量与平面的法向量．13．了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法．三、集合与常用逻辑用语1．了解集合、元素的含义及其关系．2．理解集合的表示法．3．了解集合之间的包含、相等关系．4．理解全集、空集、子集的含义．5．会求简单集合间的并集、交集．6．理解补集的含义并会求补集．7．了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．8．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件．四、函数与基本初等函数11．了解函数、映射的概念．2．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题．4．理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．5．理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值．6．了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．7．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用．8．理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．9．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用．10．了解幂函数的概念．11．掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象和性质．12．了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法．13．了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．14．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决．五、导数及其应用1．了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．2．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数)．3．了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．4．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值．六、平面向量、复数1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念．2．掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义．3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算．6．理解平面向量数量积的概念及其几何意义．7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．10．了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．11．了解复数的加、减运算的几何意义．12．理解复数代数形式的四则运算．七、不等式1．了解不等关系，掌握不等式的基本性质．2．了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．会解一元二次不等式．3．了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式(组)之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题．4．掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用．5．会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．6．了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.八、数列1．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式)．2．理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用．3．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．4．会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题．5．会用数学归纳法证明一些简单数学问题．九、平面解析几何1．理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系．2．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．3．会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离．4．掌握圆的标准方程与一般方程．5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质．6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系．7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系．8．了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程．十、计数原理与古典概型1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．了解排列、组合的概念，会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题．3．了解二项式定理，理解二项式系数的性质．4．了解事件、互斥事件、对立事件及独立事件的概念．5．了解概率与频率的概念．6．了解古典概型，会计算古典概型中事件的概率．7．了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解两点分布，了解独立重复试验的模型及二项分布．8．了解离散型随机变量均值、方差的概念．以活活被整死；堂堂大元帅受辱骂；……这哪里还有什么尊重可言！3、用在设问句后。
解读高中数学新课标考纲(附与大纲版比较)
大纲版和新课标版增减的知识点1.集合与常用逻辑用语集合新课标考纲原文：（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。
集合教学要求变化的知识点包含，相等√√用自然语言、图形语言、集合语言√√（列举法或描述法）描述不同的具体问题考纲解读：集合1.以考查集合的运算为主，也会考查集合的性质及集合与元素、集合与集合之间的关系.同时注意Venn图的考查.2.以集合为载体考查函数（如定义域值域）、不等式、三角函数、曲线及轨迹等有关知识. .3.与简易逻辑结合考查充要条件。
4.要注意集合运算的逆运算题型示例：常用逻辑用语新课标考纲原文：（1）命题及其关系①理解命题的概念。
②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
（3）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
教学要求变化的知识点（文理科要求相同）大纲版课标版知识点了解理解掌握了解理解掌握命题的逆命题否命题与逆否命题√√四种命题的相互关系√√必要条件、充分条件与充要条件的意义√√逻辑联结词“或”“且”“非”的含义√√说明：（1）这部分内容，大纲为必修内容，标准为选修内容，但对文理科的要求相同。
（2）从知识要求上看，标准要求比大纲版要求低一些。
考纲解读：1、命题真假的判定是重点；2、全称命题与特称命题的否定是一个热点；3、充要条件的判断是重点；4、要重视四种命题的关系及真假判断；题型示例：2. 函数的概念与基本初等函数Ⅰ教学要求变化的知识点知识点大纲版课标版了解理解掌握了解理解函数单调性的概念√√判断简单函数的单调性√√判断简单函数的奇偶性√√函数的最大（小）值√√指数函数、对数函数的概念√√对数的运算性质√√指数函数、对数函数的单调性√√函数（指数函数、对数函数等）的应用√√说明：（1）与大纲教材相比，标准教材加强了函数模型背景和应用的要求。
浙江新高考学考考纲考试标准数学学考选考标准
数学一、考试性质与对象浙江省普通高中数学学业水平考试是在教育部指导下,由省教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生数学学业水平的考试;考试成绩是普通高中学生毕业的基本依据之一,也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据;浙江省普通高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩,每年开考2次;考试的对象是2014年秋季入学的高中在校学生,以及相关的往届生、社会人员和外省在我省异地高考学生;二、考核目标、要求与等级一考核目标普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到课程标准所规定的基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试;二考核要求根据浙江省普通高中学生文化素质的要求,数学学业水平考试面向全体学生,有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展,有利于中学实施素质教育,有利于体现数学学科新课程理念,充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用;突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法,考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力;关注数学学科的主干知识和核心内容,关注数学学科与社会的联系,贴近学生的生活实际;充分发挥数学作为主要基础学科的作用,既考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．全面检测学生的数学素养;1．知识要求知识是指教学指导意见所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法;对知识的要求从低到高分为四个层次,依次为：了解、理解、掌握、综合应用,其含义如下：1了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,能记住和识别数学符号、图形、定义、定理、公式、法则等有关内容,并能按照一定的程序和步骤模仿,进行直接应用;这一层次所涉及的主要行为动词有：了解、知道、识别、模仿、会求、会解等;2理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识．知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明,用数学语言表达,利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论,有利用所学知识解决简单问题的能力;这一层次所涉及的主要行为动词有：描述、说明、表达、推测、想象、比较、判别、初步应用等;3掌握：在对知识理解的基础上,通过练习形成技能．在新的问题情境中．能运用所学知识按基本的模式与常规的方法解决问题;这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析、推导、证明、研究、讨论、运用、解决问题等;4综合运用：掌握知识的内在联系与基本属性,能熟练运用有关知识和基本数学思想方法,综合解决较复杂的数学问题和实际问题;这一层次所涉及的主要行为动词有：熟练掌握,综合解决问题等;2．能力要求数学具有严密的逻辑性、结论的确定性和应用的广泛性等特点,在培养学生能力的过程中发挥重要的作用;数学学科考试既要考查基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验,又要考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力、综合应用能力;1逻辑思维能力逻辑思维能力是指通过对事物观察、比较、判断、分析、综合,继而进行归纳、概括、抽象、演绎、推理,准确有条理地表达自己思维过程的能力;逻辑思维能力主要考查能正确领会题意,明确解题目标;能寻找到实现解题目标的方向和合适的解题步骤;能通过符合逻辑的运算和推理,正确地表述解题过程的能力;做到因果关系明晰,陈述层次清楚,推理过程有据;2空间想象能力空间想象能力是指根据空间几何体的图形或几何形体的描述能想象出相应的空间形体的能力；根据想象的空间几何形体,画出相应空间几何体的图形,并能正确描述相应的空间几何形体的能力;对已有的空间几何形体进行分解、组合,产生新的空间几何形体,能正确分析其位置关系与数量关系,并对几何形体的位置关系和数量关系进行论证与求解;空间想象能力主要是通过考查对点、线、面、体与经过简单组合的几何形体和相互间的位置关系的理解、掌握程度．