初二数学下19.1.1变量
人教版八年级数学下册第19章19.1.1变量与常量(教案)
4.引导学生在探索变量与常量过程中，培养严谨的数学态度和逻辑推理的素养。
5.培养学生的团队协作意识，通过小组讨论、互动交流，提升合作探究的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解变量与常量的定义及表示方法，并能正确区分两者。
-掌握函数概念的基本内涵，了解变量之间关系的表示方式。
在新课讲授的案例分析部分，我选取了一个与学生生活密切相关的例子，这样做的目的是让学生们感受到数学知识在解决实际问题中的应用。通过这个案例，我看到了学生们开始尝试将数学概念与实际情境联系起来，这是一个很好的开始。
实践活动环节，学生们在分组讨论中表现出了很高的热情。他们通过讨论和实验操作，亲身体验了变量与常量的变化过程，这种亲自动手的方式似乎比单纯的讲授更能加深他们的理解。
在小组讨论环节，我发现有的小组在分析问题时还不够深入，可能是因为他们对变量的理解还不够透彻。我适时地介入，提出了几个引导性的问题，帮助学生进一步思考。看到他们在讨论中逐渐找到问题的解决办法，我感到很欣慰。
最后，我发现在总结回顾环节，有些学生仍然对自己的理解不够自信，可能需要在课后进行个别辅导，确保他们能够真正掌握变量与常量这一知识点。此外，我也会在课后反思自己的教学方法，探索更有效的教学策略，以提升学生们的数学核心素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了变量与常量的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对变量与常量的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解变量的概念，以及变量与函数的关系。
本节课通过具体的实例，引导学生理解函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。
教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知发展规律。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于函数的概念和意义，以及如何运用函数解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例理解函数的概念，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量与函数的概念，能够识别函数关系，并运用函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.难点：函数概念的理解，以及如何运用函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法。
通过设置问题情境，引导学生观察、操作、思考，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作意识和创新精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学问题和活动。
2.学生准备：预习教材，了解变量与函数的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出变量与函数的概念。
提问：什么是变量？什么是函数？引导学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题和练习题，让学生观察、分析，引导学生发现变量与函数之间的关系。
提问：如何判断两个变量之间存在函数关系？如何表示函数关系？3.操练（15分钟）学生分组讨论，选取一个实例，尝试用函数表示变量之间的关系。
数学人教版八年级下册19.1.1变量
19.1变量与函数课标要求：结合具体情境体会一次函数的意义，能根据具体条件确定一次函数表达式 教学目标：知识与技能：1、掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；2、掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.过程与方法：使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识； 情感态度价值观：联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．教学重点:自变量取值范围的确定，根据自变量的取值范围确定函数值。
教学难点：自变量取值范围的确定，根据自变量的取值范围确定函数值。
教学方法：自主学习与讲练结合教学过程一、复习回顾引入新课：（学生独立完成，上黑板展示，集体订正。
）根据题意列出关系式，并指出变量和常量。
（1）向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量 y （单位：m3）随注水时间 x （单位：min ）的变化而变化；（2）改变正方形的边长 x ，正方形的面积 S 随之变化；（3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；（4）水池中有水10L ，此后每小时漏水0.05了L ，水池中的水量V （单位：L ）随时间（单位：h)的变化而变化。
二、探究新知（学生小组内讨论，学生上黑板汇报展示，全班集体订正）探究1、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：1、某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式；2、汽车油箱中有汽油50L ，如果不在加油，那么油箱中的油量y(单位:L)随行使路程x （单位：km ）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km,（1）、写出表示y 与x 的函数关系的式子；（2）、指出自变量X 的取值范围；（3）、汽车行驶200km 时，油箱中还有多少汽油？注意：在实际问题中自变量的取值要符合要求的探究2、求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)21+=x y ； (4)2-=x y ．三、巩固提升（学生独立完成，黑板展示汇报，全班集体订正）1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．2.求下列函数中自变量x 的取值范围：(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)；(3)36+=x x y ； (4)12-=x y ．四、小结与作业1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义．①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．作业：数学书习题19.1第1,2题教学反思:。
