随机误差和粗大误差
误差的分类
误差的分类
根据测量误差的性质和特点，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差（或称疏失误差）三大类。
1．系统误差
系统误差是指在相同测试条件下，多次测量同一被测量时，测量误差的大小和符号保持不变或按一定的函数规律变化的误差，服从确定的分布规律。
系统误差主要是由于测量设备的缺陷、测量环境变化、测量时使用的方法不完善、所依据的理论不严密或采用了某些近似公式等造成的误差。
2．随机误差
在同一测试条件下，多次重复测量同一量时，误差大小、符号均以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。
系统误差与随机误差的划分是相对的，二者在一定条件下可以相互转化，即同一误差，既可以是系统误差，又可以成为随机误差。
3．粗大误差
粗大误差是指在一定的测量条件下，测得的值明显偏离其真值，既不具有确定分布规律，也不具有随机分布规律的误差。
粗大误差是由于测试人员对仪器不了解、或因思想不集中、粗心大意导致错误的读，使测量结果明显地偏离了真值的误差称为粗大误差。
仪表的测量误差名稱：
基本误差；允许误差；绝对误差；相对误差；引用误差；最大引用误差；标称误差；系统误差；偶然误差等.。
大学物理实验答疑2
注：[-k ，+k]:置信区间 ±3：极限误差
P:置信概率
算术平均值的标准偏差
uA
n
xi x2
i 1
nn 1
n
uA的统计意义： 真值落在
2. 计算测量列的算术平均值 x ，作为测量结
果的最佳值
3. 计算测量列任一次测量值的标准偏差
作为A类不确定度 A 4. 求仪器的示值误差限 INS
作为B类不确定度 B INS
21
评定某直接测量量X 结果的步骤
5. 求合成不确定度
U
2
2 INS
(单次测量) U INS
6. 最终结果 表示式
[x-uA , x+uA ] 的概率为68.3% 。 [x-2uA , x+2uA ]的概率为95.4% 。 [x-3uA , x+3uA ]的概率为99.7% 。
评价测量结果常用准确度、精密 度和精确度三个概念。
1、准确度
准确度表示测量结果系统误差的大小，结 果比较接近客观实际的测量准确度高；
2、精密度
游标卡尺
游标卡尺的分度值通常有： 0.02mm和0. 05mm两种
一般测量范围在300mm以下的游标卡尺取 其分度值为仪器的示值误差限。
外径千分尺
按国家标准（GB1216-75）规定， 量程为25mm的一级千分尺的示值误差 为0.004mm
物理天平 天平的示值误差为天平的感量:0.05g
电表 电阻箱
di
系统误差粗大误差随机误差处理顺序
系统误差粗大误差随机误差处理顺序下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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对粗大误差和随机误差处理
用matlab 对一组随机数据的随机误差的处理当今社会，人们对测量和仪器的精确性要求越来越高，传统的测量精确度远远不能满足当今科技以及人们生活方面的要求，所以需要一种能够快速分析误差的方法出现。
matlab 可以大大减少人工运算的成本，成本低，可行性高，而且具有普遍性，故采用matlab 来进行误差处理。
等精度测量粗大误差处理粗大误差的判别准则（1）莱以特准则（3σ准则）具体方法：求出平均值和σ，将残差的绝对值与3σ进行比较，大于3σ的测量值都是坏值。
这种方法称为 3σ法则（正态分布）。
适合测量点数较大的情况，计算所有的点。
逐一剔除异常值（2）罗曼诺夫斯基准则具体方法：首先剔除一个可疑的测得值，然后按照t 分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。
如果是，剔除后，再判断其它的测试结果点。
适合条件：测量次数较少的情况，是逐一剔除的。
等精度测量随机误差处理（1） 算数平均值11==∑n i n i x x大多数情况下，真值未知，用=-i i v x x 来代替误差：σ==σ=sδ=-i i x x n :测量次数（2）测量列算数平均值标准差/σσ=x （3）算数平均值的极限误差：,δδσ==t tlim δσ=±x t t 为置信系数，通过查表可得。
|()d x x |K n -2,a σ-≥1,1=-1n i i i d x x n =≠∑结果表示： lim δ=±X x t x（4（5软件流程设计等精度测量计算流程开始 读取数据文件matlab程序clc;clear;data=load('test.txt'); %v_2=0; %定义残差的平方average_data=0; %定义数据的平均值average_data=mean(data);%计算平均值if(length(data)<10) %判断数据的长度，用罗曼诺夫斯基准则剔除粗大误差while(1)for i=1:length(data) %计算残差和残差的平方和v(i)=data(i)-average_data;v_2=v_2+v(i)^2;end[max_v,I]=max(abs(v));`sum=0;for i=1:length(data)sum=sum+v(i);endaverage_data=sum/(length(data)-1); %计算数据的平均值bzc=(v_2/(length(data)-2))^0.5; %计算数据的标准差alpha=0.05;t=tinv(1-alpha/2,length(data)-2);if(v(I)>=(t*bzc)) %判断数据是否为粗大误差data(I)=[];else