同时考查对几何形体进行分析、提取、概括来揭示其本质特征的能力,灵活运用几何形体的特性进行论证与求解的能力;3运算求解能力运算求解能力是指能根据法则、公式进行正确运算、变形的能力；根据问题的条件和目标,寻找多种途径．并能比较不同途径的特点,设计较为适合的方法进行运算、变形的能力；根据要求进行估计和近似计算的能力;运算求解能力主要考查对算式进行的计算、变形,对几何图形的几何量的计算求解,对数值的估值和近似计算等的能力;进一步考查对条件分析、方向探究、公式选择、步骤确定等一系列过程中运算求解的能力;4数据处理能力数据处理能力是指对各种形式的数据进行收集、整理、筛选、分类、计算、操作及分析的能力,能从数据中得出有用的信息,并做出合理判断;5综合应用能力综合应用能力指的是对所提供的信息进行归纳、整理和分类;将实际问题抽象为数学问题的能力；能对具体问题陈述的材料用数学语言正确地表述,用所学的数学知识、思想和方法解决问题的能力；能将一些具体的材料进行归纳、总结、提炼、抽象,从而形成新的认知与方法的能力;3．个性品质要求个性品质是指学生个体的情感、态度和价值观;提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度;具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美好意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观;要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神;三等级要求数学学业水平考试将考生学业成绩分为A、B、C、D、E五个等级,E为不合格,D及以上各等级标准如下：D等：达到数学水平考试及格的考生,应掌握浙江省普通高中学科数学教学指导意见简称教学指导意见规定的普通高中数学必修内容中最基本、最常规的知识和最基本的技能,具有初步的思维能力、运算能力和空间想象能力,初步掌握最基本的数学思想方法,会运用学过的知识按基本的模式和常规的方法解答含较少概念的数学问题,如会解答相当于教科书练习题和习题中的基础题水平的试题;具体要求如下：1．能理解基本数学概念,并能判断一些简单命题的真假：对一些较常见的简单数学问题,能通过分析、归纳等方法进行判断,并能依据基本的逻辑规则作简单的推理、论证和用数学语言准确表述;2．会运用公式、法则解题;如进行简单的符号运算、函数运算、向量运算和数据处理,会对基本的多项式、指数式、对数式、三角关系式等进行恒等变形；会计算较常见的空间图形中的长度、角度、面积和体积等;3．会分析常规位置的一些基本图形中基本元素之间的数量与位置关系：对一些用文字表述的基本图形或一些常见的基本的客观事物,能正确想象其空间形状与位置关系．并能画出图形;4．能掌握配方法、待定系数法、综合法等．会初步运用等价转换、数形结合等思想方法解题;C等：达到数学水平考试良好的考生,应掌握教学指导意见规定的普通高中数学必修内容中的基本基础知识和基本技能,并初步掌握其内在联系：具有一定的思维能力、运算能力和空间想象能力：较灵活地运用学过知识和技能．按基本的模式和常规的方法解答含多个概念的数学问题：基本掌握常用的数学思想方法;具体要求如下：1．能理解基本数学概念．并能判断一些简单命题的真假：对一些较常见的简单数学问题,能通过分析、归纳等方法进行判断,并能依据基本的逻辑规则作简单的推理、论证和用数学语言准确表述;2．会运用公式、法则解题;如进行简单的符号运算、函数运算、向量运算和数据处理,会对基本的多项式、指数式、对数式、三角关系式等进行恒等变形：会计算较常见的空间图形中的长度、角度、面积和体积等;3．能正确分析基本图形中基本元素之间的数量与位置关系：对用文字表述的基本图形或一些常见的基本的客观事物;能正确想象其空间形状与位置关系,并能画出图形;4．能较好地掌握配方法、待定系数法、综合法等,会初步运用等价转换、数形结合等思想方法解题;B等：达到数学水平考试良好的考生,应掌握教学指导意见规定的普通高中数学必修内容中的基本基础知识和基本技能,并初步掌握其内在联系；具有一定的思维能力、运算能力和空间想象能力；较灵活地运用学过知识和技能,按基本的模式和常规的方法解答含多个概念的数学问题：掌握基本的数学思想方法;具体要求如下：1．对一些新情景下的数学问题,能通过分析、综合、归纳、演绎、类比等方法进行判断和猜测,并能用一定的逻辑规则进行推理、论证和用数学语言准确地表述;2．能较熟练地运用公式、法则解题;如进行简单的符号运算、函数运算、向量运算和数据、图表的分析和处理；对多项式、指数式、对数式、三角关系式等能正确地进行若干步恒等变形；较熟练地计算空间图形中的长度、角度、面积和体积,并会选择合理的方法完成相应的运算;3能较熟练地正确分析基本图形中基本元素之间的数量与位置关系,对用文字表述的基本图形或基本的客观事物,能正确想象其空间形状与位置关系,并能画出图形;4能较熟练地掌握配方法、待定系数法、分析法和综合法,会用反证法,能运用等价转换、数形结合等思想方法解题;A等：达到数学水平考试优秀的考生,应掌握教学指导意见规定的普通高中数学必修内容,能系统地掌握其内在联系,并能融会贯通；具有较强的思维能力、运算能力、空间想象能力和综合应用能力；掌握基本的数学思想方法,能综合运用所学的数学知识和方法；灵活地解决较复杂的数学问题和实际问题；会从数学的角度发现和提出问题；进行初步的探索和研究;具体要求如下：1．对较复杂的数学问题和相关学科、生产、生活中的问题;能正确理解题意,灵活地运用分析、综合、归纳、演绎、类比等方法进行判断和猜测,确定合理的解题模式,并能正确运用逻辑规则进行推理、论证和用数学语言准确、清晰地表述;对未给出结论或结论不确定的问题,能经过抽象和概括分析,猜想、讨论得出结论．并加以证明;2．能灵活熟练地运用公式、法则解题;如进行简单的符号运算、函数运算、向量运算和数据、图表的分析和处理；对多项式、指数式、对数式、三角关系式等能正确、迅速地进行若干步恒等变形；能灵活计算空间图形中的长度、角度、面积和体积等,并能熟练运用多种方法,合理简单地完成相应的运算,有检验并修正运算结果的能力;3．能熟练分析基本图形中基本元素之间的数量与位置关系,通过分析比较,能选择适当的方式准确地进行文字或符号语言与图形之间的转换,并能排除非本质属性的干扰,正确识别经过平移、对称、伸缩等位置变换后的基本图形;4．能熟练掌握配方法、待定系数法、分析法、综合法、反证法等方法,能自觉运用等价转换、分类讨论、数形结合等思想方法分析和解决问题;三、考试内容根据教学指导意见所规定教学内容和教学要求,确定数学学业水平考试的内容为必修课程的五个模块,具体的考试单元、知识条目和考试的层级要求如表,其中a表示“了解”,b表示“理解”,c表示“掌握”,d表示“综合应用”;必修1一考试形式闭卷,笔试;试卷满分为100分,考试时间80分钟; 二考试内容教学指导意见所规定必修课程内容; 三试卷结构 1．题型比例选择题：占54％；填空题：占15％；解答题：占31％ 2．要求比例了解：约占10％；理解：约占40％；掌握：约占40％；综合运用：约占10％ 3．难度比例容易题：约占70％ 稍难题：约占20％ 较难题：约占10％五、题型示例-选择题在每小题给出的四个选项中,只有-项是符合题目要求; 1．已知集合A={l,2,3,4},B={2,4,6},则A ∩B 的元素个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．log 212-log 23=A ．-2B ．0C ．21D ．23．若右图是-个几何体的三视图,则这个几何体是A ．圆锥B ．棱柱C ．圆柱D ．棱锥 4．函数)32sin()(π+=x x f x ∈R 的最小正周期为A ．2πB ．π c ．2π D ．4π 5．直线x +2y +3=0的斜率是正视图侧视图俯视图 第3题图A ．21-B ．21 C ．-2 D-2 6．若x =1满足不等式ax 2+2x +1＜0,则实数a 的取值范围是 A ．-3,+∞ B ．-∞,-3 C ．1,+∞ D ．-∞,1 7．函数)2(log )(3x x f -=的定义域是A ．2,+∞B ．2,+∞C ．-∞,2D ．-∞,2 8．圆x -12+y 2=3的圆心坐标和半径分别是A ．-1,0,3B ．1,0,3C ．-1,O,D ．1,0, 9．各项均为实数的等比数列{a n }中,a l =l,a 5=4,则a 3=A ．2B ．-2 c ．2 D ．2- 10．下列函数中,图象如右图的函数可能是 A ．y =x 3 B ．y =2x c ．x y =D ．y =log 2x11．已知a ∈R ,则“a ＞2”是“a 2＞2a ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆;那么实数k 的取值范围是 A ．O,+∞ B ．O,2 C ．1,+∞ D ．0,1 13．若函数fx =x +1x -a 是偶函数,则实数a 的值为A ．1B ．0C ．-lD ．±l14．在△ABC 中,三边长分别为a ,b ,c ,且A=30°,B=45°,a =l,则b 的值是A ．21B ．22C ．2D ．26 15．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 1的中点,则DE 与面BCC 1B 1所成角的正切值为 A ．26B ．36C ．2D ．22 16．函数xx f x12)(-=的零点所在的区间可能是A ．1,+∞B ．21,1C ．31,21D ．41,3117．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与直线3x -y +l=0平行,则此双曲线的离心率是A ．3B ．22C ．3D ．10第10题图ABA 11第15题图18．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥-+≥+-0120202k y kx y x y x ，，的点P x ,y 构成三角形区域,则实数k 的取值范围是A ．1,+∞B ．0,1C ．-1,1D ．-∞,-1∪1,+∞ 二填空题19．已知-个球的表面积为4πcm 3,则它的半径等于 cm,体积等于 cm 3; 20．已知平面向量a =2,3,b =1,m ,且a ∥b ,则实数m 的值为 ;21．数列{a n }满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=--191121012n 191n n a n n ，，，,则该数列从第5项到第15项的和为 ;22．若不存在．．．整数x 满足不等式kx -k 2-4x -4＜O,则实数k 的取值范围是 ; 三解答题23．已知)2(ππθ，∈,54sin =θ,求cos θ及)3(πθ+的值;24．如图,由半圆x 2+y 2=1y ≤0和部分抛物线y =ax 2-1y ≥0,a ＞O 合成的曲线C 称为“羽毛球形线”,且曲线C 经过点2,3．1求a 的值：2设A1,0,B-l,0,过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于P,A,Q 三点,问是否存在实数后,使得∠QBA=∠PBA 若存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由;25．已知函数a xa x x f +--=9||)(,x ∈1,6,x ∈R ;1若a =l,试判断并证明函数fx 的单调性；2当a ∈1,6时,求函数fx 的最大值的表达式Ma ;。
广东高考数学考试大纲
高考数学考纲
高考数学考纲1. 考试概述高考数学是中国高考（全国统一高考）中的一门必考科目，被广大学生普遍认为是其中的一道难题。
高考数学考纲旨在测试学生的数学基础知识、解决问题的能力和数学思维能力。
2. 考试内容2.1. 知识范围高考数学考纲涵盖了以下知识范围： - 初中阶段的数学知识和技能 - 高中阶段的数学知识和技能2.2. 能力要求高考数学考纲要求学生具备以下能力： - 理解和运用数学概念、原理、定理和公式 - 运用数学方法和技巧解决实际问题- 进行数学推理和证明 - 进行数学模型的建立和分析 - 进行数学思维和创造性思维的运用3. 考试形式3.1. 试题类型高考数学试题主要包括选择题和解答题两种形式。
3.1.1. 选择题选择题要求考生从给定的选项中选择一个正确答案。
选择题通常包括单选题和多选题两种类型。
3.1.2. 解答题解答题要求考生用适当的方法和步骤给出完整的解答过程，包括构造解、证明过程以及解决问题的思路。
3.2. 考试要求高考数学考试要求考生： - 快速准确地解答选择题，注意时间分配； - 理解题意，合理解答解答题，注意解题方法及步骤的严谨性； - 注重解题思路的合理性及创新性； - 注意书写工整、清晰。
4. 考试评分4.1. 分值分布高考数学试卷总分为150分，试题的分值分布如下：•选择题：共80分，每题2分。
其中，单选题40分，每题1分；多选题40分，每题2分。
•解答题：共70分。
其中，一、二、三题（各题5分）和四题（25分），甲卷占50分，乙卷占20分。
4.2. 阅卷方式高考数学试卷的阅卷方式分为人工阅卷和计算机阅卷两种形式。
选择题由计算机自动批阅，解答题由专门的老师进行人工阅卷。
4.3. 题目评分标准高考数学考试的解答题评分标准主要包括解题思路、使用的方法、计算过程的正确性、答案的准确性、答案的简洁性与严谨性。
5. 考试备考建议5.1. 重点复习内容•高中数学相关知识点和公式；•历年高考数学试题，特别是题型和难度相似的题目；•解题的方法和技巧。
2024年高考数学考试大纲详解
2024年高考数学考试大纲详解随着社会的不断发展，高考作为选拔人才的重要手段，对于学生们来说具有极大的意义。
数学作为高考的一门重要科目，也备受关注。
为了帮助考生更好地应对2024年高考数学考试，下面将对数学考试大纲进行详细解析。
一、考试内容概述2024年高考数学考试涵盖了基础数学和选修数学两个部分。
其中，基础数学包括数与代数、函数与方程、几何与变换等内容；选修数学则提供了数理方法与建模、统计与概率等多个选修模块。
