指派问题的匈牙利法

获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素 和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行 和每一列都含有零； 从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来， 并划去它所在行和所在列的其它零； 反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。 得到初始解。 判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
8 0 5 0 9 4 3 4 0 3 8 5
圈零划零
0 11 2 0
8 0 5 0 9 4 3 4 0 3 8 5
得最优解
将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得 最优解如下
0 0 （xij ) = 0 1
最小总时间为22。
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、 例二、 有一份中文说明书，需译成英、 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
文字，分别记作A、 、 、 。现有甲、 文字，分别记作 、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四 人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
4 0 2 3
5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
4 0 2 3
5 4 0 1 0 4 0 4 3 7 1 0
第二步，试指派： 第二步，试指派：
－5
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
任务
人员
A 6 4 3 5
B 7 5 1 9
C 11 9 10 8
D 2 8 4 2
甲 乙 丙 丁
求解过程如下： 求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵： 第一步，变换系数矩阵：
6 4 (cij ) = 3 5 7 11 2 − 2 5 9 8 − 4 1 10 4 − 1 9 8 2 − 2
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
4 2
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
Ø 0 0 13 7 ◎ 6 0 6 9 ◎ ◎ 0 5 3 2 ◎ Ø 0 0 1 0 Ø
(4)重复 ，(3)直到得不出新的打 号的行、列为止； 重复(2)， 直到得不出新的打 号的行、列为止； 直到得不出新的打√号的行 重复 (5)对没有打 号的行画横线 ， 有打 号的列画纵线 ， 对没有打√号的行画横线 号的列画纵线， 对没有打 号的行画横线， 有打√号的列画纵线 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 应等于m， 这就得到覆盖所有 元素的最少直线数 l 。l 应等于 ， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)， 若不相等 ， 说明试指派过程有误 ， 回到第二步 ， 另 行试指派； 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， ＝ ，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的 元素，为此转第四步。 个独立的0元素 以找到 个独立的 元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(b 以增加 元素。 以增加0元素 第四步：变换矩阵 ij)以增加 元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素， 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后 各行都减去这最小元素； 打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元 各行都减去这最小元素 各列都加上这最小元 素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 ）。 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
1, 第i个工人做第j件事 xij = 0， 第i个工人不做第j件事
则数学模型如下
min z = ∑∑ cij xij
j =1 i =1
n
m
n ∑ xij = 1, i = 1,2, L , m = jm1 ∑ xij = 1, j = 1,2, L , n i =1 xij = 0,1; i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , n
最小时间（成本）min z=32
匈牙利算法示例
）、解题步骤 解题步骤： （二）、解题步骤： 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例， 指派问题是 规划的特例，也是运输问题的特例， 当然可用整数规划， 当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求 解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算 利用指派问题的特点可有更简便的解法， 的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是 匈牙利法， 匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于 能覆盖所有 0 元素的最少直线数。 元素的最少直线数。 第一步： 变换指派问题的系数矩阵（ 第一步 ： 变换指派问题的系数矩阵 （ cij ） 为 (bij)， 使 ， 的各行各列中都出现0元素 在(bij)的各行各列中都出现 元素，即 的各行各列中都出现 元素， (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； 的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。 小元素。
