离散数学期末练习题 (带答案)
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
离散数学期末考试复习题及参考答案
参考答案： B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案： A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案： B
A. B. C. D.
参考答案： B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案： D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案： D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案： 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案： C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案： A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案： C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案： A
,则有( )
离散数学期末试卷(4套附答案)
一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ） A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐB ．⎤ ｐ∨ｑC ．⎤ ｐ∧ｑD ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ 2．下列句子不是命题的是（ ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的D ．太好了！3．对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元C ．(∃x )的辖域是R(x , y )D ．(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )4．7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（ ）A ．自反的B ．对称的C ．传递的、对称的D ．反自反的、传递的 5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101017. 下列运算不满足．．．交换律的是（ ） A ．a *b =a+2bB ．a *b =min(a ,b )C ．a *b =|a -b |D ．a *b =2ab8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( ) A.<A ，+> B.<A ，-> C.<A ，×> D.<A ，÷> 9. 右图的最大入度是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3第9题图拟题学院（系）： 高密校区 适用专业： 学年 2学期 离散数学 （Ｂ卷） 试题标准答案10. 设有向图D 的节点数大于1，D=（V ,E ）是强连通图，当且仅当（ ） A. D 中至少有一条通路 B. D 中至少有一条回路C. D 中有通过每个结点至少一次的通路D. D 中有通过每个结点至少一次的回路 二、填空题(每空3分，共30分)1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。
离散数学期末考试试题(配答案)
离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。
2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____；=A _____；=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==；则=-)()(B A ρρ__ __________；=-)()(A B ρρ_____ ______。
二．选择题（每小题2分；共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=；A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 三．计算题（共43分）1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。
（6分）2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ；求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵；并画出R ；)(),(),(R t R s R r 的关系图。
（10分）5. 试判断),(≤z 是否为格？说明理由。
（5分）（注：什么是格？Z 是整数；格：任两个元素；有最小上界和最大下界的偏序）四．证明题（共37分）1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。
（10分）2. 设R 是实数集；b a b a f R R R f +=→⨯),(,:；ab b a g R R R g =→⨯),(,:。
求证：g f 和都是满射；但不是单射。
（10分）一；1； _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2； {2} {4；5} {1；3；4；5}3； {{c}；{a ；c}；{b ；c}；{a ；b ；c}} Φ_ 二；B D三；解：主合取方式：p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式：p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四；1；证明：编号 公式 依据 （1） （¬B∨C ）∧¬C 前提 （2） ¬B∨C ；¬C （1） （3） ¬B （2） （4） A →B （3） （5） ¬A （3）（4） （6） ¬（¬A∧D ） 前提 （7） A ∨¬D （6） （8）¬D （5）（6）2；证明：要证f 是满射；即∀y ∈R ；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使f （x1；x2）=y ；而f （x1；x2）=x1+x2；可取x1=0；x2=y ；即证得；再证g 是满射；即∀y ∈R ；；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使g （x1；x2）=y ；而g （x1；x2）=x1x2；可取x1=1；x2=y ；即证得；最后证f 不是单射；f （x1；x2）=f （x2；x1）取x1≠x2；即证得；同理：g （x1；x2）=g （x2；x1）；取x1≠x2；即证得。
离散数学期末考试题(附答案和含解析)
一、填空2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
//备注：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下，则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。
//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性8．图的补图为 。
