坐标系与参数方程标准化讲义
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
第2部分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程 课件(共40张PPT)
消去参数 t 得 x2＋y2＝1，
故曲线 C1 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆．
x＝cos4t， (2)当 k＝4 时，C1：y＝sin4t， 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方
程为 x＋ y＝1.C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0.
由4xx－＋16yy＝＋13，＝0，
解得x＝14， y＝14.
(2) 经 过 点 P(x0 ， y0) 且 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上的两点，其对应参
数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 对应的参数为 t0，则以
下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋2 t2；②|PM|＝|t0|＝t1＋2 t2；③|AB|
1．[以几何图形为载体] 在极坐标系下，方程 ρ＝2sin 2θ 的图形为如图所示的“幸运四叶 草”，又称为玫瑰线．
(1)当玫瑰线的 θ∈0，π2时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线 的交点的极坐标；
(2)求曲线 ρ＝sin2θ＋2 π4上的点 M 与玫瑰线上的点 N 距离的最小值 及取得最小值时的点 M，N 的极坐标．
易得|CC1|＝3－2 2，圆 C1 的半径 r1＝2，圆 C 的半径 r＝ 2， 所以|CC1|＜r1－r，
所以 C 与 C1 没有公共点．
命题规律：以解答题的形式出现，分值 10 分． 通性通法：(1)消去参数的三种常用方法 ①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数； ③根据参数方程本身的结构特点，灵活地选用一些方法从整体上 消去参数．
x′＝2x，
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
《坐标系与参数方程》课件
选修4-4 极坐标系与参数方程一、极坐标系与极坐标1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对___________叫做点M 的极坐标，记为___________.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3、若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4、极坐标与直角坐标的互化：_________________________ , ________________________________________________ ,_______________________5、圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是________________；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程________________； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是______________；6、直线的极坐标方程在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线（ ）在极坐标系中，过点)0a )(b ,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是__________. 在极坐标系中，过点A(a,)b ，且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是________________二、参数方程1、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
7.3坐标系与参数方程PPT课件
考点二 参数方程与普通方程的互化
例 2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数
方
程
为
x＝t＋1， y＝2t
(t
为参数)，曲线
C 的参数方程为
本 讲 栏
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
目 开
并求出它们的公共点的坐标．
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
热点分类突破
专题七 第3讲
M 的轨迹的参数方程为
本
x＝cos α＋cos 2α， y＝sin α＋sin 2α
(α 为参数，0<α<2π)．
讲
栏 目
②M 点到坐标原点的距离
开
关 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0<α<2π)．
当 α＝π，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
∴e＝
ac22＝
3b32－b2 b2＝
23＝
6 3.
热点分类突破
专题七 第3讲
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴为极轴
本 讲
建立极坐标系，曲线
C1
的参数方程为x＝tan1 φ， y＝tan12φ
(φ 为参
栏
目 数)，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线 C1
P、Q
都在曲线
C：xy＝＝22scions
t， t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0<α<2π)，M 为
本 PQ 的中点．
讲 栏
①求 M 的轨迹的参数方程；
参数方程讲义
再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
（ cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ，两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点（， ）与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
（四）参数方程
1 参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数，即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都
系. （1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（2）若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ，求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】（Ⅰ） cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0（II）x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化
，则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简
经典例题分析：例 1. 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t
（
t
为参数）．以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标
坐标系与参数方程讲义
坐标系与参数方程讲义高考目标：（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.1、在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积2、已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为 参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.3、已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上，对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=，M 为PQ 的中点．（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．4、已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
坐标系与参数方程坐标系课件理ppt
03
坐标系与参数方程的应用
在物理学中的应用
1 2
牛顿力学
直角坐标系与自然坐标系用于描述质点运动轨 迹，分析受力关系，求解动力学方程。
电磁学
直角坐标系用于描述电荷分布、电场强度、电 势等物理量，求解电场分布和电流问题。
3
量子力学
直角坐标系与自然坐标系用于描述粒子在有限 高势垒中的束缚态，求解定态薛定谔方程。
在数学中的应用
解析几何
直角坐标系用于描述直线、曲线、平面等几何图 形，研究几何性质和形状。
参数方程
参数方程用于描述复杂函数关系，简化计算和推 导过程。
变分法
直角坐标系用于求解泛函极值问题，应用于最优 化理论、变分法等领域。
04
总结与展望
对坐标系与参数方程的意义进行总结
1
总结了坐标系在数学、物理、工程技术和计算 机图形学等领域的应用。
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xx年xx月xx日
目 录
• 坐标系分类与定义 • 参数方程坐标系 • 坐标系与参数方程的应用 • 总结与展望
01
坐标系分类与定义
直角坐标系
定义
直角坐标系是由三个互相垂直 的坐标轴（x、y、z）组成的 坐标系，每个轴的方向和尺度
都相同。
特点