break;endv=[];endendif(length(data)>=10)while(1)for i=1:length(data) %计算残差和残差的平方和v(i)=data(i)-average_data;v_2=v_2+v(i)^2;endbzc=(v_2/(k-1))^0.5; %计算标准差bzc_3=3*bzc;[max_v,I]=max(abs(v));if max_v>bzc_3 %根据莱以特准则剔除粗大误差data(I)=[];endv=[];l=length(data);if(k==l)n=0;endendp=0.95/2;t=2.60;enddelta=t*bzc; %极限误差X_max=average_data+delta;X_min=average_data-delta;fid = fopen('result.txt', 'wt');fprintf(fid,'delta=%12.8f\nX_max=%12.8f\nX_min=%12.8f\ndata(I)=%12.8f\ n',delta,X_max,X_min,data(I)); %把数据写入文本文档fclose(fid);用matlab处理数据可以做到效率高，成功率高，节约人力物力，通过此程序进行数据处理，方便快捷，并且可以重复使用在进行研究过程中，由于我们对matlab软件没有深入了解，所以很多函数以及操作没有特别了解，对基本的操作流程也不是很熟悉。
2.3 粗大误差
对某角度α进行两组测量，测量结果为：
α1：24°13´36″±6.0″
（k=2) α2：24°13 ´24″〒15.0″ (k=3) 计算角度α的测量结果（k=3）。 解：σ1=6.0/2=3.0 σ2=15/3=5.0 P1：P2=1/σ21：1/ σ22=25：9
p1 x1 p 2 x 2 25 12 9 0 xp 24 1324 241332 .8 p1 p 2 25 9 s x p s1 p1 25 3.0 2.6 p1 p 2 25 9 x p 3s x p 24 1333 7.8
3s x p 7.8 测量结果为
K (n, ) t (n 2) n n 1
还是用上例数据，首先怀疑第八个测量值含有粗大 误差，将其剔除得算术平均值和标准差为
n 1 x xi 20 .411 n 1 i 1 i 8 2 i n 1 i 1
s
v
n2
0.016
选择显著度α=0.05，n=15，查表得
查表
D(0.05,10) 0.530
r11 r11 , r11 D(0.05,10)
故数据中无异常值。
小结
（1）大样本情形（n＞10），用3σ准则最简单方便； 小样本情形，用罗曼诺夫斯基准则、Grubbs准则效果 较好，Dixon准则适用于不用计算标准差，因此计算简 单，但是后面3种方法都需要查表。
v 0.016 0.026 -0.004 0.026 0.016 0.026 -0.014 -0.104 -0.004 0.026 0.016 0.006 -0.014 -0.014 -0.004
v2 0.000256 0.000676 0.000016 0.000676 0.000256 0.000676 0.000196 0.010816 0.000016 0.000676 0.000256 0.000036 0.000196 0.000196 0.000016
误差的分类及特点
误差的分类及特点
误差可以分为三类：系统误差、随机误差和粗大误差。
1. 系统误差：也称为可测误差或恒定误差，是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真实值之差。
这种误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化。
2. 随机误差：也称为偶然误差或不可测误差。
这种误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定的方式变化。
随机误差的产生原因包括环境条件误差、仪器误差和人员操作误差等。
随机误差遵从正态分布，即大小相近的正负误差出现机会相等，小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。
3. 粗大误差：也称为过失误差，是由一些不应有的错误造成的，如读数错误、记录错误等。
这种误差在一定条件下，测量值会显著偏离其实际值。
一经发现，必须及时纠正。
以上内容仅供参考，建议查阅关于误差的书籍文献或咨询统计学专业人士以获取更全面准确的信息。
随机误差和粗大误差-自测系统
尺寸传递系统
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
1）量块的材料、形状和尺寸 如图8-11所示，长度量块是没有刻度的平面平行端面量具，是横截面为矩形的六 面体；量块按一定的尺寸系列成套生产供应；量块是用特殊合金钢制成，具有线 膨胀系数小、不易变形、耐磨及研合性好等特点。 量块截面尺寸： 标称长度≤10mm时， 30x9mm 标称长度＞10mm时， 35x9mm 标称长度≤ 5.5mm时， 尺寸标在测量面上 标称长度＞ 5.5mm时， 尺寸标在非工作面上
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
