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上海市2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)

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2021年高二数学上学期期末复习模拟六(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

2021年高二数学上学期期末复习模拟六(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

高二期末模拟试题六高二数学期末模拟六范围(选择性必修一+数列)一、单选题1．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，，B ．(22)-，C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，2．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且3712a a ⋅=-，464a a +=-，则20S 为（）A ．90-B ．180-C ．90D ．1803．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）．A ．14B ．12C ．34D ．14．已知(123)A -，，、(211)B -，，两点，则直线AB 与空间直角坐标系中的yOz 平面的交点坐标为（）A ．(000)，，B ．(057)-，，C ．51(0)33，D ．71(0)44，5．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（）A ．12B．2C ．34D ．327．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（）A ．432n -B ．212n -C ．212n +D ．42n8．已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（）A．83+B．)41-C．83+D．)22-二、多选题9．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（）A ．1058b b =B ．{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++10．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N +，都有n S <H ，则称数列{a n }为“和有界数列”.下列说法正确的是（）A ．若{a n }是等差数列，且公差d =0，则{a n }是“和有界数列”B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d =0C ．若{a n }是等比数列，且公比q <l ，则{a n }是“和有界数列”D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比q <l11．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a bλλ⊗=⊗B ．a b b a⊗=⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y = ，则122a b x y x y⊗=-12．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．||PQ 的最小值为第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．一条光线从点()2,1-射出，经x 轴反射后与圆()()22341x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为________.15．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．16．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，n *∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______.四、解答题17．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线，且直线2l 与直线l2l 的方程.18．已知圆221:2610C x y x y +---=和222:1012450.C x y x y +--+=(1)求证：圆1C 和圆2C 相交；(2)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．20．设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若4(2)n n T n S -=+成立，求n ．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在线段AB上．（1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（2）若二面角1D EC D --的大小为45 ，求点B 到平面1D EC 的距离．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的右顶点到直线0x y -=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．参考答案1．C 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--，∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交，∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选：C.2．D解：由等差数列{}n a 的公差为正数可得等差数列{}n a 为递增数列，464a a +=- ，374a a ∴=-+，与3712a a ⋅=-联立，由于公差为正数，∴解方程组可得376,2a a =-=，73273a a d -∴==-，13262210a a d =-=--⨯=-，()20120192019202010218022S a d ⨯⨯∴=+=⨯-+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前n 项和的计算，是基础题.3．C 【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD=+=+=+-=+()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.4．B解：设直线AB 与平面yOz 的交点为11(0)P y z ，，，（方法一）∵A 、B 、1P 三点共线，则1//APAB，∵(123)A -，，、(211)B -，，，∴111(1,2),3AP y z +-=- ，(1,3,4)AB =- ，则11231134y z +--==-，解得1157y z =-⎧⎨=⎩，则(057)P -，，，（方法二）∵A 、B 、1P 三点共线，则1(1)OPOA OB λλ=⋅+-⋅ ，则11(0,)(1,2,3)(1)(2,1,1),y z λλ=⋅-+-⋅-，则11022221133141y z λλλλλλλλλ=+-=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪=-+=-⎩，解得11257y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则(057)P -，，，故选：B ．5．B 【详解】圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；验证：A 中圆心(11)-，到两直线0x y -=的距离是=；圆心(11)-，到直线40x y --==≠A 错误．故选：B ．6．B 【解析】过点1F 倾斜角为030的直线方程为：)3y x c =+，即0x c +=，则圆心()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：2222222,,2b c a c c a c =∴-==则：212,22e e ==.本题选择B 选项.7．B【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=，即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.8．A【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11||||BF AF =所以8)m =+，解得：83123m -=，所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=83121632(4)8162833m -++=+⨯=+故选：A 9．BD【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =，由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，116129(1)29n n a a n d +∴=+-=，2n a n b =Q ，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠ ，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误；3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=，所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD 10．BC【详解】{}n a 是等差数列，公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，A ．0d =，则1n S na =，若10a ≠，则n →+∞时，n S →+∞，{a n }不是“和有界数列”，A 错；B ．若{a n }是“和有界数列”，则由21(22n d d S n a n H =+-<知10,022d da =-=，即10a d ==，B 正确；C ．{a n }是等比数列，公比是q ，则1(1)1-=-nn a q S q，若1q <，则n →+∞时，11n a S q →-，根据极限的定义，一定存在0H >，使得n S H <，对于任意*n N ∈成立，C 正确；D．若1q =-，10a ≠，则1,21,(*)0,2n a n k S k N n k=-⎧=∈⎨=⎩，∴12n S a <，{a n }是“和有界数列”，D 错．故选：BC．11．BD解：对于A ：()()sin ,a b a b a bλλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a b λλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅ ，=sin ,b a b a b a ⊗⋅ ，故a b b a ⊗=⊗ 恒成立；对于C ，若λa b = ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin ,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b +=⋅，sin ,a b =即有a b a b a ⊗=⋅⋅==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立.故选：BD.12．BC 【详解】由2216x y +=可知，2226,1,5a bc ===，则焦距2c =，离心率6c e a ===；设(),P x y ，圆心()1,0D -，半径为55r =，则PD ===>，故圆D 在C的内部；当PD时，||PQ的最小值为5-=，综上所述，选项BC 正确，故选：BC 13．480x y +-=【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-.在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=.即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <，AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=.14．43或34【详解】点()2,1-关于x 轴的对称点为()2,1--，则反射光线过点()2,1--，设反射光线所在直线为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=，∴圆心到直线距离1d ==，解得：43k =或34k =，∴反射光线所在直线的斜率为43或34.故答案为：43或34.15．13【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =- ，()10,1,2= DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z = 满足n AC ⊥ ，1⊥ n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅== .故答案为：23.16．13k ≥【详解】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得:22112n n n n n a a a a a --=+--，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a >知，10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则121111111 (36611221)n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++11311213n n +=<++-所以13k ≥.故答案为：13k ≥.17．【详解】（1）因为直线l 的方程为3260x y --=，所以直线l 的斜率为32.因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为23-.因为直线1l 过点()1,2M -，所以直线1l 的方程为()2213y x +=--，即2340x y ++=.（2）因为直线2l 与直线l，所以可设直线2l 的方程为320x y m -+=，=7m =或19m =-.故直线2l 的方程为3270x y -+=或32190x y --=.18．【详解】(1)圆1C 的圆心()113C ，，半径1r =，圆2C 的圆心()256C ，，半径24r =，两圆圆心距121212d 544C C r r r r ==+=-=-，，所以1212d r r r r -<<+，圆1C 和2C 相交；(2)圆1C 和圆2C 的方程相减，得43230x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为43230x y +-=，圆心()256C ，到直线43230x y +-=的距离为：d 3==，故公共弦长为=19．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ．由()19955992a a S a a +===-得：50a =，5324d a a ∴=-=-，解得：2d =-，()()33423210n a a n d n n ∴=+-=--=-+；（2）由（1）知：50a =，即140a d +=，14a d ∴=-，又10a >，0d ∴<，()()()11415n a a n d d n d n d ∴=+-=-+-=-，()()1922n n n a a n n S d +-∴==，由n n S a ≥得：()()952n n d n d -≥-，由0d <得：211100n n -+≤，解得：110n ≤≤，又n *∈N ，n ∴的取值范围为{}110,n n n N *≤≤∈.20．【详解】因为12a +，22a ，31a +成等差数列，所以213134213a a a a a =+++=++，即211143a q a a q =++，①由3241S a =-可得2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=，②联立①②及1q >解得11a =，2q =，所以12n n a -=．(2)由(1)知12n n n n a -=，所以01211232222n n n T -=++++ ，121112122222n n n n n T --=++++ ，两式相减得012111111222222n n n n T -=++++- 所以111222122212n n n n n n T -+=-=--，所以1242n n n T -+=-．又因为122112nn n S -==--，所以4(2)n n T n S -=+可化为11212nn -=-，即()12211n n -⋅-=，可变形为()22220nn --=，整理得()()22210n n-+=，解得1n =．21．【详解】分别以DA 、DB 、1DD 为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，（1）由()11,0,1A ，得()11,0,1DA =，设()1,,0E a ，又()10,0,1D ，则()11,,1D E a =-，111010DA D E ⋅=+-= ，11DA D E ∴⊥，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90 ；（2）平面DEC 的一个法向量为()0,0,1m = ，设平面1CED 的一个法向量为(),,n x y z = ，设点()1,,0E a ，其中02a ≤≤，则()0,2,0C ，()10,2,1CD =- ，()1,2,0CE a =- ，由()12020n CD y z n CE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，则2x a =-，2z =，()2,1,2n a ∴=- ，cos ,2m n m n m n ⋅<>===⋅ ，02a≤≤ ，解得2a =-，所以，平面1D EC 的一个法向量为)2n = ，又()1,0,0CB = ，所以，点B 到平面1D EC的距离64CB n d n⋅=== ．22．【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点(,0)a ，所以右顶点到直线0x y -=的距离为3d ==，0a >可得：a=由离心率2c e a ===，可得c =，所以222862b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22182x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程可得：222{182x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，12244m y y m -+=+，12244y y m -=+所以122114··2·224OAB S OP y y m =-=+，设2t =，取等号时，0m =，即斜率不存在，这时24AOB S == ，当0m ≠，2t >，则2222t m =-，所以2442422AOB t S t t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t-=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422AOB t S t t t ==++- 无最大值，综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2．。

上海市第三女子中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷含解析 (1)

上海市第三女子中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷含解析 (1)

2020-2021学年上海市第三女子中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若，则n＝2．半径为1的球的表面积是．3．在的二项展开式中，常数项是．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有种．（用数值表示）5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有不同的报名方法．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若，则．（填写相应序号）11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．1615．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．参考答案一、填空题1．若，则n＝10解：若，则n＝6+4＝10．故答案为：10．2．半径为1的球的表面积是4π．解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12＝4π．故答案为4π．3．在的二项展开式中，常数项是20．解：由．由6﹣2r＝0，得r＝3．∴常数项是．故答案为：20．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有240种．（用数值表示）解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有种，故答案为：240．5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为8π．解：面积为4的正方形边长为2，正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得几何体是底面半径为2，母线长为2的圆柱，所以该圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×2×2＝8π．故答案为：8π．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为60°．解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR＝2πr，∴R＝2r，∴母线与底面所成角的余弦值＝＝，∴母线与底面所成角是60°．故答案为：60°．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有36不同的报名方法．解：四个运动员分为3组共有种情况，将分好的3组分到三个比赛项目，共有种情况，有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有种情况．故答案为：36．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为48．解：设长方体的长宽高分别为m，2m，3m（m＞0），由题意可得：，∴m2＝4，m＝2，长方体的体积：V＝m×2m×3m＝6m3＝48．故答案为：48．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，∴该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p＝1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.8．故答案为：0.8．10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若②③，则①．（填写相应序号）解：由m⊥n，n∥α，得m∥α或m⊂α或m与α相交，相交也不一定垂直，故由①②不能得到③；由m⊥n，m⊥α，得n∥α或n⊂α，故由①③不能得到②；由m⊥α，得m必垂直于平面α内的任意一条直线，又n∥α，所以m⊥n，故由②③可得①．故答案为：②③，①．11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是π．解：根据题意，∠ABC＝90°，AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点，|O′C|＝＝，AC＝3，则BC＝OB＝OC＝3，则∠BOC＝，故B、C两点的球面距离l＝×3＝π；故答案为：π．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．解：正方体有12条棱，从中取两条的方法数式，其中异面直线的方法数：12×4÷2＝24，所以所在的直线是异面直线的概率为：＝＝，故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：①若m∥β，m为α内的一条直线，则α∥β或α与β相交，∴充分性不成立，②若α∥β，m为α内的一条直线，根据面面平行得性质可得m∥β，∴必要性成立，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件，故选：B．14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16解：由题意可知，以AA1为底面矩形的一边，则矩形可以为矩形AA1B1B，矩形AA1D1D，故阳马可以为：C1﹣AA1B1B，C1﹣AA1D1D，D1﹣AA1B1B，D1﹣AA1D1D，C﹣AA1B1B，C﹣AA1D1D，D﹣AA1B1B，D﹣AA1D1D，所以阳马的个数是8个．故选：B．15．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条解：空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A错误；经过空间中不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，故B错误；过球的一个直径的两个端点的大圆有无数个，故C错误；过空间任一点作两条异面直线的平行线，则所作的两条直线确定一个平面，过该点与所确定的平面垂直的直线有且只有一条，故过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故D正确．故选：D．16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×＝6种情形；第三类：五局为止，共有2×＝12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12＝20种情形故选：C．三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．解：将数据从小到大排序得155，159，161，162，163，166，167，168，169，170．故其平均值为＝164，其中位数为＝164.5，身高大于165cm的概率估计值为＝．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．解：（1）∵n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1，∴•（﹣2）n﹣2＝﹣3•（﹣2）n﹣1，解得n＝13．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+⋯+a n＝（1﹣2）13＝﹣1．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．解：（1）连接PO，则，∴圆锥的体积为：；∵F是PA的中点，且AB＝4，∴圆柱的底面直径为2，∴圆柱的侧棱长为，∴圆柱的体积为：；则圆柱与圆锥的体积的比值为＝；（2）由题可知，OC，OB，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，﹣2，0），P（0，0，），F（0，﹣1，），C（2，0，0），则，所以cos＜＞＝，∴异面直线OF和PC所成的角的大小为arccos．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．【解答】（1）从1、3、5、7中任取2个数字为，从2、4、6、8中任取2个数字为，组成无重复数字的四位数；（2）从1、3、5、7中任取2个数字为，必选0，所以从2、4、6、8中任取1个数字为，0不排首位，先给0选个位置，剩余数字全排为；故含有数字0的元素的个数为＝432；（3）能被5整除分情况讨论：①选5不选0：＝108，②选0不选5：＝72，③0，5都选：＝120，所以能被5整除得方法数：108+72+120＝300，所以能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以，，设平面A1B1C1的法向量为，则，即，令y＝1，则z＝2，，故，所以点A到平面A1B1C1的距离为＝；（2）由（1）可知，平面A1B1C1的法向量为，又平面ABC的一个法向量为，所以，又平面ABC与平面A1B1C1所成的角为锐二面角，所以平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小为；（3）过点B1作B1E∥AB交AA1于点E，过点B1作B1F∥BC交CC1于点F，取AB的中点P，连结BP，则BP⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，且BP⊂平面ABC，则BP⊥AA1，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，所以BP⊥平面AA1C1C，＝＝＝，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．。

2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

x1 x2
y1 y2
z1 z2
C． cos a,b
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ，则
a
为单位向量
10．设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y x称为高斯函数，也叫取 整函数，如： 1.5 1 ，1.3 2 ，则下列结论正确的是（ ）
绝密★启用前
期末复习模拟一
一、单选题
范围：选择性必修一 + 数列
第 I 卷（选择题）
1．若圆 x a2 y b2 1a R, b R 关于直线 y x 1对称的圆的方程是 x 12 y 32 1, 则 a b等于（ ）
A．4
B．2
C．6
D．8
2．在等比数列 an 中，若 a4 ， a8 是方程 x2 4x 3 0 的两根，则 a6 的值是（ ）
A． 3
B． 3
C． 3
D． 3
3．平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
AC
与
BD
的交点，若
AB
a
， AD
b
，
AA1 c ，则下列式子中与 D1M 相等的是（ ）
A．
1
a
1
b
c
22
C．
1
a
1
b
c
22
4．抛物线 y2 x 的准线方程为（ ）
B．
1
a
1
b
c
22
D．
A． C1C// 平面 OMN
B．平面 A1CD / / 平面 OMN