人教版八年级数学下册说课课件-19.1.1 变量和函数(共16张PPT)
子表示 y ？ y的值随x的值的变化而变化吗？
y = 10x
八年级 数学
第十九章 一次函数
19.1 变量与函数
19.1.1 变 量
活动二 问题（3） lián yī
你见过水中的涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大，在这一过程 中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？
y= 5-x S = 60t y = 10x S= πr2
活动四：巩固练习
变量：月用水量x吨和月应交水费y元， 常量：自来水价4元／吨。
变量：通话时间t分钟和话费余额w元， 常量：通话费0.2元／分钟和存入话费30元。
变量：半径r和圆周长C 常量：圆周率π及计算公式中的数字2。
变量：第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量y本， 常量：书的总数10本。
当r=10cm时，S=400πcm2
当r=30cm时，S=900πcm2
圆面积S= πr2
题目中没有 特别要求时，
要保留π
S的值随r的值变化而变化吗？
八年级 数学
19.1 函数
第十九章 一次函数
19.1.1 变 量
活动二 问题（4）
用10 m 长的绳子围成一个长方形，当长方形的一边长x分
别为 3m，3.5m,4m,4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值
随x
的值的变化而变化吗？ 矩形的周长=（长+宽）×2
已知周长，如何去求长或宽呢？
矩形的宽=周长÷2-长
当x=3m时，y=2m 当x=3.5m时，y=1.5m
当x=4m时，y=1m
y= 5-x
活动二：创设情境-----新知探究
问题1：分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量， 在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？
2019版八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教版
第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数【教学目标】知识与技能:1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念.2.了解函数值的概念,能用解析式表示函数关系.会确定函数自变量的取值范围.过程与方法:结合实例,了解常量、变量的意义,体会“变化与对应”的思想.通过动手实践与探索,让学生参与变量发现的过程,以提高分析问题和解决问题的能力.情感态度与价值观:引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.【重点难点】重点:了解常量与变量的含义.理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.确定自变量的取值范围.难点:理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.会确定自变量的取值范围.【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图.看图回答:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢?2.五一假期,李想和朋友从学校门口出发,骑自行车去沙河游玩,假设他们匀速行驶,每分钟骑200米,骑车的总路程为s米,骑车的时间为t分钟.填一填:问题:(1)在这个行程问题中,我们所研究的对象有几个量?(2)几个所研究的对象中,哪些是变化的量,哪些是固定不变的量?它们之间存在什么样的关系?这一节我们就来探究这一问题.二、探究归纳活动1:变量与常量1.出示问题,师生探究有如下几个变化过程,请找出各变化过程中的量,并填表:(教材P71四个问题)(师生活动:教师引导学生填表,并分析问题中出现的量,发现其中有些量的数值是变化的,分析问题中的量并分类,领会“变量”、“常量”的含义.发现在同一个变化过程中,始终保持不变的量为常量,而数值发生变化的量为变量.并根据发现自己试着下定义.)2.形成概念(1)(2)定义:在一个变化过程中,数值发生变化的量,称为变量,数值始终不变的量称为常量.活动2:函数的概念1.问题:在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出:上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值.2.思考:分组讨论教科书“思考”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.归纳:一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120.同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;在人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y 是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.活动3:例题讲解【例1】读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事,并指出所涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量.一次乌龟与兔子举行500 m赛跑,比赛开始不久,兔子就遥遥领先.当兔子以20 m/min的速度跑了10 min时,往回一看,乌龟远远地落在后面呢!兔子心想:“我就是睡一觉,你乌龟也追不上我,我为何不在此美美地睡上一觉呢?”可是,当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时,勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过,并以10 m/min的速度匀速爬向终点.40 min后,兔子梦醒了,而此时乌龟刚好到达终点.