4.测量误差的种类和特性 测量误差按其性质分为系统误差、随机误差和粗大误差。 1）系统误差 系统误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符号均 保持不变或按一定规律变化的误差。前者称为定值（或常值）系统误差，后 者为变值系统误差。 2）随机误差 随机误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量值时，其数值大小和符号 以不可预定的方式变化的误差，它是由于测量中的不稳定因素综合形成的， 是不可避免的，随机误差的大小可通过对测量结果的分析确定。 3）粗大误差 在测量过程中看错、读错、记错以及突然的冲击振动而引起的 测量误差。
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
常用长度计量器具及使用
图8-9 塞（厚薄）规与半径规
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
2.量块 量块常作为标准量与被测量进行比较，它分为角度量块和长度量块，如 图8-10所示。 量块在机械制造厂和各级计量部门中应用较广，常作为尺寸传递的长度 标准和计量仪器示值误差的检定标准，也可作为精密机械零件测量、精 密机床和夹具调整时的尺寸基准。
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
4、计量装置 计量装置值为确定被测几何量数值所必须的计量器具和辅助设备。一般 结构较为复杂，功能较多，能用来测量较多的几何量和较复杂的零件， 可以实现自动化和智能化，检测精度较高，一般用于大批量零件的检测 中。如齿轮综合精度检查仪、发动机缸底孔集合精度测量仪等。
完整版)误差理论与数据处理复习题及答案
完整版)误差理论与数据处理复习题及答案本文介绍了误差理论和数据处理中的一些基本概念和方法。
其中，测量误差按性质分为系统误差、粗大误差和随机误差，相应的处理手段为消除或减小、剔除和统计的手段。
随机误差的统计特性为对称性、单峰性、有界性和抵偿性。
在测量结果的重复性条件中，包括测量人员、测量仪器、测量方法、测量材料和测量环境等因素。
置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用标准差和极限误差来表示。
指针式仪表的准确度等级是根据指针误差划分的。
在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是平均值。
替代法的作用是消除恒定系统误差，不改变测量条件。
最后，通过一些例题的解答，进一步加深了对误差理论和数据处理的理解。
2.根据电路中的电阻值计算电路总电阻时，可以使用公式R=R1*R2/(R1+R2)，其中R1和R2分别为电路中的两个电阻值。
如果R1=150Ω，R2=100Ω，那么电路总电阻R为(R1*R2)/(R1+R2)=60Ω。
此外，如果需要计算电路总电阻的不确定度，可以使用以下公式：ΔR = ((dR/dR1)ΔR1)^2 +((dR/dR2)ΔR2)^2，其中dR/dR1和dR/dR2分别为R对R1和R2的偏导数，ΔR1和ΔR2分别为R1和R2的不确定度。
根据公式计算可得，ΔR = 0.264Ω。
14.两种方法测量长度为50mm的被测件，分别测得50.005mm和50.003mm。
可以计算它们的平均值，即(50.005+50.003)/2=50.004mm，然后计算它们的偏差，即(50.005-50.004)=0.001mm和(50.003-50.004)=-0.001mm。
由于偏差的绝对值相等，但方向相反，因此不能单纯地判断哪种方法的测量精度更高。
15.用某电压表测量电压，电压表的示值为226V。
查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V。
因此，被测电压的修正值为-5V，修正后的测量结果为226+(-5V)=221V。
计量学基础教学：第3讲_第3章_测量误差和测量不确定度
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三、测量不确定度与测量误差
不确定度为无符号的参数，恒取正值。当 用方差求取时，取其正平方根。
误差为带有正号或负号的量值，不能用 （±）号表示。
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计量学基础
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三、测量不确定度与测量误差
测量不确定度的大小决定了测量结果的使用 价值，值越小，使用价值越高。 误差主要是用于对误差源的分析方面，用以 对测量结果的修正。
1970年以来，美国NBS推广MAP( 计量保证方案)；
1978年，BIPM(国际计量局)书面征询各国意见后，起 草了一份 INC-1980建议：实验不确定度表示。1981年 10月CIPM(国际计量委员会)发文(CI-1981建议) 批准 了INC-1980建议。
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(二)系统误差的发现
1 系统误差与测量次数无关，因此不 能采用增加测量次数的方法使其消除或减 小。
