全国初三初中数学竞赛测试带答案解析
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
全国初三初中数学竞赛测试带答案解析
全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知m 、n 是两个连续正整数，m<n ，且a=mn ，设x=，y=.下列说法正确的是( ).A ．x 为奇数，y 为偶数B ．x 为偶数，y 为奇数C ．x 、y 都为奇数D ．x 、y 都为偶数2.设a 、b 、c 和S 分别为三角形的三边长和面积，关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0的判别式为Δ.则Δ与S 的大小关系为( ).A ．Δ=16S 2B ．Δ=-16S 2C ．Δ=16SD ．Δ=-16S3..设a 为的小数部分，b 为的小数部分.则的值为( ). A ．+-1B ．-+1C ．--1D ．++14.如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ACD 与△BCD 的周长相等，△ABE 与△CBE 的周长相等，记△ABC 的面积为S.若∠ACB=90°，则AD·CE 与S 的大小关系为( ).A 、S=AD·CEB 、S>AD·CEC 、S<AD·CED 、无法确定5.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ).A ．7B ．8C ．9D ．106.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ).A.R=5，r="2"B.R=4，r=3/2C.R=4，r="2"D.R=5，r=3/2二、填空题1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则的值为 .2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 .3.AD、BE、CF为△ABC的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF，则∠BAC的度数为 .4.下列四个命题:①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形;④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.其中，正确命题的序号是 .三、解答题1.(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值.2.(25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F.求使不等式S△BGF ·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.3.(25分)已知(x+)(y+)=1.求证:x+y=0.全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知m、n是两个连续正整数，m<n，且a=mn，设x=，y=.下列说法正确的是( ).A．x为奇数，y为偶数B．x为偶数，y为奇数C．x、y都为奇数D．x、y都为偶数【答案】C【解析】考查知识点：两个连续正整数之间的关系，平方根的意义，奇数和偶数的概念。
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
初三数学竞赛试题及答案解析
（第7题图）BCD GFE（第5题图） 全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。
刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）A 、36B 、37C 、55D 、902、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ）A 、5-B 、5C 、9-D 、9 3、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。
若斜边上的高为h ，则（ ）A 、1 hB 、1=hC 、21 hD 、2 h 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）A 、2004B 、2005C 、2006D 、20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ．7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
全国初中数学竞赛试题和答案解析
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正OAB CED整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
初三竞赛数学试题及答案
初三竞赛数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，则该三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 已知a、b、c是实数，且a+b+c=0，那么下列式子中一定成立的是（）A. ab+bc+ca=0B. (a+b)(b+c)(c+a)=0C. a²+b²+c²=ab+bc+caD. a³+b³+c³=3abc3. 一个等腰三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的周长是（）A. 16B. 20C. 22D. 244. 已知x²-3x+1=0，那么x³-5x+1的值为（）A. 0B. 1C. -4D. -85. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是（）A. 4B. -4C. 0D. 26. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其图像开口向上，且与x轴有两个交点，那么下列说法正确的是（）A. a>0，b²-4ac>0B. a<0，b²-4ac>0C. a>0，b²-4ac<0D. a<0，b²-4ac<07. 一个圆的半径为r，那么这个圆的面积是（）A. πrB. πr²C. 2πrD. 2πr²8. 已知一个等差数列的首项为a，公差为d，那么这个数列的第n项是（）A. a+(n-1)dB. a-(n-1)dC. a+ndD. a-nd9. 已知一个等比数列的首项为a，公比为q，那么这个数列的第n项是（）A. aq^(n-1)B. aq^nC. a/q^(n-1)D. a/q^n10. 已知一个函数y=f(x)，那么下列说法正确的是（）A. f(a)=f(b) 则a=bB. f(a)≠f(b) 则a≠bC. f(a)=f(b) 则a≠bD. f(a)≠f(b) 则a=b二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是_________。
初三数学竞赛试题及参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625
全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 7的平方根是______。
2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。
3. 一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的周长是______厘米。
4. 下列哪个数是立方数？A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x 5 = 11。
2. 计算下列表达式的值：3(2 + 4) 7。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，求这个长方形的面积。
四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明家有一块长方形的地，长是12米，宽是8米。
小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。