期中考试模拟卷01(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

期中考试模拟卷01(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

2021-2022学年度高二第一学期数学期中考试模拟卷01测试范围：第1章—第2章第I 卷（选择题）一、单选题1．已知两平面的法向量分别为)0(()10011m n ==，，，，，，则两平面所成的二面角为（）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°2．若直线1l ，2l 的方向向量分别为(2,1,1)m =--，(1,1,1)n = ，则这两条直线（）A ．平行B ．垂直C ．异面垂直D ．垂直相交3．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为（）A ．1B ．12C ．13D ．24．方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->表示的曲线关于直线0x y +=成轴对称图形，则（）A ．0D E +=B ．0D F +=C ．0E F +=D ．0D E F ++=5．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+- D ．221332a b c+- 6．已知()2,4A --，()1,5B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为（）A ．3-B ．3-或3C ．1-D ．1-或17．圆()()22:236C x y -+-=截直线():110l a x y a +--+=的最短弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．88．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，若G 是EF 的中点，1AF =，2AC BG ⋅=-，则三棱锥C ABG -的外接球的表面积是（）A ．6πB ．10πC ．8πD ．12π二、多选题9．（多选题）下列说法中，正确的是（）A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．一条直线的倾斜角为30-C ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α D ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A ．若向量,a b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b；B ．若非零向量,,a b c 满足,a b b c ⊥⊥ ，则有//a c ；C ．若OA ，OB ，OC是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++ ，则,,,A B C D 四点共面；D ．若,,a b c是空间的一组基底，则向量,,a b b c c a +++ 也是空间一组基底；11．下列说法错误的是（）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=C ．过()11,x y 、()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x y y x x --=--D ．若两直线()1:3454l a x y a ++=-与()2:259l x a y ++=平行，则7a =-12．已知实数x 、y 满足方程222410x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．22x y +的最大值为2B ．()()2221x y +++的最大值为22+C ．x y +的最大值为3+D ．43x y -的最大值为8第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知m ，n 满足1m n +=，则点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为_______．14．直线()2110a y +++=的倾斜角的取值范围是___________.15．已知点A ､B ､C ､D 的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(,5,3)x ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则x =___________.16．圆心在230x y --=上，过() 5,2和()3,2-的圆的标准方程___________.四、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a = ，AD b = ，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM；（2）求BM 的长.18．ABC 的三个顶点5,01,3(),()0)2,(A B C --，，边,AC BC 的中点分别是,E F .（1）求边AB 的中位线EF 所在的直线方程;（2）求边AB 的高线所在的直线方程.19．已知圆22:30C x y Dx Ey ++++=，圆心在直线10x y +-=上，且圆心在第二象限，半径，求（1）圆C 的一般方程（2）圆C 关于线0x y -=的对称圆方程.20．已知圆22:4440C x y x y +--+=.（1）若过点(1,0)P 的直线l 与圆C 相交所得的弦长为l 的方程;（2）若Q 是直线:3460l x y '++=上的动点，,QA QB 是圆C 的两条切线，,A B 是切点，求四边形QACB 面积的最小值.21．如图，//AD BC 且22AD BC ==，AD CD ⊥，平面ADGE ⊥平面ABCD ，四边形ADGE 为矩形，//CD FG 且22CD FG ==．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；（2）若CF 与平面ABCD 所成角的正切值为2，求直线AD 到平面EBC 的距离．22．长方体OABC O A B C ''''-中，AB BC a ==，BB b '=，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且AE BF x ==(0)x a ≤≤，（1）当a b =时，求证：直线O B '⊥平面B AC '；（2）当2a b ==，且BEF 的面积取得是大值时，求点B 到平面B EF '的距离；（3）当2,1a b ==时，求从E 点经此长方体表面到达O '点最短距离．参考答案1．C 【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．【详解】cos ,2m n m n m n ⋅=⋅〈〉，即45m n =︒ 〈,〉.∴两平面所成二面角为45︒或18045135︒︒=︒－.故选：C.2．B 【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.【详解】因为()()2111110m n ⋅=⨯+-⨯+-⨯= ，所以m n ⊥ ，所以1l ⊥2l .故选：B.3．B 【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∴直线1//l 直线2l ．∴1l 与2l间的距离21524t d ⎛⎫-+ ⎪==12t =时取等号．∴当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12．故答案选：B 4．A 【分析】依题意可知，方程表示的圆的圆心在直线0x y +=上，即可解出．【详解】因为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以该方程表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的圆，而该方程表示的曲线关于直线0x y +=成轴对称图形，所以圆心,22D E ⎛⎫-- ⎝⎭在直线0x y +=上，即有0D E +=．故选：A ．5．B 【分析】首先连接ON ，再利用向量加减法的几何意义求解即可.【详解】连接ON ，如图所示：因为2OM MA =，N 为BC 中点，所以121222311322M A a N ON OM OB O b c C O -=-=+=+-+ .故选：B 6．B 【分析】解法一：当A ，B 在直线l 的同一侧时，直线l 与直线AB 平行，利用平行线的斜率相等求得a 的值；当A ，B 在直线l 的两侧时，转化为直线l 经过线段AB 的中点求得，利用中点公式求得线段AB 的中点坐标，代入直线方程求得a 的值.解法二：直接由点到直线的距离公式列出方程求解即得.【详解】（1）()2,4A --，()1,5B 两点位于直线:10l ax y ++=同一侧，即直线AB 平行于直线:10l ax y ++=，所以45321a ---==--，即3a =-；（2）()2,4A --，()1,5B 两点位于直线:10l ax y ++=的两侧，所以直线l 过线段AB 的中点，线段AB 的中点坐标为2145,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴111022a -++=,解得3a =.综上实数a 的值为3a =±.222415111a a a a --+++=++即236,a a +=+亦即()236a a +=±+,解得3a =±.故选：B.7．C 【分析】求出直线l 过定点P ，P 在圆内，则当CP l ⊥时，弦长最短，由勾股定理得弦长．【详解】由已知(2,3)C ，半径为6r =直线l 方程整理得(1)10x a x y -+-+=，由1010x x y -=⎧⎨-+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,2)P ，又22(12)(23)26-+-=<，因此P 在圆内，当CP l ⊥时，弦长最短．P 为弦中点．CP =4==．故选：C ．8．C 【分析】利用已知结合数量积的运算求解AB ，可得AGC 为直角三角形，再由ABC 为直角三角形，可知AC 为三棱锥C ABG -的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．【详解】解： AC AB AD =+ ，1122BG BE BA AF AB =+=-，∴1()()2AC BG AB AD AF AB ⋅=+⋅-，又AB Q 、AF 、AD 两两相互垂直，∴2122AC BG AB ⋅=-=-，即2AB =，2222AG AF FG ∴=+=，22226GC BC BE EG =++=，2228AC AB BC =+=，则AGC 为直角三角形，又ABC 为直角三角形，AC ∴为三棱锥C ABG -的外接球的直径，则三棱锥C ABG -的外接球的表面积24()82AC S ππ=⨯=．故选：C ．9．CD 【分析】根据题意，依次分析选项即可.【详解】对于A ，直线的倾斜角为α，当90α=︒时，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，B 错误；对于C ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，则有sin 0α ，C 正确；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，D 正确；故选：CD.10．ACD【分析】结合空间向量基本定理逐项分析判断即可求出结果.【详解】A 选项由空间向量基底的概念可知A 正确；B 选项如图，非零向量,,a b c 满足,a b b c ⊥⊥ ，但a c ⊥，故B 错误；C 选项由于111333OD OA OB OC =++ ，所以()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-，因此1133AD AB AC =+，因此,,,A B C D 四点共面，故C 正确；D 选项假设向量,,a b b c c a +++ 也是空间一组基底，则空间中的任何一个向量d，存在唯一实数组(),,x y z ，使得()()()d x a b y b c z c a =+++++ ，即()()()d x z a x y b y z c =+++++，则,,a b c也是空间的一组基底，故D 正确，故选：ACD.11．ABC 【分析】利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；利用直线的截距式方程可判断B 选项的正误；利用直线的两点式方程可判断C 选项的正误；利用两直线平行求实数a 的值，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则20a a +=，解得0a =或1a =-.因为{}1- {}1,0-，所以，“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件，A 错；对于B 选项，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =，B 错；对于C 选项，当12x x =或12y y =，方程112121y y x x y y x x --=--无意义，C 错；对于D 选项，若直线()1:3454l a x y a ++=-与()2:259l x a y ++=平行，则()()358a a ++=，整理可得2870a a ++=，解得1a =-或7a =-.当1a =-时，1:2490l x y +-=，2:2490l x y +-=，两直线重合，不合乎题意；当7a =-时，1:44330l x y -+=，2:2290l x y --=，两直线平行，合乎题意，D 对.故选：ABC.12．BCD 【分析】利用圆上的点到圆外一点距离的最值可判断AB 选项的正误，利用直线与圆有公共点求出参数的取值范围，可判断CD 选项的正误.【详解】方程222410x y x y +--+=可变形为()()22124x y -+-=，方程222410x y x y +--+=表示的图形是以点()1,2C 为圆心，以2为半径的圆，如下图所示：对于A 选项，代数式22x y +表示圆C 上的点(),P x y 到原点O 的距离的平方，当点P 为直线OC 与圆C 的交点，且C 在线段OP 上时，OP 取得最大值，即max 22OP OC =+=()(222max29x y ∴+=+=+，A 错；对于B 选项，代数式()()2221x y +++表示圆C 上的点(),Q x y 到点()2,1A --的距离的平方，当点Q 为直线AC 与圆C 的交点，且点C 在线段AQ 上时，AQ 取得最大值，即max 222AQ AC =+==，所以，()()()222max21222x y ⎡⎤+++=+=+⎣⎦，B 对；对于C 选项，设x y k +=，则直线0x y k +-=与圆C 有公共点，2≤，解得33k -≤+所以，x y +的最大值为3+C 对；对于D 选项，设43x y t -=，则直线430x y t --=与圆C 有公共点，225t +=≤，解得128t -≤≤，所以，43x y -的最大值为8，D 对.故选：BCD.13【分析】首先判断直线20mx y n -+=恒过定点()2,2，再将距离的最大值转化为两点间的距离.【详解】1m n += ，∴直线20mx y n -+=恒过定点()2,2，所以点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为点()1,1和()2,2两点间的距离d =.14．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【分析】首先求直线的斜率，分0a =和0a ≠两种情况，结合基本不等式，求斜率的取值范围，可得倾斜角的取值范围.【详解】直线的斜率为21k a =-+，①当0a =时，0k =；②当0a ≠时，1k a a =+可得k ≤≤0k≠．由①②，有k ≤≤可得直线的倾斜角的取值范围是20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ．15．3【分析】转化A ，B ，C ，D 四点共面为,R λμ∃∈，使得AB AC AD λμ=+，用坐标表示，解方程组，即得解【详解】由题意，A ，B ，C ，D 四点共面故,R λμ∃∈，使得AB AC AD λμ=+又(1,1,1),(1,2,1),(,4,1)AB AC AD x ==-=故12411x λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解得113,,22x λμ==-=故答案为：316．()()222110x y -+-=【分析】已知圆上两点，这两点连接的线段的垂直平分线必过圆心，只需把两条直线联立方程组解出圆心，再求出半径写出圆的方程.【详解】因为圆过A ，B 两点，所以圆心一定在AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为1(4)2y x =--，则1(4)2230y x x y ⎧=--⎪⎨⎪--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩.即圆心为(2,1)，r所以圆的标准方程为22(2)(1)10x y -+-=.故答案为：22(2)(1)10x y -+-=17．（1）111222a b c -++ ；（2）2.【分析】（1）利用向量的加、减法即可求解.（2）利用向量的数量积以及向量模的坐标表示即可求解.【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+ .AD BC = ，BP AP AB =-uur uuu r uuu r，1()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a = ，AD b = ，c AP = ，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD == ，2PA =，||||1a b ∴==，||2c = .AB AD ⊥ ，60PAB PAD ∠=∠=︒，0a b ∴⋅=r r，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒= .由（1）知111222BM a b c =-++ ，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，||BM ∴ BM18．（1）2410x y ++=；（2）220x y -+=.【分析】（1）求出中点,E F 坐标，得出直线斜率，写出直线方程并整理即得；（2）由垂直得直线斜率，由点斜式得直线方程，整理可得．【详解】（1）由题意511,1,,222E F ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1311225162222EFk +===----∴15:122EF l y x ⎛⎫∴-=-+ ⎪⎝⎭即边AB 的中位线EF 所在的直线方程为:2410x y ++=.（2）解:设高线为CD ，AB CD l l ⊥ ，·1CD AB k k ∴=-，解得2CD k =，:22CD l y x ∴=+，即边AB 的高线所在的直线方程为:220x y -+=.19．（1）222430x y x y ++-+=；（2）22(2)(1)2x y -++=．【分析】（1）由一般方程配方得出圆心和半径，列方程组求得,D E ，注意0,0D E ><即可；（2）求出圆心关于直线0x y -=的对称点的坐标，圆半径不变，由此可得结论．【详解】（1）圆的标准方程为2222(()3224D E D E x y ++++=-，圆心为(,)22D E--，半径为r =所以1022D E⎧---=⎪=，解得42D E =-⎧⎨=⎩或24D E =⎧⎨=-⎩，又圆心在第二象限，所以24D E =⎧⎨=-⎩，圆的一般方程为222430x y x y ++-+=；（2）由（1）圆心为(1,2)C -，设它关于直线0x y -=的对称点为(,)C m n '，则12022211m n n m -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得2,1m n =⎧⎨=-⎩．所以对称圆方程为22(2)(1)2x y -++=．20．（1）3430x y --=或1x =；（2）【分析】（1）求出圆心坐标和半径，讨论斜率不存在时直线满足题意，然后设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示出弦长求得参数得直线方程；（2）面积最小，则切线长最小，从而圆心到直线的距离最小，因此只要QC l '⊥时，四边形QACB 面积取得最小值，由此求得切线长，得最小面积．【详解】圆C 的方程化为标准式为:22(2)(2)4x y -+-=（1）当斜率不存在时，1x =代入圆方程得2y =，弦长为;当斜率存在时，设:(1)l y k x =-，即kx y k 0--=，圆心到直线l的距离1d ==解得:34k =，3(1)4y x ∴=-，所以直线l 方程为3430x y --=或1x =，（2）当QC l '⊥时，四边形QACB面积取得最小值，4min QC =，min QA ∴=1222QACB min min S QA AC QA =⋅⋅⋅=⋅=.21．（1）证明见解析；（22【分析】(1)由给定条件证得DA ，DC ，DG 两两垂直，建立空间直角坐标系，借助空间向量证明MN 与平面CDE 平行；(2)结合(1)中信息，求出DG 长，证明//AD 平面EBC ，借助空间向量求出点D 到平面CDE 距离即可.【详解】（1）四边形ADGE 为矩形，即AD GD ⊥，而平面ADGE ⊥平面ABCD ，平面ADGE 平面ABCD AD =，则DG ⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，设DG t =，则(2,0,)E t ，(0,1,)F t ，(0,0,)G t ，3,)2,2(0M t，(1,0,)N t ，设()0000,,n x y z = 为平面CDE 的法向量，则000002020n DC y n DE x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨令02z =-，可得0(,0,2)n t =-，又3(1,,)22tMN =- ，则有00MN n t t ⋅=-= ，即0MN n ⊥ ，而直线MN ⊄平面CDE ，所以//MN 平面CDE ；（2）因为//AD BC ，AD ⊄平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，则//AD 平面EBC ，从而有直线AD 到平面EBC 的距离等于点D 到平面EBC 的距离，由(1)知DG ⊥平面ABCD ，即(0,0,)DG t =是平面ABCD 的法向量，因CF 与平面ABCD 所成角θ的正切值为2，则CF 与平面ABCD 所成角θ，又(0,1,)CF t =-，2||sin |cos ,|||||DG CF DG CF DG CF θ⋅=〈〉===⋅解得2t =，则点(2,0,2)E ，(1,0,0),(1,2,2)BC BE =-=-，设()111,,n x y z = 为平面EBC 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令11z =，可得(0,1,1)n = ，而(0,2,0)DC =，则点D 到平面EBC的距离||||n DC h n ⋅== 所以直线AD 到平面EBC22．（1）证明见解析；（2）23；（3）当01x ≤<时，E 点经此长方体表面到达O '点最短距离12x ≤≤时，E 点经此长方体表面到达O '【分析】（1）以O 为原点，建立空间直角坐标系，证得0O B AC '⋅=uuu r uuu r ，0O B B A ''⋅=uuu r uuu r，利用线面垂直的判定定理可证得；（2）利用基本不等式可求得BEF 的面积取得是大值时，,E F 分别为棱,AB BC 的中点，再利用等体积法可求得距离.（3）分类讨论沿O C ''将长方体展开，O E '(02)x ≤≤；沿O O '将长方体展开，E O ='(02)x ≤≤，进而求得距离最小值.【详解】（1）如图，以O 为原点，直线,,OA OC OO '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,0,)O b '，(,,0)B a a ，(,,)B a a b '，(,0,0)A a ，(0,,0)C a 则(,,)O B a a b '=-uuu r ，(,,0)AC a a =-，(0,,)B A a b '=--uuu r ，a b =220O B AC a a '⋅=-+=uuu r uuu r Q ，O B AC'∴⊥uuu r uuu r220O B B A a b ''⋅=-+=uuu r uuu r Q ，O B B A''∴⊥uuu r uuu r 又B A AC A '=I ，所以直线O B '⊥平面B AC'（2）由AE BF x ==，知EB a x =-，则2211()2228BEF x a x a S x a x +-⎛⎫=-≤=⎪⎝⎭V ，当且仅当x a x =-，即2ax =时等号成立，此时,E F 分别为棱,AB BC 的中点，在B EF ' 中，5B E B F ''==，2EF =，()2212325222B EF S '⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭V ，利用等体积法知B B EF B BEF V V ''--=，设点B 到平面B EF '的距离为h ，则1133B EF BEF S h S BB ''⋅=⋅，即131********h ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得23h =所以点B 到平面B EF '的距离为23（3）沿O C ''将长方体展开，如图，22239O E x x =+=+'(02)x ≤≤沿O O '将长方体展开，如图，()2222145E x x x O =++=++'(02)x ≤≤当01x ≤<22459x x x ++≤+，此时()22min 215E O x ='++=当12x ≤≤22459x x x ++≥+，此时2min 910E x O =+='综上，当01x ≤<时，从E 点经此长方体表面到达O '5当12x ≤≤时，从E 点经此长方体表面到达O '10。