2 许多系统误差可通过实验确定（或根 据实验方法、手段的特性估算出来）并加 以修正。 3 对某些系统误差的认识不足或没有 相应的手段予以充分确定，而不能修正， 此时通常可估计未消除系统误差的界限。
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三、测量不确定度与测量误差
真值按其本性不是确定的，往往无法得到测 量误差的值，所以实际用的是约定真值。当用 约定真值代替真值时，可以得到测量误差的估 计值。
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、 经验等信息进行评定，从而可以定量确定测量 不确定度的值。
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计量学基础
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测量误差的分类
在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号均发生变化，其值时大、时小，其符号时正、时负，投有确定的变化规律，也不可以预见的误差称为随机误差c
随机误差主要是由那些对测量值影响较微小，又互相关的多种因素共同造成的。例如热骚动，噪声干扰，电磁场的微变，空气扰动，测量人员感觉器官的各种无规律的微小变化等等。由于上述这些因素的影响，从宏观上来看，或者从平均意义上来说，虽然测量条件没变，比如使用的仪器准确的程度相同，周围环境相同，测量人员以同样的细心进行工作等等，但只要测量装置的灵敏度足够高，就会发现测量结果有上、下起伏的变化，这种变化就是由于随机误差造成的。就一次测量而言，随机误差没有规律，不可预见，但是当足够多次测量时，其总体服从统计的规律，多数情况下接近于正态分布。
②周期性系差，它是指在测量过程中，误差的数值发生周期性变化的系统误差。例如测角仪，如果它存在偏心，则各分度线误差的变化就符合这种规律。
②按复杂规律变化的系差，如电工仪表整个分度线上存在的系统误差，其变化规律就属于此类系差。通常只能用曲线、表格或经验公式来表示。
系统误差的特点是，测量条件一经确定，误差就为一确切的数值。用多次测量取平均值的方法，并不能改变误差的大小。系统误差的产生原因是多方面的，但总是有规律的。我们应旧能设法事先预见或找出系统误差的产生根源，针对其产生原因，采取相应的技术措施消除或减弱影响，也可以估计出其影响程度，在测量结果中加以修正。
这种误差的特点与正态分布的特点和规律是相同的，而与按复杂规律变化的系统误差有着本质的区别。因为系统误差服从确切的函数关系，无论规律怎样复杂，如果多次重复测量，该规律仍然不变。随机误差却没有这种重复性。
3．疏忽误差 在一定的测量条件下，测量值明显地偏离其真值(或实际值)所形成的误差称为疏忽误差，又叫做粗大误差。
高考物理实验常见误差总结
高考物理实验常见误差总结在进行高考物理实验时，误差是难以避免的。
为了提高实验结果的准确性，了解和分析实验中常见的误差来源是非常重要的。
本文将对高考物理实验中常见的误差进行总结和分析，以供参考。
一、系统误差系统误差是由于实验装置、实验方法或实验者的主观因素等导致的误差，具有稳定性、可重复性和规律性。
系统误差对实验结果的影响是一致的，因此可以通过校正或改进实验方法来减小其影响。
1. 实验装置的误差实验装置的误差主要包括仪器设备的制造缺陷、使用过程中的磨损和老化等。
例如，温度计的刻度不准确、电流表的内阻不稳定等，都会导致实验结果的偏差。
2. 实验方法的限制实验方法的限制主要包括实验原理的不完善、实验条件的控制不精确等。
例如，在测量重力加速度时，由于空气阻力的影响，实际测量值可能与理论值存在偏差。
3. 实验者的主观因素实验者的主观因素包括实验者的操作技能、观测能力以及对实验数据的认识等。
例如，实验者在读取测量数据时，可能会由于视觉误差而导致读数不准确。
二、偶然误差偶然误差是由于实验条件的不稳定、实验者的操作失误或其他不可预知的因素导致的误差，具有随机性、不确定性和不可重复性。
偶然误差对实验结果的影响是没有规律的，因此难以通过校正或改进实验方法来减小其影响。
1. 实验条件的不稳定实验条件的不稳定包括环境因素（如温度、湿度、噪音等）和实验设备的工作状态（如电源电压的波动、仪器的响应时间等）。
这些因素会导致实验过程中测量值的变化，从而影响实验结果的准确性。
2. 实验者的操作失误实验者的操作失误主要包括对实验设备的操作不当、读取测量数据的失误等。
例如，实验者在进行测量时，可能会忘记调零仪器、读数时没有保持视线与刻度垂直等，从而导致实验结果的误差。
3. 其他不可预知的因素其他不可预知的因素包括实验过程中的意外事件（如仪器故障、突然停电等）和实验数据处理过程中的失误。
这些因素往往难以预测和控制，对实验结果的影响具有不确定性。
粗大误差
Gσ’ ，故无坏值。
t 1 4 =20.411
σ’=0.016 取显著度ɑ=0.01（即置信概率为 0.99）.已知 n=15，查表 4-3 得系数 k=3.12。 则 kσ’ =3.12×0.016=0.05 因 | t 8 - t 1 4 |=|20.30-20.411|=0.111>0.05
vi ' 2 10 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40