//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
//备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y ∈A 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序）二、选择题1、下列是真命题的有（ C 、D ）A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ．}},{{ΦΦ∈Φ； D ．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ B 、C ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
最新离散数学期末练习题（带答案）
最新离散数学期末练习题（带答案）最新离散数学期末练习题 (带答案)1、第⼀遍复习⼀定要认真按考试⼤纲要求将本学期所学习内容系统复习⼀遍.2、第⼆遍复习按照考试⼤纲的要求对第⼀遍复习进⾏总结.把⼤纲中指定的例题及书后习题认真做⼀做.检验⼀下主要内容的掌握情况.3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做⼀做，检验⼀下第⼀遍与第⼆遍复习情况，要认真理解，注意做题思路与⽅法.离散数学综合练习题⼀、选择题1．下列句⼦中，（）是命题.A．2是常数. B．这朵花多好看呀！C．请把门关上！D．下午有会吗？2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了.则命题“下雪路滑，他迟到了”可符号化为（）.A. p q r∨→∧→ B. p q rC. p q r∨?∧∧ D. p q r3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）.A.p q∧∧? B.p qC.p q→?∨? D. p q4．设()Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）.P x:x是鸟，()A. ()(()())Q x∧())→ B. ()(()x P x Q xx P xC. ()(()())∧())Q x→ D. ()(()x P xx P x Q x5.设()f x:x的绝对值，(,)L x y：x⼤于等于y；命题“所有整数的绝对值⼤于P x:x是整数，()等于0”可符号化为（）.A. (()((),0))→x P x L f xx P x L f x∧B. (()((),0))C. ()((),0)xP x L f x→xP x L f x∧ D. ()((),0)6.设()G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的⼈”符号化为（）.F x:x是⼈，()A．(()())→?x F x G x∧B．(()())x F x G xC．(()())x F x G xx F x G x∧?∧D．(()())7.下列命题公式不是永真式的是（）.A. ()→→p q pp q p→→ B. ()C. ()p q p→∨∨→ D. ()p q p8．设()Q x:x为实数.命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）R x:x为有理数；() A．()(()())x R x Q x∧x R x Q x∧B．()(()())C．()(()())x R x Q x→x R x Q x D．(()())→9.设个体域{,}=，与公式()D a b等价的命题公式是( )xA xA．()()→A a A bA a A b∧B．()()C ．()()A a A b ∨D ．()()A b A a →10.下列等价式不正确的是（）.A ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?B ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∧??∧?C ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?D ．(())()x P x Q xP x Q ?∧??∧11. 设个体域{,}D a b =，与公式()xA x ?等价的命题公式是( )A ．()()A a A b ∧B ．()()A a A b →C ．()()A a A b ∨D ．()()A b A a → 12.设X ={,{},{,}}a a ??，则下列陈述正确的是（）.A.a X ∈B.{,}a X ?? C .{{,}}a X ??D.{}X ?∈13.有向图D 是连通图，当且仅当（）. A. 图D 中⾄少有⼀条通路B. 图D 中有通过每个顶点⾄少⼀次的通路C. 图D 的连通分⽀数为⼀D . 图D 中有通过每个顶点⾄少⼀次的回路 14.设A={a ，b ，c}，则下列是集合A 的划分的是( ) A.{{,},{}}b c c B . {{},{,}}a b c C.{{,},{,}}a b a c D. {{,},}a b c 15.下列谓词公式中是前束范式的是（）.A ．()()()xF x x G x ?∧??B ．()()xF x yG y ?∨?C ．(()(,))x P x yQ x y ?→?D ．(()(,))x y P x Q x y ??→16.设12{|()0},{|()0}M x f x N x f x ====，则⽅程12()()0f x f x ?=的解为（）. A ．M∩NB ．M ∪ NC ．M ⊕N C ．M-N17.设,G A =<*>是群，则下列陈述不正确的是（）.A. 11()a a --=B. n m n m a a a += C . 111()ab a b ---= D. 11()n n a ba a b a --= 18.在整数集合Z 上，下列定义的运算满⾜结合律的是（）.A. 1a b b *=+B. 1a b a *=-C. 1a b ab *=-D . 1a b a b *=++19. 设简单图G 所有结点的度数之和为50，则G 的边数为（）. ( ) A. 50 B . 25 C. 10 D. 520.设简单⽆向图G 是⼀个有5个顶点的4－正则图，则G 有（）条边. A. 4B. 5C . 10D. 2021.设集合{1,2,3,4}A =，A 上的等价关系{1,1,3,2,2,3,R =<><><>4,4}A I <>U ，则对应于R 的划分是（）. A . {{1},{2,3},{4}} B. {{1,3},{2,4}} C. {{1,3},{2},{4}}D. {{1},{2},{3},{4}}22.设集合{1,2,3,4}A =，A 上的等价关系{1,3,3,1,2,4,R =<><><>4,2}A I <>U ，则对应于R 的划分是（）. A. {{1},{2,3},{4}}B . {{1,3},{2,4}}C. {{1,3},{2},{4}}D. {{1},{2},{3},{4}}23.设,G A =<*>是群，则下列陈述不正确的是（）. A. 11()a a --= B . 111()ab a b ---= C. n m n m a a a +=D. 11()n n a ba a b a --=24.{1,2,,10}A =L ，下列定义的运算关于集合A 是不封闭的是（）. A. max{,}x y x y *=，即,x y 的较⼤数 B. min{,}x y x y *=，即,x y 的较⼩数 C. gcd{,}x y x y *=，即,x y 的最⼤公约数 D . {,}x y lcm x y *=，即,x y 的最⼩公倍数25. 设{1,2,3},{,,,},{1,,2,,3,}X Y a b c d f a b c ===<><><>，则f 是( ).A ．从X 到Y 的双射B ．从X 到Y 的满射，但不是单射C ．