二、基础数学1. 数与代数数与代数是数学学科的基础，也是高考数学的核心内容之一。
考生需要熟练掌握数的四则运算、数的性质以及各种数的表示方法。
代数部分包括代数式的化简、方程的解法、不等式的求解等。
2. 函数与方程函数与方程是高中数学中的重要内容，对于考生来说至关重要。
考生需要掌握函数的性质、图像与性质以及各种类型的方程解法。
特别需要强调的是，对于常用函数如一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，考生要了解其基本特点和图像变化规律。
3. 几何与变换几何与变换是高考数学中的另一个重点。
考生需要了解几何元素的定义、性质以及各种几何定理的应用。
此外，对于平面图形的变换，考生需要熟悉平移、旋转、翻折和对称等几何变换的基本概念与特点。
三、选修数学1. 数理方法与建模数理方法与建模是2024年高考数学的新选修模块。
这一模块旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
考生需要掌握建模过程中的数学方法和技巧，能够将实际问题转化为数学问题，并运用相应的数学方法进行求解。
2. 统计与概率统计与概率是高中数学中的常见内容，也是选修数学中的一项重要内容。
考生需要熟悉统计学的基本概念和方法，能够对数据进行整理和分析。
概率部分主要涉及事件的概率计算和概率模型的应用，考生需要了解基本概率规律及其应用。
四、备考建议1. 熟悉考试大纲考生需要仔细阅读和理解2024年高考数学考试大纲，了解各个模块的要求和重点。
只有全面掌握考试大纲，才能有针对性地进行复习和备考。
浙江省高中数学高考考纲
2019年浙江省高中数学高考考纲一、三角函数、解三角形1．了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．2．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性．3．理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式．4. 了解函数y= Asin@x+妨的实际意义，掌握y= Asin@x+妨的图象，了解参数A, 3, 0对函数图象变化的影响.5．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.6.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.7.掌握正弦定理、余弦定理及其应用.二、立体几何1.了解多面体和旋转体的概念,理解柱、锥、台、球的结构特征.2．了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义．3．了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积．5．了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理．公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理．(1)判定定理：①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行;③一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直;④一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)性质定理：①一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行;②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行;③垂直于同一个平面的两条直线平行;④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.7．理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念．8．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.9．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示．10．了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算．11．了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式．12．了解直线的方向向量与平面的法向量．13．了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法．三、集合与常用逻辑用语1．了解集合、元素的含义及其关系．2．理解集合的表示法．3．了解集合之间的包含、相等关系．4．理解全集、空集、子集的含义．5．会求简单集合间的并集、交集6．理解补集的含义并会求补集．7．了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．8．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件．四、函数与基本初等函数11．了解函数、映射的概念．2．了解函数的定义域、值域及三种表示法（解析法、图象法和列表法）．3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题．4．理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．5•理解函数的最大（小）值的含义，会求简单函数的最大（小）值.6•了解指数幕的含义，掌握有理指数幕的运算.7•理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.8 •理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.9•理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.10. 了解幕函数的概念.111. 掌握幕函数y=x，y=x2，y=x3，y= -，y=x2的图象和性质.X12. 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.13. 了解指数函数、对数函数以及幕函数的变化特征.14. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.五、导数及其应用1．了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．2．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如f（ax+ b）的导数）.3．了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．4. 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值.六、平面向量、复数1. 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2. 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3. 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算．6．理解平面向量数量积的概念及其几何意义．7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．10．了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．11．了解复数的加、减运算的几何意义．12．理解复数代数形式的四则运算．七、不等式1．了解不等关系，掌握不等式的基本性质．2•了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系•会解一元二次不等式.3•了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式（组）之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题._ a+ b4. 掌握基本不等式.abw—厂（a, b> 0）及其应用.5. 会解|x+ b|< c, |x+ b|>c, |x—a|+ |x—b|>c, |x—a| + |x—b|<c型不等式.6. 了解不等式||a|—|b||< |a+ b|w |a|+ |b|.八、数列1. 了解数列的概念和表示方法（列表、图象、公式）.2. 理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.3. 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.4．会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题．5．会用数学归纳法证明一些简单数学问题．九、平面解析几何1．理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系．2．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．3．会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离．4．掌握圆的标准方程与一般方程．5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质．6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系．7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系．8．了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程．十、计数原理与古典概型1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．了解排列、组合的概念，会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题．3．了解二项式定理，理解二项式系数的性质．4．了解事件、互斥事件、对立事件及独立事件的概念．5．了解概率与频率的概念．6．了解古典概型，会计算古典概型中事件的概率．7．了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解两点分布，了解独立重复试验的模型及二项分布．8．了解离散型随机变量均值、方差的概念．。
高中数学 三角函数(解析版)
三角函数【考纲要求】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .3．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式． 5.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 6．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 【思维导图】【考点总结】 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算 ①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 【思维导图】【考点总结】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．2．三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限三、三角恒等变换【思维导图】【考点总结】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S 2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 四、三角函数的图象与性质 【思维导图】【考点总结】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上是递增函数，在 [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上是递减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上是递增函数周期性周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x ＝π2＋k π(k ∈Z )，对称中心是(k π，0)(k ∈Z )对称轴是x ＝k π(k ∈Z )，对称中心是(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称中心是(k π2，0)(k ∈Z ) 五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 【思维导图】【考点总结】1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0π2π3π22πx －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.