兔子悔之晚矣,等它再以30 m/min的速度跑向终点时,它比乌龟足足晚了10 min.分析:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.解:500 m、乌龟的速度10 m/min等在整个变化过程中是常量,兔子的速度是变量.总结:“常量”与“变量”:“常量”是数值始终不变的量,一般是用具体数表示的量;“变量”是数值发生变化的量,变量是可以变化的:(1)可以取不同的数值,(2)一般用字母表示.【例2】我们知道,海拔高度每上升1 km,温度下降6 ℃.某时刻,益阳地面温度为20 ℃,设高出地面x km 处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m,求这时山顶的温度大约是多少℃?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米?分析:(1)根据题意,按照等量关系:高出地面x km处的温度=地面温度-6 ℃×高出地面的距离;列出函数解析式.(2)把给出的自变量高出地面的距离0.5 km代入函数解析式求得.(3)把给出的函数值高出地面x km处的温度-34 ℃代入函数解析式求得x.解:(1)由题意得,y与x之间的函数解析式y=20-6x(x≥0).(2)由题意得x=0.5 km, y=20-6×0.5=17(℃)答:这时山顶的温度大约是17 ℃.(3)由题意得y=-34 ℃时,-34=20-6x,解得x=9 km.答:飞机离地面的高度为9 km.总结:求函数值的方法:就是将自变量x的值代入解析式,求代数式的值.【例3】函数y=自变量x的取值范围是()A.x≥1且x≠3B.x≥1C.x≠3D.x>1且x≠3分析:求自变量取值范围时,要考虑两个方面:一是被开方数非负;二是分式的分母不为零,通过建立不等式组解决问题.解:选A.根据题意可知:x-1≥0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3.总结:确定自变量取值范围的方法(1)整式:其自变量的取值范围是全体实数.(2)分式:其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数.(3)二次根式:其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数.(4)实际问题:其自变量的取值必须使实际问题有意义.三、交流反思这节课我们学习了变量与常量、函数的概念,函数自变量的取值范围的确定方法.四、检测反馈1.在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,下列说法正确的是()A.S,a是变量,h是常量B.S,h是变量,是常量C.S,h是变量,a是常量D.S,h,a是变量,是常量2.函数y=+3中自变量x的取值范围是()A.x>1B.x≥1C.x≤1D.x≠13.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y,其中y不是x的函数的选项是()A.y:正方形的面积,x:这个正方形的周长B.y:某班学生的身高,x:这个班学生的学号C.y:圆的面积,x:这个圆的直径D.y:一个正数的平方根,x:这个正数4.对于圆的面积公式S=πR2,下列说法中,正确的为()A.π是自变量B.R2是自变量C.R是自变量D.πR2是自变量5.函数y=中的自变量x的取值范围是()A.x≥0B.x≠-1C.x>0D.x≥0且x≠-16.根据如图所示程序计算函数值,若输入的x的值为,则输出的函数值为()A.B.C.D.7.一支演唱队第一排有20人,后面每排比前排多1人,则第n排的人数s与n的函数解析式为________.8.一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到了小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:(1)这一变化过程中的自变量是________.(2)写出用t表示s的关系是________.(3)求第6秒时,小球滚动的距离为________m.(4)小球滚动200 m用的时间为________.五、布置作业教科书第81页习题19.1第1,2,3,4,5题六、板书设计七、教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固.关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:①解析法.②列表法.③图象法.关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.。
人教版八年级数学下册19.1.1 变量与函数(第1课时)
行星在宇宙中的位置随时间而变化
万物皆变
气温随海拔而变化
汽车行驶里程随行驶时间而变化
像这样在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更深刻地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
变量
数值始终不变的量
常量
上述运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
s = 60t
y = 10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
2（x+y)=10
S=πr2
提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
B
B
元/升
数量、金额
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 3x －4;
(2) y=x;
(3) y= x2＋2x－8;
(4) S = πr2．
解：（1）3和-4是常量，x和y是变量．
（2）1是常量，x、y是变量．
（3）1、2、-8是常量，x、y是变量．
（4）π是常量，s、r是变量．
1. 结合实例，了解变量、常量的意义，并能正确区分常量与变量.
2. 体会运动变化过程中的数量变化.
学习目标
3. 能确定两个量之间的关系式.
t /h
1
2
3
4
5
s /km
1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？ (1)请同学们根据题意填写上表：(2)在以上这个过程中，变化的量是______________, 不变化的量是_____.(3)试用含t的式子表示s 是_______.