请问每个正方形的边长是多少米？2. 小红有一笔钱，她将其中的1/3用于购买书，剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。
她剩下的钱是100元。
请问小红最初有多少钱？五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，如果a < b，那么a² < b²。
2. 证明：等腰三角形的底角相等。
六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。
2. 小红最初有300元。
全国初中数学联合竞赛初三年级试题详解及评分标准
全国初中数学联合竞赛初三年级试题第二试一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．答案：8 解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， …………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ………10分若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； … 15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ………20分 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.……5分 又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，……….10分所以△ECD ∽△DAF ， …15分 所以ED CD AB DF AF AF==. ………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠…………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P . 取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质BP .…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 注：八上基础+强化课讲过该题因式分解的方法即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① ……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+；如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分注：这10分考查学生分类讨论的能力，分类讨论在七上的强化（培优）课上讲过其方法解题步骤和相应题型若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z x y y z z x =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .注：最后5分的步骤是反正法，这个知识点在七下强化（培优）课上讲过该反证法解题的步骤及适用的题型。
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。
五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
全国初三初中数学竞赛测试带答案解析
全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.分数，，，，中最小的一个是。
2.如右图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为。
3.将105表示成不少于两个连续的(非零)自然数之和，最多有种表达方式。
4.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数A=135********…20072009，从A中截出能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小数是，最大数是。
二、解答题1.如果一个自然数n能被不超过的所有的非0自然数整除，我们称自然数n为“牛数”。
请写出所有的牛数。
2.循环小数0.xyz可以表达成0.xyz=。
已知算式´0.c5d=中a，b，c，d，e，f都是数字，且c<4。
求出所有满足条件的两位数。
3.下列m个整数中恰有69个不同的整数，问自然数m的最大值和最小值分别是多少？[]，[]，[]，…，[]。
4.已知四边形ABCD中AD//BC，AD：BC=1：2，SD AOF ：SD DOE=1：3，SD BEF="24" cm2，求r AOF的面积。
全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、填空题1.分数，，，，中最小的一个是。
【答案】【解析】略2.如右图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为。
【答案】24【解析】S(ADP)+S（APM）+S(MBC)="0.5" S(ABCD)=S(AND)两边各减去公共部分即 APD QNR 即得到S（APM）+S(BMQN)+S(RNC)=S(DQPR)故S（BMQN）=243.将105表示成不少于两个连续的(非零)自然数之和，最多有种表达方式。
【答案】7【解析】首先，分为2类.一·数字个数为奇数.105=3×5×7 经验证数字个数可为 3 5 7 9 即 34 35 36； 19 20 21 22 23 ； 12 13 14 15 16 17 18 ；11 12 13 14 15 16 17 18 19二·数字个数为偶数.个数为二时，52 53；个数为 4 8 ……是不可能的，因为和不可能是奇数；根据奇数的情况知，偶数个数必须为 6 10 14 18等当数字个数为14时，中间的数介于6 到7之间，因此最小的数就不能满足为自然.故总共有 4+1+2 种情况.4.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数A=135********…20072009，从A中截出能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小数是，最大数是。
初三数学竞赛试题及答案精选
全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1 B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S △CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。
先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).(A)35 (B)40 (C)81 (D)842.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.A．50B．90C．99D．1003.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ).A．1B．2C．0或D．4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ).A．2≤x≤3B．2<x<3C．-1≤x≤1D．-1<x<15.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ).(A) (B) (C) (D)6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.A．6B．8C．9D．10二、填空题1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= .2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1="(x-b)(x-c)" 恒成立.则a+b+c的值为 .3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 .4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008.三、解答题1.(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.2.(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.3.