直角坐标系是最常用的坐标系之 一，特别适用于描述具有规则几 何形状或对称性的物体。
参数方程在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。它能 够方便地表示和解决复杂的几何、运动或物理问题，有助于 简化计算和分析过程。
常见参数方程的应用
平面直角坐标系中的 直线参数方程
直线的参数方程为`x=x0+tcosα, y=y0+tsinα`，其中(x0,y0)为直线上 的一个定点，α为直线的倾斜角。该 参数方程可以方便地表示直线上的点 ，并用于直线的长度、斜率等计算。
坐标系与参数方程PPT教学课件
＝0 得 x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，
化为极坐标为
2，34π.
答案
2，34π
探究提高 解决这类问题一般有两种思路．一是将极 坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
(1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M(b，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0 几个特殊位置的圆的极坐标方程
2 4 x.
又 y＝13 x2＋y2>0，
∴y＝ 42x(x>0)和 y＝－ 42x(x<0)． 答案 (1)(2，53π)
(2)y＝
42x(x>0)和
y＝－
2 4 x(x<0)
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定 要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标 将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范 围．要注意转化的等价性．
的变换是
(D)
A.x′＝12x y′＝3y
x′＝2x B.y′＝13y
x′＝2x C.y′＝3y
x′＝12x D.y′＝13y
2．直线的参数方程为xy＝ ＝－ tsintc4o0s°4－0°1 (t 是参数)，则
直线的倾斜角为
(D )
A．40° B．50° C．140° D．130°
解析
因为xy＝ ＝－tsintc4o0s °4－0°1
坐标系与参数方程 课件
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为
高考数学大配套讲义第十五章 坐标系与参数方程 理
第十五章 坐标系与参数方程第一节坐_标_系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x，λ＞0，y′＝μ·y，μ＞0的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，如此就成立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)． 一样地，不做特殊说明时，咱们以为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x ，y)极坐标(ρ，θ)互化⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2tan θ＝y x x≠0公式4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2rcos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易轻忽判定点所在的象限(即角θ的终边的位置)． 2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易轻忽．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3，那么点P 的直角坐标为________．解析：∵ρ＝2，θ＝－π3.∴x ＝ρcos θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－ 3.答案：(1，－3)2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2 cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x2＋y2－2x －y ＝0. 答案：x2＋y2－2x －y ＝0 1．确信极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特点判定点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，那么∠ABO ＝θ－90°， OB ＝22＝ρsin θ－90°，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，那么极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O(0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22，即极点到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.答案：22对应学生用书P183考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1．(2021·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝3y ，那么在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变成________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝12x ，y′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝13y′.代入y ＝sin x 得y′＝3sin 2x′. 答案：y′＝3sin 2x′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝2y′.①将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y′＝sin(2·12x′＋π4)，即y′＝12sin(x′＋π4)．答案：y′＝12sin(x′＋π4)3．双曲线C ：x2－y264＝1通过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y变换后所得曲线C′的核心坐标为________．解析：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x′，y ＝2y′，代入x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1， 化简得x′29－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，那么核心F1(－5,0)，F2(5,0)为所求． 答案：(－5,0)或(5,0)[备课札记] [类题通法]平面图形的伸缩变换能够用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x，λ>0y′＝μ·y，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆能够变成椭圆，椭圆也能够变成圆．考点二极坐标与直角坐标的互化[典例] (2021·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)． (1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为x216＋y24＝1，设P ，Q 别离为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．[解] (1)曲线C1的方程可化为3(x2＋y2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y2＝23.(2)依题意可设Q(4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)． 故|QC1|＝4cos θ－22＋4sin2θ＝12cos2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－232＋23，|QC1|min ＝263，因此|PQ|min ＝63.[备课札记] [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，研究极坐标系以下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2021·合肥模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x2＋y2＝2y ，即x2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交． 答案：相交考点三极坐标方程及应用[典例] (2021·郑州模拟)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝22.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的一般方程为(x －2)2＋y2＝4， 即x2＋y2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，因此所求弦长为2 2.[备课札记]在本例(1)的条件下，求曲线C 与曲线C1：ρcos θ＝3(ρ≥0,0≤θ<π2)交点的极坐标.解：由曲线C ，C1极坐标方程联立{ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ， ∴cos2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故人点极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6.[类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)成立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2021·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3. 