19.1.1 变量与函数 课件(共16张PPT) 人教版初中数学八年级下册
当堂检测
指出下列问题中的变量和常量： （1）购买一些铅笔，单价为0.2元／支，记某同学购买铅笔 的数量为x支，应付的总价为y元；关系式为 y=0.2x 。 其中的变量是 x、y ，常量是 0.2 。
例3、根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件 ）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表：
每天的销售价 x（元/件） 200 190 180 170 160 150 140 …
每天的销售量 y（件） 80 90 100 110 120 130 140 …
（1）在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随 哪一个量的变化而变化？并指出其中的常量. 变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件）， 当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.
t/h s/km
1 2345 60 120 180 240 300
在这个变化的过程中，行驶的 速度 60km/h 是固
定不变的，行驶的 路程s和时间t
是不断变化的.
路程s 着 时间t 的变化而变化.
试用含t的式子表示s 是__s_=6_0_t____
探究 (2)电影票售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205 张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场 电影售出x张票，票房收入y元. y的值随x的值的变化而变化吗？
x
a
图1
图2
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数 y与层数x之间的关系式.
x1 2 3 …
x
y 1 1+2 1+2+3 … 1+2+3+ …+x
人教版八年级数学下册19.1.1.1变量-课件PPT
例2 阅读并完成下面一段叙述：
⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米， 其中常量是 a ,变量是 t,s .
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需 跑的时间为t分，其中常量是 s ,变量是 a，t.
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的 结论：在不同的条件下，常量与变量是相对的.
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
讲授新课 一 常量与变量 问题一
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程
为s千米，行驶时间为t小时，填下面的表:
60 120 180 240 300
请说明你的道理： 路程 =__速__度__×__时__间__
1．在以上这个过程中，变化的量是_时__间__t_、_ __路__程__s___．不变化的量是_速__度__6_0_千__米__/_时_． 2．试用含t的式子表示s.s=___6_0__t_．
是 y=0．.5x
5.瓶子或罐头盒等物体常如下图所示堆放，试确
定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
x12
3…
y 1 1+2 1+2+3 …
n 1+2+3+ …+n
完成上表，并写出瓶子总数y与层数x之间的关系式
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常量：数值始 终不变的量
常量与变量
常量与变量的概念
方法 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中， 该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
二 确定两个变量之间的关系 例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为 10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质 量(kg)
八年级数学下十九章一次函数19.1.1 变量与函数
19.1.1 变量与函数一、知识点1、变量与函数在一个变化过程中，按某种规律变化的量成为变量，始终不变的量称为常量。
例：（1）圆的周长公式C＝2πr中，变量是，常量是；（2）在△ABC中，它的一边长为a，该边上的高为h，则△ABC的面积S＝ah。
若h为定长，则此式中的变量是，常量是。
2、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。
例：下列问题中，两个变量之间的关系是否是函数关系？是函数关系的指出其中的自变量与函数。
（1）平行四边形的面积S和它的一边长x之间的关系；（2）圆的面积S与周长C之间的关系。
3、自变量的取值范围例：求下列函数中自变量的取值范围（1）y＝3x2＋2 （2）y＝（3）y ＝（4）y＝＋（5）y4、函数关系式（解析式）用数学式子表示函数关系的等式称为函数关系式（函数解析式）。
例：关系式x＋2y＝3y是x的函数/y与x之间的函数关系/y是关于x的函数/用含x的代数式表示y：y＝﹣x＋5、函数值对于自变量在取值范围内的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与它对应，这个对应值叫做函数值。
例：在函数y＝3x－1中，当x＝2时，y＝5，其中5就是当x＝2时的函数值；二、练习1、在函数y＝﹣x2＋3x＋1中，常量有，变量有，是的函数，是自变量。
2、△ABC底边BC上的高为4cm，当三角形的顶点C沿底边所在直线远离B点运动时，三角形的面积发生了变化。