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则另外两个都是女孩的概率为（ ） A ．37B ．38C ．12D ．34【答案】A【分析】利用列举法确定基本事件的总数，再得出另外两个都是女孩所包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），（男男男），共有7个，其中另外两个都是女孩包含的基本事件有： （男女女），（女男女），（女女男），共有3个， 则至少有两个孩子是女孩的概率是37P =. 故选：A.2．下列式子错误的（ ） A ．11C C 1m mn n m n ++=+ B ．11P P m m n n n --=C ．12111P P P m m m n n n n +-+--= D ．1C (1)C C m m m n n n n m m +=++【答案】A【分析】根据排列数及组合数的运算性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，因为()()()()11!1!11C C 11!1!!1!m m n n n m n m m n n m n m m n m +++++⨯==≠++-+-+，故A 错误； 对于B ，因为()()()11!P P 1!=!!m mn nn n n n n m n m ---=⨯=--，故B 正确；对于C ，因为()()()()11!P 1!!!P !!m mn nn n n n n m n m n m ++--+⋅==---， 且()()()21211!!!!P m n n n n n n n m n m ---⋅=⨯=--，故C 正确；对于D ，因为()()()()1!!11!1!!!(1)C C m mn n n n m mm n m m m n m m +++=+++---()()()()()()()!!!!!!1!1!!!!!!!!n m n n n m n n n m n m m n m n m m n m m n m m -⋅⋅=+=+=-------且()!C !!mn n n n m n m ⋅=-，故D 正确.故选:A.3．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.4．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则错误的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =【答案】B【分析】求出过AB 的直线方程，再求出圆心到直线AB 的距离，得到圆上的点P 到直线AB 的距离范围，判断选项A 与B ；画出图形，由图可知，当过B 的直线与圆相切时，满足PBA ∠最小或最大，求出圆心与B 点间的距离，再由勾股定理求得PB 判断选项C 与D ． 【详解】圆22(5)(5)16x y -+-=的圆心为(5,5)C ，半径为4， 直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=， 圆心C 到直线AB 的距离为22|5254|1111545512+⨯-==>+， 则点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<， 所以点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故选项A 正确，B 错误；如图所示，当ABP ∠最大或最小时，PB 与圆相切，(P 点位于1P 时PBA ∠最小，位于2P 时PBA ∠最大），连接CP ，BC ，可知PC PB ⊥，22||(05)(25)34BC -+-||4CP =，由勾股定理可得||BP CD 正确． 故选：B ．二、填空题5．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________． 【答案】23【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1021053=+ 故答案为：236．已知抛物线21:2C y x =与抛物线2C 关于直线y x =-对称，则2C 的准线方程是______． 【答案】18x##0.125x = 【分析】先求出抛物线21:2C y x =的准线方程，根据对称性即可求解2C 的准线方程.【详解】抛物线21:2C y x =准线方程为18y =-因为抛物线21:2C y x =与抛物线2C 关于直线y x =-对称则抛物线21:2C y x =准线方程18y =-与抛物线2C 的准线方程也关于直线y x =-对称所以抛物线2C 的准线方程为18x 故答案为：18x.7．已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.8．在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.9．已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 值为_____．【答案】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m . 【详解】由圆22:4C x y +=的圆心(0,0)到直线:l y kx m =+的距离为d =则弦长为:若要弦长最小，则0k =所以2=，解得m =故答案为：10．设B 是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的上项点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围_______【答案】【分析】利用距离公式将||PB 表示，配方后，分32b b c ->-和32b b c-≤-两种情况讨论即得. 【详解】设(,)P x y ，则||2PB b ，因为[,]y b b ∈-，当32b b c->-即222a c <时，max ||PA 2b ，所以422224b a b b c++≤， 化简得：4224440a a c c -+≤222(2)0a c ∴-≤，显然该不等式不成立，当32b b c-≤-，即222a c ≥时，max ||PA 2b ，恒成立，由222a c ≥，得2212c a ≤，所以0e <≤综上，离心率的范围为.故答案为： 11．函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】1【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >．若过1F 的直线和圆2221()2x c y c -+=相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是_______．． 【分析】写出P 点坐标，求得直线1PF 斜率，得直线方程，由圆心到直线的距离等于半径可求得,,a b c 的关系，从而可求得斜率22b ac．【详解】由题意2(,)bP c a，1(,0)F c -，122()2PF b b a k c c ac==--， 直线1PF 的方程为2()2b y x c ac=+，即2220b x acy b c -+=， 圆2221()2x c y c -+=的圆心为1(,0)2C c ，半径为c ，直线1PFc =，整理得422544b ac =， 所以422445b a c =，1PF k=22b ac =，． 13．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 【答案】520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=．14．已知a 、R b ∈，0ab >，函数2()()f x ax b x R =+∈．若()f s t -、()f s 、()f s t +成等比数列，则平面上点(,)s t 的轨迹是______． 【答案】双曲线和直线【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】解：由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+，()()222222(2)0as at b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，()22222220a sa t ab t -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a -=为双曲线，0=t 为直线.故答案为：双曲线和直线.15．曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F PF 的面积不大于a ．其中，所有正确结论的序号是 _________ ． 【答案】②③ 【详解】试题分析：设，依题意，则，化简可得：，由，则曲线C 不过坐标原点，①错误；把曲线方程中的，原方程不变，所以曲线C 关于坐标原点对称正确；又方程原型则，，令，可得或，可知当时，取得最大值44a ，此时2||2a y =，△F 1PF 2的面积不大于22112222a a ⋅⋅=【解析】1.直接法求轨迹方程；2.对称的判断方法；3.面积的最大值；三、双空题16．袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________.【答案】 189【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值，再根据随机变量ξ的分布列即可求出()E ξ．【详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=． 由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为：1；89．四、解答题17．已知双曲线1C ：2214yx -=.（1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程.（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A ，B 两点.当3OA OB ⋅=时，求实数m 的值. 【答案】（1）2214x y -=（2）m =【分析】(1)先求双曲线1C 的焦点坐标，然后结合条件计算出双曲线2C 的标准方程(2)设()11,2A x x ，()22,2B x x -构造新曲线方程，联立直线方程与曲线方程，求出两根之积，代入向量的表达式求出结果【详解】（1）双曲线1C的焦点坐标为)，()，设双曲线2C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则222251631a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎨=⎩ ∴双曲线2C 的标准方程为2214x y -=.（2）双曲线1C 的渐近线方程为2y x =，2y x =-. 设()11,2A x x ，()22,2B x x -.由2204y x y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得22320x mx m --=， 由()()222243160m m m ∆=--⨯⨯-=>，得0m ≠.∵2123m x x =-，()()121212223OA OB x x x x x x ⋅=+⋅-=-，∴23m =，即m =【点睛】本题考查了求双曲线标准方程以及结合向量求参数的值，题目较为基础，需要掌握解题方法18．（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数 （2）156个【分析】（1）分数字重复和不重复讨论，根据排列组合计算即可.（2）偶数先确定个位数字为0或2或4，再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果.【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：4544C A 5432120⋅=⨯⨯⨯=（个）②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：45625=（个）综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数.（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4，①个位是0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，有111543C C C 54360⋅⋅=⨯⨯=个；②个位是2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分别放在百位、十位，有1143C C 4312⋅=⨯=个，所以个位是2的偶数有 41248⨯=个；③个位是4的，也有48个；综上所述，用0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有604848156++=个. 19．已知()112110121132x a a x a x a x -=++++．求：(1)1211a a a +++；(2)1211a a a +++；(3)1211211a a a +++．【答案】(1)1113- (2)111153- (3)22-【分析】（1）利用赋值法即可得解；（2）先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解； （3）利用导数及赋值法即可得解. 【详解】（1）因为()112110121132x a a x a x a x -=++++，所以令0x =，得()1121101211320000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯，即1103a =，令1x =，得()11012113211a a a a ++=++-⨯=，所以11121113a a a +=+-+.（2）因为()1132x -的二项式展开通项为()()11111111111C 3223C kkk kk k kk T x x ---+=-=-，所以0210,,,0a a a >，1311,,,0a a a <，故()()121121011314a a a a a a a a a ++++++++=-+，令=1x -，得()111101211325a a a a -++=-+=，即()()210111110435a a a a a a a +++++++=-，又因为1103a =，所以()()112112101111114353a a a a a a a a a +++=++++++=--.（3）令()()112110121132f x x a a x a x a x =-=++++，则()()()()1010221132322f x x x ⨯=---'=-，且()210122112311f x a a x a x a x '=++++，令1x =，则()()1021322221f '⨯-=-=-，且()1221112311f a a a a '=++++，所以121122112a a a ++=-+.20．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．21．已知0a >且1a ≠，函数()()()()(),,a xs x s x x t x a f x t x ===． (1)若a 是不小于2的正整数，求函数()s x 的极值点； (2)当2a =时，求函数(),0y f x x =>的单调区间；(3)若曲线(),0y f x x =>与直线1y =有且仅有两个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)()()1,e e,+∞【分析】（1）对()s x 求导，分类讨论a 是不小于2的奇数或偶数两种情况，结合导数与函数的极值点的关系即可得到结果；（2）对()f x 求导，利用导数与函数单调性的关系即可得解； （3）令()=1f x ，将其变形为ln ln x ax a=，构造()ln h x x tx =-，利用导数证得()h x 有两个零点时10e t <<，从而得到ln 1e0a a <<，再构造()ln x g x x =，利用导数研究()g x 的单调性，由ln aa 的范围求得a 的取值范围．【详解】（1）因为()as x x =，所以()1a s x ax-'=，令()0s x '=，得0x =， 因为a 是不小于2的正整数，所以当a 为不小于2的奇数时，1a -为不小于2的偶数，故10a x -≥，即()0s x '≥， 所以()s x 在R 上单调递增，没有极值点；当a 为不小于2的偶数时，1a -为不小于1的奇数， 则令()0s x '>，得0x >；令()0s x '<，得0x <； 所以()s x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 故()s x 在0x =处取得极小值，没有极大值； 综上：当a 为不小于2的奇数时，()s x 没有极值点；当a 为不小于2的偶数时，()s x 有极小值点0x =，没有极大值点.（2）当2a =时，()22x x f x =，则()()()2222ln2222ln242xx x x x x x x x f x '⋅-⋅-⋅==， 令()0f x '=，得2ln 2x =， 故当20ln 2x <<时，0f x ；当2ln 2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；2,ln2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减. （3）由()()10ax x f x x a==>得x a a x =，即ln ln x a a x =，故ln ln x a x a =有两个解， 令()()ln 0h x x tx x =->，则()h x 在()0,∞+上有两个零点，()11txh x t x x-'=-=， 当0t <时，0tx ->，故()10txh x x-'=>，即()h x 在()0,∞+上单调递增，显然，顶多只有一个零点，舍去；当0t >时，令()0h x '>，得10x t <<；令()0h x '<，得1x t>；所以()h x 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()h x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h x 的极大值为1h t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()h x 在()0,∞+上有两个零点，所以必有10h t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1ln 10t ->，解得10e t <<，下面证明当10et <<时，()h x 在()0,∞+上有两个零点：当10x t <<时，易知1e 1t >>，()1ln10h t t >-=-<，故()110h h t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又因为()h x 在10,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点；当1x t>时，令()()2e 1x x x x ϕ=->，则()e 2x x x ϕ'=-，再令()()e 21x u x x x =->，则()1e 2e 20x u x '=->->，故()u x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 20u x u >=->，即()0x ϕ'>，故()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 10x ϕϕ>=->，因为1e 1t>>，所以10t ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即211e 0t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即121e t t >，即12e 1t t >，故121e 0t t -<，又因为1211e tt t >>，故11111211e e ln e e e 0tt t t tt h t t t t ⎛⎫-=-=-=< ⎪⎝⎭，即11e 0t h h t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()h x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一零点；综上：当10e t <<时，()h x 在()0,∞+上有两个零点，即ln 0x tx -=有两个解，故ln xt x=有两个解， 又因为ln ln x a x a =有两个解，所以ln a t a =，即ln 10e a a <<； 令()()ln 0x g x x x=>，则()21ln xg x x -'=，令()0g x '=，得e x =，故在()0,e 上()0g x '>，()g x 单调递增；在()e,+∞上()0g x '<，()g x 单调递减；所以()max 1()e e g x g ==，又()10g =，所以由ln 10ea a <<，得()()()10e g g a g =<<， 当e a <时，因为()g x 在()0,e 上单调递增，所以由()()()1e g g a g <<得1e a <<； 当e a >时，因为()g x 在()e,+∞上单调递减，且()ln 0xg x x=>，所以由()()0e g a g <<得e a >； 当e a =时，()()e g a g =，矛盾，不满足题意，舍去； 综上：1e a <<或e a >，故a 的取值范围是()()1,e e,+∞．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

上海市七宝 2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市七宝 2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷

七宝中学2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷出卷人 卜照泽 审卷人 尹赵 本场考试时间120分钟，满分150分.一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第16题每题4分，712题每题5分）1. 在5(1的展开式中，2x 的系数为 .(用数字作答)2. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在在一起，则有 种不同的排法.(用数字作答)3. 某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 .4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn= .5. 抗击疫情期间，小志参与了社区志愿者工作.现在要对服务时长排名前20％的志愿者进行表彰.该社区的志愿者服务时长（单位：小时）如下：186.0 102.0 22.0 64.0 36.0 68.0 106.0 126.0 110.0 210.0 124.0 226.0 154.0 230.0 58.0 162.0 70.0 162.0 166.0 16.0 根据以上数据，该社区志愿者服务时长的第80百分位数是 .（精确到0.1） 6．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则()1P X ≤＝ ．7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.58yx b =+，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是 .8. 新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为23，乙小组研发成功的概率为12.在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为 .9.小强对重力加速度做n 次实验，若以每次实验的平均值作为重力加速度的估值，已知估值的误差290,n N n ⎛⎫⎪⎝∆⎭～，为使误差n ∆在()0.5.0.5−内的概率不小于0.6827 ，小强至少需要做 次实验.（参考数据：若()2,X N μσ～，()0.6827P X μσμσ−≤≤+=） 10. 设随机变量X ，Y 满足：31Y X =−，()2,XB p ，若()519P X ≥=，则[]D Y = . 11. 设随机事件A 、B ，己知()0.4P A =，()0.3P B A =，()0.2P B A =，则()P B = . 12.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p 、2p 、3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘且在第二盘与甲、乙、丙比赛的概率分别为p 甲、p 乙、p 丙，则p 甲、p 乙、p 丙的大小关系为 .二、选择题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13. 在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为mn，当n 很大时，事件A 发生的概率()P A 与mn的关系是 ( )A ．()P A mn≈ B ．()m P A n < C ．()m P A n > D ．()m P A n =14．若二项式1()2n x −展开式中所有项的系数之和为n a ，所有项的系数绝对值之和为n b ，二项式系数之和为n c ，则下列结论不成立的是 （ ）A ．n n n a b c <<B ．103n n n n b a a b +≥C ．对任意,1N n n ∈≥均有n n n a b c +≤D ．存在,1N n n ∈≥使得n n n a b c +>15. 由于疫情各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为 （ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++.A ．130 16．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==−∑.命题1：若1(1,2,,)i p i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大；命题2：若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +−==+=，则()()H X H Y ≤.则以下结论正确的是 （ ） A ．命题1正确，命题2错误 B ．命题1错误，命题2正确 C ．两个命题都错误 D ．两个命题都正确 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 求满足下列方程组的正整数的解： (1)32228n n P P =；(2)112311n n n nn n n n C C C C +−−+++−=+.18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知()(31),,1N n f x x n n =−∈≥.(1)若()f x 的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中2x 的系数； (2)若2023n =，且()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =−=++++，求012023a a a +++.19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m 名学生的各项平均成绩(满分100分)，按照以下区间分为7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，并得到频率分布直方图(如)．已知测试平均成绩在区间[)30,60内的有20人．(1)求m 的值及中位数n ；(2)若该校学生测试平均成绩小于n ，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．设每场比赛双方获胜的概率都为12．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．（1）求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；（2）从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．。