+0.016 +0.026 -0.004 +0.026 +0.016 +0.026 -0.014 (-0.104) -0.004 +0.026 +0.016 +0.006 -0.014 -0.014 -0.004
4.t 检验准则
t 检验准则又称罗曼诺夫斯基准则， 它是按 t 分布的实际误差分布范围来判 断粗大误差，这对重复测量次数较少的情况比较合理，而一般测量的重复测量次 数总是很有限的。 t 检验准则的特点是将测量列的 n 个测得值中可疑的测得值 x j 先剔除，然 后按余下的（n-1）个数据计算算术平均值 x ’和标准差σ’值，再判断数据 x j 是否含有粗大误差。
故可判断数据 t8 含有粗大误差，应予以剔除。 再对余下的 14 个数据继续判断，先提出 t7（|V 7 ’|最大） ，
t 13 =20.4103
误差理论与数据处理第二章
vi2 (mm)
0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
0.250 1.253 mm 0.0330mm 1010 1
11 i
v l
i 1
11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
规则２：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n v 0 . 003 mm 0 . 5 A 0.005mm i 2 i 1
x
l (l
i 1 i
n
n
n
i 1
o
li )
n
l nl
i 1 i
n
o
n
l0
l
i 1
n
i
n
l0 x 0
三、算术平均值
例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表，求
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
理论值
x
vi
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
vi n(n 1)
四、测量标准差（方均根误差）
表 23
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li (mm)
误差分析与数据处理
产生原因－人操作上的粗心大意，外界的强大干扰。
消除方法－当发现粗大误差时，应予以剔除。 结论：在进行误差分析时，粗差剔除，系统误差和随机误 差要用适当的方法进行处理和估算。
课堂提问：
1.请举出生话中的系统误差、随机误差、粗大误差的 实例。 2.第1章讲过一些仪表性能指标，其中就涉及哪个误 差概念？
系统误差： 与真值之差。 随机误差：某一测量值与 的差值。 2.对称性:xi大致地分布于 两侧。 剩余误差（残差）Vi＝ xi － 残差基本互相抵消。残差总和：
3.有界性：在一定的条件下， xi有一定的分布范围，超过这个范围的可能性很 小，一般作为粗大误差处理。
当n→∞时，测量列xi的算术平均值 可认为是测量值的最可信值，但无 法表达出测量值的误差范围和精度高低。一般用下式表示存在随机误差时的 测量结果：
解： 1.按照测量读数的顺序列成表格。 2.计算测量列xi的算术平均值： ＝（633.97/16）＝39.623 mm。 3.算出每个测量读数的残差Vi ，填写在xi的右边。并验证了 。 4.在每个残差旁算出 和 必须的中间过程值 ， 然后求出 ＝2.140mm2 5.计算出方均根误差 ＝0.378mm
2.2.1随机误差的统计特性
单次测量具有随机性，但多次测量其总体误差具有规律性特征。 测量列：保持测量条件不变，对同一测量对象进行多次重复测量得到一系列包含 随机误差的读数x1、x2、…，xn。 统计直方图：以测得的数据为横坐标，出现的次数为纵坐标。 正态分布曲线（随机误差的概率密度，高斯误差）：当测量次数n→∞ 时，则无 限多的直方图的顶点中线的连线就形成一条光滑的连续曲线。有如下规律： 1.集中性：大量的测量值集中分布于算术平均值 附近。
2.随机误差－在同一条件下，多次测量同一被测量，有时 会发现测量值时大时小，机误差。随机误差反映了测 量值离散性的大小。 产生原因（随机效应）－随机误差是测量过程中许多独立 的、微小的、偶然的因素引起的综合结果。 消除方法－单个测量值误差是随机的，难以消除或修正； 但误差的整体服从正态分布统计规律，因此可以增加测量 次数，并对测量结果进行数据统计处理。 3.粗大误差－明显偏离真值的误差称为粗大误差（过失误 差）。
工程测量第五篇(测量误差的基本知识)课件
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
2023 WORK SUMMARY
工程测量第五篇(测量 误差的基本知识)课件
REPORTING
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• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。
误差的分类
1误差的分类一、系统误差在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差，简称系差。
如果系差的大小、符号不变而保持恒定，则称为恒定系差，否则称为变值系差。
变值系差又可分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的系差。