【题型汇编】题型一：任意角的三角函数 题型二：同角三角函数的基本关系 题型三：三角函数的诱导公式 题型四：三角函数恒等变换 题型五：三角函数的图象和性质 【题型讲解】题型一：任意角的三角函数 一、单选题1．（2022·北京市八一中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()3,4-，则cos θ=（ ） A ．45B ．35C ．35 D ．45-【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可. 【详解】设点()3,4P -，因为()22345OP =-+=，所以33cos 55θ-==-. 故选：C.2．（2022·北京房山·二模）已知3cos ,5αα=是第一象限角，且角,αβ的终边关于y 轴对称，则tan β=( )A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D 【解析】 【分析】根据cos α求出tan α，根据角,αβ的终边关于y 轴对称可知tan β=tan α-． 【详解】∵3cos ,5αα=是第一象限角，∵24sin 1cos 5αα-=，sin 4tan cos 3ααα==， ∵角,αβ的终边关于y 轴对称，∵4tan tan 3βα=-=-．故选：D ．3．（2022·山东潍坊·二模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，且121x x -=，则tan α=（ ） A ．2 B ．12C ．2-D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到直线AB 的斜率为12242k x x -==--，进而判断α所在象限，即可求解. 【详解】由已知得，因为点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，所以直线AB 的斜率为12242k x x -==--，所以，明显可见，α在第二象限，tan 2α.故选：C4．（2022·山西临汾·一模（文））已知α角的终边过点()sin30,sin30︒-︒，则sin α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D 2【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案. 【详解】由题意，点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22122sin 21122α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.5．（2022·河南·一模（文））已知α是第二象限角，则（ ） A ．cos 0α> B ．sin 0α<C ．sin 20α<D ．tan 0α>【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可. 【详解】由α是第二象限角，可得cos 0α<，sin 0α>，tan 0α<sin 22sin cos 0ααα∴=<故选：C6．（2022·山东济南·二模）如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．3D ．3【答案】C 【解析】先计算三角函数值得(1,3P ，再根据三角函数的定义22sin ,yr x y rα=+. 【详解】解：由题意得(1,3P -，它与原点的距离()2132r +，所以33sin y r α-===. 故选：C.7．（2022·河北石家庄·一模）若角α终边经过点()2,1-，则cos α= A ．5B ．25C 5D 25【答案】B 【解析】【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出. 详解：角α终边经过点()2,1-，则()221 5.r =-+=由余弦函数的定义可得25cos x r α== 故选B.点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题. 二、多选题1．（2022·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知角α的终边经过点()8,3cos P α．则（ ） A ．1sin 3α=B ．7cos 29α= C ．2tan α= D ．22cos α=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知22sin 649cos 649cos αααα==++sin 0,cos 0αα>>，逐项代入即可.【详解】 解：由题意得： 如图所示：()22283cos 649cos OP αα=++22sin 649cos 649cos PQ OQ OP OP αααα∴==++ 2sin 649cos 3cos αα∴+=，即()222sin 649cos 9cos ααα+= ()222sin 649(1sin )91sin ααα⎡⎤∴+-=-⎣⎦，即429sin 82sin 90αα-+=解得：2sin 9α=（舍去）或21sin 9α=cos 0α>sin 0α∴>1sin 3α=，故A 正确； 22cos α∴D 正确； 22222217cos 2cos sin 39ααα⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 1sin 23tan cos 22ααα==C 错误； 故选：ABD题型二：同角三角函数的基本关系 一、单选题1．（2022·宁夏·固原一中一模（文））若3cos 5α=，且α在第四象限，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D 【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解． 【详解】 解：∵3cos 5α=，且α在第四象限， ∵24sin 1cos 5αα=--，∵sin tan s 43co ααα==-． 故选：D ．2．（2022·辽宁·沈阳二中二模）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα=+（ ）A ．103 B ．53C ．23D ．2-【答案】A 【解析】先由3sin cos 0αα+=求出1tan 3α=-，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果. 【详解】因为3sin cos 0αα+=，所以1tan 3α=-，因此22222111sin cos 11092cos sin 2cos 2sin cos 12tan an 3t 31ααααααααα+++====+++-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型. 3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知1sin 24α=，且ππ32α<<，则cos sin αα-=（ ）A ．12 B ．12-C ．3D 3【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合平方关系得()213cos sin 144αα-=-=，利用32ππα<<开方取负值即可 【详解】221sin 22sin cos ,sin cos 14ααααα==+=，()213cos sin 144αα∴-=-=，3,cos sin 32ππααα<<∴-= 故选：C.4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知1tan 2θ=，则sin cos θθ=（ ） A ．25B ．25-C ．85D ．85-【答案】A 【解析】 【分析】 由22sin co si s sin cos cos n θθθθθθ=+，分子分母同除以2cos θ，即可求出结果. 【详解】 因为222sin cos tan sin cos co sin n s 1ta θθθθθθθθ==++，又1tan 2θ=，所以122sin cos 1514θθ==+，故选：A.5．（2022·广东广州·三模）已知2sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（ ） A ．12B 3C ．12-D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 将2sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合2sin cos x x +=求出x 的范围，再利用 22cos 2sin 21x x +=求解即可. 【详解】 解：将2sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0, 所以π(,π)2x ∈ ， 又因为2sin cos x x +=０， 所以π3π(,)24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x =21sin 2x -3 故选：D.6．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=( )A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=， ∵α的终边不在坐标轴上，∵3cos 5α=， ∵34sin 2255α=-⨯=，∵sin 4tan cos 3ααα==． 故选：A ．7．（2022·广西南宁·二模（文））若α是钝角且1sin 3α=，则tan α=（ ） A ．2B 2C ．2D 2【答案】A 【解析】 【分析】先求出cos α，再根据商数关系求出tan α即可. 【详解】因为α是钝角，所以22122cos 1sin 13αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭sin 2tan cos ααα== 故选：A.题型三：三角函数的诱导公式 一、单选题1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知2cos(πθ)sin(πθ)-=+，则sin 2θ=（ ）A ．45B ．45-C ．85D ．85-【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简2cos(πθ)sin(πθ)-=+可以得到tan θ2=，再将sin 2θ化为齐次式，采用“弦化切”，代入tan θ即可得到答案【详解】2cos(πθ)sin(πθ)-=+ ，2cos θ=sin θ∴tan θ2∴=222222sin 2θ2sin θcos θ2tan θ224sin 2θsin θcos θsin θcos θtan θ1215⨯=====++++故选：A2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））若4cos 5α=，α为第四象限角，则()tan πα-等于（ ） A ．43-B ．43C ．34D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值. 【详解】由题设3sin 5α=-，所以3tan 4α=-，则()3tan tan 4παα-=-=.故选：C3．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））20cos 3π=（ ） A ．12-B ．12C ．3D 3【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简求值即可. 【详解】20π18π+2π2π2π1coscos()cos(6π)cos 33332==+==-， 故选：A4．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知31sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．13B ．13-C 22D ．22【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即得所求 【详解】 ()331sin sin cos cos 223ππαααα⎛⎫⎛⎫-=--=--== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．（2022·福建漳州·二模）已知π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．22B ．13-C ．13D 22【答案】C 【解析】 【分析】整体法用诱导公式求解. 【详解】ππππ1cos sin sin 33263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C6．（2022·广西柳州·二模（理））已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79B ．13C ．13-D ．79-【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值.由诱导公式得π1cos cos sin 63233πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若π4sin ,25α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()cos π2α-的值为（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式进行化简，然后根据二倍角公式即可求解. 