2021年上海中学(东校)高二数学文下学期期末试卷含解析

2021年上海中学(东校)高二数学文下学期期末试卷含解析

2020-2021学年上海中学(东校)高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，若与垂直，则的值（）A . B. C. 0 D. 1参考答案：B2. 函数f(x)=lnx–的零点所在的大致区间是( )A．(1, 2) B．(2, 3) C．(1,)和(3, 4) D．(e, +∞)参考答案：B3. 下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：B【考点】F6：演绎推理的基本方法；F7：进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A是演绎推理，C、D为类比推理．只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选B4. 若关于x的不等式+bx+c>0的解集为(-2，3)，则不等式<0的解集为（） A． (-2，0)∪(3，+∞) B． ( -∞，-2)∪(0，3)C． (-2，0) ∪(0，3) D． (-∞，-2) ∪ (3，+∞)参考答案：A5. 已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ=m，β∩γ=n．那么（）A．若m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】因为α∥β，而γ与α，β都相交，所以m∥n．【解答】解：∵α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，根据面面平行的性质，可得m∥n，即D正确．故选：D．6. 已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10参考答案：B【考点】等差数列；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1?a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．7. 设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为（）A．B．C．D．16参考答案：B略8. 椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得AMB的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得=2，由题设知y12=4（1﹣x12），y22=4（1﹣x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，由此可推导出k的值．【解答】解：由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，k1=，k2=，k1：k2=2：1，所以=2，平方，结合x12+=1，所以y12=4（1﹣x12），同理y22=4（1﹣x22），代入上式，计算得=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，解得k=3或k=，因为=2，x1，x2∈（﹣1，1），所以y1，y2异号，故舍去k=，所以k=3．故选：B．9. 已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[1，2]上的增函数”是“为[4，5]上的减函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C10. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2+a5+a8=12，则S9等于（）A．18 B．36 C．72 D．无法确定参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质和已知可得a5的值，由求和公式可得S9=9a5，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a2+a5+a8=3a5=12，解得a5=4，由求和公式可得S9===9a5=9×4=36故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 的二项展开式中，的系数是__________（用数字作答）．参考答案：1012. 棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，则的值为________。

2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________． 【答案】4π【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径， 1h =1r =则表面积. ()24S r r h ππ=+=故答案为：4π2．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、80100人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受12015情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 【答案】6【分析】根据分层抽样的性质即可求解. 【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.120156********⨯=++故答案为：63．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，4212B B 、212W W 、从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____. 2Ω=【答案】（答案不唯一）121121{},,B B BW B W 【分析】先写出袋中任取个球，共有的情况，再写出一个不等可能的样本空间即可. 2【详解】从袋中任取个球，2共有如下情况.121112212212,,,,,B B BW BW B W B W WW 其中一个不等可能的样本空间为，121121Ω},,{B B BW B W =此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间. 故答案为：.(答案不唯一)121121Ω},,{B B BW B W =4．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____. 1cm 22cm π【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案.1cm 22cm π【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为, r SA l O 如图:12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在中, SOA Rt ∆1cos 2OA SAO SA ∠==∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:.3π故答案为:.3π【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程800度，先将这名员工进行编号，最后一位编号为，从中抽取名进行调查，下图提供随机数80080080表的第行到第行：4632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是_____. 5636【答案】328【分析】根据随机数表的抽法及所给数表依次抽取即可.【详解】前名员工的编号是：，其中超过和与前面重复的去掉不算， 6253,313457,736,007,328,800故抽到的第名员工的编号是. 6328故答案为：3286．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）8100的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值8683x y +为________.【答案】10【分析】根据茎叶图可计算平均数和中位数即可求解.【详解】甲班平均分()18678798285868094968x =⨯++++++++解得，乙班中位数是第个数和第个数的平均数， 8x =45即，解得，所以. 8084832y ++=2y =10x y +=故答案为：107．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是______. 462【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公23式可得答案.【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l 长为， 2r =3R =2则圆台的高h ===故圆台的体积.()()222211223333V h r rR R =⋅++=+⨯+=ππ8．某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到369的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占36,36,37,37,40,43,43,44,44(),x s x s -+总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到） x s 1%【答案】56%【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案. 【详解】因为，363637374043434444409x ++++++++==，即，2161699099161610099s ++++++++==103s =， 110130,33x s x s -=+=所以年龄在内的人数为， 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为. 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5100%56%9⨯≈故答案为：56%9．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满31111ABCD A B C D -P ABCD足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为__________. 1D P 1CC π6DP【答案】3π4【分析】根据题意确定与直线所成角的大小为，从而得到，即可求解. 1D P 1DD π6DP =【详解】由题意得，要使直线与直线所成角的大小为， 11//DD CC 1D P 1CC π6只需与直线所成角的大小为， 1D P 1DDπ6所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 1D P 1DD π6，所以1π6tan DP DD=DP =点的轨迹是以 PD 所以在上扫过的面积为. DP ABCD 213ππ44⨯⨯=故答案为:. 3π410．从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 【答案】67【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形， 6634C 所以有个直角三角形， 3412C 48⨯=所以所求的概率为， 486567=故答案为：. 6711．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示： 寿命（h ） 100 120 140 160 180 200 220 240 个数 1032443424261218试估计这批电子元件的第60百分位数____________ 60P =【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵，1032443460200100+++=故这批电子元件的第60百分位数160. 160180601702P +==故答案为：170.12．甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动，老师在不透明箱子内放入形状与质地相同的个球，其20中有个红球，个白球，每人每次只能抽取一个球.规定：①抽取后放回；②甲同学只能抽取一1010次，乙同学可以抽取两次；③红球抽取个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品概率是________. 【答案】##0.512【分析】列出乙同学红球抽取个数较多的所有情况，计算出概率之和.【详解】甲乙抽取一次抽到红球或者白球的概率都是，每次摸球相互独立，乙同学要获得奖品的12话，需要比甲同学抽取的红球多，可能的情况有：①甲红乙两红，概率为；111222⨯⨯②甲白乙先红后白，概率为；111222⨯⨯③甲白乙先白后红，概率为；111222⨯⨯④甲白乙两红，概率为，111222⨯⨯所以乙获胜的概率是.111142222⨯⨯⨯=故答案为：12二、单选题13．现要完成下列项抽样调查：2①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；4②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教3602805525职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ） 72A ．①简单随机抽样，②分层抽样 B ．①简单随机抽样，②简单随机抽样 C ．①分层抽样，②分层抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样 【答案】A【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法. 【详解】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； ②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样． 故选：A.14．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为80%41（ ） A ．B ．C ．D ．5126252566251136251625【答案】A【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率1和互斥事件的概率求解.【详解】由题得最多人被感染的概率为. 1041344414256256512(()()555625625C C ++==故选：A【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.15．如图，已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1A D 1D BA ．直线与直线垂直，直线平面 1A D 1DB //MN ABCD B ．直线与直线平行，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD BC ．直线与直线相交，直线平面 1AD 1D B //MN ABCD D ．直线与直线异面，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD B 【答案】A【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得∥平面1AD ∥MN AB MN ，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得.ABCD 1A D ⊥1ABD 11A D D B ⊥【详解】连接，在正方形中，由M 为的中点，可知，且M 为1AD 11ADD A 1A D 11AD A D M = 1A D 的中点，.11AD A D ⊥又∵N 为D ，B 的中点，∴. ∥MN AB ∵平面，平面， AB ⊂ABCD MN ⊄ABCD ∴∥平面.MN ABCD ∵平面，平面， AB ⊥11ADD A 1A D ⊂11ADD A ∴，1AB A D ⊥∵，平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂1ABD∴平面， 1A D ⊥1ABD ∵平面， 1D B ⊂1ABD ∴，故A 正确. 11A D D B ⊥故选：A16．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与ABCD CDFE EFC ∆FC EC 所成角的取值范围是（ ）ACA ．B ．C ．D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】可证得，故，，当沿着直线旋转一周，AF AC CF ==3ACF π∠=4ECF π∠=EFC ∆FC ，且，结合线线角的取值范围即得解.CEA ECF FCA ∠≤∠+∠CEF ACF ECF ∠≥∠-∠【详解】如下图所示，连接，因为正方形和，则，，又因为面AF ABCD CDFE AD CD ⊥FD CD ⊥AD DC DF ==面，面面，ABCD ⊥CDFE ABCD ⋂CDFE CD =则面， AD ⊥CDFE 因此.AD DF ⊥因此，，， 222AF AD DF =+222AC AD DC =+222CF CD DF =+则， AF AC CF ==因此 3ACF π∠=因为，4ECF π∠=则当沿着直线旋转一周， EFC ∆FC 712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=，12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=当为锐角或直角时，直线和所成角的等于 CEF ∠EC AC CEF ∠当为钝角时，直线和所成的角等于的补角CEF ∠EC AC CEF ∠因此直线和所成的角的取值范围是EC AC ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高2 r=OP==所以圆锥的体积为.2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以，OD D PA122OD PA==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O⊥⋂=所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.OC⊥PAB ODC∠在中，，所以.Rt ODC,22COD OD OCπ∠===4ODCπ∠=即直线CD与平面PAB所成角的大小为.4π18．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x 、y 的值.【答案】（1）（2）x ＝40，y ＝5 710【详解】试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l 人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：，由此能求出10539N =N ，从而能求出x ，y 的值试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人， 分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3），（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），（B 1，B 2）， （B 2，B 3），（B 1，B 3）.其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3）， （S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2）.∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（2）依题意得：，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴ ,解得x ＝40，y ＝5.∴x ＝40，y ＝5.【解析】古典概型及其概率计算公式19．在长方体中，，，，为棱的中点.1111ABCD A B C D -2AB =2BC =14CC =M 1CC（1）求证：平面；BM ⊥11A B M （2）求异面直线和所成的角的大小. BM 1B A【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面22211BB BM B M =+1BM B M ⊥11A B ⊥11BCC B ，可以证明，即得证；11A B BM ⊥（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余'M 1DD '//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠弦定理可得解【详解】（1）由题意，，，，为棱的中点. 2AB =2BC =14CC =M 1CC故114BM B M BB =====即：222111BB BM B M BM B M =+∴⊥又长方体，故平面 1111ABCD A B C D -11A B ⊥11BCC B 平面，BM ⊂11BCC B 11A B BM ∴⊥又1111A B B M B = 平面BM ∴⊥11A B M （2）取为中点，连接，故 'M 1DD 'MM '////MM CD AB 且'MM CD AB ==故四边形为平行四边形'ABMM 故，即异面直线和所成的角的大小即为'//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠连接，11B D11''B A AM B M======2221111''cos'2'AB AM B MB AMAB AM+-∠==⋅1'B AM∴∠=因此异面直线和所成的角的大小为BM1B A【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题20．如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：元件1K2K1L2L3L概率0.6 0.5 0.4 0.5 0.7(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；1K2K(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；1K2K(3)求在时间T 内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率． 【答案】(1)0.3； (2)0.8； (3)0.94【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；（3）设表示发生故障，由题可得，即得. i B (1,2,3)i L i =()()()32122P P P B P B P B =+【详解】（1）设表示发生故障， i A (1,2)i K i =则，()()120.6,0.5P A P A ==单位时间T 内，与同时发生故障的概率：1K 2K ．()()1120.60.50.3P P A P A ==⨯=（2）在时间T 内．由于或发生故障而影响电路的概率：1K 2K ． ()()()()()()2121212P P A P A P A P A P A P A =++0.60.50.40.50.60.50.8=⨯+⨯+⨯=（3）设表示发生故障，则i B (1,2,3)i L i =，()()()1230.4,0.5,0.7P B P B P B ===在时间T 内，任一元件发生故障而影响电路的概率：()()()32122P P P B P B P B =+0.80.40.50.7=+⨯⨯．0.94=21．前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，GDP 把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：分数[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数 2 3 11 14 11 9请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表： 空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200天数2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？ 附：空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200 200-300300 空气质量指数级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第Ⅱ级，属于良91.667100<（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案． 【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为 .22518758125217591.66710030⨯+⨯+⨯+⨯≈<对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良. （3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天， 所以小李花费的药费为元. 8502100600⨯+⨯=又元，50006004400-=所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费. 【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
详解：由公理4可知A正确；
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
∴
因为
∴
综上所述， 中最小角为 ，故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1，线段 的长度为 ，求得 ，求出弧AB的长度，即可得出答案.
【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段 的长度为 ，
在 中， ，
又 ，则 ，
所以A､B两点的球面距离为 .
故答案为： .
5.正方体 中，异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角，得 .
所以二面角 的余弦值为 .
（3）解：假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 .

2021学年高二下学期入学考试数学(一)

2021学年高二下学期入学考试数学(一)