从X 到Y 的单射，但不是满射D ．从X 到Y 的⼆元关系，但不是从X 到Y 的映射26.设简单⽆向图G 是⼀个有6个顶点的5－正则图，则G 有( )条边. A. 5B. 6C . 15D. 3027.图G 如下图所⽰，以下说法正确的是( ).A ．a 是割点B ．{b ，c }是点割集C ．{b ，d }是点割集D ．{c }是割点 28.格L 是分配格的充要条件是L 不含与下⾯哪⼀个选项同构的⼦格（）. A ．链B ．钻⽯格C ．五⾓格D . 五⾓格与钻⽯格29.下列图是欧拉图的是（ D ）.d30.给定⼀个有n 个结点的⽆向树，下列陈述不正确的是（）. A ．所有结点的度数≥2B ．⽆回路但若增加⼀条新边就会变成回路C ．连通且1e v =-，其中e 是边数，v 是结点数D ．⽆回路的连通图31. 设A 有5个元素，则其幂集()P A 的元素总个数为（）. A . 32 B.25 C. 50D. 532．若供选择答案中的数值表⽰⼀个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（）. A. (1，2，2，3，4，5) B. (1，2，3，4，5，5) C . (1，1，1，2，3) D. (2，3，3，4，5，6) 33. 设{,{},{,{}}}A a a a a =则其幂集()P A 的元素总个数为（）. A. 3 B. 4 C . 8D. 1634. 在实数集合R 上，下列定义的运算中不可结合的是（）. A. 2a b a b ab *=++ B. a b a b *=+ C. a b a b ab *=++ D . a b a b *=- 35. ⽆向图G 是欧拉图，当且仅当（）.A. G 的所有结点的度数全为偶数B. G 中所有结点的度数全为奇数C. G 连通且所有结点度数全为奇数 D . G 连通且所有结点度数全为偶数 36.下列不⼀定．．．是树的是（） A. ⽆回路的连通图DB . 有n 个结点，n -1条边的连通图 C. 每对结点之间都有通路的图 D. 连通但删去⼀条边则不连通的图37. 设简单图G 所有结点的度数之和为48，则G 的边数为 ( ) A. 48 B . 24 C. 16 D. 1238．下⾯既是哈密顿图⼜是欧拉图的图形是（ B ）.39.下列必为欧拉图的是（） A.有回路的连通图B.不可以⼀笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图 D .⽆奇数度结点的连通图40.⼆部图 3,3K 是（）. A.欧拉图 B . 哈密顿图 C.平⾯图D. 完全图41．下列所⽰的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ C ）.A. B.C. D.42.设简单⽆向图G 是⼀个有6个顶点的3－正则图，则G 有( )条边. A. 3 B. 6 C . 9D. 1843．下列式⼦为⽭盾式的是（）.A ．()p p q ∨∧B ．p p ∨?C ．p p ∧?D ． ()p q p q ?∨??∧?44.设集合{,,}A a b c =，A 上的关系{,,,,,}R a a a c c a =<><><>，则R 是（） A ．⾃反的 B ．对称的 C ．传递的 D ．反对称的 45．设12,R R 是集合{,,,}A a b c d =上的两个关系，其中1{,,,,R a a b b =<><>,,,}b c d d <><>，2{,,,,,,,,,}R a a b b c b b c d d =<><><><><>，则2R 是1R 的（）闭包.A ．⾃反B ．对称C ．传递D ．⾃反、对称且传递闭包46. 下列公式是前束范式的是（）.A ．()()((,)())x y F z x G y ∨B ．(()()()())()x F x y G y H z ??∨?∧C ．()(,)()()x F x y y G y ?→?D ．()((,)()(,))x F x y y G x y ?→? 47. 设R 为实数集，函数:f R R →，2()25f x x x =-++，则f 是（）.A ．单射⽽⾮满射B ．满射⽽⾮单射C ．双射D ．既不是单射，也不是满射48．下列各图中既是欧拉图，⼜是汉密尔顿图的是（ C ）.A ．B ．C ．D ． 49．下列四个格，是分配格的是（ C ）.50．设集合A={a ，b ， c}上的关系如下，具有传递性的是（）.A ． R={，，，}B ． R={，}C ． R={，，，，}D ． R={} 参考答案：（若有问题，可以到1#402或打电话问）⼀、选择题AAAAB DACAA CCDBD BCDBC ABBDC CBDDA ACCDD BBBDB CCCBB ADCCD⼆、填空题1．命题公式()p q ?→的成真指派为 10 ，成假指派为_00，01，11__.2. 命题公式()p q p ∨→的成真指派为00 10 11，成假指派为_01__.3．命题公式()p p q →∧的成真指派为00 01 11 ，成假指派为_ 10__.4．公式()()(()(,))()(x y P y Q x z y R x y→∧?约束变元为 x ，y ，⾃由变元为 x ，z .5．公式(()())(,)x P x yR y Q x z ?∨?→约束变元为__x ，y _，⾃由变元为_x ，z _ . 6．设{,,{,}}A a b a b =，{,}B a b =，则B A -=?，A B ⊕= {{a ，b}} . 7．设{1,2,3}A =，A 上的关系{1,2,2,1}R =<><>，则对称闭包()s R = {<1，2>，<2，1>} ，传递闭包()t R = {<1，2>，<2，1>，<1，1>，<2，2>}.8.设*是集合S 上的⼆元运算，若运算*满⾜__结合律_，并且存在__单位元_，则称,*S <>为独异点.9．设{,,{,}}A a b a b =，{,,}B a b c =，则A A ⊕=?，A B ⊕= {{a ，b}，c} .10.⼀棵⽆向树的顶点数n 与边数m 的关系是 m=n-1 .6阶⽆向连通图⾄多有 6 棵不同构的⽣成树.11．设()1f x x =-，2()g x x =，则复合函数()()f g x =2(1)x -，()()g f x =21x -. 12. ,n Z <⊕>是⼀个群，其中{0,1,2,,1}n Z n =-，()mod x y x y n ⊕=+，则当n =6时，在6,Z <⊕>中，2的阶为___3___， 3的阶为_ 2 .13．设是格，其中A={1， 3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则1的补元是___24 __，3的补元是_8_.14．设A=｛<1，3>，<3，5>，<4，4>｝，B=｛<1，3>，<4，5>，<5，5>｝，那么d o m ()A B ={1，3，4，5} ran ()A B = {3，5} .15. 设A ={l ，2，3，4}，A 上的⼆元关系R ={<1，2>，<2，3>，<3，2>}，S ={，<2，3>，<4，3>}，则R S = {<1，3>，<3，3>} ，1()R S -= {<3，1>，<3，3>} .16．设={<1,2>,<3,4>,<3,5>}R 和={<2,1>,<3,3>,<5,5>}S 是集合={1,2,3,4,5}A 上的两个关系，则R S = {<1，1>，<3，5>} ， 11S R --= {<1，1>，<5，3>} .17．设A ={2， 4， 6}，A 上的⼆元运算*定义为：a *b =max {a ，b }，则在独异点中，单位元是 2 ，零元是 6 .18．⼀棵⽆向树的顶点数n 与边数m 关系是 m= n-1 .设G 是具有8个顶点的树，则G 中增加___21_条边才能把G 变成完全图. 19．设复合函数gf 是从A 到C 的函数，如果g f 是满射，那么__g ___必是满射，如果g f 是单射，那么_f _必是单射. 20．