（1）在这个变化中，自变量是，函数是；（2）如果三角形的底边BC长为x cm，那么△ABC的面积y（cm2）可以表示为；（3）当底边长由2 cm变化到6 cm时，△ABC的面积从cm2变化到cm2.3、根据流程图的程序，当输入数值x为﹣2时，输出数值y为（）A、4B、6C、8D、104、某学生在做物理实验时，测得实验中两个变量m与V之间的4组对应数据如A、V＝2m－2B、V＝m2－1C、V＝3m－3D、V＝m ＋15、下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A、正方形的边长与面积B、长方体的底面积与体积（高一定）C、等腰三角形的高与面积（底边一定）D、长方形的长与面积6、求下列函数关系式中的自变量x的取值范围。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》说课稿
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，属于初中数学的函数单元。
本节内容主要介绍了变量的概念，函数的定义及其表示方法，旨在让学生理解变量之间的关系，掌握函数的基本概念和表示方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数基础知识，对代数表达式有一定的理解，但对于变量的概念和函数的定义可能还比较陌生。
因此，在教学过程中需要引导学生理解变量之间的关系，逐步引入函数的概念，并通过实例让学生掌握函数的表示方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解变量之间的关系，掌握函数的定义及其表示方法，能够识别和表示简单的函数关系。
2.过程与方法目标：通过观察、分析实例，培养学生的抽象思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：函数的定义及其表示方法。
2.教学难点：理解变量之间的关系，掌握函数的表示方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际生活中的实例，引导学生观察和分析变量之间的关系，引出函数的概念。
2.探究新知：让学生通过小组合作，探讨函数的定义及其表示方法，教师进行引导和讲解。
3.巩固新知：通过练习题让学生巩固函数的概念和表示方法，教师进行点评和指导。
4.应用拓展：让学生运用函数的知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数的概念和表示方法。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出函数的概念和表示方法。
主要包括以下几个部分：1.变量与函数的定义2.函数的表示方法3.函数的性质八. 说教学评价教学评价主要包括学生的学习效果评价和教师的教学评价两个方面。
人教版八年级数学下册第19章19.1.1常量与变量优秀教学案例
5.教学内容的总结与拓展：在教学的最后阶段，教师引导学生对所学内容进行总结和拓展，帮助学生形成知识体系，提高学生的知识运用能力。同时，教师还布置了具有针对性的作业，要求学生在课后进行巩固和练习，以确保学生能够牢固掌握所学知识。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和探究能力。例如，学生在解决实际问题的过程中，可能会提出“为什么速度乘以时间等于路程？”等问题，教师要给予肯定和鼓励，引导学生进一步探究。
4.问题导向过程中，教师要注重引导学生自主思考，培养学生解决问题的能力。教师的角色是引导者、组织者，而非直接给出答案。
（三）小组合作
2.问题导向的教学策略：教师在教学过程中设计了一系列具有层次性、启发性的问题，引导学生主动探究、思考，使学生在解决问题的过程中，培养了自主学习、合作交流的能力。这种问题导向的教学策略，有助于培养学生的思维能力和问题解决能力。
3.小组合作的学习方式：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作，让学生在讨论、交流中共同解决问题。这种方式不仅提高了学生的合作能力，还使学生在解决实际问题的过程中，加深了对常量和变量的理解。
2.结合生活实际，让学生理解和掌握常量和变量的应用。例如，通过讲解速度、路程、时间等问题，让学生明白常量和变量在实际问题中的作用。
3.设计具有针对性的练习题，巩固学生对常量和变量的理解。例如，给出一些实际问题，要求学生运用常量和变量进行解答，提高学生的应用能力。
4.教师要关注学生的学习情况，及时给予解答和指导。例如，在学生解决问题过程中，教师要关注学生的困惑和问题，并给予及时的解答和帮助。
人教版八年级数学下册19.1.1变量与函数(2) 课件
等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值
范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数，例如：
= − 3.
④.零次型
等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂，
自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数，例如：
= 0.
新知探究
例5 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的
油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，
的函数. 例如，问题1中的s=3t，问题2中的S=x(5-x)
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时
的函数值.
新知小结
2.判断一个关系是否是函数关系的方法
①看是否在一个变化过程中；
②看是否存在两个变量；
3个条件
缺一不可
③看每当变量确定一个值时，另外一个变量是否都有唯一
确定的值与之相对应.