2021学年高二下学期入学考试数学（一）一、单选题 1．若复数z 满足21z i i=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】根据复数的四则运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z 即可. 【详解】 ∵复数z 满足21z i i=+， ∴22(1)=11(1)(1)i i i z i i i i -==+++-， 故1z i =-． 故选：B 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.复数的除法：除法的关键是分母实数化，解题时要注意21i =-及复数z a bi =+的共轭复数为za bi2．已知()tan 1f x x =+，()f x '为()f x 的导数，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】求得()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值. 【详解】()sin tan 11cos x f x x x =+=+，()2222cos sin 1cos cos x x f x x x+'∴==，因此，14134f π⎛⎫== ⎪⎝⎭'. 故选：A. 【点睛】本题考查导数值的计算，求得()f x '是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 3．复数()52412z i i i=++-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先对复数进行除法和乘法运算，再根据实部和虚部找出对应的点，即可得出对应的象限． 【详解】 解：∵()()()()5125242434121212i z i i i i i i i +=++=+-=-+--+， ∴z 在复平面内对应点的坐标为()3,4-，位于第二象限． 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题． 4．若180,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()D X =（ ）A ．20B ．40C ．15D ．30【答案】C【解析】利用二项分布的方差公式可求得()D X 的值. 【详解】180,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此()13801544D X =⨯⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查二项分布的方差的计算，考查计算能力，属于基础题. 5．已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=（ ） A ．0.5 B ．0.4C ．0.3D ．0.6【答案】B【解析】由题意可知曲线关于4x =对称，利用曲线的对称性求()26P ξ<<即可.【详解】由随机变量ξ服从正态分布()24,N σ可知对称轴为4x =，所以()()260.3P P ξξ<=>=， 所以()26120.30.4P ξ<<=-⨯=． 故选：B 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于x= μ对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()f x '的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 在()3,+∞上单调递增B ．()f x 的最大值为()1fC ．()f x 的一个极大值为()1f -D ．()f x 的一个减区间为()1,3【答案】D【解析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可 【详解】由()f x '的部分图象并不能确定()f x 在()3,+∞上单调递增，故A 错误； 同理，()f x 的最大值也不一定为()1f ，故B 错误； 由图可知()1f -为()f x 的一个极小值，故C 错误；当()1,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()1,3上单调递减，故D 正确． 故选：D. 【点睛】此题考查了原函数与导函数间的关系，极值与导数的关系，属于基础题. 7．若()03f x '=，则()()0003lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．3B ．9C ．19D ．6【答案】B【解析】利用导数的定义即可得到答案. 【详解】()()()()()00000033lim3lim393x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．故选：B 【点睛】本题主要考查导数的定义，属于简单题.8．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（ ） A ．12000 B ．15000 C ．18000 D ．21000【答案】A【解析】男生不相邻用插空法，男生甲不站最左端可在插入男生时先安排甲，然后再插入另两个男生．用分步计数原理． 【详解】三男五女站成一排照相，要求男生不能相邻，用插空法，插入男生时先把男生甲插入5个空中，再在其他5个空位中插入其他两个男生，方法有5255512000A A ⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查排列的应用，解题时不相邻问题用插空法，特殊位置特殊元素优先安排．9．二项式n的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A ．18B ．21C ．20D ．30【答案】D【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式n的展开式中第13项1210121212313n n n n T C C x --⎛== ⎝，令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．设点P 是曲线()()21ln f x x x =+-上的任意一点，则点P 到直线340x y --=的距离的最小值为（ ）A ．2B ．4C D 【答案】A【解析】先判断直线与曲线的位置关系，然后求出平行于直线340x y --=且与曲线()()21ln f x x x =+-相切的切点坐标，再利用点到直的距离公式可求得结果.【详解】解：令()()()221ln 345ln g x x x x x x x =+---=-+-， 则()()()121x x xx g -+'=，易知()()min150g x g ==>，所以曲线()y f x =的图象在直线34y x =-的上方．()()121f x x x'=+-()0x >， 令()1213x x+-=，得1x =或12x =-，因为()14f =，所以点P 到直线340x y --=的距离的最小值d ==． 故选：A 【点睛】此题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法和导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于基础题.11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．68种 D ．84种【答案】C【解析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有1122142424C C C C C 20+⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有0211132224242424C C C C C C C C 28⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有031223242424C C C C C C 20⋅+⋅+⋅=种方案． 综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种． 故选：C. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 12．已知对任意实数x 都有()()3xf x e f x '=+，()01f =-，若不等式()()2f x a x <-（其中0a >）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．41,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．274,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．271,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()()3xf x e f x '=+可得()()3xf x f x e '-=，构造函数()()xf xg x e =，可得()3g x '=，再结合已知可求出()f x ，画出()f x 图象，设()(2)h x a x =-，只需满足(1)(1)(2)(2)f h f h -<-⎧⎨-≥-⎩，求解即可.【详解】 设()()()(),()3x xf x f x f xg x g x e e '-='==，所以()3(g x x c c =+为常数），得()()(3)x x f x g x e x c e =⋅=+，(0)1,()(31),()(32)x x f c f x x e f x x e ==-∴=-'=+，当23x >-时，()0f x '>，当23x <-时，()0f x '<，所以()f x 的递增区间是2(,)3-+∞，递减区间是2(,)3-∞-，,()0,,()x f x x f x →-∞→→+∞→+∞，设()(2)h x a x =-，可知该函数恒过点(2,0)， 画出(),()f x h x 的图象，如下图所示，不等式()()2f x a x <-（其中0a >）的解集中恰有两个整数，则这两个整数解为0,1-，所以(1)(1)(2)(2)f h f h -<-⎧⎨-≥-⎩，即124374e a e a--⎧-<-⎨-≥-⎩，解得27443a e e ≤<. 故选：C.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用、函数的概念与性质以及解不等式，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.二、填空题 13．若复数3()12aia R i-∈-是纯虚数，则2a i +=______. 10【解析】首先利用复数的除法运算化简复数，之后根据纯虚数的定义为实部为0，且虚部不为0，再利用复数模的公式求得结果. 【详解】因为3(3)(12)32(6)1255ai ai i a a ii --+++-==-为纯虚数，则320,60a a +=-≠，即32a =-，所以23a i i +=-+=. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，纯虚数的概念，复数模的公式，属于基础题目.14．由一组观测数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 得回归直线方程为ˆˆ3yx a =+，若 1.5x =，2y =则ˆa=____________． 【答案】 2.5-【解析】由题意结合样本中心点在回归直线上，代入即可得解. 【详解】因为 1.5x =，2y =，回归直线方程为ˆˆ3yx a =+， 所以ˆ23 1.5a=⨯+，解得ˆ 2.5a =-． 故答案为： 2.5-. 【点睛】本题考查了线性回归方程性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 15．已知函数()2ln 1e xf x x+=+-，则()f x 的最大值为__________． 【答案】1【解析】先求函数的定义域，再求导，求出函数的单调区间，即可求出()f x 的最大值 【详解】 解：因为()2ln 1e xf x x +=+-，所以它的定义域为{}0x x >， 求导得()21ln xf x x+'=-． 令()0f x '>，得10e x <<，令()0f x '<，得1ex >，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为11e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：1 【点睛】此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.三、双空题16．若()10210012101x a a x a x a x +=++++，则268a a a ++=__________；123102310a a a a ++++= __________．【答案】300 5120【解析】由二项式的通项公式可知268268101010a a a C C C ++=++；对()10210012101x a a x a x a x +=++++左右两边分求导得，然后令1x =，可求出123102310a a a a ++++的值.【详解】解：因为通项公式110r r r T C x +=⋅，所以268268101010300a a a C C C ++=++=．因为()10210012101x a a x a x a x +=++++，两边求导可得()929123101012310x a a x a x a x +=+++，令1x =，所以91231023101025120a a a a ++++=⨯=．故答案为：300；5120 【点睛】此题考查二项式展开式的系数的关系，利用了赋值法求解，属于基础题.四、解答题17．学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到22⨯列联表的部分数据如下表：（1）补全22⨯列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关. 【解析】（1）由总人数为100可补全表中的数据（2）算出2K即可【详解】（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：（2）根据表中数据，得22100(40302010)5016.66710.828406050503K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关. 【点睛】本题考查的是独立性检验,计算能力是解答本题的关键.18．设函数()3223f x x x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为121y x =-+.（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的极值.【答案】（1）()3223121f x x x x =+-+；（2）极大值为21，极小值为6-.【解析】（1）求()f x '，由已知可得(0)1,(0)12f f ='=-，求出,a b 值即可； （2）由（1）得()f x '，求解不等式0f x f x '()>0,'()<，得到()f x 的单调区间，即可得出结论. 【详解】 （1）()()32223,66f x x x ax b f x x x a =+++∴'=++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为121y x =-+， 所以(0)1,(0)12f b f a =='==-，()3223121f x x x x ∴=+-+；（2）由（1）得()266126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0,2f x x '==-或1x =，()0,2f x x '><-或1,()0,21x f x x >'<-<<，()f x ∴递增区间是(,2),(1,)-∞-+∞，递减区间是(2,1)-， ()f x ∴的极大值为(2)21f -=，极小值为(1)6f =-.【点睛】本题考查导数的几何意义以及应用导数求函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题. 19．某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差； （2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位） 参考数据：回归直线的方程是y bx a =+，其中()()()1221121niii nnin i i ii ii x y nx y b n x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑，a y bx =-．95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑．【答案】（1）6；689；（2） 1.3 1.1y x =-，12人． 【解析】（1）由表格中的数据，利用平均数和方差的公式，即可求解；（2）由表中近五年的数据，利用公式，求得ˆˆ,ba ，求得回归直线方程，代入10x =，即可作出结论． 【详解】（1）由表格中的数据，利用平均数的计算公式，可得2354578101069++++++++=．由方差的公式，可得()()()2222168263610699s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦．（2）由表中近五年的数据知，7x =，8y =，95293i ii x y==∑，925255i i x ==∑，9592255293578ˆ 1.32555495i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，又a y bx =-，所以8 1.37 1.1a =-⨯=-， 故y 与x 的线性回归方程为 1.3 1.1y x =-， 当10x =时， 1.310 1.111.912y =⨯-=≈，故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人． 【点睛】本题主要考查了平均数与方差的计算，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，根据公式准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.20．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[)35,45的概率为15，求出表格中,m n 的值；（2）若从年龄在[)45,55的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）25m =，13n =；（2）分布列见解析，165【解析】（1）由题知25m =，由古典概率公式可得1525n n =+，求得13n =； （2）由分层抽样计算得抽取10人中赞成的有8人，随机变量X 的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此可求出随机变量X 的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）因为总共抽取100人进行调查，所以10010152025525m =-----=， 因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35,45)的概率为1525n n =+，所以13n =.（2）从年龄在[45,55)中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取2010825⨯=人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X 的可能取值为2，3，4.12402822(2)15C C C P X ⋅===，3182410C C 8(3)C 15P X ⋅===，40824101(4)3C C P X C ⋅===. X 的分布列为所以28116234151535EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，离散型随机变量的分布列与期望，分层抽样，考查了学生数据分析与运算求解能力，体现了数学运算，数学建模，数据分析等核心素养. 21．随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G 手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G 手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在[) 1000,3500之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率； （2）若人们对5G 手机能接受的价格X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数x ，2σ为样本方差2s ，求()23502974P X <<． 6.24≈．若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=．【答案】（1）35；（2）0.3413. 【解析】（1）由102020100x y ++++=和接受价格的平均值为2350，可得50x y +=和79410x y +=，求得,x y ，再由分层抽样得，在第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人,根据古典概率可得答案；（2）由题意可知2350x μ==，求得2s ，得σ，可求得故()()23502974P X P X μμσ<<=<<+的值．【详解】（1）因为102020100x y ++++=，所以50x y +=．因为102020125017502250275032502350100100100100100x y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以79410x y +=，解得20x ，30y =．因为第1组的人数为10，第2组的人数为20，第3组的人数为30．所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，其中第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人．所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率113326C C 3C 5P ==． （2）由题意可知2350x μ==， 又()()()22220.1125023500.2175023500.322502350s =⨯-+⨯-+⨯-()()220.2275023500.232502350390000+⨯-+⨯-=，所以624σ=≈，故()()23502974P X P X μμσ<<=<<+10.68260.34132=⨯=． 【点睛】本题考查由已知条件求得所缺的统计数据，分层抽样方法，古典概率，正态分布，属于中档题.22．已知函数()()2ln f x x m x m R =+∈. （1）当1m =-时，求()f x 的最值；（2）当2m =时，记函数()()()5g x f x ax a =-≥的两个极值点为1x ，2x ，且12x x <，求()()21g x g x -的最大值. 【答案】（1）min 1ln 2()2f x +=，无最大值.（2）154ln 24- 【解析】（1）当1m =-时，函数()2ln f x x x =-，求出函数的导函数，令()'0f x =，从而得到函数的单调区间，求出函数的最值；（2）当2m =时，2()2ln (0)g x x x ax x =+->，求出导函数，由函数有两个极值点，可知1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个不等实根，由韦达定理可得122a x x +=，121=x x ，因此()()2221222212ln g x g x x x x -==-+，令22t x =，则()()2112ln g x g x t t t -=-+，依题意可得22x ≥，则令1()2ln h t t t t=-+，[)4,t ∈+∞，利用导数说明其最值即可；【详解】解：（1）当1m =-时，函数()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，2121'()2x f x x x x-=-=， 令()'0f x =，得2x =， 所以函数()f x在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min1ln 2()2f x f +==⎝⎭，无最大值.（2）当2m =时，2()2ln (0)g x x x ax x =+->，2'()2g x x a x=-+. 因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个不等实根， 所以122ax x +=，121=x x ，因此()()()()22212221112ln 2ln g x g x x ax x x ax x -=-+--+()()222211212122lnx x x x x x x x =-++-+22222122221212ln 2ln x x x x x x x =-+=-+. 令22t x =，则()()2112ln g x g x t t t-=-+，因为22x =≥=，所以[)224,t x =∈+∞.令1()2ln h t t t t=-+，[)4,t ∈+∞，则222221221(1)'()10t t t h t t t t t-+-=--+=-=-<，在[)4,t ∈+∞上恒成立， 所以1()2ln h t t t t=-+在[)4,t ∈+∞上单调递减，故max 115()(4)42ln 44ln 244h t h ==-+=-. 即()()21g x g x -的最大值为154ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，单调性以及极值问题，属于中档题.。

上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期数学期末考带讲解

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故选：B.
【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
13.在正方体 中，P，Q两点分别从点B和点 出发，以相同的速度在棱BA和 上运动至点A和点 ，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角 的变化范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】先过点 作 于点 ，连接 ，根据题意，得到 即为直线 与平面 所成的角 ，设正方体棱长为 ，设 ，推出 ，进而可求出结果.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线 与 的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线 与 所成角的大小．
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：
在长方体 中，
， ，
， ， ， ，
， ，
，
异面直线 与 所成角的大小是 ．
故答案为： ．
6.如图所示，在平行六面体 中， ，若 ，则 ___________.
15.如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为 .
（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可
【答案】
【分析】设球半径为 ，由球 表面积求出 ，然后可得球的体积．
【详解】设球半径为 ，
∵球的表面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴该球的体积为 ．
故答案为 ．
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．
5.已知长方体 的棱 ，则异面直线 与 所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二(上)期末数学试卷