设是格，其中A ={1， 3， 5，9，45}，≤为整除关系，则1的补元是___45___，3的补元是_ 5 _.21．给出A ={l ，2}上的⼀个等价关系_{<1，1>，<2，2>}_，并给出其对应的划分_{{1}，{2}}______.22．设{,,,}A a b c d =，A 上的⼆元关系{,,,,,}R a b a d b b =<><><>，则R 的⾃反闭包()r R =A RI ，传递闭包()t R = R23．命题公式()p q p ?∨→的成真赋值为 01 10 11 ，成假赋值为 00 .24．公式()()p q p q ?∧?∨∧的成真赋值是 00，11 .成假赋值 01 10 25．公式()()p q p q ?∧∨∧的成真赋值是 01 11 .成假赋值 00 10 26．公式()()p q p q ∨?∧?∨的成假赋值是 01 10 .成假赋值 00 1127．设个体域是实数集，命题)3(x x x <-?的真值为 1 ；命题2(10)x x ?+=的真值为0 .28.设f ∶R→R ，f(x)=x+3，g ∶R→R ，g(x)=2x+1，则复合函数(f g)()x = 2x+4 ，(g f )(x)= 2x+7 .29.给定集合A={1，2，3，4，5}，在集合A 上定义两种关系：R={<1，2>，<3，4>，<2，2>}，S={<4，2>，<2，5>，<3，1>，<1，3>，则R S = {<1，5>，<3，2>，<2，5>} .30．设A={0，1，2，3，6}，{,|,(mod3)}R x y x y A x y x y=<>∈∧≠∧≡则domR= {0， 3，6}_ ，ranR=_{0， 3，6}，31．设6,Z<⊕>为模6加群，其中6{0,1,2,3,4,5}Z=，则2-3= 0 ，4-2= 4 . 32．⼀个结点为n的⽆向完全图，其边的数⽬为n(n-1)/2 ，顶点的度为n-1 .33. 已知n阶⽆向简单图G有m条边，则G的补图G中有m- n(n-1)/2条边.参考答案：1．_10_，00，01，112. 00 10 11，01_3. _00 01 11， 104. _x，y ，x，z__5. _x，y ，x，z__，， {{a，b}}7.{1,2,2,1}<><>，{1,2,2,1,1,1,2,2}<><><><>8. 结合律，单位元9，， {{a，b}，c}10.n-1， 611.2(1)x-，，21x-12. 3 ， 213. _24__，_8__14. {1，3，4，5}，_{3}15. {<1，3>，<3，3>}，{<3，1>，<3，3>}16. {1,1,3,5}<><>，{1,1,5,3}<><>17. 2 ， 618. m= n-1， _2119. _g ， _f_20. 45 ， _5_21. {1,1,2,2}<><>，{{1},{2}}22.AR I，R23. 01 10 11，0024. 00，11 ，01，1025. 01，11 ，00，1026. 01 10 ，00 1127. 1 ， 028. 24x +，27x +29. {<1，5>，<3，2>，<2，5>} 30. {0， 3，6}， {0， 3，6} 31. 0 ， 4 32. n(n-1)/2， n-1 33. m- n(n-1)/2三、计算题（仅给出部分题⽬的解题思路，未给出答案⾃⼰完成） 1. 已知命题公式()()p q p r ?→→∧（1）构造真值表（2）求出公式的主析取范式（2）()()pq p r ?→→∧0157()()()()p q r p q r p q r p q r m m m m ??∧?∧?∨∧∧?∨∧?∧∨∧∧?∨∨∨2.已知命题公式()()p q p r ∨→?∨（1）构造真值表；（2）⽤等值演算法求公式的主析取范式.（2）主析取范式 012()()()()()()(()())(()r )(()()(r )(r )p q p r p q p r p q p r p q r r p q q p q r p q r p q p q m m m∨→?∨??∨∨?∨??∧?∨?∧∧?∧?∨∨?∧?∨∧∧?∧?∨?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧??∨∨ 3．求公式(())()p r p q p →∨∧→的主合取范式及主析取范式. 4．构造命题公式(p ?∧)r ∨()p q →的真值表. 5. ⼀棵（⽆向）树有2结点的度为2， 1个结点的度为3，3个结点的度为4，其余都是叶结点，问该树有⼏个叶结点？解：在⼀个有限图中，各结点的度数总和是边数的2倍；⽽树中的边数为结点数减1. 根据这两点，可知树中各结点的度数总和=2*（树中点数-1），设树叶有x 个，于是，2*2+3+3*4+x=2*（2+1+3+x-1）得x=9.6.⼀棵⽆向树T 有5⽚树叶，3个2度分⽀点，其余的分⽀点都是3度顶点，问T 有⼏个顶点？提⽰：类似上题求解.7.设2:,()2f R R f x x →=-，:,()4g R R g x x →=+，3:,()1h R R h x x →=-，其中R 表⽰实数集.（1）求函数f g ，g f ；（2）,,f g h 哪些函数有反函数？如果有，求出这些反函数. 解：（1）22()(())(4)(4)2814g f x f g x f x x x x ==+=+-=++ 22()(())(2)2f g x g f x g x x ==-=+ （2）g 和h 有反函数，11:,()4g R R g x x --→=-；11:,()h R R h x --→=8.设A ＝{a ，b ，c}，R 是A 上的⼆元关系，且R ＝{，}，求r(R)、s(R)和t(R). 解：r(R)=R ∪I A ={，，，，}s(R)=R ∪R -1={，}的哈斯图；t(R)= R ∪R 2∪R 3={，，，，} 9.设{1,2,3,4,6,9,24,54}A =，≤为整除关系. （1）画出偏序集）画出偏序集的哈斯图；（2）求A 中的极⼤元；（3）求⼦集B=｛3， 6， 9｝的上确界与下确界. 解：（1）哈斯图（2）A 中的极⼤元为 24，54；极⼩元为1；最⼤元：⽆；最⼩元：1 （3）求⼦集B=｛3， 6， 9｝的上确界为54，下确界为3. 10.设有向图D 如图所⽰，⽤邻接矩阵完成以下计算. （1）1v 到4v 长度⼩于或等于4的通路数；（2）1v 到⾃⾝长度⼩于或等于4的回路数；（3）求出D 的可达矩阵，并说明D 的连通性.有向图的邻接矩阵为1210001000010010A=，21231000100100001A ??=??31243001000010010A=，41264000100100001A =（1）v 1到v 4长度⼩于或等于4的通路数为4()14101348i i a==+++=∑（2）v 1到⾃⾝长度⼩于或等于4的回路数为4()11111114i i a==+++=∑4249 54（3）11110111()00110011P D=由可达矩阵可知D 是单向连通的.11．设{0,1,2}A =，给出幂集合()P A 对称差运算的运算表. 12．设6{0,1,2,3,4,5}Z =，给出模6加运算的运算的运算表. 参看教材P167例9.4 与9.5 14.设A ＝{1，2，3，4，5}，R 是A 上的⼆元关系，且R ＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R). 解：r(R)=R ∪I A s(R)=R ∪R -1t(R)= {<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，（2，2>，<5，5>} 15.下图为⼀连通赋权图，计算该图的最⼩⽣成树和权值.四、简答题1.设集合}654321{，，，，，A =上的关系{(1,1,1,3,1,6,2,2,R =><><><>2,5,3,1,3,3,3,6,4,4,5,2,5,5,6,1,6,3),6,6}<><><><><><><><><<>（1）画出R的关系图，并写出R 的关系矩阵；（2）R 是否为等价关系？