答案：ρcos θ＝3 对应学生用书P184[课堂练通考点]1．(2021·南昌调研)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．解析：圆ρ＝2cos θ可转化为x2－2x ＋y2＝0，直线θ＝π4可转化为y ＝x(x>0)，两个方程联立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，π4)．答案：(2，π4)2．(2021·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标别离为(3，π3)、(4，π6)，那么△AOB(其中O 为极点)的面积为________．解析：由题意知A ，B 的极坐标别离为(3，π3)、(4，π6)，那么△AOB 的面积S △AOB ＝12OA·OB·sin∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.答案：33．(2021·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，那么|CP|＝________.解析：由ρ＝4cos θ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4x ，圆心C(2,0)．点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP|＝2 3.答案：234．在极坐标系中，圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值为________．解析：由题意可得，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4，圆的半径为r ＝2，直线的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，圆心到直线的距离d ＝|0＋3×0－6|2＝3，因此圆上的点到直线的距离的最小值为d －r ＝3－2＝1. 答案：15．(2021·银川调研)已知直线l ：{x ＝－t ，y ＝1＋t (t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos(θ－π4)．(1)试判定直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0. 由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos(θ－π4)，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，因此圆C 的直角坐标方程为x2＋y2＝4x ＋4y ， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8， 故该圆的圆心为C(2,2)，半径r ＝22.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322，显然322<22，因此直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，因此圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722.[课下提升考能]1．(2021·福州质检)求通过极点且圆心的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的圆C 的极坐标方程．解：设圆C 上的任意一点的极坐标P(ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连结PO ，PB ，那么在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π4也可)．从而有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 别离为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，因此M(2,0)．θ＝π2时，ρ＝233，因此N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233.因此点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，33，那么点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π6，因此直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．3．在极坐标系中定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsinθ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标． 解：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，现在AB 最短． 易患|OB|＝22.∴B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，3π4.4．(2021·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为一般方程；(2)假设点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为： ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x2＋y2－4x －4y ＋6＝0.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2s in α(α为参数)，因此x ＋y ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2.5．(2021·苏州二模)已知直线l 的参数方程为{x ＝2－t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0.(1)将直线的参数方程化为一般方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线的距离最小．解：(1)直线l的一般方程为3x＋y－1－23＝0，圆C的一般方程为x2＋y2＋2y＝0.(2)在圆C上任取一点P(cos θ，－1＋sin θ)(θ∈[0,2π))，P到直线l的距离d ＝|3cos θ＋sin θ－2－23|1＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－2－232＝2＋23－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π32，当θ＝π6时，dmin ＝3，现在P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12.6．(2021·高淳模拟)圆O1和圆O2的极坐标方程别离为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求通过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，成立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. 因此x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x ＝0为圆O1的直角坐标方程． 同理x2＋y2＋y ＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＝0，x2＋y2＋y ＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.7．(2021·南京模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程别离为ρ＝－2cos θ，ρcos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1. (1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，因此曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32>1，因此直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，那么{ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎨⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，因此ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．8．(2021·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x2＋y2＝x ＋y ， 即x2＋y2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 那么直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由{ x2＋y2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得{x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.第二节参_数_方_程对应学生用书P1841．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一样地，能够通过消去参数而从参数方程取得一般方程．