图2．2—l描述了几种不同系差的变化规律：直线a表示恒定系差；直线b属变值系差中累进性系差，这里表示系差递增的情况，也有递减系差；曲线c表示周期性系差，在整个测量过程中，系差值成周期性变化；曲线d属于按复杂规律变化的系差。
图2.2—1 系统误差的特征归纳起来，产生系统误差的主要原因有：①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。
例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等.②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。
④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原因所引起的误差。
系统误差体现了测量的正确度，系统误差小，表明测量的正确度高。
二、随机误差随机误差又称偶然误差，是指对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化的误差。
随机误差的特点是，在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界性，即具有有界性；当测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同，即具有对称性；同时随机误差的算术十均值趋于零，即具有抵偿性。
由于随机误差的上述特点，可以通过对多次测量取平均值的办法，来减小随机误差对测量结果的影响，或者用其他数理统计的办法对随机误差加以处理。
三、粗大误差在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。
第二章误差的基本性质与处理
解法二：
x 20.0000
(0.0005 0.0004 0.0003 0.0006 0.0002)
i 0
5
5
20.0000
10
算术平均值的计算校核
1.残差代数和 ① ②
x为准确数时， v 0 x为不准确数时， v 为正，其等于余数 v 为负，其等于亏数
i 1 i n i 1 n i 1 i i
x x0
p (x
i 1 i m i 1
m
i
x0 )
i
p
27
3.单位权化
非等精度 等精度 任何一个非等精度随机变量乘以自身 权数的平方根，得到的新变量的权数为1。 即： z y p y
pz 1
pi
i
4.加权算术平均值的标准差 M组不等精度测量 x x
p
i 1
m
i
p
i 1
m
i
28
由残差来计算
pv
i 1
m
m
2
i xi
m 1
则：
x
pv
i 1
2
i xi m
( m 1) pi
i 1
(m要求足够大）
29
例：1m的米尺经三种方法检定，其结果
如下：
x1 1000.045mm
x 5m
1
x2 1000.015mm x 2 20m x3 1000.060mm x 3 10m
③得
x l 0
l
i 0
n
i
n
9
例：求20.0005，19.9996，20.0003，19.9994， 20.0002五个测得值的算术平均值。
传感器作业答案
第二章 测量误差与数据处理1、测量数据中包含哪三种误差？它们各自的含义是什么？系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时（等精度测量），绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。
随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时（等精度测量），绝对值和符号不可预知的随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。
粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差，又称疏忽误差。
这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化产生的。
对于粗大误差，首先应设法判断是否存在，然后将其剔除。
2、对某轴直径d 的尺寸进行了15次测量，测得数据如下（单位mm ）：120.42, 120.43, 120.40, 120.42, 120.43, 120.39, 120.30, 120.40,120.43, 120.41, 120.43, 120.42, 120.39,120.39,120.40。
试用格罗布斯准则判断上述数据是否含有粗大误差，并写出测量结果。
解：1）求算术平均值2）求单次测量值的标准差估计值3）按格罗布斯准则判别是否存在粗大误差（查书P61 表3－2）经检查，存在 ， 故剔除120.30mm 。
4）重新求解上述各值，得：；mmxx i i404.12015151==∑=-∧σmm033.01)(12＝--=∑=∧n x x ni i σmmg n g K G 080.0033.041.2)05.0,15(),(00≈⨯===∧∧σσα)15,...,2,1(=>i K v G i mmx 41.120=-mm016.0＝∧σmmg n g K G 038.0016.037.2)05.0,14(),(00≈⨯===∧∧σσα经检查所有的 ，故无粗大误差。
5）按照马利科夫准则，判断有无系统误差因n ＝14，故mm v v M i i i i 02.0002.014871=-=-=∑∑==，M 值较小，故可判断测量列中无系统误差。