平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
叫做函数的解析式
解:函数关系式为: y = 50－0.1x.
0.1x表示的意义是什么？
新知探究
（2）指出自变量x的取值范围；
解: 由x≥0及50－0.1x ≥0得
0 ≤ x ≤ 500.
汽车行驶里程，油箱中
的油量均不能为负数！
∴自变量的取值范围是
化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定．
新知探究
奥运会火炬手以3米／秒的速度
跑步前进传递火炬，传递路程为s
米，传递时间为t秒，怎样用含t的
式子表示 s？
新知探究
知识点 1
函数的有关概念
问题1 全运会火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，传
递路程为s米，传递时间为t秒，填写下表：
八年级下19.1.1变量与函数课件
探究四
用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别 为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多 少？ D C
（1）当x=3m时， y=10÷2－3=2m
y=10÷2－3.5=1.5m （2）当x=3.5m时，
y
A B x （3）当x=4m时， y=10÷2－4=1m y=10÷2－4.5=0.5m （4）当x=4.5m时， 矩形周长、两邻边长x、y （5）在这个变化过程中涉及到的量有:_____________________,
票价、售票数量、票房收入 （4）在这个变化过程中涉及到的量有:______________________,
数值发生变化的量是售票数量、票房收入 ________________,数值始终不变的量是 票房收入随_________ 售票数量 的变化而变化. 票价 这个问题反映了________ _____,
两邻边长 x、y 数值始终不变的量是矩形周长 数值发生变化的量是 ___________, ________, x y 这个问题反映了______ 随_______ 的变化而变化.
说一说
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样 分类？ 数值不断 变量 变化的量
数值固定 不变的量
常量
【行程问题】s=vt（路程=速度×时间） 注：（ 1）变量与常量是相对而言的，应在某一确定的变化过 （ 1）当速度 v保持不变时，行走的路程s的长短是随时间t的变化 程中区分变量与常量，在不同的变化过程中，同一类的量可能 v 而变化，那么， ______________ 是常量，而________ 和 s t 为常量也可能为变量。 ________ 是变量； （ s是个定值时，行走的时间t是随速度v的变化而变化 （2 2）当路程 ）变量通常用字母表示，但字母不一定都表示变量。 t v s 的，那么，__________ 是常量，而_________ 和________ 是变 量。
人教版八年级下19.1.1变量
佃.1. 1变量授课时间：授课教师：课时分配：课型：教学目标（一）教学知识点1.认识变量、常量.2 .学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.（二）能力训练要求1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点.2.逐步感知变量间的关系.（三）情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量.2.用式子表示变量间关系.教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量.教学方法引导、探索法.教具准备多媒体演示.教学过程I .提出问题，创设情境情景问题：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.？行驶时间为t小时.1 .请同学们根据题意填写下表：2.在以上这个过程中，变化的量是 ___________ .变变化的量是 ___________ .3.试用含t的式子表示s.通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题.n.导入新课［师］我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答.［生］从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2X 60千米，即120千米，3小时行驶3X 60千米，即180千米，4小时行驶4X 60?千米，即240 千米，5小时行驶5X 60千米，即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t.其中里程s与时间t是变化的量，速度60?千米/小时是不变的量.［师］很好！谢谢你正确的阐述.这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程. 其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、？里程S,有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60 千米／小时．［活动一］活动内容设计：1.每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张•三场电影的票房收入各多少元•设一场电影售票x张，票房收入y元.？怎样用含x的式子表示y?2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm?, ?每1kg?重物使弹簧伸长0. 5cm,怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？设计意图：让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律, 并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.教师活动：引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.学生活动：在教师的启发引导下, 经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论.活动结论：1.早场电影票房收入：150X 10=1500 (元)日场电影票房收入：205X 10=2050 (元)晚场电影票房收入：310X 10=3100 (元)关系式：y=10x2.挂1kg重物时弹簧长度： 1 X 0. 