第二章有理数及其运算教案

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第二章:有理数及其运算

一、有理数

知识点一:具有相反意义的量(用正数和负数表示,负数的来源)

如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”。 由具有相反意义的词表示的两个量,就是具有相反意义的量。

我们可以把其中一个量规定为正的,用正“+” 数表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的,用负“-”数表示。

如:零上20°C 记作+20°C ,零下17°C 就记作 -17°C

如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈记作-12圈 因为是量,表示时需要带着单位名称,如圈、元。

知识点二:正数和负数的概念

正数:像1、2.5、14

3、23这样大于0的数叫做正数;为了突出数的符号,可以在正数前加“+” 号。如:+3、+5.6 ,有时也可省略“+”号 如:1、2.5、14

3 负数:像-5、-10、-2.3等在正数前面加上“-”号的数叫做负数,负数前面的“-”号不能省略。由此看出,比0小的是负数,负数比0小。

0即不是正数,也不是负数,0是正数和负数的分界点。

正数比0大,负数比0小。

复习小学内容:

质数:一个数只有1和它本身两个因数时,这个数是质数也称为素数。

如2、3、5、7、11、13、17、19等

合数:一个数除了1和它本身两个因数外还有其他的因数,这个数就是合数。 如4、6、8、9、10、12、14、15等

质数和合数都是指一个大于1的自然数中的数,所以,0和1既不是质数也不是合数。 除了2 其余的质数都是奇数

再复习一下奇数和偶数

偶数:整数中能够被2整除的数,叫做偶数,

奇数:整数中不能被2整除的数,叫做奇数。

知识点三:有理数

有理数概念:整数和分数统称为有理数。

整数:正整数、零、负整数统称为整数

分数:正分数和负分数统称为分数,有限小数和无限循环小数也是分数 。 0.5=21 ;0.875=8

7 。。。这些都是有限小数,化成了分数。0..3=31 ;0..12.3=999123 ;0.1.2.3=99991123-- ;0.12.3=99

99912123-- 上述都是无限循环的小数,也化成了分数。

小学学过的圆周率π,其值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375…它是无限不循环的小数,它不是有理数,是八上实数中我们学到的无理数

有理数的分类:(在前章学习了分类思想,关于几何体的分类)

(1)按定义分类: (2)按性质符号分类:

有理数的“四非”

有理数“四非”⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0000非负整数:正整数和

非正整数:负整数和

非负数:正数和非正数:负数和 注意上述“四非”,一定记住都包括着零。注意断句:非负/整数,首先是整数,其次是不是负的,那就是正的和0。而不是非/负整数,错误理解成正整数、0和分数了。

0 既不是正数也不是负数。0是整数,是自然数,是偶数,是有理数。

二、数轴:

知识点一:数轴

1、数轴:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。

数轴就是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素

注意:1)、约定成俗的规定向右的方向为正方向,向左就扣分。

2)、是单位长度,就是自己规定的一段长度作为单位长度,而不是长度单位。

2、数轴的画法:1)、画一条直线

2)、直线上选取一点为原点,并用这点表示零

3)、确定正方向,一般规定向右,用箭头标示出来。

4)、选取某一长度作为单位长度,根据实际情况选取,但长短一致。

3、数轴上的点与有理数的关系

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示的是有理数)。正有理数可以用原点右侧的点表示,负有理数可以用原点左侧的点表示。原点用零表示。

知识点二:利用数轴比较有理数的大小

(1)在数轴上的所表示的数,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大

(2)正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。利用这点,比较有理数的大小

三、绝对值

知识点一:相反数

1、相反数:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0

越来越大 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0

个数互为相反数。特别地,0的相反数是0。这也是相反数的代数定义。

注意:1)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能把它漏掉。

2)相反数是成对出现的,不能单独存在。

3)“只有符号不同”中的只有是指除了符号不同,其余相同。不能理解为“只要符号不同”。如-2与+3不是相反数。

2、相反数的几何定义:在数轴上位于原点的两侧,与原点的距离相等的两个点所表示的数,互为相反数。

在数轴上,表示互为相反数的两点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。

3、相反数的表示方法:表示一个数的相反数,只要在这个数的前面添加一个“-”号即可。如6的相反数是-6,-6的相反数可以表示为-(-6)

一般地,数a 的相反数是-a ,这里a 表示任意一个数,可以是正数、负数、0。

注意:1)表示“和”或者“差”形式的相反数时,要先用括号括上,再在括号前面添上一个“-”号。如a+b 的相反数是-(a+b )

2)因为a 可以表示任意一个数,所以,-a 不一定是负数。

知识点二:绝对值

1、绝对值:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值

用a 表示一个数,则a 的绝对值记作|a|,读作“a 的绝对值”。

因为距离都是0或者正数,所以,+3的绝对值等于3,记作|+3|=3

-3的绝对值等于3,记作|-3|=3

表示0的点与原点的距离是0,所以|0|=0

2、一个数的绝对值与这个数的关系(也就是绝对值的代数意义):

正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;

可用字母a 表示如下:

⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a 书写:|a| = ±a 是错误的! 3、绝对值归纳总结:

1)从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远,绝对值越大。由于距离总是正数或零,故有理数的绝对值不可能是负数,因此,绝对值最小的有理数是零。

2)绝对值非常重要的性质:绝对值的非负性。任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0。

3)互为相反数的两个数绝对值相等;反之,特别注意:若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数。

4)任何数都有唯一的绝对值,但绝对值为某一正数的数有两个,且他们互为相反数。

如:绝对值为4的数是+4或-4。字母表示式:若|a|=|b|,则a=±b

5)若几个非负数之和为0,则每个加数分别为0。

若|a|+|b|+|c|=0,则|a|=|b|=|c|=0,即a=b=c=0。这个关系很重要,期中考试一定有。

绝对值知识拓展:

|x|几何意义是x 表示的点到原点0的距离

|x-1|几何意义呢?代表x 到哪个点距离呢?

推导:|x|=|x-0| 是x 表示的点到0的距离

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