第二章 误差的基本性质与处理
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
解：计算得到的值分别填于表中，因此有
0.250 mm 0.0330mm 1010 1 0.250 z 1.253 mm 0.0104mm 10 10 1
1.253
4 5
f ( ) d
1 2
可解得或然误差为 ：
2 3
0.6745
第一节 随机误差
图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的 坐标。σ（标准差）值为曲线上拐点A的横坐标，θ （平均误差）值为曲线右半部面积重心B的横坐标， ρ（或然误差）值的横坐标线则平分曲线右半部面积。
x
n
第一节 随机误差
x
n
当n愈大，算术平均值越接近被测量的 真值，测量精度也愈高。
由图可知, x 的减小很 σ一定时，当n>10以后， 慢。因此一般情况下取n=10以内较为适宜。
第一节 随机误差
例2-4 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定 已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为 mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09， 75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。 解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样， 表中的算术平均值为: n
第一节 随机误差
符合正态分布的随机误差分布密度如式（2-2） 所示。 1 2 /( 2 2 ) f ( ) e 2 由此式可知：σ值越小，e的指数绝对值越大， 因而f(δ)减小的越快即曲线变陡。而σ越小，在e 前边的系数变大，即对应于误差为零（δ=0）的纵 坐标也大，即对应零误差的纵坐标也大，曲线变高。 如图2-2所示。
测量误差的分类
测量误差的分类在物理实验中，对于待测物理量的测量分为两类：直接测量和间接测量。
直接测量可以用测量仪器和待测量进行比较，直接得到结果。
例如用刻度尺、游标卡尺、停表、天平、直流电流表等进行的测量就是直接测量。
间接测量则是不能直接用测量仪器把待测量的大小测出来，而要依据待测量与某几个直接测量量的函数关系求出待测量。
例如重力加速度，可通过测量单摆的摆长和周期，再由单摆周期公式算出，这种类型的测量就是间接测量。
（1）按照误差的表示方式可分为绝对误差、相对误差和引用误差等三种。
绝对误差被测量的测得值与其真值之差。
即：绝对误差=测得值一真值绝对误差与测得值具有同-量纲。
与绝对误差大小相等、符号相反的量称为修正值，即修正值=-绝对误差=真值-测得值从上式可知，含有误差的测得值加上修正值后就可消除误差的影响。
相对误差绝对误差对被测量真值之比的百分率。
即：相对误差可以比较确切地反映测量的准确程度。
例如，用两台频率计数器分别测量准确频率分别为f1=1000Hz和f2=1 000 000Hz的信号源，其绝对误差分别为△f1=1Hz和△f2=10Hz。
尽管△f2大于△f1，但并不能因此而得出对f1的测量较f2准确的结论。
经计算，测量f1的相对误差为0．1%，而测f2的相对误差为0．001%，后者的测量准确程度高于前者。
相对误差又叫相对真误差。
引用误差引用误差是一种简化的和实用的相对误差，常在多档量程和连续分度的仪器、仪表中应用。
在这类仪器、仪表中，为了计算和划分仪表准确度等级的方便，一律取该仪器的量程或测量范围上限值作为计算相对误差的分母，并将其结果特称为引用误差，即常用的电工仪表分为±0．1、±0．2、±0．5、±1．0、±1．5、±2．5和±5．0七级，就是用引用误差表示的，如±1．0级，表示引用误差不超过1．0%。
（2）按性质和特点可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。
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项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
4.测量误差的种类和特性 测量误差按其性质分为系统误差、随机误差和粗大误差。 1）系统误差 系统误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符号均 保持不变或按一定规律变化的误差。前者称为定值（或常值）系统误差，后 者为变值系统误差。 2）随机误差 随机误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量值时，其数值大小和符号 以不可预定的方式变化的误差，它是由于测量中的不稳定因素综合形成的， 是不可避免的，随机误差的大小可通过对测量结果的分析确定。 3）粗大误差 在测量过程中看错、读错、记错以及突然的冲击振动而引起的 测量误差。
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6. 测量精度的影响因素与保证测量精度的措施 1）测量精度的影响因素 测量精度受很多因素影响，如：测量工具精度、测量部位是否正确、操作水 平高低、比较法对比标准的精度、间接测量时数学运算的精度、单次测量不 准等。 阿贝误差,即违背阿贝原则所产生的测量误差。 阿贝原则是指将测量装置的标尺应位于被测尺寸的延长线上，否则将会产生 较大的测量误差。
