差分方程的求解

差分方程的求解

差分方程求解方法有两种： (1)基于解析方法的Z变换法 (2)基于计算机求解的迭代法 用Z变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方 程解的数学解析式。
(1)对差分方程进行Z变换； (2)用Z变换的平移定理将时域差分方程转化为Z域差分方程，代入 初始条件并求解； (3)将Z变换写成有理多项式的形式，再求Z反变换，得到差分方程 的解。
三、有零阶保持器的开环脉冲传递函数 Ts 1 e 零阶保持器的传递函数为Gh(s) = s
1 e Ts s
G(s)
带有零阶保持器的控制系统方框图
采样后经零阶保持器相当于串联环节之间无采样开关的情况
1 e Ts G ( z ) Z [Gh ( s ) G ( s )] Z [ G ( s )] s 1 1 Z [ G ( s )] Z [ G ( s ) e Ts ] s s 1 1 Z [ G ( s )] z 1 Z [ G ( s )] s s 1 z 1 G(s) 1 (1 z ) Z [ G ( s )] Z[ ] s z s 计算机控制技术课程讲义
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4.5.4 采样系统的闭环脉冲传递函数
Y * ( z)
R( z ) E( z)
E * ( z)

B(z)
T
H ( z)
G( z)
Y ( z)
误差为： E (z) R( z ) B( z )
Y ( z ) G( z ) E ( z )
反馈为：B( z ) GH ( z ) E ( z )
两个环节中间无采样开关时
a z (1 e aT ) G ( z ) Z [G1 ( s )G2 ( s )] Z s ( s a ) ( z 1)( z e aT )
G1 ( z )G2 ( z ) G1G2 ( z )
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单输入单输出离散系统方框图 r(k) R(z) y(k) Y(z)
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G(z)
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4.5.2 脉冲传递函数与差分方程
差分方程和脉冲函数是对系统特性的不同的数学描述， 虽然形式不同，但本质一样，可互相转换 一、离散系统的脉冲传递函数： 一个线性离散系统的差分方程通式为： yk a1 yk 1 a2 yk 2 ... an yk n
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做Z反变换，由于 Y ( z) 1 1 1 2 z z 3z 2 z 1 z 2 z z 则Y ( z ) z 1 z 2 查Z变换表可得 y (k T) Z 1[Y ( z )] (1) k (2) k , k 0,1,2,...
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10 例：已知采样系统的连续传递函数为： G ( s) s( s 10)
试求该系统的脉冲传递函数G(z) 解： 由已知条件可得：
g ( t ) L-1[ 10 1 1 ] L1[ ] 1( t ) e 10t s(s 10 ) s s 10
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若已知离散系统的脉冲传递函数，同样也可得到相应的 差分方程，将上式交叉相乘，则得
(1 a1 z 1 ... an z n )Y ( z ) (b0 b1 z 1 ... bm z m ) R( z )
再对函数Y(z)和R(z)进行Z反变换，得到各自的离散形式 y(kT)和r(kT)，而z的负幂表示延迟因子，因此可得到相 应的n阶差分方程。
等价离散系统
R(z)
G(Z)
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Y(z)
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如果已知采样系统的连续传递函数G(s),并且当其输入端加 入虚拟开关变为离散系统时，采样系统的脉冲传递函数求 解步骤为： 1. 对连续传递函数G(s)进行拉氏变换，求出脉冲响应函数 g(t) = L-1[G(s)] 2. 求出g(t)的采样函数g*(t)
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4.5 脉冲传递函数
4.5.1 基本概念
脉冲传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出采 样信号的Z变换Y(z)与输入采样信号的Z变换R(z)之比，称为该 系统的脉冲传递函数或Z传递函数，记为G(z), 即
Y ( z ) 输出脉冲序列的 Z 变换 G( z) R( z ) 输入脉冲序列的 Z 变换
T
Y (s)
D( z ) G1 ( z ) R( z ) Y ( z ) G2 ( z ) D( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
Y ( z) G( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
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脉冲传递函数等于两个环 节的脉冲传递函数之积。
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用Z变换法求解差分方程的步骤为：