(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).(A)35 (B)40 (C)81 (D)84【答案】D【解析】分析：首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得．解答：解：如图，设BC=a，AC=b，则a2+b2=352=1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以=，即=，故12（a+b）=ab．②由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解-25舍去），所以a+b+c=49+35=84．故答案为D．2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.A．50B．90C．99D．100【答案】C【解析】由于9=10-1，99=100-1，…，所以n="9+99+999+…+" =10+102+103+…1099-99×1．然后据此等式求出n的值后，即能得出n的十进制表示中，数码1有多少个．解：n=9+99+999+…+=10+102+103+…1099-99×1，=1111111…10（99个1）-99，=11111…1011（99个1）．所以在十进制表示中，数码1有99个．故答案为：99．根据式中数据的特点将式中的数据变为10的n次方相加的形式是完成本题的关键．3.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ).A．1B．2C．0或D．【答案】D【解析】本题考查二次函数与一元二次方程关系的综合应用问题。
由代人=8a-3中解得a=0或又因，经检验a=4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ).A．2≤x≤3B．2<x<3C．-1≤x≤1D．-1<x<1【答案】B【解析】【考点】一次函数图象；一次函数与不等式的关系；不等式解法分析与解：如果此题以x为主元，则显得十分麻烦，考虑到a为一次，若以a为主元，则变成一元一次不等式恒成立问题．这也是常说的反客为主：，整理成关于a的不等式：…………①则依题有，当时①式恒成立．而时①式变为：，不符合题设，故，从而结合关于a的一次函数图象，知：选择B点评：此题涉及分类讨论与转化思想，这两种重要的数学思想．5.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ).(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】此题考查等边三角形、直角三角形、相似性、三角形中位线定理、勾股定理、三角形面积计算公式的综合应用题，题目具有一定的难度，考查学生综合分析和解决问题的能力、考查学生的作图能力和识图能力；由已知得到：，且，所以三点在一条线上，分别过作的垂线，垂足分别为，如下图所示：过作，并延长与交于，因为△CAQ是等边三角形，所以分别是的中点，且等边△CAQ边长等于，所以，，即，所以是的中点，E是的中点，所以，且，所以△PRT的面积等于，所以选A；6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.A．6B．8C．9D．10【答案】B【解析】3×5的棋盘可以看成是一个横3竖5或横5竖3的方格排布，要使棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上，而且棋子每次只能沿水平或者垂直方向移动一小格，所以棋子只能从边缘出发，棋盘又是相互对称的，所以可以出发的小方格为3+5=8个。
二、填空题1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= .【答案】15 /8【解析】ABCD为正方形，所以BD平分AC因此A为C关于BD的对称点，BD上任意一点到A与C距离相等因此PE+PC最小，即PE+PA最小所以连接A、E，与BD交点即为所求P点从P作PH垂直BC于H简单有△EPH∽△EBA，EH：EB=PH：AB因为BD为正方形对角线，所以∠PBH为45度△PBH为等腰直角三角形，PH=BH，PB=√2PH设PH为X，则EH为3-X（3-X）：3=X：58X=15X=15/8PB=15√2/82.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1="(x-b)(x-c)" 恒成立.则a+b+c的值为 .【答案】20或28【解析】解：(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)-(a+8)x+8a+1=-(b+c)x+bca+8=b+c,8a+1=bcb,c为方程：-(a+8)x+8a+1=0两个整数根判别=-16a+60为完全平方=4a=10或a=61）a=10,b+c=a+8=18,a+b+c=282)a=6,b+c=a+8=14,a+b+c=20所以：a+b+c=28或a+b+c=203.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 .【答案】3 /8【解析】小圆方程x +y =1MC方程 y =" k(x+2)," x =解y =y = ,= = 22 + = 4-23 = 21-3k =k =此时AM=,MB =MC =B点坐标为（，)MBQ面积= 3/2 = = 34.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008.【答案】503【解析】【考点】抽屉原理．分析：从1到2006中总共有2006÷2=1003个奇数，3+2005=2008，5+2003=2008…，1003+1005=2008，和为2008的奇数对有1003÷2=501对…1个．最坏的情况是一直取不到符合条件的奇数对，一直到不成对的全部取完，即每对只取一个；因此，第501+1+1=503个奇数一定能在之前取到的奇数中找到与其之和为2008的对应奇数．解答：解：2006÷2÷2=501（对）…1个．501+1+1=503（个）．答：至少要取出503个奇数才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008．故答案为：503．点评：完成本题时要注意1～2006中，没有一个奇数和1的和是2008，因此计算时要将1计入．三、解答题1.(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.【答案】设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c)≥4(x+y+z+w).因此，x+y+z+w≤25.当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)，则x+y+z+w≥20.当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.【解析】略2.(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.【答案】(1)如图，联结DF.则△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.又因为∠PDC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC.从而，PF/FD=PD/DC.①由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.故由式①得EP/DE=PD/DC.(2)因为∠EPD=∠EDC，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.【解析】略3.(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?【答案】设f(n)=.当n=2，3，…，1 004时，有f(n)-f(n-1)= <1.而f(1)=0，f(1 004)="1" 0042/2 008=502，以，从0到502的整数都能取到.当n="1" 005，1 006，…，2 008时，有f(n)-f(n-1)= >1.而f(1 005)="1" 0052/2 008="(1" 004+1)2/2 008="502+1+1/2" 008>503，故是互不同的整数.从而，在中，共有503+1 004="1" 507个不同的整数.【解析】略。