举例说明 1）表上作业法 2）匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示， 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
任务1 工人1 工人2 工人3 工人4 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
任务4 7 8 11 9
确定调整行和列
在没有圈起的零所在行上打“√”； 在打“√”行中所有零所在的列打“√”； 在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”， 反复执行2）和3）两步，直到不能打“√”为止； 用直线划去打“√”的列和不打“√”的行，没 用直线划去打“ ”的列和不打“ ”的行 有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整 列。
调整可行解的方法
在调整行中寻找最小的元素，将它作为调 整量； 将调整行各元素减去调整量，对调整列中 各元素加上调整量。 再次执行“圈零”和“划零”的操作，并 循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n 为止。
匈牙利法解例3.3
时间矩阵
2 10 3 7 15 4 14 8 13 14 16 11 4 7 13 9 各行各列减去最小元素后得 0 11 2 0
例一： 例一：
任务
人员
A 2 10 9 7
B 15 4 14 8
C 13 14 16 11
D 4 15 13 9
甲 乙 丙 丁
2 10 9 7
15 13 4 2 4 4 14 15 14 16 13 9 7 8 11 9
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
第二步：进行试指派，以寻求最优解。 第二步：进行试指派，以寻求最优解。 中找尽可能多的独立0元素 中找尽可能多的独立 元素，若能找出n个独 在(bij)中找尽可能多的独立 元素，若能找出 个独 元素， 个独立0元素对应解矩阵 立 0元素， 就以这 个独立 元素对应解矩阵 ij)中的元 元素 就以这n个独立 元素对应解矩阵(x 中的元 素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素 元素， 素为 ，其余为 ，这就得到最优解。找独立 元素，常 用的步骤为： 用的步骤为： (1)从只有一个 元素的行 列)开始，给这个 元素加 从只有一个0元素的行 开始， 从只有一个 元素的行(列 开始 给这个0元素加 所在列(行 的其它 元素， 的其它0元素 圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列 行)的其它 元素，记 这表示这列所代表的任务已指派完， 作 Ø ； 这表示这列所代表的任务已指派完 ， 不必再考 虑别人了。 虑别人了。 (2)给只有一个 元素的列 行)中的 元素加圈，记作 给只有一个0元素的列 中的0元素加圈 给只有一个 元素的列(行 中的 元素加圈， 所在行的0元素 记作Ø 元素， ◎；然后划去◎ 所在行的 元素，记作 ． (3)反复进行 ，(2)两步，直到尽可能多的 元素都 反复进行(1)， 两步 直到尽可能多的0元素都 两步， 反复进行 被圈出和划掉为止。 被圈出和划掉为止。
得最优解
0 0 (x ( xij ) = 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
另一最优解
0 0 ( xij ) = 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
圈零划零
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
打勾划线确定调整行和列
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 √ 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5 √
指派问题
指派问题是一种特殊的整数规划问题 一、问题的提出 设有m个工人，能做n件事，但效率不 同，并规定每个工人做且只能做一件事， 每件事有且只能有一个工人做，问应该如 何安排他们的工作，使花费的总时间（成 本）最少或效率最高？
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 c ij ，决策 变量是
√
调整可行解
7 4 0 11 0
0 2 0 3 0 0 8 3Leabharlann Baidu5 8 0 0 4 1 4
2 0 0 10 3
再圈零划零
7 4 0 11 0
0 3 8 8
0 2 0 0 5 0 0 10 4 1 4 3 2 0 3 0
(4)若仍有没有划圈的 元素 ， 且同行 列 )的 0元素至 若仍有没有划圈的0元素 且同行(列 的 元素至 若仍有没有划圈的 元素， 少有两个，则从剩有0元素最少的行 元素最少的行(列 开始 开始， 少有两个 ， 则从剩有 元素最少的行 列 )开始， 比较这 行各0元素所在列中 元素的数目，选择0元素少的那列 元素所在列中0元素的数目 行各 元素所在列中 元素的数目，选择 元素少的那列 的这个0元素加圈 表示选择性多的要“ 礼让” 元素加圈(表示选择性多的要 的这个 元素加圈 表示选择性多的要 “ 礼让 ” 选择性 少的)。 然后划掉同行同列的其它0元素 可反复进行， 元素。 少的 。 然后划掉同行同列的其它 元素 。 可反复进行 ， 直到所有0元素都已圈出和划掉为止 元素都已圈出和划掉为止。 直到所有 元素都已圈出和划掉为止。 （5）若◎ 元素的数目 等于矩阵的阶数 ，那么这指 元素的数目m 等于矩阵的阶数n， ） 派问题的最优解已得到。 则转入下一步。 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素 元素。 第三步：作最少的直线覆盖所有 元素。 (1)对没有◎的行打 号； 对没有 的行打√号 (2)对已打 号的行中所有含 元素的列打 号； 对已打√号的行中所有含 元素的列打√号 对已打 号的行中所有含Ø元素的列打 (3)再对打有 号的列中含◎ 元素的行打 号； 再对打有√号的列中含 元素的行打√号 再对打有