【详解】π44sin ,cos 255αα⎛⎫-=-∴=- ⎪⎝⎭ ，()2247cos π2cos 22cos 121525ααα⎛⎫∴-=-=-+=-⨯-+=- ⎪⎝⎭故选：B8．（2022·贵州贵阳·二模（理））若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．2425D ．725【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式可得cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用诱导公式可得结果.【详解】2187cos 22cos 11242525ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7sin 2cos 2225παα⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.9．（2022·江西九江·三模（理））已知1sin cos 3αα-=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．2C ．13D 2【答案】B 【解析】首先根据辅助角公式得到2sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】1sin cos 243πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即2sin 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2cos cos sin 4424ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B10．（2022·安徽马鞍山·三模（文））若4cos 5α=，sin cos 1αα+<，则()tan πα-等于（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】D 【解析】 【分析】由平方关系结合已知可得sin α，然后由诱导公式和商数关系可得所求. 【详解】 因为4cos 5α=，所以3sin 5α=± 因为sin cos 1αα+<，所以3sin 5α=-所以()3sin 35tan tan 4cos 45απααα--=-=-=-=. 故选：D题型四：三角函数恒等变换 一、单选题1．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知3cos28cos 5αα-=，则cos α=（ ） A ．23-B ．23C ．5D 5【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由题可得26cos 8cos 80αα--=，解得cos 2α=（舍去），或2cos 3α=-.故选：A.2．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】 【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α. 【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A3．（2022·河南商丘·三模（文））已知tan 3α=-，则sin 21cos 2αα=-（ ）A ．3B ．13C ．13-D ．-3【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简即可 【详解】2sin 22cos sin cos 111cos 22sin sin tan 3αααααααα====--．故选：C4．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知1sin 24α=，且ππ32α<<，则cos sin αα-=（ ）A ．12 B ．12-C ．3D 3【答案】C【解析】 【分析】利用二倍角公式结合平方关系得()213cos sin 144αα-=-=，利用32ππα<<开方取负值即可 【详解】221sin 22sin cos ,sin cos 14ααααα==+=，()213cos sin 144αα∴-=-=，3,cos sin 32ππααα<<∴-= 故选：C.5．（2022·福建南平·三模）在ABC 中，若()tan 2A B +=-tan 2C =（ ） A ．22- B ．2C 2D ．22【答案】A 【解析】 【分析】由()tan tan 2C A B =-+=. 【详解】因为A B C π+=-，所以()tan tan 2C A B =-+ 所以()222tan 22tan 2221tan 12C C C ==---故选：A6．（2022·内蒙古包头·二模（理））若π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos tan 22sin =-ααα，则tan α=（ ）A 3B ．3C 3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 23cos sin 23cos 2sin cos 3cos tan 22sin cos 22sin 12sin 2sin αααααααααααα=⇒=⇒=----，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0a ≠，于是由222sin cos 3cos 2sin 312sin 2sin 12sin 2sin αααααααα=⇒=----， 解得24sin 4sin 30αα+-=， 解得1sin 2α=，或3sin 12α=-<-（舍去），因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5π6a =， 即5ππ3tan tan tan 66α==-= 故选：B7．（2022·湖北武汉·二模）设sin32k =，则1tan16tan16+=（ ） A ．2kB ．1kC ．2kD ．k【答案】A 【解析】 【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解. 【详解】 解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒ 2k=. 故选：A.8．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））若1tan 2α=，则cos 21sin 2αα=+（ ） A ．34B ．12C ．13D ．35【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：()22211cos 2cos sin cos sin 1tan 1211sin 2cos sin 1tan 3sin cos 12αααααααααααα----=====+++++． 故选：C ．9．（2022·江西萍乡·二模（文））已知1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 2cos 236ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，212sin 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2111222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：A10．（2022·山西·二模（理））若sin 21tan 3αα=，则cos2=α（ ） A ．23B ．23-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和切化弦，化简即可求得. 【详解】因为2sin 22sin cos 12cos 1cos 2sin tan 3cos αααααααα===+=，所以2cos 23α=-.故选：B ．11．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））若()0,απ∈，1cos sin 2αα-=，则cos2=α（ ）A 7B 7C ．34D ．－34【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得sin 2α的值，再求sin cos αα+，结合二倍角余弦公式求值即可 【详解】∵1cos sin 2αα-=，平方可得11sin 24α-=， ∵3sin 24α=， ∵ sin ,cos αα同号，又()0,απ∈， ∵2,0πα⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，∵()27sin cos 1sin 24ααα+=+=， ∵7sin cos αα+=则227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+=， 所以cos2=α7故选：A.12．（2022·山西晋城·三模（理））若tan 2θ=，则cos2θ=（ ） A ．35 B ．13-C ．35D ．13【答案】A 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式，然后再结合平方关系和商的关系，转化为tan θ的式子，得出答案. 【详解】22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145θθθθθθθθθ---=-====-+++ 故选：A 二、多选题1．（2022·海南海口·二模）已知(),2αππ∈，tan sin tan 22αβα==，则（ ） A ．tan 3α=B ．1cos 2α=C ．tan 43β=D ．1cos 7β=【答案】BD 【解析】 【分析】根据商的关系化简条件可求cos α，利用平方关系求sin α，再由商的关系求tan α，再利用tan 2β，结合二倍角公式及同角三角函数关系求tan β，cos β. 【详解】因为tan sin tan cos 2αααα==， 所以1cos 2α=，又 (),2αππ∈， 所以3sin α=tan 3α=A 错误，B 正确． 3tan2β= 所以22tan2tan 431tan 2βββ==--222222cos sin 1tan 1222cos 7sin cos 1tan 222βββββββ--===++， 故C 错误，D 正确． 故选：BD.2．（2022·全国·模拟预测）已知,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 8tan x x =，则（ ）A ．1sin 3x =B ．42tan 2x =C ．1cos 23x =D ．3429sin cos 44x x ππ-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD 【解析】 【分析】切化弦后，由平方关系化为关于sin x 的方程，解方程可得sin x ，求出cos x 后由商数关系得tan x ，再由正切的二倍角公式得tan 2x ，由余弦的二倍角公式得cos2x ，由两角和的正弦余弦公式化简后代入cos ,sin x x 值可得3sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【详解】对于选项A ，∵3cos 8tan x x =，∵23cos 8sin x x =，∵23sin 8sin 30x x +-=，解得1sin 3x =或sin 3x =-（舍），故选项A 正确；对于选项B ，∵,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵22cos x =1sin 3tan cos 22x x x ==-2=22222tan 42tan 21tan 21x x x ⎛⨯ -⎝⎭===-⎛- ⎝⎭B 正确； 对于选项C ，2cos 22cos 1x x =-=2227219⎛⨯-= ⎝⎭，故选项C 错误； 对于选项D ，322sin cos 44x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22142912sin cos 2x x x x ⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭D 正确． 故选：ABD ．题型五：三角函数的图象和性质1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．3⎛⎤⎥⎝⎦D ．[]1,1-【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解. 【详解】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于3，故值域为3⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C2．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可. 