若是，写出R 的所有等价类.解：（1）R 的关系图为123654（2）R 的关系矩阵 101000100110100000100101由关系图可以看出R 是等价关系.等价类为：[1][3][6]{1,3,6},[2]{2,5},[4]{4}===== 或写为：A/R={{1，3，6}，{2，5}，{4}}2. 设{1,3,(1,4,2,2,3,1,3,3),4,1}R =<>><><><<>是A ={1,2,3,4}上的⼆元关系. （1）画出R 的关系图；（2）写出R 的关系矩阵；（3）讨论R 的性质. 解：（1）R 的关系图（2）R 的关系矩阵 0011010010001（3）R ⾮⾃反、⾮反⾃传、对称、⾮反对称、⾮传递的（4）R 不是函数，不满⾜函数单值性的要求.3．设A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，R 是A 上的⼆元关系， R={|x ，y ∈A ∧x+y=10} 说明R 具有哪些性质. 解：R={<1，9>，<2，8> ，<3，7> ，<4，6>，<5，5> ，<9，1>，<8，2> ，<7，3> ，<6，4> }易知 R 既不是⾃反也不是反⾃反的 R 是对称的R 不是反对称的 R 不是传递的.4．判断下图是否为⼆部图？若是，找出它的互补结点⼦集.它是否为哈密顿图？若是，找出⼀条哈密顿回路.4fc5.判断下图G 是否是⼆部图？若是，找出它的互补结点⼦集.它是否为哈密顿图？若是，找出⼀条哈密顿回路.6.设{1,3,5,9,45}A =，≤为A 上的整除关系.（1）,A <≤>是否为偏序集，若是，画出其哈斯图；（2）,A <≤>是否为格？说明理由；解：（1）,A <≤>是偏序集.哈斯图为：（2）<.四、证明题1．⽤⼀阶逻辑的推理理论证明：前提：(()())x F x G x ?→?，(()())x F x H x ?∨， ()x H x ?? 结论： ()x G x ?? 证明：（1）(()())x F x H x ?∨前提引⼊（2）()()F x H x ∨（1）?- （3）()x H x ?? 前提引⼊（4）()H x ? （3）?-（5）()F x （2）（4）析取三段论 ………（4分）（6）(()())x F x G x ?→? 前提引⼊（7）()()F x G x →? （6）?-（8）()G x ? （5）（7）假⾔推理（9）()G x ?? （8）?+ ………（3分） 2．设A 是⾮空集合，F 是所有从A 到A 的双射函数的集合，是函数的复合运算. 证明：,F <>是群.证明：由于集合A 是⾮空的，A I F ∈，，因此F ⾮空 .(1) ,f g F ∈，因为f 和g 都是A 到A 的双射函数，故f g 也是A 到A 的双射函数，从⽽集合F关于运算是封闭的.1v 2v 3v 45(2) ,,f g h F ∈，由函数复合运算的结合律有()()f g h f g h =，故运算是可结合的. (3) A 上的恒等函数A I 也是A 到A 的双射函数即A I F ∈，且f F ∈有A A I f f I =，故AI 是,F <>中的⼳元.(4) f F ∈，因为f 是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A 到A 的双射函数，且有11A ff f f I --==，因此1f -是f 的逆元由此上知,F <>是群3．设代数系统6,V Z =<⊕>，6{0,1,2,3,4,5}Z =，⊕为模6加法.证明：6Z 关于⊕运算构成群. 证明：集合6Z 显然⾮空.(1) 6,a b Z ?∈，6a b Z ⊕∈，从⽽集合6Z ⊕关于运算是封闭的. (2) 6,,a b c Z ?∈，有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，故运算⊕是可结合的. (3) 6a Z ?∈， 0a a ⊕=，故0是6,Z <⊕>中的⼳元. (4) 6a Z ?∈，因为(6)0a a ⊕-=，因此6a -是a 的逆元由此上知6,Z <⊕>是群4．设A 是集合，P(A)是A 的幂集合，⊕是对称差运算，证明构成群. 提⽰：参考2、3证明题完成.5．设{,|,A x y x y =<>为正整数}，在A 上定义⼆元关系R 如下：,,x y R u v <><>当且仅当x y u v -=-. 证明：R 是⼀个等价关系. 证明：任取,x y <>,,,x y A x y x y x y R x y <>∈?-=-?<><>所以R ⾃反的.任取,,,x y u v <><>,,,,x y R u v x y u v u v x y u v R x y <><>?-=-?-=-?<><>所以R 是对称的.任取,,,,,x y u v s t <><><>,,,,x y R u v u v R s t x y u v u v s t <><>∧<><>?-=-∧-=-,,x y s t x y R s t ?-=-?<><>所以R 是传递的. 因此，R 是等价关系.6.设R 是A 上的关系，如果R 满⾜以下两条件：（1）对于任意的a ∈R ，都有aRa ，（2）若aRb ， aRc ，则有bRc ，证明：R 是等价关系证明：任取,,a b c R ∈（1）由已知条件（1）得,a a R <>∈，，所以R 是⾃反的.（2）由已知条件（1）、（2）得,,,a b R a a R b a R <>∈∧<>∈?<>∈所以R 是对称的. （3）由已知条件（1）、（2）得,,,,a b R b c R b a R c b R <>∈∧<>∈?<>∈∧<>∈,,,b c R b a R c a R<>∈∧<>∈?<>∈所以R 是传递的.五、应⽤题（仅给出第7题的参考答案，未给出参考答案的⾃⼰完成） 1. 构造下列推理的证明.如果今天是星期⼀，则要进⾏英语或离散数学考试.如果英语⽼师有会，则不考英语.今天是星期⼀，英语⽼师有会，所以进⾏离散数学考试.2. 构造下列推理的证明.⼩王是理科学⽣，则他的数学成绩很好.如果⼩王不是⽂科学⽣，则他⼀定是理科学⽣.⼩王的数学成绩不好，所以⼩王是⽂科学⽣.3．如果甲是冠军，则⼄或丙将得亚军；如果⼄得亚军，则甲不能得冠军；如果丁得亚军，丙不能得亚军；事实是甲已得冠军.因此丁不能得亚军. 参照作业：P54 17，18 4.⽤⼀阶逻辑推理证明每个喜欢步⾏的⼈都不喜欢骑⾃⾏车，每个⼈或喜欢骑⾃⾏车或者喜欢乘汽车.有的⼈不喜欢乘汽车，所以，有的⼈不喜欢步⾏（个体域为⼈类集合）解: 令():F x x 喜欢步⾏， ():G x x 喜欢骑⾃⾏车， ():H x x 喜欢乘汽车前提：(()())x F x G x ?→?，(()())x F x H x ?∨， ()x H x ?? 结论： ()x G x ??证明：（1）(()())x F x H x ?∨前提引⼊（2）()()F x H x ∨（1）?- （3）()x H x ?? 前提引⼊（4）()H x ? （3）?-（5）()F x （2）（4）析取三段论（6）(()())x F x G x ?→? 前提引⼊（7）()()F x G x →? （6）?-（8）()G x ? （5）（7）假⾔推理（9）()G x（8）?+5．今有于,,,,,a b c d e f7个⼈，已知下列事实：a会讲英语；b 会讲英语和汉语；c会讲英语、意⼤利语和俄语；d会讲⽇语和汉语；e会讲德国和意⼤利语；f会讲法语、⽇语和俄语；g会讲法语和德语.试问这七个⼈应如何排座位，才能使每个⼈都能和他⾝边的⼈交谈？解：⽤结点表⽰⼈，⽤边表⽰连接的两个⼈能讲同⼀种语⾔，构造出图G如下：g。
离散数学期末试卷(3套附答案)