5+10=10 . 5 ( cm)挂2kg 重物时弹簧长度：2X 0．5+10=11 ( cm)挂3kg 重物时弹簧长度：3X 0．5+10=11．5( cm)关系式：L=0．5m+10［师］通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的, 而哪些量又是不变的．在一个变化过程中, 我们称数值发生变化的量为变量(variable),那么数值始终不变的量称之为常量( con sta nt).如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y;重物质量m, ?弹簧长度L都是变量.而票价10元，弹簧原长10cm 都是常量.川.随堂练习1.购买一些铅笔,单价0. 2 元／支,总价y 元随铅笔支数x 变化, ?指出其中的常量与变量,并写出关系式.2.—个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩.写出面积S随h?变化关系式，并指出其中常量与变量.W.课时小结本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤. 它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.1.确定事物变化中的变量与常量.2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识公式确定关系区.V.课后作业课后思考题、练习题.板书设计19. 1. 1变量一、常量与变量二、寻求确定变量间关系式的方法三、随堂练习四、课时小结教学反思：____________________________________________。
人教数学八下19.1.1变量
教学目标知识技能结合丰富的实例,让学生在具体的情景中领悟常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量,在具体教学中培养学生的数学阅读能力.数学思考通过感受运动与变化的数量关系初步体验函数思想.解决问题通过阅读课本知识,抓住关键词,感受常量与变量的意义.情感态度感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具,加深学生对数学来源于生活的体验。
2学情分析本课是函数的起始课,学生第一次接触函数,而函数是刻画运动变化现象的重要数学模型,要从数学的角度研究变化现象,把握变化规律,首先要关注变化过程中量的变化,这就是变量.有了变量的概念,便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础.所以本课选择从学生熟悉的四个简单的实际问题入手,通过分析问题中数值的变与不变,引出变量与常量的概念,而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫.基于以上分析,确定本节课的教学重点是:能找出一个变化过程中的变量与常量,了解常量与变量的意义.变量是学生第一次接触,对一个运动变化过程中的两个变量的关系,学生往往只认为是一种确定的数量关系,类似于二元一次方程,没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化.所以学生对二个变化的量特别是复杂问题中的变量与常量的把握会比较混乱,有较大难度.基于以上分析,确定本节课的教学难点为:体会运动变化过程中量的变化,较复杂问题中常量与变量的识别.3重点难点重点能找出一个变化过程中的变量与常量,了解常量与变量的意义.难点体会运动变化过程中量的变化,较复杂问题中常量与变量的识别.4教学过程4.14.1.1教学活动活动1【导入】自学交流活动2【导入】形成概念活动3【练习】练习反馈活动4【活动】拓展应用活动5【测试】检测题目活动6【讲授】教学反思。
人教版八年级数学下册第19章《19.1.1 变量》课件
解：(1)变量：月用水量x，月应交水费y； 常量：自来水价4元/t.
(2)变量：通话时间t，余额w； 常量：通话费0.2元/min，30元．
(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r， 圆周长为C，圆周率 (圆周长与直径之比)为π.
变量与常量： 在一个变化过程中，源自们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量叫常量．
例1 已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三 1
角形的面积S＝ 2 ×12·h，即S＝6h.在这个式子中 常量和变量分别是什么？
导引：根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面积是
边长与该边上的高的长度的乘积的一半，已知边长，
在问题(2)中，可以发现：x和y是两个变量，每当 x取定一个值时， y就有唯一确定的值与其对应.例如， 若x＝150,则y＝1 500;若x＝205, 则y＝ 2 050;若 x＝310， 则y＝3 100.
在问题(3)中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取 定一个值时，S 就有唯一确定的值与其对应.它们的关系 式为S＝πr2.据此可以算出r分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，S 分别为 100π cm2，400π cm2，900π cm2.
第十九章 一次函数
19.1 函 数
第1课时 变量
一辆长途客车从杭州驶向 上海，全程哪些量不变？ 哪些量在变？
知识点 1 常量与变量
问题1
汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，
行驶时间为 t h.填写表19-1，s的值随 t 的值的变化而变
化吗？
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第19章一次函数
19.1.1变量与函数(1)
教学目标
①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义
能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义.
②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问
题和解决问题的能力.
③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的
热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心.
教学重点与难点
重点：函数概念的形成过程.