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2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若 P n 3=C n 4，则正整数n=___ ．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ．3.（填空题，4分）直线 y =√3x −1 与直线 y =√33(x −1) 的夹角的大小是 ___ ．4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 6.（填空题，4分）二项式 (x 2−1x )6展开式中的常数项为___ ．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是 ___ ．8.（填空题，5分）若-1，x ，y ，z ，-9（x 、y 、z∈R ）是等比数列，则实数y=___ ． 9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ．10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ．11.（填空题，5分）我们知道： C n m=C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ；② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ．12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列；② a k=a n-k+1（k∈N，-1≤k≤n）；③ 点P在直线l上；④ 若{x n}是等差数列，P点坐标为(x1+x n2，y1+y n2)．其中正确的命题有 ___ ．（填写所有正确命题的序号）．13.（单选题，5分）已知直线l：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l过点（0，0）”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题，5分）已知直线l过点P（3，4），且与坐标轴分别相交于点A、B，若△OAB的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC || 平面EFGH，BD || 平面EFGH，设BEAB=λ(0＜λ＜1)，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若λ=12，则多面体BEF-DGH的表面积等于12SD.若λ=12，则多面体BEF-DGH的体积等于12V17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；（2）求X的分布和数学期望E[X]．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n（n为正整数）．（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13（请用分数作答）．（1）求甲以4：0获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．20.（问答题，16分）在数列{a n}中，a1= 14，a n+1a n=n2(n+2)（n为正整数）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1；（3）若数列{b n}满足b1=1，b n-b n+1=（n+2）a n，求数列{b n}的通项公式．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA= π，直角梯形ABEF中，BE || AF，3AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．AB⊥AF，AB=BE= 12（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；，若存在，（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为√3926求出AG的长；若不存在，请说明理由．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若P n3=C n4，则正整数n=___ ．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，由排列、组合数公式，可得n（n-1）（n-1）= n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，若P n3=C n4，则有n（n-1）（n-1）= n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，解可得：n=27，故答案为：27．【点评】：本题考查排列、组合数公式，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接利用古典概型问题的应用求出结果．【解答】：解：投掷一个正方体骰子，基本事件数为6；朝上数字大于4的基本事件数为2；故概率为P（A）= 26=13．故答案为：13．【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.（填空题，4分）直线y=√3x−1与直线y=√33(x−1)的夹角的大小是 ___ ．【正确答案】：[1]30°【解析】：先求出两直线的斜率，求出倾斜角，然后求解夹角．【解答】：解：直线 y =√3x −1 的斜率等于 √3 ，倾斜角为：60°， 直线 y =√33(x −1) 的斜率等于 √33 ，倾斜角为30°，两直线的夹角为30°． 故答案为：30°．【点评】：本题考查两直线的夹角的求法，已知三角函数值求角，是中档题．4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ． 【正确答案】：[1]3⋅22k+1-2k 【解析】：求出 a k+1，a k 即得解．【解答】：解：由题得， a k =2k +2k+1+2k+2+⋯+22k =2k (1−2k+1)1−2=22k+1−2k ，所以 a k+1=22k+3−2k+1两式相减得 a k+1−a k =22k+3−22k+1+2k −2k+1=3⋅22k+1−2k ， 所以 a k+1−a k =3⋅22k+1−2k ． 故答案为：3⋅22k+1-2k ．【点评】：本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，-2，3）【解析】：设C 的坐标为（x ，y ，z ），根据向量的坐标运算即可求出．【解答】：解：设C 点的坐标为（x ，y ，z ）， ∵A （-1，2，-3），B （2，-4，6），∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，y-2，z+3）， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-x ，-4-y ，6-z ）， ∵ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（x+1，y-2，z+3）=2（2-x ，-4-y ，6-z ）=（4-2x ，-8-2y ，12-2z ） ∴ {x +1=4−2xy −2=−8−2y z +3=12−2z ， 解得x=1，y=-2，z=3，∴C（1，-2，3）．故答案为：（1，-2，3）．【点评】：本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，4分）二项式(x2−1x )6展开式中的常数项为___ ．【正确答案】：[1]15【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】：解：二项式(x2−1x )6展开式的通项公式为T r+1= C6r•（-1）r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64 =15，故答案为：15．【点评】：本题主要二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___ ．【正确答案】：[1]1024【解析】：每一个位置只有亮与不亮两种状态，可得结论．【解答】：解：每一个位置只有亮与不亮两种状态，故可表示的数据个数为210=1024．【点评】：本题考查归纳推理，属中档题．8.（填空题，5分）若-1，x，y，z，-9（x、y、z∈R）是等比数列，则实数y=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【解答】：解：根据等比数列的性质可得y2=-1×（-9）=9，所以y=3或y=-3，设等比数列的公比q，当y=3时，q 2=-3不符合题意， 故y=-3． 故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ． 【正确答案】：[1] 3√520【解析】：根据已知条件，结合两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0平行， ∴k=-3×2=-6，即直线l 1的方程为2x+y-3b=0， ∴l 1与l 2间距离d=2√22+12 =|(b+32)2+34|√5当b= −32 时，d 取得最小值 3√520 ． 故答案为： 3√520 ．【点评】：本题主要考查两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，属于基础题． 10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ． 【正确答案】：[1] 187200【解析】：直接利用互斥事件的应用求出结果．【解答】：解：根据题意合格品的概率P （A ）= 710×95100+310×90100 = 187200 ． 故答案为： 187200 ．【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题，互斥事件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（填空题，5分）我们知道： C n m=C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ；② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ．【正确答案】：[1] C n m= C n−k m + C n−k m−k【解析】：根据题意，类比题目的思路，用两种方法讨论“从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组”的选法，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组，有2种分析方法：① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组，有 C n m 种选法，② 分2种情况讨论：若其中的某k 个元素都入选，需要从剩下的n-k 个元素中选m-k 个元素，有 C n−k m−k 种选法，若k 个元素都不入选，需要从剩下的n-k 个元素中选m 个元素，有 C n−k m 种选法， 则有 C n m = C n−k m + C n−k m−k ， 故答案为： C n m = C n−k m + C n−k m−k ．【点评】：本题考查合情推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列； ② a k =a n-k+1（k∈N ，-1≤k≤n ）； ③ 点P 在直线l 上；④ 若{x n }是等差数列，P 点坐标为 (x 1+x n 2，y 1+y n2) ． 其中正确的命题有 ___ ．（填写所有正确命题的序号）． 【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】： ① 可以根据题意进行判断；② 根据题干条件当i+j=n+1时，恒有a i =a j ，进行推导； ③ 设出点P 坐标，结合题干条件进行推导； ④ 再第三问基础上进行推导即可．【解答】：解：只有在数列{x n }是等差数列时，数列{y n }是等差数列，根据题意，数列{x n }不一定是等差数列，故数列{y n }不一定是等差数列， ① 错误；因为k+n-k+1=n+1，所以a k =a n-k+1（k∈N ，-1≤k≤n ）， ② 正确；因为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设P （s ，t ）， 则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ，t=a 1y 1+a 2y 2+…+a n y n ，因为A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，所以y 1=2x 1-3，y 2=2x 2-3，…，y n =2x n -3，则a 1y 1=2a 1x 1-3a 1，a 2y 2=2a 2x 2-3a 2，…，a n y n =2a n x n -3a n ，相加得：a 1y 1+a 2y 2+…+a n y n =2（a 1x 1+a 2x 2+…+a n y n ）-3（a 1+a 2+…+a n ）， 因为a 1+a 2+…+a n =1，所以t=2s-3，点P 在直线l 上， ③ 正确；{x n }是等差数列，若n 为偶数，则x 1+x n =x 2+x n-1=…= x n 2+x n 2+1 ，若n 为奇数，则x 1+x n =x 2+x n-1=…=2 x 1+n 2，又当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ），若n 为偶数，则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n-1）+…+ a n 2(x n 2+x n 2+1) =（x 1+x n ）（a 1+a 2+…+ a n 2）=x 1+x n2， 同理可得：t=y 1+y n2； 若n 为奇数，则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n-1）+…+ a 1+n 2x 1+n 2=（x 1+x n ）（a 1+a 2+…+ 12a 1+n 2）=x 1+x n2， 同理可得：t=y 1+y n2； 综上所述：若{x n }是等差数列，P 点坐标为 (x 1+x n 2，y 1+yn 2) ， ④ 正确． 故答案为： ② ③ ④ ．【点评】：本题考查了数列的递推式及分类讨论，难点在于对 ③ 和 ④ 的判断，属于难题． 13.（单选题，5分）已知直线l ：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l 过点（0，0）”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【正确答案】：A【解析】：先求出不论k 取何值，直线l 过定点（0，0），再利用充要条件的定义判定即可．【解答】：解：∵直线l ：（k+1）x+（3k-2）y=0， ∴k （x+3y ）+（x-2y ）=0， ∴ {x +3y =0x −2y =0，∴ {x =0y =0 ，∴不论k 取何值，直线l 过定点（0，0）， ∴k=0是直线l 过点（0，0）的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查了直线过定点问题，充要条件的判定，属于基础题．14.（单选题，5分）已知直线l 过点P （3，4），且与坐标轴分别相交于点A 、B ，若△OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】：C【解析】：由题意，用点斜式设出直线l 的方程为y-4=k （x-3），求出A 、B 的坐标，根据△OAB 的面积为24，求出k 的值，可得结论．【解答】：解：∵直线l 过点P （3，4），且与坐标轴分别相交于点A 、B ，若△OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，设直线的斜率为k ，则直线l 的方程为y-4=k （x-3）， 故直线l 与x 轴的交点为A （ 3k−4k，0），直线l 与y 轴的交点B （0，4-3k ），故△OAB 的面积为 12 ×|3k−4k |×|4-3k|= (3k−4)22|k|=24， 即（3k-4）2=48|k|，求得k= 36+2√389，或k=36−2√389 ，或 k=- 43， ∴这样的直线有3条， 故选：C ．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的截距的定义，属于基础题．15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种【正确答案】：A【解析】：根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，可得答案．【解答】：解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中有A63，则共有1×A63=120种情况．故选：A．【点评】：本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC || 平面EFGH，BD || 平面EFGH，设BEAB=λ(0＜λ＜1)，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若λ=12，则多面体BEF-DGH的表面积等于12SD.若λ=12，则多面体BEF-DGH的体积等于12V【正确答案】：D【解析】：对A，证明四边形EFGH是平行四边形．所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．多面体BEF-DGH的表面积S′=2√3+1≠12S，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，设点B到平面EMF的距离为h1，则多面体BEF-DGH的体积=V B-MEF+V EMF-HDG== 12V B−ADC=12V，所以选项D正确．【解答】：解：对A，因为AC || 平面EFGH，AC⊂平面ABC，EF⊂平面EFGH，平面EFGH⋂平面ABC=EF，所以AC || EF，同理AC || GH，所以EF || GH，同理EH || FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，已知中没有AB=AD，所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．则BD⊥AN，BD⊥CN，因为AN⋂CN=N，AN，CN⊂平面ACN，所以BD⊥平面ACN，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，又EF=FG，所以四边形EFGH是正方形，且EF=FG=1，正四面体的每一个面的面积为12×2×2×sin60°=√3，所以正四面体的表面积为S=4√3，所以多面体BEF-DGH的表面积S′=34×√3×2+14×√3×2+1×1=2√3+1≠12S，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，则多面体EMF-HDG是棱柱，设点B到平面EMF的距离为h1，由于BEAB =12，所以点E是AB的中点，则点M到平面HDC的距离为h1，点B到平面ADC的距离为2h1．则多面体BEF-DGH的体积= V B−MEF+V EMF−HDG=13⋅S△EMF⋅ℎ1+S△EMF⋅ℎ1 = 13⋅14S△ADC⋅ℎ1+14S△ADC⋅ℎ1=13⋅S△ADC⋅ℎ1=12⋅(13⋅S△ADC⋅2ℎ1)=12V B−ADC=12V，所以选项D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查线面角的计算，多面体体积的计算，多面体表面积的计算等知识，属于中等题．17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；（2）求X的分布和数学期望E[X]．【正确答案】：【解析】：（1）由独立事件概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题意可得X=2，4，6，分别求出对应的概率，可得分布列及数学期望．【解答】：解：（1）由题意可得P（X=4）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．（2）由题意可得X=2，4，6，P（X=2）=0.6×0.6=0.36，P（X=4）=0.48，P（X=6）=0.4×0.4=0.16，所以X的分布列为：【点评】：本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n（n为正整数）．（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）令x=1即可求出a0，再根据二项式定理的性质分别求出a1，a2，然后解方程即可求解；（2）分别令x=1，x=-1，求出展开式的值，进而可以求解．【解答】：解：（1）令x=1，则a0=1，二项式的展开式中含x项的系数为a1=C n1•(−3)1 =-3n，二项式的展开式中含x2项的系数为a2=C n2•(−3)2 = 9n(n−1)2，则由已知可得9n(n−1)2=15×1−13×(−3n)，即9n2-87n-30=0，解得n=10或- 13（舍去），故n的值为10；（2）若n=2022，则二项式为（1-3x）2022=a0+a1x+a2x2 +....+a 2022x2022，令x=1，则a0+a1+a2+.....+a2022=（1-3）2022=22022① ，令x=-1，则a0-a1+a2-.....+a2022=[1-3×（-1）]2022=42022=24044② ，① + ② 可得A=22021+24043，① - ② 可得B=22021-24043，所以A+B=22022，A2-B2=（A+B）（A-B）=22022•24044=26066．【点评】：本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13（请用分数作答）．（1）求甲以4：0获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【正确答案】：【解析】：（1）甲以4：0获胜的概率为P=（23）4，由此能求出结果．（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：① 乙连胜4局，② 前四局乙3胜1负，第五局乙胜，由此能求出乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【解答】：解：（1）比赛采用7局4胜制，在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13，∴甲以4：0获胜的概率为：P=（23）4= 1681．（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：① 乙连胜4局，概率为P1=（13）4= 181，② 前四局乙3胜1负，第五局乙胜，概率为P2= C43(13)3(23)(13) = 8243，∴乙获胜且比赛局数少于6局的概率P=P1+P2= 11243．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，16分）在数列{a n}中，a1= 14，a n+1a n=n2(n+2)（n为正整数）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1；（3）若数列{b n}满足b1=1，b n-b n+1=（n+2）a n，求数列{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）利用累乘法可求出数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）可求出2n⋅a n=1n(n+1)，从而根据裂项相消求和法可证明结论；（3）根据（1）可知b n+1−b n=2[1(n+1)⋅2n+1−1n⋅2n]，从而利用累加法可求出数列{b n}的通项公式．【解答】：解：（1）因为a n+1a n =n2(n+2)，所以a2a1=12×3，a3a2=22×4，a4a3=32×5，a5a4=42×6，…，a na n−1=n−12(n+1)，把以上（n-1）个式子相乘，得a2a1⋅a3a2⋅a4a3⋅a5a4⋅…⋅a na n−1=12×3×22×4×32×5×42×6×…×n−12(n+1)，即a na1=12n−1(13×24×35×46×…×n−1n+1)=12n−1⋅2n(n+1)，所以a n=12n−1⋅2n(n+1)×14，即a n=1n(n+1)⋅2n．证明：（2）因为a n=1n(n+1)⋅2n ，所以2n⋅a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)= 1−1n+1＜1，所以2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1．解：（3）因为b n−b n+1=(n+2)a n=(n+2)⋅1n(n+1)⋅2n =n+2n(n+1)⋅2n=2[1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1]，即b n+1−b n=2[1(n+1)⋅2n+1−1n⋅2n]，所以b2−b1=2(12⋅22−11⋅21)，b3−b2=2(13⋅23−12⋅22)，b4−b3=2(14⋅24−13⋅23)，b5−b4=2(15⋅25−14⋅24)，…，b n−b n−1=2[1n⋅2n −1(n−1)⋅2n−1]，把以上（n-1）个式子相加，得b n−b1=2(12⋅22−11⋅21)+2(13⋅23−12⋅22)+2(14⋅23−13⋅23)+⋯+2[1n⋅2n−1(n−1)⋅2n−1] =2(1n⋅2n −11⋅21)=1n⋅2n−1−1．所以b n=1n⋅2n−1．【点评】：本题考查数列的递推公式及求和公式，考查学生的综合能力，属于难题．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA= π3，直角梯形ABEF中，BE || AF，AB⊥AF，AB=BE= 12AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为√3926，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得OC⊥AB，进而结合平面ABEF⊥平面ABCD即可证明CO⊥平面ABEF；（2）根据题意，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用坐标法求解即可；（3）假设存在，设AG=λAD，λ∈[0，1]，再根据线面角的向量法求解即可．【解答】：（1）证明：因为在菱形ABCD中，∠CBA=π3，所以△ABC为等边三角形，因为O分别为AB中点，所以OC⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF⋂平面ABCD=AB，CO⊂平面ABCD．所以CO⊥平面ABEF．（2）解：因为直角梯形ABEF中，BE || AF，AB⊥AF，CO⊥平面ABEF，所以，以点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz，因为AB=BE=12AF=2，所以B （1，0，0），E （1，0，2），A （-1，0，0），F （-1，0，4）， D(−2，√3，0) ， C(0，√3，0) ， P (−32，√32，2) ， 所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(52，−√32，0) ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，0) ，所以 cos〈PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=PE⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |PE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52×√7=5√714， 所以异面直线PE 与AB 所成角的大小为 arccos 5√714．（3）解：假设线段AD 上是存在一点G ， 使得直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为√3926，此时AG=λAD ，λ∈[0，1]，则 FG⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1，√3，0)−(0，0，4)=(−λ，√3λ，−4) ， 由（1）知平面ABEF 的法向量为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√3，0) ， 设直线FG 与平面ABEF 所成角为θ， 则 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FG⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=3λ√3•√4λ2+16=√3926，解得 λ=√33∈[0，1] ，所以线段AD 上是存在一点G ，使得直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为 √3926 ， 此时 AG =√33AD =2√33．【点评】：本题主要考查线面垂直的证明，异面直线所成的角的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．。

中职数学 2021-2022学年上海市中等职业学校高二(下)期末数学试卷

中职数学 2021-2022学年上海市中等职业学校高二(下)期末数学试卷

（VIP&校本题库）2021-2022学年上海市中等职业学校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题满分78分，共26题，每题3分）【下列各题有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并涂在答题纸的相应位置上．】A ．首项是1公比是2的无穷等比数列B ．首项是1公比是12的无穷等比数列C ．首项是1公差是12的无穷等差数列D ．首项是1公差是-12的无穷等差数列1．（3分）庄子《天下篇》中记载：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的数列是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（3分）等差数列{a n }中，若a 1=1，a 3=5，则公差d =（ ）A ．（1，-2）B ．（-1，2）C ．（2，-1）D ．（-2，1）3．（3分）中国象棋是中国传统棋类益智游戏，如图，以“將”所在点定为原点建立平面直角坐标系，“馬”从点A （3，0）移动到点B （1，1），则向量AB 的坐标为（ ）→A ．J L 1003B ．J L 3010C ．J L 7032D ．J L 90434．（3分）已知矩阵A =J L −20−11，B =J L 5021，则2A +B =（ ）M O MOM OMOM OM OA ．1+iB ．1-iC ．iD ．-i5．（3分）i 是虚数单位，则i 2021=（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．±26．（3分）已知复数z =（m 2-4）+（m -2）•i ,当实数m =（ ）时，复数z 为纯虚数．A ．1B ．3C ．-3D ．±37．（3分）若复数z =m +i 的模为2，则实数m 的值是（ ）√√√A ．77B ．85C ．99D ．1018．（3分）如图是纪念高斯的一张邮票，复平面内有四个复数对应的点，其中4+4i 和-5+6i 这两个复数对应的点之间的距离为（ ）√√√√A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（3分）已知复数z 1=2-3i ,z 2=1+2i ,则z 1+z 2所对应的点在复平面的（ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．410．（3分）已知实系数方程x 2+bx +5=0一个根是2+i ,则系数b 为（ ）A ．圆柱和棱柱B ．圆柱和球C ．球和圆锥D ．圆锥和圆柱11．（3分）如图的卷筒冰激凌可以看作是哪些几何体的组合（ ）A ．B ．C ．D ．12．（3分）一个走马灯形如正四棱柱（有顶无底），其四个侧面有“万”“事”“如”“意”四个字，在下面的展开图中四个字的位置正确的是（ ）A ．1B ．3C ．9D ．2713．（3分）一圆柱和一圆锥的底面积相等，高也相等，已知圆柱的体积为9，则圆锥的体积为（ ）A ．24B ．32C ．192D ．22414．（3分）已知正四棱柱底面周长为8，高为3，则其全面积为（ ）A ．120立方分米B ．240立方分米C ．960立方分米D ．1920立方分米15．（3分）一款分类垃圾箱由两个长方体形状的容器构成（如图所示），垃圾箱底面是边长为8分米的正方形，高为15分米，则一个长方体形状垃圾箱的体积为（ ）A ．4B ．22C ．232D ．3216．（3分）把两半径为2的铁球熔化成一个球（损耗忽略不计），则这个大球的半径应为（ ）√A ．B ．C ．D ．17．（3分）如图为正三棱柱的直观图，它的主视图是下列各图中的（ ）A ．12πB ．15πC ．20πD ．24π18．（3分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =4，以AC 为轴旋转一周后，得到的几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．19．（3分）直线y =12x -2的图像是下面的（ ）A ．−π4B ．π4C ．3π4D ．5π420．（3分）已知直线1的斜率k =-1，则它的倾斜角α=（ ）A ．k AB >k BC B ．k AB <k BC C ．k AB =k BCD ．无法比较大小21．（3分）如图，上海新冠疫苗在2021年3月21日接种数为260万剂次（A 点），经过47天（即5月7日）接种数为1800万剂次（B 点），再经过10天（即5月17日）接种数为2190万剂次（C 点）．可知两条线段所在直线的斜率关系为（ ）A ．y -1=2（x +3）B ．y -3=2（x +1）C ．y +1=2（x -3）D ．y +3=2（x -1）22．（3分）已知直线1过点P （-1，3），斜率为2，则这条直线的点斜式方程为（ ）A ．（x -2）2+（y +3）2=16B ．（x -2）2+（y +3）2=4C ．（x +2）2+（y -3）2=16D ．（x +2）2+（y -3）2=423．（3分）圆心坐标是C （-2，3），半径为4的圆的标准方程为（ ）A ．x 2-y 2-2x -4y =0B ．x 2+y 2-2x -4y =0C ．2x 2+y 2-2x -4y =0D ．x 2+y 2-2x -4y +6=024．（3分）下列方程能表示圆方程的是（ ）。