2 离散数学（A 卷） 王军东（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．设A , B 是集合，若A B A =-，则(A) B = ∅ (B) A = ∅ (C) =⋂B A ∅ (D) A B A =⋂2．在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.3．谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R4．设p ：我们划船，q ：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )(A) ⌝ p ∧⌝ q (B) ⌝ p ∨⌝ q (C) ⌝ (p ↔ q ) (D) ⌝ (⌝ p ∨⌝ q ).5．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ）A ．仅是单射B ．仅是满射C ．是双射D ．不是函数6. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x , y )|x , y ∈ A 且x + y = 6}，则R 的性质是( ).(A) 自反的. (B) 对称的. (C) 对称的、传递的. (D) 反自反的、传递的.7. 下列联结词中，不满足交换律的是( ).(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.8．.设G 是n 阶简单无向图，则其最大度)(G ∆( ).(A) > n (B) ≤ n . (C) < n . (D) ≥ n .9. 下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ ）A ．B ．C ．D ．课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业:10. 设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 二、填空题(每空3分，共30分)1．设A={1，2}，B={2，3}，则A-B=_______， A ⊕B=________，2．设A={2,3 }，R ⊆A ×A ，R={(2,3)， (2,2)}，则R 的自反闭包r(R)=__________,对称闭包s(R)=__________。
大学离散数学期末考试题库和答案
大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。
离散数学期末考试及答案
沈阳师范大学离散考试预测题一、 选择题（共10题，每题3分，共30分） 1、下列语句为命题的是（ ）. A ．勿踏草地;。
B ．你去图书馆吗？；C ．月球上有水；D ．本命题为假。
2．下列推理中，（ ）是错误的.A. 如果x 是有理数，则它为整数。
1/2是有理数。
所以1/2是整数.B. 若周末气温超过30度，小红就去游泳。
小红周末没去游泳。
所以周末气温没超过30度。
C. 下午小明或者去看电影，或者去打篮球。
下午小明没去打篮球.因此下午小明去看电影了.D. 若a 能被4整除,则a 能被2整除。
a 能被2整除。
因此a 能被4整除. 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∀∨∃中的x （ )。
A ．只是约束变元 B ．只是自由变元C ．既非约束变元又非自由变元D ．既是约束变元又是自由变元4。
下列关系中，（ ）不是等价关系。
A. 非空集合的幂集的元素间包含关系; B. 集合之间的等势关系； C. 公式之间的等值关系; D. 图之间的同构关系。
5。
下面等值式中，（ ）是不正确的。
A. )()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇔∧∀ B. )()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇔∨∃ C. B x xA B x A x →∃⇔→∃)())(( D. )())((x xB A x B A x ∀→⇔→∀6．下列关于集合的势的叙述中,（ )是错误的。
A 。
实数集比自然数集优势;B. 任一无限集合都存在与自己等势的真子集;C. 集合之间的优势关系是偏序关系; D 。
有理数集比整数集优势.7．设A ，B,C 是集合,F 是关系，A D B A G ⊆→,:，则下列式子中不正确的是( ）.A ．B B A B A =⋃⇔=-φ B 。
D D G G ⊇-))((1 C. ][][][B F A F B A F ⋂=⋂ D 。
离散数学-期末复习题及答案
离散数学-期末复习题及答案课程名称:《离散数学》一、单项选择题1、 (D)。
下列句子是命题的为。
A 、这朵花多好看呀！B 、明天下午有会吗？C 、5y x >+D 、地球外的星球上也有人。
2、 (A)。
李平不是不聪明，而是不用功。
p:李平聪明q:李平用功。
符号化为。
A 、 q )p (??∧ B 、q p ??∧ C 、q )p (∧?? D 、q )p (?∨ 3、 (A)。
与)q p (∨?命题公式等值的是。
A 、q p ??∧ B 、q p ??∨ C 、q p ∧ D 、q)(p ∧?4、 (D)。
含有3个命题变项的简单和取式中一定可形成种不同的极小项。
A 、2 B 、4 C 、6 D 、85、 (C)。
q )q p (∧→?此公式的类型为。
A 、重言式B 、永真式C 、矛盾式D 、可满足式 6、 (C)。
q )q )q p ((→∧→此公式的类型为。
A 、矛盾式B 、可满足式C 、重言式D 、永假式7、 (A)。
设A 是含有3个命题变项的公式,若它的主析取范式中含有8个极小项,则它是。
A 、重言式B 、矛盾式C 、可满足式D 、永假式8、 (B)。
只有天下大雨,他才乘公共汽车上班.p:天下大雨q:他乘车上班,符号化为。
A 、q p → B 、p q → C 、q p →?D 、p q →?9、 (B)。
不经一事,不长一智p:经一事q:长一智,符号化为。
A 、p q →B 、q p ??→C 、p q ??→ D 、q p → 10、 (B)。
R Q P →∧?)(成真赋值为。
A 、 000,001,110B 、 001,011,101,110,111C 、全体赋值D 、无11、 (B)。
公式Q P→的主析取范式为)3,1,0(∑，则公式的主合取范式为。
A 、)2(TB 、)2(∏C 、)3,1,0(∏D 、)3,2,1,0(∏12、 (A)。
R Q P →∧?成假赋值为。
A 、 100，B 、 001,011,101,110,111C 、全体赋值D 、无13、 (B)。
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。
A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。
A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。
A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。
2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。
3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。
三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。
2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。
3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。
四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。
2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。
3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。