(2)若是明白变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g(t)，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t确实是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y0＝tan α(x －x0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos αy ＝y0＋tsin α (t 为参数) 圆 x2＋y2＝r2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数) 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数) 1．不明确直线的参数方程中的几何意义致使错误，关于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α.(t为参数)注意：t 是参数，α那么是直线的倾斜角．2．参数方程与一般方程互化时，易轻忽互化前后的等价性． [练一练]1．假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，那么直线的斜率为________．解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t2＋2y ＝t2－1(0≤t≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)解析：化为一般方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段．答案：线段1．化参数方程为一般方程的方式消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为一般方程，消去参数的经常使用方式有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法． 2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方式通过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)．假设A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数别离为t1，t2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t0，那么以下结论在解题中常经常使用到： (1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|. [练一练]1．已知P1，P2是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数别离为t1，t2，那么线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P1P2的中点对应的参数为t1＋t22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P1P2的中点到点P 的距离为|t1＋t2|2.答案：|t1＋t2|22．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)与圆x2＋y2＝4相交于B ，C 两点，那么|BC|的值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ＝2－22t′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t′，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t′＝22t 代入x2＋y2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－22t′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋22t′2＝4，t′2－32t′＋1＝0，∴|BC|＝|t′1－t′2|＝t′1＋t′22－4t′1t′2＝322－4×1＝14.答案：14对应学生用书P185考点一参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两核心间的距离是________．解析：曲线化为一般方程为y218＋x212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：262．(2021·西安质检)假设直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，那么实数m 的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为一般方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，因此圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×－2＋m|5＝1，解得m ＝0或m ＝10. 答案：0或103．(2021·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数，t ∈R)与曲线C1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，那么|AB|＝________. 解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C1：x2＋(y －2)2＝4，曲线C2：x2＋(y －1)2＝1， 画图可得， |AB|＝4cos 30°×12＝3.答案：3[备课札记] [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为一般方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．考点二参数方程的应用[典例] (2021·郑州模拟)已知直线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，曲线C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α转变时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C1的一般方程为y ＝3(x －1)，C2的一般方程为x2＋y2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标别离为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32.(2)依题意，C1的一般方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，那么A 点的坐标为(sin2α，－sin αcos α)，故当α转变时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的一般方程为(x －14)2＋y2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．[备课札记]在本例(1)条件下，若直线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α，(t 为参数)，与直线C2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－as(s 为参数)垂直，求a.解：由(1)知C1的一般方程为y ＝3(x －1)，C2的一般方程为y ＝1－ax ，由两线垂直得－a×3＝－1，故a ＝33.[类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一样是先化为一般方程再依照直线与圆的位置关系来解决问题．2．关于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋at ，y ＝y0＋bt(t 为参数)当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2021·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数别离为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判定M 的轨迹是不是过坐标原点． 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α), 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x2＋y2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．考点三极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2021·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判定直线l 与圆C 的位置关系．[解] (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2.因此直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y2＝1， 因此圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 因此直线l 与圆C 相交．[备课札记] [类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一样方式是别离化为一般方程和直角坐标方程后求解．固然，还要结合题目本身特点，确信选择何种方程． [针对训练](2021·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM|＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)．(2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A(1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．对应学生用书P186[课堂练通考点]1．(2021·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________. 