上海市2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)

上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一）

一、填空题

1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．

2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．

3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为

______．

4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．

5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．

7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）

相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．

9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B 两地的球面距离为______．

10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．

11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．

12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．

13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T 的最小值为______．

14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）

①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．

二、选择题

15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）

A．关于x轴对称

B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称

C．关于y轴对称

D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称

17．下列命题中，正确的命题是（）

A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2

B．若z∈R，则z•=|z|2不成立

C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0

D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0

18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：

①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变

②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变

③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变

④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）

A．①③B．①③④C．①②④D．③④

三、解答题

19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：

（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；

（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？

20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；

（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．

21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．

（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；

（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．

（1）求证：CD⊥PD；

（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；

（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．

23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2

的距离的比为，动点P的轨迹记为C．

（1）求轨迹C的方程；

（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总

有|MN|≥0.5，

求r的取值范围；

（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是

否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．

参考答案

一、填空题

1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．

【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；

当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．

故答案为：平行或异面．

2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．

【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，

由题意可得﹣=﹣2，

解得p=4．