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知识点2 计量器具的类型
计量器具包括测量工具（量具）和测量仪器（量仪）两大类。 测量工具是直接测量几何量的测量器具，不具有传动放大系统， 如游标卡尺、90度角尺，量规等。具有传动放大系统的计量器具统称 测量仪器，如机械比较仪、投影仪、测长仪等。
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
大多数情况下，随机误差符合正态分布，如图8-1、8-2所示。 随机误差具有以下特性：对称性、单峰性、抵偿性、有界性
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5. 精密度、正确度、准确度与测量误差 测量精度是指被测量的测得值与其真值的接近程度，测量精度和测量误差从 两个不同角度说明了同就越高；反之，测量精度就越低。图8-3所 示为测量误差与精密度、正确度、准确度的对应关系。 1）精密度 受随机误差影响程度 2）正确度 受系统误差影响程度 3) 准确度受随机误差、系统误差影响程度
7. 长度尺寸的测量方法
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1）绝对测量与相对测量 从读数是否为被测量的整个量值可分为绝对测量、相对测量。如图8-6（a） 所示为相对测量。一般，相对测量精度比绝对测量精度高。 2）直接测量与间接测量 从获得结果的方法可分为直接测量与间接测量。图8-6（b）所示用三针法测 量螺纹中径及图8-6（c）所示用弓高弦长规测量大圆柱体直径，读数值与被 测量有一定函数关系，为间接测量。为减少测量误差，一般多采用直接测量 ，必要时才采用间接测量。 3）单项测量与综合测量 按同时测量的参数多少，测量可分为单项测量与综合测量，如分别测量螺纹 中径、牙型半角、螺距等参数属于单项测量，用螺纹规通规检验单一中径、 牙型半角、螺距的综合作用的结果，判断螺纹是否合格属于综合测量。综合 测量测量效率高，多用于产品合格性检验，单项测量用于加工工艺分析。 4）接触测量与非接触测量 按计量器具测头是否与被测件接触，测量可分为接触测量与非接触测量，如 用光切显微镜测量表面粗糙度属于非接触式测量，用游标卡尺、千分尺测量 工件长度属于接触式测量。接触式测量测量力大小要合适，非接触式测量无 测量力，不会引起工件变形。
如图8-4所示，游标卡尺不满足阿 贝原则，当游标卡尺的活动测爪有 偏角φ 时，产生的测量误差δ 1＝ l1tgφ ≈l1φ ，而千分尺满足阿贝 原则，微分筒有偏角φ 时，产生的 测量误差δ 2=l2-l2cosφ ≈l2φ 2 比游标卡尺小得多。卡尺类计量器 具精度往往很低的原因就是因为违 背了阿贝原则。
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2. 测量误差 测量误差有下列两种形式： 1）绝对误差（绝对值） 指测量值X与真实值X0之差的绝对值。记为δ =|X-X0|。 一般来说，不能准确知道δ 的大小，可以通过测量或计算 δ =|X-X0|≤ε 估计其绝对值的上界，如δ =|π 0-π |≤0.002，π =3.14±0.002。 2）相对误差（%） f =（δ /X0）×100% ≈（δ /X）×100% 式中：f—实际相对误差，一般用百分数给出；δ —绝对误差；X0—真值 由于测量值的真值是不可知的，因此我们提到相对误差时，指的一般是相对 误差限，即相对误差可能取得的最大值（上限）。
绝对误差的缺点并不能完全表示测量值的精密程度，相对误差更能说明测量 的精密程度。 例：X=10±1，Y=1000±5，哪一个精度高呢？
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3. 测量误差的来源 1）计量器具的误差 计量器具的误差是指计量器具本身所具有的误差，包括计量器具的设 计、制造和使用过程中的各项误差，这些误差的综合反映可用计量器 具的示值精度或确定度来表示。 2）测量方法误差 测量方法误差是指测量方法不完善所引起的误差。 3）测量环境误差 测量环境误差是指测量时的环境条件不符合标准条件所引起的误差。 4）人员误差 人员误差是指测量人员的主观因素所引起的误差。
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
图8-5所示为操作不当、测量部位不准确引起的误差。
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2）保证测量精度的措施包括： ①正确选择工具或测量方法（尽可能符合阿贝原则）； ②合理确定测量工具的不确定度； ③合理使用测量工具； ④采用多次重复测量。
项目8 机械零件长度及角度尺寸的测量
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按变化规律的不同，变值系统误差又分为以下三种类型： （1）线性变化的系统误差 是指在整个测量过程中，随着测量时间或 量程的增减，误差值成比例增大或减小的误差。 （2）周期性变化的系统误差 是指随着测得值或时间的变化呈周期性 变化的误差。 （3）复杂变化的系统误差 按复杂函数变化或按实验得到的曲线图变 化的误差。