解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，化为一般方程为y2＝x3 ②，①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16. 答案：162．(2021·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________． 解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 答案：ρcos2θ－sin θ＝03．(2021·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：第一消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －222＝1，依照直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫642＝102. 答案：1024．(2021·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin2θ＝cos θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)假设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，求|AB|的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin2θ＝ρcos θ中，得y2＝x ，∴曲线C 的直角坐标方程为：y2＝x.(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y2＝x 整理得，t2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数别离为t1，t2， ∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝－22－4×－4＝32.[课下提升考能]1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的一般方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ， 取得直线l 的一般方程为2x －y －2＝0. 同理取得曲线C 的一般方程为y2＝2x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．2．(2021·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的一般方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2＝4x ；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，得y ＝13(x －5)，即直线l 的一般方程为x －3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2， 那么弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32， 弦长|PQ|＝222－322＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积 S ＝2d·|PQ|＝37.3．在直角坐标系xOy 中，圆C1和C2的参数方程别离是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系． (1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C1的交点为O ，P ，与圆C2的交点为O ，Q ，求|OP|·|OQ|的最大值．解：(1)圆C1和圆C2的一般方程别离是(x －2)2＋y2＝4和x2＋(y －1)2＝1， 因此圆C1和C2的极坐标方程别离是 ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标别离为P(4cos α，α)，Q(2sin α，α)，因此|OP|＝|4cos α|，|OQ|＝|2sin α|.从而|OP|·|OQ|＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．(1)试别离将曲线C1的极坐标方程ρ＝sin θ－cos θ和曲线C2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t －cos t y ＝sin t ＋cos t (t 为参数)化为直角坐标方程和一般方程； (2)假设红蚂蚁和黑蚂蚁别离在曲线C1和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点)．解：(1)由题意可得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＋x －y ＝0， 曲线C2：⎩⎪⎨⎪⎧ sin t ＝x ＋y 2，cos t ＝y －x 2.即x2＋y2＝2.(2)由(1)知曲线C 一、曲线C2均为圆，圆心别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12、(0,0)，半径别离为22、2，那么两圆的圆心距为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22＝2－22， 因此圆C1：x2＋y2＋x －y ＝0与圆C2：x2＋y2＝2内切．因此红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆C2的直径2 2.5．(2021·福州模拟)如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)假设以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴成立平面直角坐标系．已知直线l 的参数方程解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C 上除点O ，B 外的任意一点，连结OM ，BM ，在Rt △OBM 中，|OM|＝|OB|cos ∠BOM ，因此ρ＝2cos θ.能够验证点O(0，π2)，B(2,0)也知足ρ＝2cos θ， 故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程．得直线l 的一般方程为y ＝33(x ＋1)， 即直线l 的一般方程为x －3y ＋1＝0.由ρ＝2cos θ，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y2＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|1×1－3×0＋1|2＝1， 因此直线l 与圆C 相切．6．(2021·辽宁模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知射线l ：θ＝π4与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝t －12(t 为参数)相交于A ，B 两点．(1)写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求线段AB 中点的极坐标．解：(1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y ＝x(x≥0)，那么射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22t ，y ＝22t (t≥0，t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为y ＝(x －2)2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x －22得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴可令A(1,1)，B(4,4)，∴线段AB 中点的直角坐标为(52，52)， ∴线段AB 中点的极坐标为(522，π4)． 7．(2021·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 通过点P(－1，0)，其倾斜角为α.以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，成立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)假设直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；(2)设M(x ，y)为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解：(1)将曲线C 的极坐标方程ρ2－6ρcos θ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x ＋5＝0.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)代入x2＋y2－6x ＋5＝0整理得，t2－8tcos α＋12＝0. ∵直线l 与曲线C 有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0， ∴cos α≥32或cos α≤－32. ∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是0，π6∪5π6，π. (2)曲线C 的方程x2＋y2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y2＝4，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． ∵M(x ，y)为曲线C 上任意一点，∴x ＋y ＝3＋2cos θ＋2sin θ＝3＋22sin(θ＋π4)， ∴x ＋y 的取值范围是[3－22，3＋22]． 8．