【详解】()ππππ2sin 2cos 2cos 4244f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合是()0,π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，不符合题意；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π3π5π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合不是()π,2π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不单调递增，不符合题意；当3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π7π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合是()π,2π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，符合题意；当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π7π9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然该集合不是()π,2π的子集此时函数()π2sin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不单调递增，不符合题意，故选：C3．（2022·安徽淮南·二模（文））函数()22sin y x x x -=-的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值排除法,即可求解. 【详解】记()()22sin f x x x x -=-,则()()22sin f x x x x --=--,故()()f x f x =--,()f x 是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取22,()02222x f ππππ-⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,排除D.故选:B4．（2022·江西九江·一模（理））函数()()22cos 2sin 0f x x x ωωω=->的最小正周期为π2，则ω的值为（ ）．A ．2B ．4C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式可得()31cos 222f x x ω=-，结合求最小正周期的公式2πT ω=计算即可.【详解】 解：()()1cos 2311cos 2cos 2222x f x x x ωωω+=--=-， 由0ω>得函数的最小正周期为2ππ22T ω==， ∵2ω=， 故选：A ．5．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知函数()()2sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图像如图所示，则ω的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由图象分析函数的周期，求得ω的值. 【详解】由图象可知，函数的半周期是2π，所以2ωπ=π，得12ω=. 故选：C6．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴和ω的范围可得ω的值，从而可得周期，然后由题意可知12||x x -的最小值为2T可得.【详解】 由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ，因为05ω<<，所以4ω= 所以22T ππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B7．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A 【解析】 【分析】因为πππ,44π44x ωω⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈，讨论πππ442ω-≥或πππ442ω-<，结合函数图像理解分析．【详解】∵π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ,44π44x ωω⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈若()f x 的最大值为5ω，分两种情况讨论： ∵当πππ442ω-≥，即3ω≥时，根据正弦函数的单调性可知，()max 15f x ω==，解得5ω=；∵当πππ442ω-<，即03ω<<时，根据正弦函数的单调性可知，sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max ππsin 0445f x ωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，结合函数ππsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与5x y =在()0,3上的图像可知，存在唯一的()0,3ω∈，使得ππsin 445ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭.综上可知，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有2个. 故选：A ．8．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象如图所示.则()f ϕ=（ ）A ．0B ．AC ．2AD ．2A -【答案】A 【解析】 【分析】由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得ω，由最低点的坐标求得ϕ的值，进而计算得解. 【详解】由图象可得()f x 的最小正周期74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∵22T πω==， 由7322,122k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ，由2πϕ得3πϕ=，∵()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵()sin 03f f A πϕπ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选：A9．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的所有零点之和为（ ）A ．0B ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】把方程()0f x =变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数1y x π=-图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得． 【详解】解：因为()()1sin f x x x π=--，令()0f x =，即()1sin x x π=-，当x π=时显然不成立， 当x π≠时1sin x x π=-，作出sin y x =和1y x π=-的图象，如图，它们关于点(,0)π对称，由图象可知它们在3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上有4个交点，且关于点(,0)π对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以4个点的横坐标之和为4π． 故选：C ．10．（2022·河南郑州·三模（文））关于函数()cos ,6f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下述四个结论：∵()f x 的一个周期为2π-； ∵()f x 的图象关于直线43x π=对称； ∵()f x π+的一个零点为3x π=； ∵()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵【答案】A 【解析】 【分析】由余弦函数的周期性、对称性、零点及单调性依次判断即可. 【详解】(2)cos 2cos ()66f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵正确；443()cos cos 03362f ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于4,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，∵错误；()cos cos 66f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 036ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∵正确；由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得2,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，∵错误.故选：A. 二、多选题1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，与其相邻对称中心的距离为4π，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的最小正周期为2π C ．6π=ϕ D ．3πϕ=【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数图象性质可得函数解析式进而可得周期. 【详解】因为()f x 图象相邻的对称中心与对称轴的距离为4π，所以最小正周期T π=，故A 正确，B 不正确； 因为22Tπω==，且()2,622k k πππϕπϕ⨯+=+∈<Z ，所以6π=ϕ，故C 正确，D 不正确， 故选：AC.2．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，其中错误的结论是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在区间(0,)π上单调递减D ．()f x 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数周期性的定义可判断A 选项的正误；利用4f π⎛⎫- ⎪⎝⎭和4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断B 选项的正误；化简函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的解析式，可判断C 选项的正误；由()0f 的值可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()()()[][]()2sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()f x 的一个周期为2π，A 选项正确；对于B 选项，22sin cos sin 0cos 014f π⎡⎡⎛⎫=+=+=⎢⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ()22sin cos sin 0cos 1cos14f π⎡⎡⎛⎫-=+=+-=⎢⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦，44f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 不是偶函数，B 选项错误； 对于C 选项，当02x π<<时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，则[][]sin cos 0x x ==，则()sin0cos01f x =+=，所以，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是常函数，C 选项错误；对于D 选项，()[][]0sin cos0cos sin 0sin1cos01sin12f ∴=+=+=+>D 选项正确. 故选：BC. 三、解答题1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））设函数()()()π3πsin cos sin 3πcos π22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-⋅++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (1)求函数()f x 单调递减区间；(2)求函数()()π6g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】(1)()ππ,πZ 4k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2)()g x 最小值为32-3【解析】 【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：()cos2f x x =-，再根据余弦函数的单调性求解即可； (2)化简得π()3)3g x x =-,再根据ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求解即可.