2021-2022学年上海市曹杨二中高二(上)期末数学试卷

2021-2022学年上海市曹杨二中高二(上)期末数学试卷

2021-2022学年上海市曹杨二中高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）直线√3 x-y+1=0的倾斜角为___ ．2.（填空题，4分）数据：1，1，3，4，6的方差是 ___ ．3.（填空题，4分）已知三角形OAB顶点O（0，0），A（2，4），B（3，-6），则过B点的中线长为 ___ ．4.（填空题，4分）用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是9πcm2.则球心到截面的距离为___ cm．5.（填空题，4分）若圆心坐标为（2，-1）的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2√2，则圆的半径为 ___ ．6.（填空题，4分）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O'B'=O'C'=1，则三角形A'B'C'的面积为 ___7.（填空题，5分）已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=x-2x+1，则当x＜0时，f（x）=___ ．8.（填空题，5分）甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是 ___ ．9.（填空题，5分）已知正三棱台ABC-A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为 ___ ．10.（填空题，5分）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD=∠BSD=∠CSD=30°，当三棱锥S-ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 ___ ．11.（填空题，5分）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，从下列四个条件：① a=√2c；② C=π6；③ cosB=−√24；④ b=√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一的所有c的值为 ___ ．12.（填空题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．若对任意的正整数n，都有3S n−1S n∈[k，t]，则t-k的最小值为 ___ ．13.（单选题，5分）已知点A（1，-1，2）在平面α上，其法向量n⃗ =（2，-1，2），则下列点不在α上的是（）A.（2，3，3）B.（3，7，4）C.（-1，-7，1）D.（-2，0，1）14.（单选题，5分）实数m≠n且m2sinθ-mcosθ+1=0，n2sinθ-ncosθ+1=0，则经过（m，m2），（n，n2）两点的直线与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定15.（单选题，5分）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：① a=0.03；② 若抽取100人，则平均用时13.75小时；③ 若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为3．其中正确的序号是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③16.（单选题，5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t=m+n，则下列说法正确的是（）A.事件“t=12”的概率为121B.事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件C.事件“t=2”与“t≠3”互为互斥事件D.事件“t＞8且mn＜32”的概率为1417.（问答题，14分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（-1，3）与圆C相切，求直线l的方程．18.（问答题，14分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．（1）设BC=1，AB=2，求这个几何体的表面积；̂的中点，设P是弧CÊ上的一点，且A P⊥BE．求异面直线AG与BP所成（2）设G是弧DF角的大小．19.（问答题，14分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）．（1）证明图2中的水面也是平行四边形；（2）当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角的大小．20.（问答题，16分）已知数列{a n}满足a1= 1，3a n+12=2a n2+1，b n=1-a n2，n为正整数．2（1）证明：数列{b n}是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式nb n＞m的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；21.（问答题，18分）已知直线l：x=my-1，圆C：x2+y2+4x=0．（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．2021-2022学年上海市曹杨二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）直线√3 x-y+1=0的倾斜角为___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可求答案．【解答】：解：将直线方程化为斜截式得，y=√3x+1，，故斜率为√3=tanα，∴ α=π3故答案为π3【点评】：本题的考点是直线的倾斜角，主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查方程的斜截式2.（填空题，4分）数据：1，1，3，4，6的方差是 ___ ．【正确答案】：[1]3.6【解析】：根据题意，由方差的计算公式计算可得答案．=3，【解答】：解：对于数据1，1，3，4，6，其平均数x = 1+1+3+4+65[（1-3）2+（1-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（6-3）2]=3.6，则其方差S2= 15故答案为：3.6．【点评】：本题考查数据方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．3.（填空题，4分）已知三角形OAB顶点O（0，0），A（2，4），B（3，-6），则过B点的中线长为 ___ ．【正确答案】：[1] 2√17【解析】：根据已知条件，求出AO的中点，再结合两点之间的距离公式，即可求解．【解答】：解：设AO的中点为D，∵O（0，0），A（2，4），∴D（1，2），∴BD= √(3−1)2+(−6−2)2=2√17．故答案为：2√17．【点评】：本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．4.（填空题，4分）用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是9πcm2.则球心到截面的距离为___ cm．【正确答案】：[1]4【解析】：计算截面圆的半径，利用勾股定理计算球心到截面的距离．【解答】：解：设截面圆的半径为r，则πr2=9π，故r=3，∴球心到截面圆的距离d= √52−32 =4．故答案为：4．【点评】：本题考查了球的性质，属于基础题．5.（填空题，4分）若圆心坐标为（2，-1）的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2√2，则圆的半径为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：先求出弦心距，再根据弦长求出半径．【解答】：解：由题意可得弦心距d= |2+1−1|√1+1= √2，故半径r= √2+2 =2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．6.（填空题，4分）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O'B'=O'C'=1，则三角形A'B'C'的面积为 ___【正确答案】：[1] √64【解析】：根据题意，求出正三角形ABC的边长，进而可得S△ABC的值，由于S△A′B′C′S△ABC = √24，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，三角形A'B'C'为正三角形ABC的直观图，其中O'B'=O'C'=1，则正三角形ABC中，边BC=2，则有S△ABC= √34×4= √3，又由S△A′B′C′S△ABC = √24，计算可得S△A′B′C′= √3 × √24= √64，故答案为：√64．【点评】：本题考查平面图形的直观图，注意斜二测画法的步骤，属于基础题．7.（填空题，5分）已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=x-2x+1，则当x＜0时，f（x）=___ ．【正确答案】：[1]x+2-x-1【解析】：根据题意，当x＜0，-x＞0，求出f（-x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】：解：根据题意，当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-x-2-x+1，又由y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）=-f（-x）=-（-x-2-x+1）=x+2-x-1，故当x＜0时，f（x）=x+2-x-1，故答案为：x+2-x-1．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．8.（填空题，5分）甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是 ___ ．【正确答案】：[1]26【解析】：根据题意求出x、y的值，再根据中位数的定义求出即可．【解答】：解：根据茎叶图中的数据知，甲得分的极差为32，即（30+x）-6=32，解得x=8，乙得分的平均值为15×[12+25+26+（20+x）+31]=24，解得y=6，所以甲、乙两组数据从小到大排列为：6、12、14、25、26、26、28、31、34、38，所以中位数是26．故答案为：26．【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了极差、平均数和中位数的计算问题，是基础题．9.（填空题，5分）已知正三棱台ABC-A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] 7√312【解析】：由已知求得棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．【解答】：解：∵正三棱台ABC-A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，∴ S上底面=12×1×1×√32=√34，S下底面=12×2×2×√32=√3，又高为1，∴这个正三棱台的体积为V= 13×1×(√34+√3+√√34×√3) = 7√312．故答案为：7√312．【点评】：本题考查棱台体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．10.（填空题，5分）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD=∠BSD=∠CSD=30°，当三棱锥S-ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：连接AD，利用SD是球O的直径，可得SA=SDcos30°，同理可得SB，SC，设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，球的半径为R，可得S，O，O1三点共线，再在Rt△OAO1中利用勾股定理求解即可．【解答】：解：连接AD，∵SD是球O的直径，∴∠SAD=90°，∴SA=SDcos30°= √32SD，同理可得SB=SC= √32SD，∴SA=SB=SC设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，球的半径为R，则OO1⊥平面ABC，SO1⊥平面ABC，因此S，O，O1三点共线，∵三棱锥S-ABC的底面是边长为3的正三角形时，即△ABC的外接圆半径r=AO1= 23√32−(32)2= √3，SA=SB=SC= √32•2R= √3 R，三棱锥的高SO1= √(√3R)2−(√3)2 = √3√R2−1，在Rt△OAO1中有OA2=AO12+OO12，即R2=（√3）2+（√3√R2−1 -R）2，解得R=2，故答案为：2．【点评】：本题考查了球的性质及其有关应用、解直角三角形、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．11.（填空题，5分）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，从下列四个条件：① a=√2c；② C=π6；③ cosB=−√24；④ b=√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一的所有c的值为 ___ ．【正确答案】：[1] ① ③④ ，√72；② ③ ④ ，√2．【解析】：分析所给条件可知所选条件中不能同时有① ② ，故只能是① ③ ④ 或② ③ ④ ，分别在这两种情况下结合正余弦定理求解即可．【解答】：解：由① ② 结合正弦定理可得asinA =csinC，所以sinA=√2sinC=√22，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有① ② ，故只能是① ③ ④ 或② ③ ④ ，若选① ③ ④ ，a=√2c，cosB=−√24，b=√7，由余弦定理可得，−√24=222c•√2c，解得c=√72；若选② ③ ④ ，C=π6，cosB=−√24，b=√7，∴ sinB=√144，且B为钝角，√7√14 4=c12，解得c=√2，故答案为：① ③ ④ ，√72；② ③ ④ ，√2．【点评】：本题考查了解三角形的知识，属于基础题．12.（填空题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．若对任意的正整数n，都有3S n−1S n∈[k，t]，则t-k的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：由等差中项的性质和a n=S n-S n-1（n≥2），以及构造法可推出{S n- 32 }是以12为首项，- 13为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式，以及函数的单调性，即可得解．【解答】：解：因为2S n是6和a n的等差中项，所以4S n=6+a n=6+S n-S n-1（n≥2），所以3S n=6-S n-1，即S n- 32 =- 13（S n-1- 32）（n≥2），当n=1时，S1=a1=2，故{S n- 32 }是以12为首项，- 13为公比的等比数列，所以S n- 32 = 12× (−13)n−1，即S n= 12× (−13)n−1+ 32，若n为奇数，则S n∈（32，2]；若n为偶数，则S n∈[ 43，32），而f （S n ）=3S n - 1S n 是关于S n 的单调递增函数，且f （ 43 ）= 134 ，f （2）= 112 ， 所以t-k 的最小值是 112 - 134 = 94 ．故答案为： 94 ．【点评】：本题考查数列的综合，熟练掌握等差中项的性质，等比数列的定义与通项公式，以及函数单调性的判定方法是解题的关键，考查转化与化归的思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）已知点A （1，-1，2）在平面α上，其法向量 n ⃗ =（2，-1，2），则下列点不在α上的是（ ）A.（2，3，3）B.（3，7，4）C.（-1，-7，1）D.（-2，0，1）【正确答案】：D【解析】：由向量的数量积运算分别分析四个选项得答案．【解答】：解：点A （1，-1，2）在平面α上，其法向量 n ⃗ =(2，−1，2) ，对于A ，∵（2，3，3）-（1，-1，2）=（1，4，1），且（2，-1，2）•（1，4，1）=2-4+1=0，∴点（2，3，3）在α内，故A 错误；对于B ，∵（3，7，4）-（1，-1，2）=（2，8，2），且（2，8，2）•（2，-1，2）=4-8+4=0，∴点（3，7，4）在α内，故B 错误；对于C ，∵（-1，-7，1）-（1，-1，2）=（-2，-6，-1），且（-2，-6，-1）•（2，-1，2）=-4+6-2=0，∴点（-1，-7，1）在α内，故C 错误；对于D ，∵（-2，0，1）-（1，-1，2）=（-3，1，-1），且（-3，1，-1）•（2，-1，2）=-9≠0，∴点（-2，0，1）不在平面α内，故D 正确．故选：D ．【点评】：本题考查点与平面间的关系，考查平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.（单选题，5分）实数m≠n 且m 2sinθ-mcosθ+1=0，n 2sinθ-ncosθ+1=0，则经过（m ，m 2），（n ，n 2）两点的直线与圆C ：x 2+y 2=1的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.不能确定【正确答案】：B【解析】：由已知条件可得，m ，n 为x 2sinθ-xcosθ+1=0 的两根，再结合韦达定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵实数m≠n 且m 2sinθ-mcosθ+1=0，n 2sinθ-ncosθ+1=0，∴m ，n 为x 2sinθ-xcosθ+1=0 的两根，∴ m +n =cosθsinθ ， mn =1sinθ ， 直线为 y =m 2−n 2m−n (x −m )+m 2 =（m+n ）（x-m ）+m 2， d =|−m (m+n )+m 2|√(m+n)2+1 = |mn|√(m+n)2+1 = |1sinθ|√(cosθsinθ)2+1=1=r ，故经过（m ，m 2），（n ，n 2）两点的直线与圆C ：x 2+y 2=1的位置关系是相切．故选：B ．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．15.（单选题，5分）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：① a=0.03；② 若抽取100人，则平均用时13.75小时；③ 若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为3．其中正确的序号是（ ）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③【正确答案】：D【解析】：利用频率分布直方图的性质直接求解．【解答】：解：由频率分布直方图得：对于① ，（0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01）×5=1，解得a=0.03，故① 正确；对于② ，平均数为：2.5×0.02×5+7.5×0.04×5+12.5×0.06×5+17.5×0.04×5+22.5×0.03×5+27.5×0.01×5=13.75小时，故② 正确；对于③ ，从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，=3，故③ 正确．则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为：8× 0.030.04+0.03+0.01故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.（单选题，5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t=m+n，则下列说法正确的是（）A.事件“t=12”的概率为121B.事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件C.事件“t=2”与“t≠3”互为互斥事件D.事件“t＞8且mn＜32”的概率为14【正确答案】：D【解析】：计算出事件“t=12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【解答】：解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记t=a+b，则，故A错误；事件“t=12”的概率为136事件“t 是奇数”与“m=n”为互斥不对立事件，故B 错误；事件“t=2”与“t≠3”不是互斥事件，故C 错误；事件“t ＞8且mn ＜32”共有9个基本事件，故事件“t ＞8且mn ＜32”的概率为 14 ，故D 正确；故选：D ．【点评】：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，互斥事件和对立事件的概念，难度中档．17.（问答题，14分）已知圆C 经过A （3，2）、B （1，6），且圆心在直线y=2x 上． （Ⅰ）求圆C 的方程．（Ⅱ）若直线l 经过点P （-1，3）与圆C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A ，B 的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C 的方程．（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r 即可求出直线斜率k ，从而求出直线方程．【解答】：解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x 上，故可设圆心C （a ，2a ），半径为r ．则圆C 的标准方程为（x-a ）2+（y-2a ）2=r 2．∵圆C 经过A （3，2）、B （1，6），∴ {(3−a )2+(2−2a )2=r 2(1−a )2+(6−2a )2=r 2． 解得a=2，r= √5 ．∴圆C 的标准方程为（x-2）2+（y-4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C 的圆心为C （2，4），半径r= √5 ．直线l 经过点P （-1，3），① 若直线斜率不存在，则直线l ：x=-1．圆心C （2，4）到直线l 的距离为d=3＜r= √5 ，故直线与圆相交，不符合题意． ② 若直线斜率存在，设斜率为k ，则直线l ：y-3=k （x+1），即kx-y+k+3=0．圆心C （2，4）到直线l 的距离为d= |2k−4+k+3|√1+k 2 = |3k−1|√1+k 2 ．∵直线与圆相切，∴d=r ，即 |3k−1|√1+k 2 = √5 ．∴（3k-1）2=5+5k 2，解得k=2或k= −12 ．∴直线l 的方程为2x-y+5=0或x+2y-5=0．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题．18.（问答题，14分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．（1）设BC=1，AB=2，求这个几何体的表面积；（2）设G 是弧 DF̂ 的中点，设P 是弧 CE ̂ 上的一点，且AP⊥BE ．求异面直线AG 与BP 所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）这个几何体的表面积为圆柱侧面积的 13 和两个扇形面积、两个矩形面积之和，由此能求出结果．（2）推导出BE⊥平面ABP ，以B 为坐标原点，BE 为x 轴，BP 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AG 与BP 所成角的大小．【解答】：解：（1）几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形． BC=1，AB=2，则这个几何体的表面积为 S= 13×2π×1×2 +2×1×2+2× 13×π×12 =2π+4．（2）G 是弧 DF̂ 的中点，P 是弧 CE ̂ 上的一点，且AP⊥BE ， ∵AB⊥BE ，BP∩AB=B ，∴BE⊥平面ABP ，以B 为坐标原点，BE 为x 轴，BP 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，2），G （ 12 ， √32 ，2），B （0，0，0），P （0，1，0），AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12，√32 ，0）， BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，0）， 设异面直线AG 与BP 所成角为θ，则cosθ= |AG ⃗⃗⃗⃗⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √321×1 = √32 ， ∴θ=30°，∴异面直线AG 与BP 所成角的大小为30°．【点评】：本题考查几何体表面积的求法，考查两条异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD 1C 1有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上）．（1）证明图2中的水面也是平行四边形；（2）当水恰好流出时，侧面CDD 1C 1与桌面所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），推导出NH=AM=C1P=D1Q=1，从而MN ∥=PQ，由此能证明图2中的水面也是平行四边形．（2）求出B1H=BB1-NH-BN=2，由侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ 所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，得到∠HC1C即为所求，由此能求出侧面CDD1C1与桌面所成角．【解答】：解：（1）证明：如图，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），由题意知，水的体积为4×4×2=32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），则PC=3，D1Q=1，水的体积为S BCPN•CD=32，∴ BN+CP2•BC•CD=32，即BN+32×4×4=32，∴BN=1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H || NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，∴NH=AM=C1P=D1Q=1，∴MN ∥=PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴图2中的水面也是平行四边形．（2）由（1）得B1H=BB1-NH-BN=4-1-1=2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C=∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1= B1C1B1H = 42=2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角为arctan2．【点评】：本题考查平行四边形的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，16分）已知数列{a n}满足a1= 12，3a n+12=2a n2+1，b n=1-a n2，n为正整数．（1）证明：数列{b n}是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式nb n＞m的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；【正确答案】：【解析】：（1）将所给等式3a n+12=2a n2+1，变形为3（1-a n+12）=2（1-a n2），根据等比数列的定义能证明结论．（2）假设数列{b n}中存在三项b i，b j，b k（i＜j＜k）成等差数列，根据等差数列的性质推出矛盾，从而证明原结论．（3）求出n=1，2，3，4时的情况，再结合n≥3时，(n+1)b n+1nb n＜1，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：（1）证明：由已知可知，a n≠±1，否则{b n}不可能是等比数列，∵a1= 12，b n=1-a n2，∴b1= 34，∵3a n+12=2a n2+1，∴3（1-a n+12）=2（1-a n2），∴ b n+1b n = 23，∴数列{b n}是等比数列，∴b n= 34•(23)n−1，（n∈N*）．（2）证明：假设数列{b n}中存在三项b i，b j，b k（i＜j＜k）成等差数列，则2b j=b i+b k，即2×34•(23)j−1= 34•(23)i−1+ 34•(23)k−1，整理得2j-i+1=3j-i+2k-i•3j-k，即3k-j（2j-i+1-3j-i）=2k-i，∵2j-i+1-3j-i是奇数，∴上式左侧是一个奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，∴数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列．（3）关于正整数n的不等式nb n＞m，即3n4•(23)n−1＞m，当n=1时，m＜34；当n=2时，m＜1；当n=3时，m＜1；当n=4时，m＜89，当n≥3时， (n+1)b n+1nb n = 2(n+1)3n＜1， ∵关于正整数n 的不等式nb n ＞m 的解集中有且仅有三个元素，∴实数m 的取值范围是[ 34 ， 89 ）．【点评】：本题考查等比数列、等差数列的证明，考查等比数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查等比数列、等差数列、反证法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.（问答题，18分）已知直线l ：x=my-1，圆C ：x 2+y 2+4x=0．（1）证明：直线l 与圆C 相交；（2）设l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为l 1，在点B 处的切线为l 2，l 1与l 2的交点为Q ．试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1） {x =my −1x 2+y 2+4x =0，化简整理可得，（m 2+1）y 2+2my+3=0，再结合判别式法，即可求解．（2）根据已知条件，结合向量的数量积坐标公式，即可求解．（3）根据已知条件，结合四点共圆，即可求解．【解答】：解：（1） {x =my −1x 2+y 2+4x =0，化简整理可得，（m 2+1）y 2+2my+3=0， Δ=4m 2+12（m 2+1）=16m 2+12＞0，所以直线l 与圆C 恒相交．（2）设M （x ，y ），则有 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵圆心C （-2，0），P （-1，0），∴（x+2，y ）•（x+1，y ）=0，整理可得，x 2+y 2+3x+2=0，即 (x +32)2+y 2=14 ，∴点M的轨迹方程是(x+32)2+y2=14，表示的是以（- 32，0）为圆心，半径长为12的圆．（3）当m变化时，点Q恒在直线x=2上，理由如下：设Q（x0，y0），由题意可得，Q，A，B，C四点共圆，且圆的方程为（x-x0）（x+2）+（y-y0）y=0，即x2+y2+（2-x0）x-y0y-2x0=0，与圆C的方程x2+y2+4x=0，消去二次项得（x0+2）x+y0y+2x0=0，即为直线l的方程，与l：x=my-1比较可得，x0+2=2x0，解得x0=2，所以当m变化时，点Q恒在定直线x=2上．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，需要学生较强的综合能力，属于难题．。