难点：正确理解函数的概念.
教学准备
每个小组一副弹簧秤和挂件，一根绳子.
教学设计
提出问题：
1. 汽车以60千米/时的速度匀速行驶•行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.先填写下面的表，再试着用含t的式子表示s :
2. 已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310 张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，怎样用含x的式子表示y?
3. 要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm f的圆呢？怎样用含圆面积S 的式子表示圆半径r?
注:(1)让学生充分发表意见，然后教师进行点评.
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变
量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验.
动手实验
1.
如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?
2. 用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长，观察矩形的面积怎样变化，记录不同的矩形的长的值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdnl怎样用含x的式子表示S?
注:分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报.
通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息
探究新知
（一）变量与常量的概念
1. 在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳：上面的问题和实验都
反映了不同事物的变化过程•其中有些量（时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等）的值
是按照某种规律变化的•在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量•也有些量是始终不变的，如上面问题中的速度60（千米/时）、票价10（元）等，我们称之为常量.
2. 请具体指出上面这些问题和实验中，哪些量是变量，哪些量是常量•
3. 举出一些变化的实例，指出其中的变量和常量•
注：分组活动•先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选派代表汇报•
培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概
括和抽象等的能力•
（二）函数的概念
1. 在前面的每个问题和实验中，是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联
系？
师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一
个值时，另一个变量就有惟一确定的值.
2. 分组讨论教科书P.7 “观察”中的两个问题.
注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象
3. 一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的
值，y都有惟一确定的值与其对应，那么，我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a
时，y=b，那么，b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中，时间t是自变量，里程s 是t 的函数.t=1时，其函数值s为60，t=2时，其函数值s为120.
同样，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；
在人口统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.当x=1999时，函数值y=12.52.
巩固新知
下列各题中分别有几个变量？你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗
1. 右图是北京某日温度变化图
2. 如图，已知菱形
ABCD的对角线AC长为
4，BD的长在变化，设BD
的长为x，则菱形的面积为
1
y= X 4X x
2
3.
信件质量m/克0<mS 2020<m< 4040<m< 60
邮资y/元O.80 1.60 2.40
注:巩固变量与函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关
系,初步了解函数的三种表示方法•
总结归纳
1. 常量与变量的概念；
2. 函数的定义；
3. 函数的三种表示方式•
注：通过总结归纳，完善学生已有的知识结构
布置作业
1. 必做题：教科书P.19习题19.1第1题.
2. 选做题：教科书P.19习题19.1第2题.
3. 备选题：
（1）下图是某电视台向观众描绘的一周之内日平均温度的变化情况:
①图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？
②这周哪天的日平均温度最低?大约是多少度？哪天的日平均温度最高？大约是多
少度？
③14、15、16日的日平均温度有什么关系
④点A表示的是哪天的日平均温度？大约是多少度？
⑤说说这一周的日
平均温度是怎样变化的.
如右图所示，梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8.
①梯形面积y与上底的长x之间的关系式是什
么？并指出其中的变量和常量、自变量与函
数.
②用表格表示当x从10变到20时（每次增加1）,y的相应值.
③当x每增加1时,y如何变化？说说你的理由
④当x=0时,y等于多少？此时它表示的是什么？
（3）研究表明，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:
施肥量（千克/公顷）03467101135202259336404471土豆产量（吨/公顷）15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75
①上表反映的是哪两个变量之间的关系？指出其中的自变量和函数
②当氮肥的施用量为101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
③根据表中的数据，你认为氮肥的施用量为多少比较适宜？说说你的理由.
④简单说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响
设计思想
变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一大飞跃.因
此,设计本课时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生从中感知变量与函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则, 引导学生探究新知, 引导学生在观察、
分析后归纳, 然后提出注意问题, 帮助学生把握概念的本质特征, 并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力. 同时在引导学生探索变量之间的规律, 抽象出函数概念的过程中,要注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到、现实生活中存在着多姿多采的数学问题,并能从中提出问题、分析问题和解决问题. 还要培养一种团队合作精神, 提高探索、
研究和应用的能力, 使学生真正成为数学学习的主人.。