(1)()()()22cos sin sin cos sin cos cos2f x x x x x x x x =---=-=- ，当()22ππ,2πx k k ∈- Z k ∈ ，即x ∈()ππ,πZ 4k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭时是单调递减区间；(2)()π33πcos 2cos 22cos 23sin 2323g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()()min π30332g x g ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，()max 5ππ33122g x g ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 最小值为32-32．（2022·山东临沂·二模）已知函数()sin (0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，42f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭2 (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若122g α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】(1)2()2)34f x x π=+；(2)34-【解析】 【分析】（1）由01ω<<求得2T π>，再结合()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭242f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知3()28f π=，求出,A ω即可；（2）先求出()g x ，由122g α⎛⎫= ⎪⎝⎭求得sin()422πα+=sin 2α.(1)因为01ω<<，所以周期22T ππω=>，又()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭2，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当13()2428x πππ=+=时，()f x 2所以2A 且3()28f π=32284ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3501,4848ππππωω<<∴<+<，故3842πππω+=，解得23ω=，故2()2)34f x x π=+； (2)()(3)2)4g x f x x π=+，又12)242g απα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则sin()422πα+=23sin 2cos 22sin 1244ππααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3．（2022·浙江台州·二模）设函数()()sin 6f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R .(1)求函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期；(2)求函数()226y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】(1)π(2)74【解析】 【分析】（1）由三角函数的性质求解（2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解 (1)22sin 6y f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1cos22x -=∵函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(2)()221cos 21cos23622x x y f x f x ππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝⎭33131sin 21223x x x π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵02x π≤≤，∵42333x πππ≤+≤，即333243x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵函数()226y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为74.4．（2022·浙江·三模）已知函数()2sin sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意,3x t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()332f x ≤，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ (2)0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）()f x 的解析式可化简为()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即可解得()f x 的单调递增区间（2）对恒成立的不等式等价转化后，结合23x π-的范围可得2333t πππ-≤-<，从而解得t 的范围(1)()312sin sin 2sin cos 62f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)2133sin cos 3sin sin 21cos 2sin 223x x x x x x π⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈解之得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∵()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)对任意,3x t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()333sin 223f x x π⎛⎫≤⇔- ⎪⎝⎭ ∵22,333x t πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∵2333t πππ-≤-<，∵03t π≤<，∵实数t 的范围为0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
人教版高中数学集合部分高考考纲、重点知识、典型例题及高考真题总结整理
高中数学必修一 集合部分高考考纲、重点知识、高考真题及典型例题总结一、高考考纲要求（必考）1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.二、重点知识1.集合的三要素：确定性、互异性、无序性.2.集合与元素间关系,,a A a A a A a A ∈⎧⎨∉⎩元素在集合中元素不在集合中 3.常用数集①自然数集N ；②正整数集*N N +或；③整数集Z ；④有理数集Q ；⑤实数集R4.集合间关系：子集、真子集、集合相等。
①子集：A 中元素都在B 中时，称A 为B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇.②真子集：A 为B 的子集且A B ≠时，称A 为B 的真子集，记作A B Ü或B A Ý. ③集合相等：若A B ⊆同时B A ⊆，即A 与B 互相包含时，A B =.集合相等的重要证明方法：A B =⇔A B ⊆且B A ⊆.5.空集①空集是不含任何元素的集合，记作∅.②是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.6.有限集合的子集个数①n 元集合共有2n 个子集；②n 元集合共有21n -个真子集；④n 元集合共有21n -个非空子集；③n 元集合共有22n -个非空真子集.7.集合的运算：交、并、补.（1）韦恩图示①交集:公共元素组成的集合 ②并集:所有元素组成的集合③补集:“剩余”元素组成的集合A 在全集U 中的补集:U C A（2）基本性质①A ∅=∅,A B BA =,()A AB ⊆,()B A B ⊆A B A B B ⊆⇔=. ②A ∅=∅,A B B A =,()A A B ⊇,()B A B ⊇,A B A B A ⊆⇔=. ③U AC A U =,U A C A =∅,()U U C C A A =,U C U =∅,U C U ∅=.若A B U ⊆⊆,则U U C B C A ⊆,()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =. ④集合运算结合律()()AB C A B C =,()()A B C A B C =； ⑤集合运算分配律()()()A B C A B A C =,()()()A B C A B A C =⑥集合中元素个数性质()()()()card A B card A card B card A B =+-,()()()()card A B card A card B card A B =+-三、典型例题1.下列集合中表示同一集合的是.A (){}(){}3,2,2,3M N== .B {}{}4,5,5,4M N == .C (){}{},1,1M x y x y N y x y =+==+= .D {}(){}1,2,1,2M N == 【答案】.B【解析】A 项中集合M 和N 中元素是两个不同的点;C 项中集合M 的元素为坐标,即点N 中元素为函数1x y +=的值域,两集合中元素不同;D 项中,M 中元素为两个常数1和2,N 中 元素点的坐标.B 项中集合M 和N 都仅有两个元素4和5，根据集合的无序性可得M N =. 故选.B2.已知几个关系式:①{}{},,a b b a ⊆;②{}{},,a b b a =;③{}0=∅;④{}00∈;⑤{}0∅∈;⑥{}0∅⊆.其中正确的个数为.A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 6个【答案】.B U A A B A B A B A B【解析】正确的有①②④⑥共4个.错误的为③⑤.故选.B3.已知集合S 中三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 等腰三角形【答案】.D【解析】由集合元素的互异性可知,三角形任何两边长不相等,所以不可能是等腰三角形. 4.满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆Ü的集合A 的个数是.A 3个 .B 4个 .C 7个 .D 8个【答案】.C【解析】∵{}1,2A ⊆,∴集合{}1,2是集合A 的子集,则A 中必含有元素1,2.又∵{}1,2,3,4,5A Ü,∴集合A 的所有可能情况有:{}1,2,{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,2,3,4, {}1,2,3,5,{}1,2,4,5共7种情况.故选.C5.已知集合{}21P x x ==,集合{}1Q x ax ==,若Q P ⊆,则a 的值为 .A 1 .B -1 .C 1或-1 .D 0,1或-1【答案】.D 【解析】{}{}211,1P x x ===-,集合P 的子集有{}{}{},1,1,1,1∅--. ∵Q P ⊆且Q 中最多有一个元素,∴Q 只可能为{}{},1,1∅-.当Q =∅时,0a =,当{}1Q =-时,把1x =-代入1ax =中解得1a =-，当{}1Q =时,把1x =代入1ax =中解得1a =.综上,a 的值为1,01-或.故选.D6.已知集合3,2A x Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭,{}2230B x x x =--=. （1）用列举法表示集合A ；（2）求A B ,并列出A B 的所有子集. 【解析】（1）∵32Z x∈-,∴2x -是3的正因数,∴2x -只可能为1,3,此时x 的可能整数值为1,1,3,5-, ∴{}3,1,1,3,52A x Z x Z x ⎧⎫=∈∈=-⎨⎬-⎩⎭. （2）∵{}{}22301,3B x x x =--==-,∴{}{}{}1,1,3,51,31,3A B =--=-.∴A B 的所有子集为:{}{}{},1,3,1,3∅--,共4个子集.四、高考真题1.（2018年高考全国卷Ⅰ,文科卷1题）已知集合{}{}0,2,2,1,0,1,2A B ==--,则A B =.A {}0,2 .B {}1,2 .C {}0 .D {}2,1,0,1,2--。
湖北文理高数大纲
湖北文理高数大纲全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：湖北文理高数大纲是指湖北省内高中生所学习的数学课程大纲，是湖北省教育部门制定的教学指导纲要。
在数学课程中，高数可以说是最为重要的一门课程，它不仅为学生提供了数学基础知识，还培养了学生的分析思维能力和逻辑推理能力。