(2021·昆明模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝acos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a>0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立坐标系．(1)求曲线C 的一般方程；(2)假设点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋2π3)，C(ρ3，θ＋4π3)在曲线C 上，求1|OA|2＋1|OB|2＋1|OC|2的值．解：(1)直线l 的一般方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)．又曲线C 的一般方程为x2a2＋y23＝1，因此a ＝2，故所求曲线C 的一般方程是x24＋y23＝1. (2)因为点A(ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，Bρ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3，ρ2sin(θ＋2π3，Cρ3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋4π3在曲线C 上． 故1|OA|2＋1|OB|2＋1|OC|2＝1ρ21＋1ρ2＋1ρ23＝14cos2θ＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋4π3＋13sin2θ＋sin2θ＋2π3＋sin2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋4π3 ＝141＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋8π32＋131－cos 2θ2＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋8π32＝14×32＋13×32＝78.。
《坐标系与参数方程》讲义.docx
选修4-4极坐标系与参数方程一、极坐标系与极坐标1、极坐标系的概念：在平面内取一个定点o,叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M的极坐标：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为以以极轴Ox为始边，射线0M为终边的ZXOM叫做点M的极角，记为0。
有序数对___________ 叫做点M的极坐标，记为 __________ ・极点0的坐标为(0,0)(& G R)・3、若p<0,则- /9>0,规定点(-Q, 0)与点(Q, 0)关于极点对称,即(-Q, &)与(Q,兀+ &)表示同一点。
女口果规定°>0,03&5 2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(/?,&)表示；同吋，极坐标(°,&)表示的点也是唯一确定的。
4、 _________________________________________________ 极坐标与直角坐标的互化：, ________________________________________________5、圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是___________________在极坐标系中，以C(a,O) (a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程__________________ 在极坐标系中，以C(a,彳)@>0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是 ________________ 6、直线的极坐标方程在极坐标系屮，& = 口(°»0)表示以极点为起点的一条射线( )在极坐标系中，过点A(a,b)(a>0),且垂直于极轴的直线I的极坐标方程是_____________________________________________________________________________ ・在极坐标系中，过点A(a"),且平行于极轴的直线I的极坐标方程是 ____________________ 二、参数方程1、参数方程的概念：在平面直角坐标系屮，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数/X = f(t)，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y) 〔y = g(t),都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数。
标准讲义坐标系与参数方程样本
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选修4-4 坐标系与参数方程一、 基础知识梳理 1、 极坐标系的概念: 在平面内取一个定点Ｏ, 叫做极点; 自极点Ｏ引一条射线Ox , 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系。
2、 点M 的极坐标: 设M 是平面内一点, 极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径, 记为ρ; 以极轴Ox 为始边, 射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角, 记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标, 记为M ),(θρ。
极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ。
3、 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称, 即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示; 同时, 极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4、 极坐标与直角坐标的互化:5、 圆的极坐标方程:在极坐标系中, 以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ;在极坐标系中, 以 )0,a (C (a>0)为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =;在极坐标系中, 以 )2,a (C π(a>0)为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =;6、 在极坐标系中, )0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线;)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线。
在极坐标系中, 过点)0a )(0,a (A >, 且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ.资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
7、 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 而且对于t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t 叫做参变数, 简称参数。
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坐标系与参数方程标准化讲义目录第一讲：极坐标第二讲：参数方程第三讲：高考对接备注：参考答案第一节 极坐标1．将直角坐标转化为极坐标．(3(5)(3(02)(02)(50)(05)---，，，，，，，，，，，，，A B C D P Q M N ．2．将极坐标转化为直角坐标．7537235,312(3)46436246⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，A B C D P Q M N ππππππππ．3．将下列直角坐标方程转化为极坐标方程．2222221234(1)5((16==+==+=-+=+-=，，，，，，x y x y y x y x y x y ，y 2 = 4x ，2214+=x y ．4．将极坐标方程转化为直角坐标方程．1cos 20sin cos 434⎛⎫⎛⎫==-===+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，ρθρθρθρθρθπππ．5．在极坐标系中，极坐标为26⎛⎫ ⎪⎝⎭，π的点到极点和极轴的距离分别为___________．6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ - 4sin θ) = 1，则C 与极轴的交点到极点的距离是___________． 7．在极坐标系中，点26⎛⎫ ⎪⎝⎭，π到直线ρsin 16⎛⎫-= ⎪⎝⎭θπ的距离为_________．8．在极坐标系中，点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，π到直线ρ(cos θθ) = 6的距离为_________．9．已知直线l 的极坐标方程为2sin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π，点A 的极坐标为74A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π，求点A 到直线l 的距离．10．在极坐标系中，圆ρ = 8sin θ上的点到直线3θ=π（ρ∈R ）距离的最大值是_________． 11．已知圆的极坐标方程为ρ = 4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为43⎛⎫ ⎪⎝⎭，π，则| CP | =___________．12．在极坐标系中，点23⎛⎫- ⎪⎝⎭，π到圆ρ = -2cos θ的圆心的距离为___________．13．在极坐标系中，O 是极点，设点16A ⎛⎫⎪⎝⎭，π，22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π，则△OAB 的面积是___________．14．