例：用Z变换求解差分方程：
y (k 2) 3 y (k 1) 2 y (k ) 0 初始条件为：y (0) 0, y (1) 1
解：
方程两边做Z变换得： Z [ y (k 2) 3 y (k 1) 2 y (k )] 0 由线性定理有 Z [ y (k 2)] Z [3 y (k 1)] Z [2 y (k )] 0 由超前定理可得 [ z 2Y ( z ) z 2 y (0) zy (1)] 3[ zY ( z ) zy (0)] 2Y ( z ) 0 代入初始条件得 (z 2 3z 2) Y (z) z z 所以Y ( z ) 2 z 3z 2
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二、连续系统的脉冲传递函数

所谓连续系统的脉冲传递函数是指连续系统的输入与输 出采样函数Z变换之比，即： 在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假 想采样，采样周期与输入端采样开关的周期T相同。
G(z)
r(t) 实际采样系统 T
r*(t) G(s)
T
y*(t) y(t)
但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不 一定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定
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二、离散系统串联环节 1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z ) G2 ( z )
Y * ( s)
R(s)
T
R* ( s)
G1(s)
D( s)
D* ( s)
G2(s)
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2、串联各环节之间无采样器的情况
G( z)
Y * ( s)
R(s)
R* ( s)
T
G1(s)
D( s)
G2(s)
Y (s)
C ( z) G( z ) Z G1 ( s)G2 ( s) G1G2 ( z ) R( z )
没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传 递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。
k 0
则g * (t ) [1( k T ) e 10t ]z k 方法一： G ( z ) Z [ g * (t )] 1( k T) z
k 0 k
e 10t z k
k 0
z z z (1 e 10T ) 10T z 1 z e ( z 1)( z e 10T ) 方法二： G(s) 1 1 s s 10

b0 rk b1rk 1 b2 rk 2 ... bm rk m ( y : 输出，r : 输入)
对上式两边作Z变换，并利用延迟定理，有：
Y ( z ) b0 z m b1 z m 1 ... bm G( z) n , m n n 1 R( z ) z a1 z ... an 等效为 Y ( z ) b0 b1 z 1 ... bm z m G( z) R( z ) 1 a1 z 1 ... an z n
Y ( z) G( z ) R( z ) 1 G ( z ) E( z) 1 R( z ) 1 G ( z )
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例：已知采样控制系统如下图，求计算系统的闭环脉冲传递 函数
r(t) + —
10 s ( s 1)
Y(z)
y(t)
解： 系统开环脉冲传递函数为：
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例设
1 a G1 ( s) , G2 ( s) s sa
两个环节串联，分别求出中间有采样开关和无采样开关时系 统的开环脉冲传递函数。 解： 两个环节中间有采样开关时
z az G( z ) G1 ( z )G2 ( z ) z 1 z e aT
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10T 1 z z ( 1 e ) 直接查表得：G ( z) 计算机控制技术课程讲义 z 1 z e 10T ( z 1)( z e 10T )
4.5.3 开环脉冲传递函数

一、连续系统串联环节 方框图
R(s) Y(s)
G1(s)
G2(s)
Y ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s )
g * (t ) g (k T) (t k T)
k 0

3. 对g*(t)进行Z变换，求得该系统的脉冲传递函数G(z)
G ( z ) Z [ g * (t )] g (kT) z k
k 0

脉冲传递函数还可由G(s)经部分分式法，直接查找Z变换 和拉普拉斯变换对应表求得。
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Y ( z) G( z) R( z ) 1 GH ( z )
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闭环脉冲传递函数
Y ( z) G( z) R( z ) 1 GH ( z ) E( z) 1 R( z ) 1 GH ( z )
误差脉冲传递函数
对于单位反馈系统
闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数
计Байду номын сангаас机控制技术课程讲义
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4.6 方框图及其分析
脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件 —— 采样开关
4.6.1 采样开关位置与脉冲传递函数的关系
1、连续输入，连续输出 2、连续输入，离散输出 3、离散输入，离散输出 4、离散输入，连续输出
例：方框图分析
例1、例2、
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