湖北文理高数大纲在内容设置、教学目标和要求等方面都有着具体的规定，以下是湖北文理高数大纲的内容介绍。
一、基础知识湖北文理高数大纲要求学生掌握数学的基础知识，包括数系、方程、函数、集合论等内容。
学生需要理解数的概念、数的性质以及数的运算规律，能够灵活运用数学知识解决实际问题。
学生还需要掌握一元一次方程、一元二次方程等基本方程的解法，以及函数的定义、性质和图像等内容。
二、解析几何湖北文理高数大纲还规定了解析几何的内容，学生需要掌握平面向量、空间向量、直线、平面的方程以及曲线的参数方程等知识。
学生需要理解几何图形的性质，能够分析几何问题并解决几何难题。
三、微积分微积分是高中数学课程中的重要内容，湖北文理高数大纲要求学生学习导数、微分、不定积分、定积分等知识。
学生需要理解导数和微分的定义、性质以及应用，能够求解函数的极限、导数和微分、定积分等数学问题。
四、概率论与数理统计概率论与数理统计是湖北文理高数大纲中的重点内容，学生需要学习概率的基本概念、概率分布、统计参数、抽样分布等知识。
学生需要掌握概率计算、统计量计算、统计分析等技能，能够应用概率论与数理统计知识解决实际生活中的问题。
五、综合应用湖北文理高数大纲还要求学生进行综合应用，将数学知识运用到实际问题中。
学生需要理解数学模型的建立、数学方法的选择与应用，能够分析问题、提出解决方案并进行数学推理，培养学生的创新思维与问题解决能力。
湖北文理高数大纲通过内容设置、教学要求等方面对数学教育进行了具体规定，从基础知识到微积分、概率论与数理统计，再到综合应用等内容，全面培养学生的数学思维和解决问题的能力。
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2011年高中数学《考纲及考试说明》与备考策略的浅谈题纲宁夏银川一中孙廷一、《考纲及考试说明》数学1．命题指导思想2．考试行式与试卷结构3．考试内容和要求二、高三数学备考复习应对策略1．解答高考数学试题的策略2．高三数学考前复习应对策略三、题型示例（猜想）2011年高中数学《考纲及考试说明》与（宁夏银川一中）高三数学备考复习策略的浅谈银川一中孙廷《考纲及考试说明》数学一.命题指导思想：（1）高校招生的选拔性考试。
（2）考查数学基础知识，基本技能和数学思想方法，对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观等目标要求。
（3）命题注重试题的创新性，多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性。
（4）试卷具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。
二.考试行式与试卷结构：闭卷，笔试120分钟150分试卷。
第一卷为12个选择题，第二卷4个填空题和5个解答题，选考部分为三选一，由选修系列4的“几何证明选讲”，“坐标系与参数方程”，“不等式选讲”各命制1个解答题，若多选以首选题给分。
三种题型分数比约为2：1：5.试卷难度适中，难度系数分为：容易题难度为0.7，中等题难度为0.4~0.7,难题难度为0.4以下，总体服从正态分布。
三.考试目标与要求：1.知识要求：（1）知道（了解，模仿）:对所列知识的含义有初步的，感性认识。
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道，识别，摸仿，会求，会解等。
（2）理解（独立操作）：对所列知识内容有较深的理性认识。
这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，表示，推测，想象，比较，判断，初步应用等。
（3）掌握（运用，迁移）：能够对所列知识内容进行推理证明。
这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，运用，解决问题等。
对知识的要求由低到高的三个层次中，高一级的层次要求包括低一级层次。
2.能力要求：（1）空间想象能力。
（2）抽象盖括能力。
（3）丽论证能力。
（4）运算求解能力。
（5）数据处理能力。
（6）应用意识。
（7）创新意识。
3.个性品质要求：要求学生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，行成审慎的思维习贯，体会数学的美学意义，以平和的心态参加考试，以实事求实的科学态度解答试题。
４.考查要求：考查内容的命题坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活应用。
对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合学生实际。
四.考试内容和要求：１.必考内容和要求（一）集合：（1）集合的含义与表示（了解：集合的元素及描述）。
（2）集合间的基本关系（理解：集合间的相等，子集，全集，空集的含义）。
（3）集合的基本运算（理解：集合的交并扑运算，并能使用韦恩图）。
（二）函数概念与基本初等函数1：（1）函数（了解：函数概念，分段函数及函数奇偶性的含义；理解：函数单调性，最值及其几何意义；运用基本初等函数的图像分析函数的性质）。
（2）指数函数（了解指数函数实际背景，理解其含义及性质，体会指数函数摸型）。
（3）对数函数（理解对数的概念及运算性质，会用换底公式简化运算，理解对数函数的概念及单调性并能应用，体会对数函数摸型，了解互为反函数概念）。
（4）幂函数（了解幂函数概念，掌握课本五个幂函数的图像和性质）。
（5）函数与方程（结合函数图像，了解函数零点与方程根的关系，并能判断根的存在性及根的个数）。
（6）函数模型及其应用（了解指数函数，对数函数，幂函数，二次函数及分段函数等的增长特征，构建函数摸型解决实问题）。
（三）立体几何初步：（1）空间几何体（了解柱，锥，台，球及其简单几何体的结构特征，表面积和体积的计算公式（不记）会三视图并会用斜二侧法画出直观图）。
（2）点，直线，平面之间的位置关系（理解点，直线，平面位置关系的定义，了解公理1~4，理解相关判定定理和性质定理并能运用）。
（四）平面解析几何初步：（1）直线与方程（理解直线的倾斜角和斜率的概念，会用斜率判断两直线的平行和垂直，掌握直线的两点式斜率计算公式，掌握确定直线的几何要素及直线方程的几种形式，会应用两点间距离公式，点到直线的距离公式，两平行线距离公式，会求两直线交点坐标）。
（2）圆与方程（掌握确定圆的几何要素及圆的方程，会判断直线与圆，圆与圆的位置关系，了解用代数方法解决几何问题的思想）。
（3）空间直角坐标系（了解空间坐标系及会用空间两点间距离公式）。
（五）算法初步：（1）算法的含义，程序框图（了解算法的含义及思想，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序，条件分支，循环）。
（2）基本算法语句（了解几种基本算法语句——输入，输出，赋值，条件，循环语句的含义）。
（六）统计：（1）随机抽样（理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法）。
（2）用样本估计总体（了解分步的意义和作用，能画出频率分布直方图，频率折线图，茎叶图，会计算数据标准差（不记公式），会用样本的频率分布估计总体分布，会提取并会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征（如平均数，标准差））.(3)变量的相关性（会作散点图并能找出关联变量的相关关系，了解最小二乘法，会确定线性回归方程（不记公式））。
（七）概率：（1）事件与概率（了解随机事件发生的频率与概率的联与区别，了解互斥事件的概率加法公式）。
（2）古典概型（理解古典概型和概率计算公式并能应用）.(3)随机数与几何概型（了解随机数的意义及几何概型的意义，能用摸拟方法估计概率）。
（八）基本初等函数2（三角函数）：（1）任意角，弧度制（了解任意角的概念及弧度制的概念，能互化角度与弧度）。
（2）三角函数（理解三角函数定义及一个周期的性质，理解诱导公式及同角三角函数基本关系式并能运用，理解单位圆中三角函数线的运用，了解三角函数的物理意义，体会三角函数是描述周期变换现象的重要函数摸型）。
（九）平面向量：（1）平面向量的实际背景及基本概念（了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，相等，几何表示）。
（2）向量的线性运算（了解向量线性运算的性质及几何意义，掌握向量加法，减法，数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义）。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示（了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示向量加法，减法，数乘的运算，理解用坐标表示向量共线的条件）。
（4）平面向量的数量积（理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面向量的数量积的运算及坐标表示，会求两向量的夹角及垂直的判定）。
（5）向量的应用（会用向量方法解决某些平面几何，力学等问题）。
（十）三角恒等变换：（1）两角和与差的三角函数公式（会推导和，差，倍角三角函数公式及应用）。
（2）简单的三角恒等变换（会用和，差，倍角三角函数公式进行简单的恒等变换【包括积化和差，和差化积，半角公式等，但不需要记忆】）。
(十一)解三角形：（1）正弦定理和余弦定理（掌握）。
（2）应用（利用正弦定理和余弦定理解决一些实际问题）。
（十二）数列：（1）数列的概念和简单表示法（了解）。
（2）等差数列，等比数列（理解等差数列，等比数列的概念，掌握等差数列，等比数列及前n项和公式并能运用，了解等差数列与一次函数，等比数列与对数函数的关系）。
（十三）不等式：（1）不等关系（了解）。
（2）一元二次不等式（会一元二次不等式代数解法及图像解法，会构建一元二次不等式摸型解决实际问题）。
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题（了解二元一次不等式的几何意义，会从实际情景中抽象出二元线性规划问题并能用平面区域表示二元一次不等式组及其最优解）。
（4）基本不等式（了解证明过程，会用基本不等式求最值）。
（十四）常用逻辑用语：（1）名题及其关系(理解名题的概念，了解四种名题的概念及关系，理解必要条件，充分条件，充分且必要条件的意义及应用)。
（2）简单的逻辑联结词（了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义）。
（3）全称量词与存在量词（理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的名题进行否定）。
（十五）圆锥曲线与方程：（1）圆锥曲线（掌握椭圆，抛物线定义，图形，性质，标准方程及简单应运，了解双曲线的定义，图形，标准方程，几何性质，理解数形结合的思想）。
（2）曲线与方程（了解方程与曲线的对应关系）。
（十六）空间向量与立体几何：（1）空间向量及其运算（了解空间向量的概念，基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示，线性运算及坐标表示，掌握空间向量的数量积的运算及坐标表示，会用两向量的数量积判定向量的共线和垂直）。
（2）空间向量的应用（理解直线的方向向量和平面的法向量，能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的有关问题及线线角，线面角，面面角的确定）。
（十七）导数及其应用（1）导数概念及其几何意义（了解导数概念，理解导数几何意义）。
（2）导数运算（能根据导数定义求简单函数的导数，熟记常见基本初等函数的导数公式并能灵活应用，会求简单复合函数的导数）。
（3）导数在研究函数中的应用（了解函数的单调性，最大（小）值与导数的关系及应用）。
（4）生活中的优化问题（会利用导数解决实际问题）。
（5）定积分与微积分基本定理（了解定积分的概念及微积分基本定理的含义）。
(十八)推理与证明(1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合理推理在数学发现中的任用。
(2)了解演绎推理的含义，了解合理推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理。
(3)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点。
(4)了解反证法的思考过程和特点。
(5)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
(十九)数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件。
(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示。
(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义。
(二十)计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题。
(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题。
(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题。
(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单的问题。
(二十一)概率与统计(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离数型随机变量的分布列。