上海市曹杨二中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

上海市曹杨二中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A 、B 均为U 的子集．若A ∩B ＝{5}， ，则A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数y ＝f （x ）的表达式为若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是 ． 12．已知常数a ＞0，函数y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为 、．若对任意x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在x 2 ∈〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A.充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用0 表示，最亮的白色用255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）（1）求集合A 和集合B；（2）求A∪B＝B，求实数m 的取值范围．A．B．C．D．16．已知x、y、z是互不相等的正数，则在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是（）17．（14分）已知m≥1，设集合，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N的浓度增加y mol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16分）已知a 为常数，设函数y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解析〗根据扇形的面积公式S ＝lr 可得：3＝ ×3r ，解得r ＝2cm ，再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即x ＝+1，y ＝1+时取等号， 则x +2y 的最小值为2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4的图象开口向上，对称轴为x ＝，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数x 0，∴存在x ∈〖﹣a ，a 〗，使得f （x ）≥g （x ） 2 2 max＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即2a 2x 2﹣3x +2a ≤0在〖﹣a ，a 〗上有解，设h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为x ＝ ，若 ＜a ，即a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则2a 2x 2﹣3x +2a ≤0不成立；若 ≥a ，即0＜a ≤时，只需h （x ） min≤0，即h （a ）＜0即可， 则 ，解得0＜a ≤ ；综上，实数a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当0≤t ≤12时，由题得 ，解之得4≤t ≤12；当12＜t ≤24时，由题得，解之得12≤t ≤16；所以4≤t ≤16．20．解：（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1或3≥3m ﹣1，解得m ≥5或1≤m ，∴实数m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以x ＝log 3，所以f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则t （x 1 ）﹣t （x ）＝ 2﹣＝＜0，则．（2）函数y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）．21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上， 则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3， 又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数， 则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾， 所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2）由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当22x ＝ ，即x ＝0时等号成立，所以a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当a ＞0时， ≥2 ，当且仅当2x ＝ 时，f （x ）取得最小值2 ，当直线y ＝6与y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得a ＝9；设t ＝2x （t ＞0），则t +＝6，即t 2﹣6t +a ＝0，可得t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，①由|x 1 ﹣x |≤1，可设x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，②由①②可得t 2 ≥2，且t ＝3﹣ 2 ，解得8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A 、B 均为U 的子集．若A ∩B ＝{5}， ，则A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数y ＝f （x ）的表达式为若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是 ． 12．已知常数a ＞0，函数y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为 、．若对任意x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在x 2 ∈〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A.充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用0 表示，最亮的白色用255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）（1）求集合A 和集合B；（2）求A∪B＝B，求实数m 的取值范围．A．B．C．D．16．已知x、y、z是互不相等的正数，则在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是（）17．（14分）已知m≥1，设集合，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N的浓度增加y mol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16分）已知a 为常数，设函数y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解析〗根据扇形的面积公式S ＝lr 可得：3＝ ×3r ，解得r ＝2cm ，再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即x ＝+1，y ＝1+时取等号， 则x +2y 的最小值为2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4的图象开口向上，对称轴为x ＝，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数x 0，∴存在x ∈〖﹣a ，a 〗，使得f （x ）≥g （x ） 2 2 max＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即2a 2x 2﹣3x +2a ≤0在〖﹣a ，a 〗上有解，设h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为x ＝ ，若 ＜a ，即a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则2a 2x 2﹣3x +2a ≤0不成立；若 ≥a ，即0＜a ≤时，只需h （x ） min≤0，即h （a ）＜0即可， 则 ，解得0＜a ≤ ；综上，实数a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当0≤t ≤12时，由题得 ，解之得4≤t ≤12；当12＜t ≤24时，由题得，解之得12≤t ≤16；所以4≤t ≤16．20．解：（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1或3≥3m ﹣1，解得m ≥5或1≤m ，∴实数m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以x ＝log 3，所以f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则t （x 1 ）﹣t （x ）＝ 2﹣＝＜0，则．（2）函数y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）． 21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上，则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾，所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当22x ＝ ，即x ＝0时等号成立， 所以a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当a ＞0时， ≥2 ，当且仅当2x ＝ 时，f （x ）取得最小值2 ，当直线y ＝6与y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得a ＝9； 设t ＝2x （t ＞0），则t + ＝6，即t 2﹣6t +a ＝0，可得t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，① 由|x 1 ﹣x |≤1，可设x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，② 由①②可得t 2 ≥2，且t ＝3﹣ 2，解得8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．。

四校八大名校卷 上海交通大学附属中学2021-2022学年高二下学期3月摸底数学试题 逐题详解

四校八大名校卷 上海交通大学附属中学2021-2022学年高二下学期3月摸底数学试题 逐题详解
12.已知 为圆O： 两条互相垂直的弦，且垂足为 ，则四边形ABCD的面积的最大值为______.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13.若集合 ， ，则能使 成立的所有 的集合是（）
A. B. C. D.
14. 虚数单位，则 （）
A. B. C. D.1
15. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 ，有 ，则 =（ ）
5.函数 是 上的偶函数，则 _________．
6.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且 ＝ ，则 的值是________．
7.若复数 在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______．
8.己知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_________．
A B. C. D.
16.已知数列 满足 ，下列命题：①当 时， 为递减数列；②当 时，数列 为递减数列；③当 时，数列 为递增数列．其中真命题的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.设集合 ， .
(1)若 ，求实数 的值;
(2)若 ，求实数 范围.
18.在正三角形 中，E、F、P分别是 、 、 边上的点，满足 （如下左图）．将 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连结 、 （如下右图）．
故答案为：
8.己知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_________．
【8题Байду номын сангаас案】
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，从而求出表面积.
【详解】如图，正三棱锥O-ABC，高OM=2，取BC中点N，连接AN，ON，则M在线段AN上，且 ，由AB=4，BN=2，由勾股定理得： ，所以 ， ，所以 ， ，所以三棱锥的表面积为 .

金牌模拟试卷(二)(解析版)-2020-2021学年高二数学下学期第一次月考金牌模拟试卷

金牌模拟试卷(二)(解析版)-2020-2021学年高二数学下学期第一次月考金牌模拟试卷

2020-2021高二下学期第一次月考金牌模拟试卷（二）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1【答案】A【分析】根据复数的概念可得出结论.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.2．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 【答案】C【分析】根据导数的物理意义可求得结果.【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是21s t t =-+在3t =时的导数值，因为12s t '=-+，所以物体在3秒末的瞬时速度是1235-+⨯=米/秒.故选：C3．()()444i i i -+=（ ）A ．815i -B ．15iC ．815i +D ．15i - 【答案】A【分析】由41i =，结合复数代数形式的乘法运算，即可化简复数.【详解】()()()()444144815i i i i i i -+=-+=-.故选：A ．4．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是（ ）A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1【答案】A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y ＝(x 2－1)n ，可由y ＝u n ，u ＝x 2－1，利用复合函数求导.故选：A.5．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数2i -+和13i -对应的点之间的距离是（ ）A B C ．5 D ．25【答案】C【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数2i -+和13i -对应的点分别为()2,1-，()1,3-，5=.故选：C.6．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可.【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06a x <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．7．在复平面xOy 内，复数z 对应的向量()1,1OZ =-，z 是复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，则复数2z z +的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．i -D ．-3【答案】B【分析】先求出z ，再求出2z z +，从而可求2z z +的虚部.【详解】因为复数z 对应的向量()1,1OZ =-，故1z i =-，故1z i =+，故()22111z z i i i +=-++=-，其虚部为1-，故选：B.8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()f x 的导函数为()'f x ，且当[0,)x ∈+∞时，()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，e 为自然对数的底数，则函数()f x 在R 上的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】为了利用条件()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，构造函数()(cos )()g x x e f x =-即可. 【详解】由()sin ()cos e ()f x x f x x f x ''<-，得(cos e)()()sin 0x f x f x x '-->.令()(cos )()g x x e f x =-，因为cos 0x e -≠，所以()0f x =等价于()0g x =.当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(cos )()g x x e f x =-也是定义在R 上的奇函数，从()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，所以()g x 在R 上只有1个零点，从而可得()f x 在R 上只有1个零点.故选：B.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z = 【答案】BC【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】 由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误. 故选：BC10．已知函数()f x 及其导数()'f x ，若存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A ．2()f x x =B ．()x f x e -=C ．()ln f x x =D ．1()f x x= 【答案】ACD【分析】利用“巧值点”的定义，逐个求解方程()()00f x f x '=判断即可【详解】在A 中，若2()f x x =，则()2f x x '=，则22x x =，这个方程显然有解，故A 符合要求；在B 中，若()xf x e -=，则111()ln x x x f x e e e e -'⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦'，即x x e e --=-，此方程无解，故B 不符合要求；在C 中，若()ln f x x =，则1()f x x '=，由1ln x x=，令ln y x =，1y x =（0x >），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C 符合要求；在D 中，若1()f x x =，则21()f x x '=-，由211x x=-，可得1x =-，故D 符合要求． 故选：ACD ．11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（ ）A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点 D ．12i z i +=+的虚部为15i 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12i z i+=+，判断D 选项是否正确.【详解】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+， 所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（ ） A ．()f x 的图象关于原点对称 B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可；对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称， 且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误； 由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x x πππ+=++=+=+，故C 项正确； 设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z -=，则12z z +=______.【答案】1【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【详解】解：12||||1z z ==，12||-=z z ， ∴221122||2||3z z z z -+=，122231z z ∴=-=-；12||1z z ∴+=． 故答案为：1．14．曲线2y lnx x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】10【分析】对函数求导代入，即可得出tan 3(0)2παα=<<，进而可得结果.【详解】1212,|3x y y x x ='+'==则tan 3(0),sin cos 22ππαααα=<<∴+===（）15．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.16．已知()32f x x x =+，()2,01ln ,02x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()y f g x m =+(m 为实数)有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为___________. 【答案】11ln 22+【分析】 由题可知()()0f g x m +=有两个不等实根，设()g x t =，则()f t m =-，根据()f x 在R 上单调递增，结合()g x 的图像可知，()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根，即1221ln 2x e x t =+=，构造函数12211()ln 2t h t x x e t -=-=-，利用导数研究函数的最小值，即可求解. 【详解】()32f x x x =+，求导()2320f x x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增.函数()()y f g x m =+有两个不同零点，等价于方程()()0f g x m +=有两个不等实根.设()g x t =，则()f t m =-，又()f x 在R 上单调递增，作出函数()g x 的图像，则问题转化为()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根1x ，2x ，12x x < 则1221ln 2x e x t =+=，则11ln 2x t =，122t x e -=，12211ln 2t x x e t --=-. 设121()ln 2t h t e t -=-，(]0,1t ∈，则()1212t h t e t -'=-，()122102t h t e t -''=+> ()h t '∴在(]0,1t ∈上单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，()0h t '=在(]0,1t ∈上有唯一零点，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 111ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 故答案为：11ln 22+【点睛】 思路点睛：本题考查利用导数研究函数的零点及最值，利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略，研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (m ∈R )．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（4）若复数z 是0，求实数m 的值．【答案】（1）m ＝5或－3；（2）{m |m ≠5且m ≠－3}；（3）m ＝－2；（4）m ＝－3.【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零列不等式求解即可；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可；（4）利用实部等于零且虚部等于零求解即可【详解】（1）当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，所以m ＝5或－3.（2）当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数．所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．（3）当222150,560m m m m ⎧--≠⎨++=⎩时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2. （4）当222150,560m m m m ⎧--=⎨++=⎩时，复数z 是0，所以m ＝－3.18．求下列函数的导数.（1）sin y x x =+；（2）2ln 1x y x =+. 【答案】（1）cos 1x +；（2）()22221211x x nx x x +-+.【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．【详解】（1）函数的导数：(sin )cos 1y x x x '''=+=+；（2）函数的导数：()()()2222222111212111x nx x x x nx x y x x x +-⋅+-'==++. 【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础．19．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数 【答案】（1）11(,)32-；（2）1255i -+ 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+， 则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-. （2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-， 所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.20．已知函数3()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【答案】(,48]-∞【分析】由()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，可得()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即23a x 在[4,)+∞上恒成立，从而可得答案．【详解】因为()23f x x a ='-，且()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，所以()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即230x a -在[4,)+∞上恒成立，所以23a x 在[4,)+∞上恒成立，因为2234834x ≥⨯=所以48a ，即a 的取值范围为(,48]-∞．21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：∈补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；∈补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m f x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件∈∈的参数m 的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当12m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由121442x x x -+≥，结合二次函数的性质，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x+=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解.【详解】（1）当12m =时，所以12()44x f x x =-+，可得2112'()04f x x=+>， 所以函数()f x 在[]4,8x ∈为增函数，满足条件①； 又由不等式121442x x x -+≥，可化为216480x x -+≤， 设()21648g x x x =-+，可得对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =， 所以121()442x f x x x =-+≥恒成立， 综上可得，当使用参数12m =时满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x m f x x x+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<，综上可得，4m ≥-，由条件①可知，()2x f x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤， 综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知数列()*11n n a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-. 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立.（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）要证()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数： 只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+， 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++' 由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=；当12a ≥时，20x ≤， 在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増，由于()()00g x g >=，不等式不成立112a <<时，()20,1x ∈， 在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增； 且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+，得11ln 2a ≤-111ln 2a -<≤-时不等式成立当01a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立 综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-. 【点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用.。

上海市民办南模中学2021-2022学年高二下学期开学考数学试题(原卷版)

上海市民办南模中学2021-2022学年高二下学期开学考数学试题(原卷版)
（1）若 ，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
A 410B.408C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.某学校 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： ， ， ， ， ．
（1）求图中 值；
（2）根据频率分布直方图，估计这 名学生语文成绩的平均分、中位数（保留两位小数）．
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（ ）与数学成绩相应分数段的人数（ ）之比如下表所示，求数学成绩在 之外的人数．
分数段
18.已知空间中三点 、 、 ，设 ， ．
（1）若 ，且 ，求向量 ；
（2）求以 、 为一组邻边 平行四边形的面积S．
19.流行性感冒是由流感病毒引起 急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
12.已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、 ，则 的取值范围为________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13.“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（）
A. B.
C. D.
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上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一）一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B 两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T 的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．•h==64．【解答】解：（1）V=S正方形ABCD∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD的中心O，AD的中点M，连结PO，OM，PM．则PO⊥平面ABCD，PM⊥AD，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5，===20．∴S△PAD=4S△PAD=80．∴S侧面积∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．。

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