参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。
- ∩：交，表示集合的交集操作。
- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。
- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。
- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。
2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。
离散数学期末考试题(附答案和含解析1)
一、填空2．A ，B,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 （B ⊕C ）—A4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 . 6．设A=｛1，2,3,4｝,A 上关系图如下，则 R^2= {（1,1），(1，3),（2,2）,(2,4）} 。
//备注:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7．设A=｛a,b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= {（a ，b)，(a ，c ）, (a ，d), （b,d ）， (c,d ）} U ｛(a ，a),（b,b)(c,c ）(d ，d ）} .//备注:偏序满足自反性,反对称性，传递性8．图的补图为 。
//补图：给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图。
自补图：一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A=｛a ，b ，c ，d ｝ ，A 上二元运算如下：* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统〈A,＊〉的幺元是 a ，有逆元的元素为 a ，b,c,d ，它们的逆元分别为 a ，b ，c,d 。
//备注：二元运算为x*y=max{x,y ｝,x ，y ∈A 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序)二、选择题1、下列是真命题的有（ C 、D ）A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ．}},{{ΦΦ∈Φ; D ．}}{{}{Φ∈Φ.2、下列集合中相等的有( B 、C ）A CA ．{4,3}Φ⋃;B ．{Φ，3，4}；C ．｛4，Φ，3，3｝；D ． {3，4｝。
《离散数学》期末练习题考试卷和答案
a , b, c , d , e, f , g，那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g ， A 上有一个划分
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
26. 一个（
）称为布尔代数。
27．P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28．设集合 A a , b , c , d ， R 是 A 上的二元关系，且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c ， 则 R 的传递闭包 t R 。
C． x x是正整数, x 5
D． x x是有理数, x 5
。
6．下面有关集合之间的包含和属于关系的说法，正确的是 Ⅰ． Ⅲ．
Ⅱ． , ,
Ⅳ．
a, b a, b, a, b
B．Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1．设 A 为非空集合，且 A n ，则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时， P Q 的真值为 1。 ， A 上不同的映射的个数
2．设 P 、 Q 为两个命题，当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号，使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时， K n n 3 必为欧拉图。
(完整word版)离散数学期末考试试题及答案
离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
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离散数学期末练习题 (带答案)1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。
2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。
把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。
检验一下主要内容的掌握情况。
3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做,检验一下第一遍与第二遍复习情况,要认真理解,注意做题思路与方法。
离散数学综合练习题一、选择题1．下列句子中,（）是命题。
A．2是常数。
B．这朵花多好看呀！C．请把门关上！D．下午有会吗？2．令p: 今天下雪了,q:路滑,r:他迟到了。
则命题“下雪路滑,他迟到了”可符号化为（）。
A. p q r∨→∧→ B. p q rC. p q r∨↔∧∧ D. p q r3．令:p今天下雪了,:q路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为（）。
A.p q∧∧⌝ B.p qC.p q→⌝∨⌝ D. p q4．设()Q x:x会飞,命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。
P x:x是鸟,()A. ()(()())Q x⌝∀∧())⌝∀→ B. ()(()x P x Q xx P xC. ()(()())⌝∃∧())Q x⌝∃→ D. ()(()x P xx P x Q x5.设()f x:x的绝对值,(,)L x y：x大于等于y；命题“所有整数的绝对值大于等于P x:x是整数,()0”可符号化为（）。
A. (()((),0))∀→x P x L f xx P x L f x∀∧B. (()((),0))C. ()((),0)xP x L f x∀→xP x L f x∀∧ D. ()((),0)6.设()G x:x犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。
F x:x是人,()A．(()())⌝∃→⌝x F x G x∀∧B．(()())x F x G xC．(()())x F x G xx F x G x⌝∃∧⌝⌝∃∧D．(()())7.下列命题公式不是永真式的是（）。
A. ()→→p q pp q p→→ B. ()C. ()p q p→∨⌝∨→ D. ()p q p8．设()Q x:x为实数。
命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）R x:x为有理数；()A．()(()())x R x Q x∀∧x R x Q x∃∧B．()(()())C．()(()())x R x Q x∃→x R x Q x D．(()())∀→9.设个体域{,}=,与公式()D a b∀等价的命题公式是( )xA xA．()()→A a A bA a A b∧B．()()C ．()()A a A b ∨D ．()()A b A a →10.下列等价式不正确的是（ ）。
A ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀B ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀C ．(()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃D ．(())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧11. 设个体域{,}D a b =,与公式()xA x ∃等价的命题公式是( )A ．()()A a A b ∧B ．()()A a A b →C ．()()A a A b ∨D ．()()A b A a → 12.设X ={,{},{,}}a a ∅∅,则下列陈述正确的是（ ）。
A.a X ∈B.{,}a X ∅⊆ C .{{,}}a X ∅⊆D.{}X ∅∈13.有向图D 是连通图,当且仅当（ ）。
A. 图D 中至少有一条通路B. 图D 中有通过每个顶点至少一次的通路C. 图D 的连通分支数为一D . 图D 中有通过每个顶点至少一次的回路 14.设A={a,b,c},则下列是集合A 的划分的是( ) A.{{,},{}}b c c B . {{},{,}}a b c C.{{,},{,}}a b a cD. {{,},}a b c 15.下列谓词公式中是前束范式的是（ ）。
A ．()()()xF x x G x ∀∧⌝∃B ．()()xF x yG y ∀∨∀C ．(()(,))x P x yQ x y ∀→∃D ．(()(,))x y P x Q x y ∀∃→16.设12{|()0},{|()0}M x f x N x f x ====,则方程12()()0f x f x ⋅=的解为（ ）。
A ．M∩NB ．M ∪ NC ．M ⊕N C ．M-N17.设,G A =<*>是群,则下列陈述不正确的是（ ）。
A. 11()a a --=B. n m n m a a a += C . 111()ab a b ---= D. 11()n n a ba a b a --= 18.在整数集合Z 上,下列定义的运算满足结合律的是（ ）。
A. 1a b b *=+B. 1a b a *=-C. 1a b ab *=-D . 1a b a b *=++19. 设简单图G 所有结点的度数之和为50,则G 的边数为（ ）。
( ) A. 50 B . 25 C. 10 D. 520.设简单无向图G 是一个有5个顶点的4－正则图,则G 有（ ）条边。
A. 4B. 5C . 10D. 2021.设集合{1,2,3,4}A =,A 上的等价关系{1,1,3,2,2,3,R =<><><>4,4}A I <>U ,则对应于R 的划分是（ ）。
A . {{1},{2,3},{4}} B. {{1,3},{2,4}} C. {{1,3},{2},{4}}D. {{1},{2},{3},{4}}22.设集合{1,2,3,4}A =,A 上的等价关系{1,3,3,1,2,4,R =<><><>4,2}A I <>U ,则对应于R 的划分是（ ）。
A. {{1},{2,3},{4}}B . {{1,3},{2,4}}C. {{1,3},{2},{4}}D. {{1},{2},{3},{4}}23.设,G A =<*>是群,则下列陈述不正确的是（ ）。
A. 11()a a --= B . 111()ab a b ---= C. n m n m a a a +=D. 11()n n a ba a b a --=24.{1,2,,10}A =L ,下列定义的运算关于集合A 是不封闭的是（ ）。
A. max{,}x y x y *=,即,x y 的较大数 B. min{,}x y x y *=,即,x y 的较小数C. gcd{,}x y x y *=,即,x y 的最大公约数 D . {,}x y lcm x y *=,即,x y 的最小公倍数25. 设{1,2,3},{,,,},{1,,2,,3,}X Y a b c d f a b c ===<><><>,则f 是( )。
A ．从X 到Y 的双射B ．从X 到Y 的满射,但不是单射C ．从X 到Y 的单射,但不是满射D ．从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的映射26.设简单无向图G 是一个有6个顶点的5－正则图,则G 有( )条边。
A. 5B. 6C . 15D. 3027.图G 如下图所示,以下说法正确的是( )。
A ．a 是割点B ．{b,c }是点割集C ．{b,d }是点割集D ．{c }是割点 28.格L 是分配格的充要条件是L 不含与下面哪一个选项同构的子格（ ）。
A ．链B ．钻石格C ．五角格D . 五角格与钻石格29.下列图是欧拉图的是（ D ）。
d30.给定一个有n 个结点的无向树,下列陈述不正确的是（ ）。
A ．所有结点的度数≥2B ．无回路但若增加一条新边就会变成回路C ．连通且1e v =-,其中e 是边数,v 是结点数D ．无回路的连通图31. 设A 有5个元素,则其幂集()P A 的元素总个数为（ ）。
A . 32 B.25 C. 50D. 532．若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是（ ）。
A. (1,2,2,3,4,5) B. (1,2,3,4,5,5) C . (1,1,1,2,3) D. (2,3,3,4,5,6)33. 设{,{},{,{}}}A a a a a =则其幂集()P A 的元素总个数为（ ）。
A. 3 B. 4 C . 8D. 1634. 在实数集合R 上,下列定义的运算中不可结合的是（ ）。
A. 2a b a b ab *=++ B. a b a b *=+ C. a b a b ab *=++ D . a b a b *=- 35. 无向图G 是欧拉图,当且仅当（ ）。
A. G 的所有结点的度数全为偶数B. G 中所有结点的度数全为奇数C. G 连通且所有结点度数全为奇数 D . G 连通且所有结点度数全为偶数 36.下列不一定．．．是树的是（ ） A. 无回路的连通图DB . 有n 个结点,n -1条边的连通图 C. 每对结点之间都有通路的图 D. 连通但删去一条边则不连通的图37. 设简单图G 所有结点的度数之和为48,则G 的边数为 ( ) A. 48 B . 24 C. 16 D. 1238．下面既是哈密顿图又是欧拉图的图形是（ B ）。
39.下列必为欧拉图的是（ ） A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图 D .无奇数度结点的连通图40.二部图 3,3K 是（ ）。
A.欧拉图 B . 哈密顿图 C.平面图D. 完全图41．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ C ）。
A. B.C. D.42.设简单无向图G 是一个有6个顶点的3－正则图,则G 有( )条边。
A. 3 B. 6 C . 9D. 1843．下列式子为矛盾式的是（ ）。
A ．()p p q ∨∧B ．p p ∨⌝C ．p p ∧⌝D ． ()p q p q ⌝∨⇔⌝∧⌝44.设集合{,,}A a b c =,A 上的关系{,,,,,}R a a a c c a =<><><>,则R 是（ ） A ．自反的 B ．对称的 C ．传递的 D ．反对称的 45．设12,R R 是集合{,,,}A a b c d =上的两个关系,其中1{,,,,R a a b b =<><>,,,}b c d d <><>,2{,,,,,,,,,}R a a b b c b b c d d =<><><><><>,则2R 是1R 的（ ）闭包。