初三全国数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将

正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若

20 10a b b c ==，，则

a b

b c

++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011

2．若实数a ，b 满足21

202

a a

b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．

（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4

3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB

=BC

=4-CD

＝则AD 边的长为（ ）． （A

）

（B ）64

（C ）64+ （D ）622+

4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444-⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭

--=+--k k k k x x （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点

P 2010的坐标是（ ）．

（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-） （C ）（2012，2-） （D ）（0，2）

（第

3题）

二、填空题

6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．

9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE

AD

= ．

10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足

020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE

和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF

PAD BC

∠=

． （第8题）

（第9题）

12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k

y x

=

相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）. （1）求实数a ，b ，k 的值；

（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△

AOB 的点

E 的坐标.

13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数

中任意三个数之和都能被33整除？

全国初中数学竞赛试题参考答案

1\解：D 由题设得1

201210

111

1110

a

a b b c b c b +++===

+++．

2\解．C

因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21

202

b ab a -++=

的判别式 21

()41(2)2

a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．

3\解：D

如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为

E ，

F ．

由已知可得

BE =AE

，CF

＝，DF ＝

，

于是 EF ＝4

．

过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得

AD ==

2+

4\解：B 由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫

⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎝⎭

可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，

……

因为2010=4×502+2，所以2010x =2．

5\解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．

记222 )P a b （，

，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：

322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．

令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 6\解：0

由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是

2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0． 7\解：

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