在极坐标系中，已知两点23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π和56⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q π，则PQ 的中点M 的极坐标为__________．15．已知M 点的极坐标为26⎛⎫-- ⎪⎝⎭，π，则M 点关于直线2θ=π的对称点坐标为___________．16．在极坐标系(ρ，θ) ρ > 0，0≤θ≤2π中，曲线ρcos θ = -1与曲线ρ = 2sin θ的交点的极坐标为______． 17．在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ = cos θ和ρsin θ = 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为___________．18．在极坐标系中，直线ρcos θ - sin θ) = 2与圆ρ = 4sin θ的交点的极坐标为___________．19．在极坐标系中，已知圆O ：ρ = cos θ + sin θ 和直线l ：ρsin 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭θπ．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0)θ∈，π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．20．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为22cos 24ρρθ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π． （1）将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．21．在极坐标系中，直线sin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π被圆ρ = 4截得的弦长为_________．22．在极坐标系中，直线ρ = cos θ sin θ - 1 = 0与圆ρ = 2cos θ交于A ，B 两点，则| AB |=_______． 23．（2018·江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．24．在极坐标系中，直线ρ(sin θ - cos θ) = a 与曲线ρ = 2cos θ - 4sin θ相交于A ，B 点，若||=AB a 的值为_________．25在O 为极点的极坐标系中，圆ρ = 4sin θ和直线ρsin θ = a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为_________．26．在极坐标系中，点A 在圆ρ2 - 2ρcos θ - 4ρsin θ + 4 = 0上，点P 的坐标为(1，0)，则| AP |的最小值为_________．27．在极坐标系中，已知点P 为圆07sin 22=-+θρρ上任意一点．求点P 到直线07sin cos =-+θρθρ的距离的最小值与最大值．28.在极坐标系中，P 是曲线θρsin 12=上的动点，Q 是曲线)6cos(12πθρ-=上的动点，试求|PQ |的最大值．29.在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .第二节 参数方程1．点P (3，b )在曲线121x y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩（t 为参数）上，则b 的值为（ ）A ．-5B ．3C ．5或-3D ．-5或32．曲线2143x t y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数）与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(1，4)B ．25016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(1，-3)D ．25016⎛⎫± ⎪⎝⎭，3．将参数方程转化为普通方程．（1）4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）；（3）32cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）；（4）x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（5）5cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（6）3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（7）1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（8）21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（9）1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）；（10）51x ty =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．(11)．参数方程135x q y q =+⎧⎨=+⎩（q 为参数）化为普通方程是（ ）A ．5x - 3y ＝1B ．5x - y ＝1C ．5x - y ＝2D ．x - 5y ＝2(12)．参数方程cos cos 21x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线是（ ）A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分(11)．将331x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），化成普通方程为_______________．(12)．将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），化成普通方程为______________．(13)．已知曲线C 1：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），C 2：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．(14)．若直线l 1：122x t y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线l 2：12x sy s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k =_______．(15)．若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =__________．(16).已知曲线C 的参数方程为13⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩x y t t （t 为参数，t > 0），求曲线C 的普通方程．4．将普通方程化为参数方程． （1）将22194x y +=化为参数方程；（2）已知圆方程222640x y x y ++++=，将它化为参数方程．（3）写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程5. 参数方程与简单的解析几何（1）圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．（2）将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，求实数a 的取值范围． （3）点(x ，y )是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是__________．（4）若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是()A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定（5）已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心(6)已知A ，B 分别是椭圆22=1369x y +的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹的参数方程是__________．6. 参数方程求最值（1）．在平面直角坐标系xOy 中，设()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）．设P 是椭圆2x 2 + 3y 2 = 12上的一个动点，求x + 2y 的最大值和最小值．（3）．已知实数x ，y 满足22(1)(2)25x y -+-=，求222x y x y ++，的最值．（4）.求椭圆22194x y +=上一点P 与定点(1，0)之间距离的最小值．（5）点M (x ，y )在椭圆22=1124x y +上，则点M 到直线x + y - 4 = 0的距离的最大值为__________，此时点M的坐标是__________．7. 参数方程t 的应用（1）若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t(t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150° （2）已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离（2）M 点的坐标（3）线段AB 的长AB（3）(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．（4）已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 4=，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．（5）求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长。